Начальный уровень

Замена переменных. Полное руководство (2019)

 

Одним из самых важных методов решения уравнений и неравенств является метод замены переменной. Данная процедура позволяет упростить исходное выражение, тем самым приводя его к стандартному типу.

Метод замены переменной и его разновидности

Рассмотрим   основных вида замен переменных.

Степенная замена

Степенная замена:  .

Допустим, у нас есть выражение:  .

Подумай, к какому виду мы можем его привести, чтобы при расчетах легко найти корни? Правильно, данное уравнение необходимо привести к квадратному виду.

Введем новую переменную  .

Метод замены переменной подразумевает, чтобы старой переменной   не оставалось – в выражении должна остаться только одна переменная –  .

Наше выражение приобретет вид:

  – обычное квадратное уравнение

 

 

 

 

 

 

Нашли ли мы корни исходного уравнения? Правильно, нет.

На этом шаге не следует забывать, что нам необходимо найти значения переменной  , а мы нашли только  .

Следовательно, нам необходимо вернуться к исходному выражению, то есть сделать обратную замену - вместо   ставим  . Далее найдем

 

 

Решаем два новых простых уравнения, не забывая область допустимых значений!

При   у нас будет два корня:

 

 

А что у нас будет при  ? Правильно. Решений данного уравнения нет, так как квадрат любого числа – число положительное, а в нашем случае – отрицательное, соответственно, при   у нас будет пустое множество (решения нет).

В ответ следует записать необходимые нам корни, то есть  , которые существуют:

Ответ:  ; 

Точно таким же образом необходимо действовать при решении неравенств.

Выполняя замену переменных, необходимо помнить два простых правила:1. Замену переменных нужно делать сразу и при первой же возможности.

2. Уравнение (неравенство) относительно новой переменной необходимо решать до конца, и лишь затем возвращаться к старому неизвестному.

Попробуй самостоятельно применить метод замены переменной в уравнении  .

Подумай, к какому виду мы можем его привести, чтобы при расчетах легко найти корни?

Проверь свое решение:

Введем новую переменную  .

Наше выражение приобретет вид:

  – обычное квадратное уравнение

 

 

 

 

 

 

Возвращаемся к исходному выражению, то есть делаем обратную замену - вместо   ставим  

 

 

Оба значения   имеют право на существование. Решаем два получившихся уравнения:

При  

При  

Ответ:  

Дробно-рациональная замена

Дробно-рациональная замена -   многочлены степеней n и m соответственно.

При этом необходимо помнить, что область допустимых значений (ОДЗ) данного уравнения   (так как на ноль делить нельзя).

Приведем пример.

Допустим, у нас есть уравнение:

 

Так как на ноль делить нельзя, то в данном случае ОДЗ будет:  

Сгруппируем слагаемые:

 

Введем новую переменную  .

Пусть  , тогда

 

Сравни, что дает возведение   в квадрат, с первой сгруппированной скобкой в нашем примере. Что ты видишь?

метод замены переменной

Правильно. Разница между тем, что у нас в примере, и тем, что дает нам возведение в квадрат, заключается в удвоенном произведении слагаемых. Соответственно, его и следует вычесть, переписывая наш пример с переменной  .

 

В итоге мы получаем следующее выражение:

  – обычное квадратное уравнение.

Решаем получившееся уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

Как мы помним  , не является конечным решением уравнения. Возвращаемся к изначальной переменной:

 

Приводя к общему знаменателю  , мы приходим к совокупности 2-x квадратных уравнений:

 

Решим первое квадратное уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

На этой стадии не забываем про ОДЗ. Мы должны посмотреть, удовлетворяют ли найденные корни области допустимых значений? Если какой-то корень не удовлетворяет ОДЗ – он не включается в конечное решение уравнения.

Решим второе квадратное уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

Снова смотрим, удовлетворяют ли полученные корни ОДЗ? Далее записываем конечный ответ.

Ответ:  

У тебя получился такой же? Попробуй решить все с начала до конца самостоятельно.

 

Какой ответ у тебя получился? У меня   и  .

Сравним ход решения:

Пусть  , тогда выражение приобретает вид:

 

Приведем слагаемые к общему знаменателю:

 

Не забываем про ОДЗ -  !!!!!

Решаем квадратное уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

Как ты помнишь,   не является конечным решением уравнения. Возвращаемся к изначальной переменной:

 

Решим первое уравнение:

 

 

 

Решением первого уравнения являются корни   и  .

Решим второе уравнение:

 

Решения не существует. Подумай, почему? Правильно!   – число положительное,   - тоже всегда положительно, следовательно, при делении положительного числа на положительное никак не может получиться отрицательное!

Ответ:   

Замена многочлена

Замена многочлена   или  . Здесь   - многочлена степени  , например, выражение   – многочлен степени  .

Допустим, у нас есть пример:

 

Применим метод замены переменной. Как ты думаешь, что нужно принять за  ? Правильно,  . Уравнение приобретает вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Производим обратную замену переменных:

 

 

Решим первое уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

Решим второе уравнение:

 

 

 

 … Что это означает? Правильно! Что решений не существует.

Таким образом, мы получили два ответа -  ;  .

Понял как применять метод замены переменной при многочлене? Потренируйся сделать подобное самостоятельно:

 

Решил? Теперь проверим с тобой основные моменты.

За   нужно взять  .

Мы получаем выражение:

 

Решая квадратное уравнение, мы получаем, что   имеет два корня:   и  .

Далее делаем обратную замену и решаем оба квадратных уравнения.

Решением первого квадратного уравнения являются числа   и  

Решением второго квадратного уравнения - числа   и  .

Ответ:  ;  ;   

Подведем итоги.

Метод замены переменной имеет   основных типа замен переменных в уравнениях и неравенствах:

1. Степенная замена, когда за   мы принимаем какое-то неизвестное, возведенное в степень.

2. Замена многочлена, когда за   мы принимаем целое выражение, содержащее неизвестное.

3. Дробно-рациональная замена, когда за   мы принимаем какое-либо отношение, содержащее неизвестную переменную.

Важные советы при введении новой переменной:

1. Замену переменных нужно делать сразу, при первой же возможности.

2. Уравнение относительно новой переменно нужно решать до конца и лишь затем возвращаться к старому неизвестному.

3. При возврате к изначальному неизвестному (да и вообще на протяжении всего решения), не забывай проверять корни на ОДЗ.

Новая переменная вводится аналогичным образом, как в уравнениях, так и в неравенствах.

Тренировка.

Задачи:

1.  

2.  

3.  

Ответы:

1. Пусть  , тогда выражение приобретает вид  .

Так как  , то может быть как положительным, так и отрицательным.

  

  

Ответ:  

2. Пусть  , тогда выражение приобретает вид  .

 

  решения нет, так как  .

Ответ:  

3. Группировкой получаем:

 

Пусть  , тогда выражение приобретает вид
 .

 

 

Ответ:  

 

ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ.

Замена переменных – это введение нового неизвестного, относительно которого уравнение или неравенство имеет более простой вид.

Перечислю основные типы замен.

Степенная замена  .

Например, с помощью замены   биквадратное уравнение   приводится к квадратному:  .

В неравенствах все аналогично. Например, в неравенстве   сделаем замену  , и получим квадратное неравенство:  .

Пример (реши самостоятельно):

 

Решение:

Это дробно-рациональное уравнение (повтори «Рациональные уравнения»), но решать его обычным методом (приведение к общему знаменателю) неудобно, так как мы получим уравнение   степени, поэтому применяется замена переменных. Все станет намного проще после замены:  . Тогда  :

 

Теперь делаем обратную замену:

 

Ответ:   .

Замена многочлена   или  .

Здесь   − многочлен степени  , т.е. выражение вида

 

(например, выражение   – многочлен степени  , то есть  ).

Чаще всего используется замена квадратного трехчлена:   или  .

Пример:

Решите уравнение  .

Решение:

И опять используется замена переменных  . Тогда уравнение примет вид:

 .

Корни этого квадратного уравнения:   и  . Имеем два случая. Сделаем обратную замену для каждого из них:

 ;

 .

Значит, это уравнение корней не имеет.

 

Корни этого уравнения:   и  .

Ответ.  .

Дробно-рациональная замена  .

  и   − многочлены степеней   и   соответственно.

Например, при решении возвратных уравнений, то есть уравнений вида

 ,

обычно используется замена  .

Сейчас покажу, как это работает.

Легко проверить, что   не является корнем этого уравнения: ведь если подставить   в уравнение, получим  , что противоречит условию.

Разделим уравнение на  :

 .

Перегруппируем:

 .

Теперь делаем замену:  .

Прелесть ее в том, что при возведении в квадрат в удвоенном произведении слагаемых сокращается x:

 

Отсюда следует, что  .

Вернемся к нашему уравнению:

 

Теперь достаточно решить квадратное уравнение и сделать обратную замену.

Пример:

Решите уравнение:  .

Решение:

При   равенство не выполняется, поэтому  . Разделим уравнение на  :

 

 

 

Замена:  .

Тогда  .

Уравнение примет вид:

 .

Его корни:  

Произведем обратную замену:

 

Решим полученные уравнения:

1)  .

 

 

2)  .

 

 

Ответ:   .

Еще пример:

Решите неравенство  .

Решение:

Непосредственной подстановкой убеждаемся, что   не входит в решение этого неравенства. Разделим числитель и знаменатель каждой из дробей на  :

 .

Теперь очевидна замена переменной:  .

Тогда неравенство примет вид:

 

Используем метод интервалов для нахождения y:

замена переменных, интервал 1

 

 .

замена переменных, интервал 2

 

 

  при всех  , так как  

Значит, неравенство равносильно следующему:  .

 .

  при всех  , так как  

Значит, неравенство равносильно следующему:  

 

  при всех  , так как  .

Значит, неравенство равносильно следующему:  .

Итак, неравенство оказывается равносильно совокупности:

 

Ответ:  .

Замена переменных – один из важнейших методов решения уравнений и неравенств.

Напоследок дам тебе пару важных советов:

  1. Замену переменных нужно делать сразу и при первой же возможности.
  2. Уравнение (неравенство) относительно новой переменно необходимо решать до конца, и лишь затем возвращаться к старому неизвестному.

Успехов!

ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ.

Замена переменных - метод решения сложных уравнений и неравенств, который позволяет упростить исходное выражение и привести его к стандартному виду.

Виды замены переменной:

  1. Степенная замена: за   принимается какое-то неизвестное, возведенное в степень -  .
  2. Дробно-рациональная замена: за   принимается какое-либо отношение, содержащее неизвестную переменную -  , где   и   - многочлены степеней n и m, соответственно.
  3. Замена многочлена: за   принимается целое выражение, содержащее неизвестное -   или  , где   - многочлен степени  .

После решения упрощенного уравнения/неравенства, необходимо произвести обратную замену.

Комментарии

Пётр
25 июня 2018

В методе замены переменной при многочлене во втором примере при решении второго квадратного уравнения будут корни 4 и 0,5.

ответить

Алексей Шевчук
15 августа 2018

Пётр, спасибо, ошибку исправили.

ответить

Игорь
03 июля 2018

Подскажите как в первом примере "Дробно-рациональная замена" после слов: "Правильно. Разница между тем, что у нас в примере, и тем, что дает нам возведение в квадрат, заключается в удвоенном произведении слагаемых. Соответственно, его и следует вычесть, переписывая наш пример с переменной t \displaystyle tt." В уравнении выявилось число 6 ?

ответить

Алексей Шевчук
15 августа 2018

Игорь, в удвоенном произведении x на 3/x, то есть в выражении 2*x*3/x, переменная х сокращается, и остаются только числа 2*3=6.

ответить

Артемий
07 января 2019

В "Замена многочлена", "Решим второе уравнение:" написано 16−32=−26, а должно быть 16−32=−16

ответить

Алексей Шевчук
11 января 2019

Да, это ошибка, спасибо.

ответить

Женя
01 февраля 2019

Что делать,если замена переменной не имеет смысла??

ответить

Алексей Шевчук
07 февраля 2019

Женя, поясни, пожалуйста, в каком примере у тебя возникла эта проблема? Обычно, если обратная замена приводит к выражению, не имеющему смысла (например, деление на 0 или корень из отрицательного числа), мы отбрасываем полученный корень как сторонний.

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем для тебя ВСЕ скрытые примеры учебника до конца учебного года.

Всего 299 руб...

Но твоя помощь бесценна! :)  

Спасибо!

Я хочу помочь YouClever!

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть