Рациональные уравнения. Начальный уровень.

Рациональное уравнение – это равенство двух рациональных (без знака корня) выражений.

Алгоритм решения рациональных уравнений:

  1. Понять, точно ли это рациональное уравнение (убедись, что в нем нет корней);
  2. Определить ОДЗ;
  3. Найти общий знаменатель дробей и умножить на него обе части уравнения;
  4. Решить получившееся целое уравнение;
  5. Исключить из его корней те, которые обращают в ноль знаменатель дробей.

Дробно рациональное уравнение - рациональное (без знака корня) уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями.

Система для решения дробно рациональных уравнений:

 .

Определение рационального уравнения

Рациональные уравнения – это уравнения, в которых и левая, и правая части рациональные выражения. 

Ну… это было сухое математическое определение и слово-то какое, «рациональные». А по сути, рациональные выражения это просто целые и дробные выражения без знака корня.

Что же получается?

А получается что под пугающим «рациональным уравнением» скрывается всего лишь уравнение, в котором могут присутствовать сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень с целым показателем, но НЕ корень из переменной.

Но прежде, чем мы пойдем дальше, позволь напомнить, что у нас можно пройти пробный ЕГЭ в онлайне... прямо сейчас и получить результа немедленно. Если тебе это не нужно, читай дальше :)

Разберемся что такое рациональные уравнения, а что – иррациональные:

  как думаешь, какое это? Тут сложение, умножение, нет корней, и степеней никаких – рациональное!

  – вот тебе и корень из переменной, значит уравнение НЕ рациональное (или иррациональное);

  а это – рациональное;

  тут вот степень, но она с целым показателем степени ( – целое число) – значит это тоже рациональное уравнение;

  даже уравнение с отрицательным показателем степени тоже является рациональным, ведь по сути  , это  ;

  – тоже рациональное, т.к.  ;

  – а с ним поосторожнее, степень-то дробная, а по свойству корней  , как ты помнишь корня в рациональных уравнениях не бывает. Надеюсь, теперь ты сможешь различать, к какому виду относится уравнение.

Целые рациональные уравнения

Важно знать, что рациональные уравнения в свою очередь тоже разные бывают. Если в дроби нет деления на переменную (то есть на  ,   и т.д.), тогда рациональное уравнение будет называться целым (или линейным) уравнением, вот примеры:

 

Умеешь такие решать? – конечно, умеешь, упрощаешь и находишь неизвестное, тема-то 5-ого или 6-ого класса. Ну, рассмотрим первый из примеров на всякий случай и по порядочку. Все неизвестные переносим влево, все известные вправо:

 ;

Какой наименьший общий знаменатель будет? Правильно  ! Чтоб к нему привести домножаем и числитель и знаменатель первого слагаемое на  , а второго на  , этого делать не запрещено, если и числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же значение, то дробь от этого не изменится, т.к. ее можно будет сократить на то же число. А   не трогаем, оно нам не мешает, имеем:

   ,

А теперь делим обе части на  :

 

Тут все просто? Поскольку уравнение целое, что мы уже определили, то и ограничений никаких нет,  , так  , ну можно для верности подставить этот ответ в исходное уравнение, получим  , значит все верно и ответ подходит (ты можешь пересчитать, а вообще должно сойтись).

Дробно рациональные уравнения

А вот еще одно уравнение  . Это уравнение целое? НЕТ!!! Тут есть деление на переменную  , а это говорит о том, что уравнение не целое. Тогда какое же оно? Это дробно рациональное уравнение.

Дробно рациональное уравнение - рациональное (без знака корня) уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями.

На первый взгляд особой разницы не видно, ну давай попробуем решать его как мы решали целое (линейное) уравнение. Для начала найдем наименьший общий знаменатель, это будет  . Важный момент!!! В предыдущем примере, где было целое уравнение мы не стали свободный член   приводить к знаменателю, т.к. умножали все на числа без переменных, но тут-то наименьший общий знаменатель  . А это тебе не шутки, переменная в знаменателе!

Решая дробно рациональное уравнение, обе его части умножаем на наименьший общий знаменатель! Это надеюсь, ты запомнишь, но давай посмотрим что вышло:

 .

Что-то оно огромное получилось, надо все посокращать:

 .

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

 

Ну как, это уже попроще выглядит, чем в начале было? Выносим за скобку общий множитель:  

У этого уравнения два решения, его левая сторона принимает нулевое значение при   и  . Вроде бы все, ну ладно давайте напоследок подставим корни   и   в исходное уравнение, чтобы проверить, нет ли ошибок. Сначала подставим  , получается   –нет претензий? С ним все нормально. А теперь  , и тут же видим в знаменателе первого члена  !

Но ведь это же будет ноль! На ноль делить нельзя, это все знают, в чем же дело??? Дело в ОДЗ! (если забыл что это, повтори тему «ОДЗ»! Области Допустимых Значений. Всякий раз когда ты видишь уравнение, где есть переменные (  и т.д.) в знаменателе, прежде всего, нужно найти ОДЗ, найти какие значения может принимать икс, хотя удобнее в ОДЗ написать чему икс НЕ может быть равен, ведь таких значений не так много, как правило. Просто запомни, что на ноль делить нельзя! И перед тем как решать наше уравнение нам следовало сделать так:

ОДЗ:   и     и  . Если бы мы сразу так написали, то заранее бы знали, что эти ответы стоит исключить и так, из полученных нами   и   мы смело исключаем  , т.к. он противоречит ОДЗ. Значит, какой ответ будет у решенного уравнения? В ответ стоит написать только один корень,  .

Стоит заметить, что ОДЗ не всегда сказывается на ответе, возможны случаи, когда корни, которые мы получили, не попадают под ограничения ОДЗ. Но писать ОДЗ в дробно рациональных уравнениях стоит всегда – так просто спокойнее, что ты ничего не упустил и да, ВСЕГДАпо окончании решения сверяй свои корни и область допустимых значений!

Для правильного решения рациональных уравнений, ты должен придерживаться следующего руководства:

  1. Понять, точно ли перед тобой рациональное уравнение (убедись, что в нем нет корней);
  2. Определить ОДЗ;
  3. Найти общий знаменатель дробей и умножить на него обе части уравнения;
  4. Решить получившееся целое уравнение;
  5. Исключить из его корней те, которые обращают в ноль знаменатель дробей.

Усвоил, говоришь? А ты докажи!

Вот тебе три примерчика на закрепление:

  1.  
  2.  
  3.  

Решения:

 

 

 

 

 

 

 

Рациональное выражение – это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной   с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем. Ну а рациональное уравнение – это равенство двух рациональных выражений.

Дробно рациональные уравнения — рациональные (без знака корня) уравнения, в которых левая или правая части являются дробными выражениями.

Например:

  (чаще всего мы встречаем именно дробно рациональные уравнения).

В общем случае при решении рациональных уравнений мы стремимся преобразовать его к виду: Произведение = " " или Дробь = " ", например:

 .

Тогда мы сможем сказать, что любой из множителей числителя может быть равен нулю, но знаменатель при этом нулю не равен.

Для этого нам нужно сначала всё перенести в левую часть уравнения (не забываем при этом поменять знаки между слагаемыми: " " на " " и наоборот). Затем мы обычно приводим все к общему знаменателю, и пишем систему:

 

Пример:

 

 

 

Если знаменателя нет, или он является числом, – тем лучше, не придется решать неравенство.

Как бы то ни было, в ЕГЭ все рациональные выражения степени больше   легко преобразуются в произведение более простых выражений при помощи либо перегруппировки, либо замены переменных (см. раздел «Разложение многочлена на множители»).

Например:

 

Перегруппируем:  

Раскроем скобки в каждой группе:  

Сделаем замену:  

Тогда:  .

Решив квадратное уравнение, получим:  

Обратная замена:

 

Таким образом, нам пришлось решить три квадратных уравнения вместо одного уравнения 4-й степени.

Еще примеры дробно рациональных уравнений (реши их самостоятельно):

  1.   ;
  2.  ;
  3.  .

Решения

1.  

 

 

Ответ:  

2.  
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, разложим знаменатель правой дроби на множители. Это квадратный трехчлен, поэтому надо вспомнить, как расклажывать на множители (подробное описание см. в разделе «Разложение на множители»). Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

 .
Решаем его с помощью теоремы Виета: произведение корней равно  , а сумма  . Подбором устанавливаем, что это числа   и  . Тогда:
 

 
Теперь видно, что знаменатели дробей имеют общий множитель  :
 

 
При таком раскладе очевидно, что корней вообще нет: если  , получим деление на  . Значит, ответом здесь будет пустое множество (пишется  ).

Ответ:  .

3.  
Сперва уростим выражение в левой части, то есть приведем к нормальному «двухэтажному» виду:
 
Теперь переносим все в одну сторону и приводим к общему знаменателю. Квадратный трехчлен в левой части раскладывается на множители следующим образом:
 
Очевидно, что общих множителей у знаменателей нет, поэтому их нужно просто перемножить:
 

 

 

 

Ответ:  .

Комментарии

Александр
03 октября 2017

В 3 примере x = 0, а не 2.

ответить

Алексей Шевчук
09 октября 2017

Александр, проверь своё решение - подставь x=0 в исходное уравнение.

ответить

Камронбек
11 октября 2017

Решите уравнение пж (х+1:х)(х+1:х)-2(х+1:х)-3=0 Надо найти произведение корней

ответить

Александр
11 октября 2017

Камронбек, я не математик, вижу один прием: повторяющееся выражение x+1/x можно обозначить буковой Y и получится уравнение Y**2 - 2Y - 3 = 0. Дальше пусть коллективный мозг решает :)

ответить

маруся
09 ноября 2017

спасибо помогло

ответить

Александр (админ)
09 ноября 2017

Всегда рады, Маруся! Пишите, если найдете ошибки... ну и если нравится наш учебник, тоже пишите ))

ответить

Дара
11 января 2018

Извините, а в каких случаях нужно использовать ОДЗ? Просто в первой задачи вы не находили его)

ответить

Александр (админ)
14 января 2018

Дара, прочитай пожалуйста внимательно об ОДЗ вот здесь: https://youclever.org/book/odz-1 Будет понятно в каких случаях его использовать. Только внимательно! :))

ответить

Дара
11 января 2018

Здравствуйте, не могли бы вы объяснить как из самой задачи номер 3получилось: −33−x2+(7+x)⋅(x+3)=−2(x2−9)+(4−x)⋅(x−3)

ответить

Алексей Шевчук
05 февраля 2018

Дара, мы написали, что общий знаменатель (x^2-9)=(x-3)(x+3) не равен нулю, а потом домножили на него все слагаемые.

ответить

Аркадий
21 марта 2018

почему там знак поменялся?

ответить

Виктория
20 февраля 2018

Здравуствуйте, у меня вопрос. Почему для рациональных выражений мы не проверяем условия на неравенство знаменятеля нулю? И почему это делаем для знаменателей в уравнениях и функциях?

ответить

Слава
20 февраля 2018

Виктория, я попробую ответить )) давай возьмем пример уравнения, функции и рационального выражения. 2/x = 1 - уравнение 2/x = y - функция, потому что значение y меняется в зависимости от значения x 2/x - рациональное выражение. Почему в первых двух случаях мы должны написать, что x не должен равняться нулю? Потому что нам задали вопрос: "Чему равен x?" в первом случае и "Чему равен y при определенном значении x" во втором случае. Почему в третьем случае ничего не надо писать? Потому что вопрос не задан. :)) В выражении 2/x нет никакого вопроса.

ответить

Юля
19 марта 2018

Очень информативно! Спасибо)

ответить

Александр (админ)
19 марта 2018

Пожалуйста, Юля. Заходи к нам... )

ответить

Алина
01 апреля 2018

У меня не показано решение 2-го и 3-го примера, и я не могу проверить свое решение((

ответить

Александр (админ)
01 апреля 2018

Алина, я проверил, все работает корректно. Что значит "не показано решение"? Его вообще нет, или вместо него "абракадабра"? Если "абракадабра", то надо почистить кэш компьютера и все появится. Нажми Ctrl +F5

ответить

Игорь
05 июля 2018

В задаче номер 3 общий знаменатель (3-х)(3+х)(х-3), так как 9-х^2= (3-х)(3+х) . Исправьте условия задачи.

ответить

Алексей Шевчук
15 августа 2018

Игорь, если в первой дроби домножить на -1 числитель и знаменатель, то знаменатель станет равен x^2-9

ответить

Светлана
20 сентября 2018

(5/1-b)=(b/6-b)

ответить

Алексей Шевчук
21 сентября 2018

Светлана, нет действительных решений.

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем для тебя ВСЕ скрытые примеры учебника до конца учебного года.

Всего 299 руб...

Но твоя помощь бесценна! :)  

Спасибо!

Я хочу помочь YouClever!

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть