Замена переменных. Полное руководство (2019)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

 

Одним из самых важных методов решения уравнений и неравенств является метод замены переменной. Данная процедура позволяет упростить исходное выражение, тем самым приводя его к стандартному типу.

Метод замены переменной и его разновидности

Рассмотрим   основных вида замен переменных.

Степенная замена

Степенная замена:  .

Допустим, у нас есть выражение:  .

Подумай, к какому виду мы можем его привести, чтобы при расчетах легко найти корни? Правильно, данное уравнение необходимо привести к квадратному виду.

Введем новую переменную  .

Метод замены переменной подразумевает, чтобы старой переменной   не оставалось – в выражении должна остаться только одна переменная –  .

Наше выражение приобретет вид:

  – обычное квадратное уравнение

 

 

 

 

 

 

Нашли ли мы корни исходного уравнения? Правильно, нет.

На этом шаге не следует забывать, что нам необходимо найти значения переменной  , а мы нашли только  .

Следовательно, нам необходимо вернуться к исходному выражению, то есть сделать обратную замену - вместо   ставим  . Далее найдем

 

 

Решаем два новых простых уравнения, не забывая область допустимых значений!

При   у нас будет два корня:

 

 

А что у нас будет при  ? Правильно. Решений данного уравнения нет, так как квадрат любого числа – число положительное, а в нашем случае – отрицательное, соответственно, при   у нас будет пустое множество (решения нет).

В ответ следует записать необходимые нам корни, то есть  , которые существуют:

Ответ:  ; 

Точно таким же образом необходимо действовать при решении неравенств.

Выполняя замену переменных, необходимо помнить два простых правила:

1. Замену переменных нужно делать сразу и при первой же возможности.

2. Уравнение (неравенство) относительно новой переменной необходимо решать до конца, и лишь затем возвращаться к старому неизвестному.

 

А теперь самостоятельно...

Попробуй самостоятельно применить метод замены переменной в уравнении  .

Подумай, к какому виду мы можем его привести, чтобы при расчетах легко найти корни?

Проверь свое решение:

Дробно-рациональная замена

Дробно-рациональная замена -   многочлены степеней n и m соответственно.

При этом необходимо помнить, что область допустимых значений (ОДЗ) данного уравнения   (так как на ноль делить нельзя).

Приведем пример.

Допустим, у нас есть уравнение:

 

Так как на ноль делить нельзя, то в данном случае ОДЗ будет:  

Сгруппируем слагаемые:

 

Введем новую переменную  .

Пусть  , тогда

 

Сравни, что дает возведение   в квадрат, с первой сгруппированной скобкой в нашем примере. Что ты видишь?

метод замены переменной

Правильно. Разница между тем, что у нас в примере, и тем, что дает нам возведение в квадрат, заключается в удвоенном произведении слагаемых. Соответственно, его и следует вычесть, переписывая наш пример с переменной  .

 

В итоге мы получаем следующее выражение:

  – обычное квадратное уравнение.

Решаем получившееся уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

Как мы помним  , не является конечным решением уравнения. Возвращаемся к изначальной переменной:

 

Приводя к общему знаменателю  , мы приходим к совокупности 2-x квадратных уравнений:

Попробуй решить все с начала до конца самостоятельно.

 

Какой ответ у тебя получился? У меня   и  .

Сравним ход решения:

 

Замена многочлена

Замена многочлена   или  . Здесь   - многочлена степени  , например, выражение   – многочлен степени  .

Допустим, у нас есть пример:

 

Применим метод замены переменной. Как ты думаешь, что нужно принять за  ? Правильно,  .

Уравнение приобретает вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Производим обратную замену переменных:

 

 

Решим первое уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

Решим второе уравнение:

 

Подведем итоги.

Метод замены переменной имеет   основных типа замен переменных в уравнениях и неравенствах:

1. Степенная замена, когда за   мы принимаем какое-то неизвестное, возведенное в степень.

2. Замена многочлена, когда за   мы принимаем целое выражение, содержащее неизвестное.

3. Дробно-рациональная замена, когда за   мы принимаем какое-либо отношение, содержащее неизвестную переменную.

Важные советы при введении новой переменной:

1. Замену переменных нужно делать сразу, при первой же возможности.

2. Уравнение относительно новой переменно нужно решать до конца и лишь затем возвращаться к старому неизвестному.

3. При возврате к изначальному неизвестному (да и вообще на протяжении всего решения), не забывай проверять корни на ОДЗ.

Новая переменная вводится аналогичным образом, как в уравнениях, так и в неравенствах.

Тренировка.

Задачи:

1.  

2.  

3.  

Ответы:

ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ.

Замена переменных – это введение нового неизвестного, относительно которого уравнение или неравенство имеет более простой вид.

Перечислю основные типы замен.

Степенная замена  .

Например, с помощью замены   биквадратное уравнение   приводится к квадратному:  .

В неравенствах все аналогично. Например, в неравенстве   сделаем замену  , и получим квадратное неравенство:  .

Пример (реши самостоятельно):

 

Решение:

Замена многочлена   или  .

Здесь   − многочлен степени  , т.е. выражение вида

 

(например, выражение   – многочлен степени  , то есть  ).

Чаще всего используется замена квадратного трехчлена:   или  .

Пример:

Решите уравнение  .

Решение:

Дробно-рациональная замена  .

  и   − многочлены степеней   и   соответственно.

Например, при решении возвратных уравнений, то есть уравнений вида

 ,

обычно используется замена  .

Сейчас покажу, как это работает.

Легко проверить, что   не является корнем этого уравнения: ведь если подставить   в уравнение, получим  , что противоречит условию.

Разделим уравнение на  :

 .

Перегруппируем:

 .

Теперь делаем замену:  .

Прелесть ее в том, что при возведении в квадрат в удвоенном произведении слагаемых сокращается x:

 

Отсюда следует, что  .

Вернемся к нашему уравнению:

 

Теперь достаточно решить квадратное уравнение и сделать обратную замену.

Пример:

Решите уравнение:  .

Решение:

 

Еще пример:

Решите неравенство  .

Решение:

Замена переменных – один из важнейших методов решения уравнений и неравенств.

Напоследок дам тебе пару важных советов:

  1. Замену переменных нужно делать сразу и при первой же возможности.
  2. Уравнение (неравенство) относительно новой переменно необходимо решать до конца, и лишь затем возвращаться к старому неизвестному.

Успехов!

ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ.

Замена переменных - метод решения сложных уравнений и неравенств, который позволяет упростить исходное выражение и привести его к стандартному виду.

Виды замены переменной:

  1. Степенная замена: за   принимается какое-то неизвестное, возведенное в степень -  .
  2. Дробно-рациональная замена: за   принимается какое-либо отношение, содержащее неизвестную переменную -  , где   и   - многочлены степеней n и m, соответственно.
  3. Замена многочлена: за   принимается целое выражение, содержащее неизвестное -   или  , где   - многочлен степени  .

После решения упрощенного уравнения/неравенства, необходимо произвести обратную замену.

P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ :)

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.  

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.  

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

  1. Открой  доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - Купить статью - 299 руб
  2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 899 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Удачи!

Комментарии

Игорь
03 июля 2018

Подскажите как в первом примере "Дробно-рациональная замена" после слов: "Правильно. Разница между тем, что у нас в примере, и тем, что дает нам возведение в квадрат, заключается в удвоенном произведении слагаемых. Соответственно, его и следует вычесть, переписывая наш пример с переменной t \displaystyle tt." В уравнении выявилось число 6 ?

ответить

Алексей Шевчук
15 августа 2018

Игорь, в удвоенном произведении x на 3/x, то есть в выражении 2*x*3/x, переменная х сокращается, и остаются только числа 2*3=6.

ответить

Артемий
07 января 2019

В "Замена многочлена", "Решим второе уравнение:" написано 16−32=−26, а должно быть 16−32=−16

ответить

Алексей Шевчук
11 января 2019

Да, это ошибка, спасибо.

ответить

Женя
01 февраля 2019

Что делать,если замена переменной не имеет смысла??

ответить

Алексей Шевчук
07 февраля 2019

Женя, поясни, пожалуйста, в каком примере у тебя возникла эта проблема? Обычно, если обратная замена приводит к выражению, не имеющему смысла (например, деление на 0 или корень из отрицательного числа), мы отбрасываем полученный корень как сторонний.

ответить

Елена
20 мая 2019

В разделе "Степенная замена" в уравнении 3x^​6​​ −7x^​3​ +2=0 при замене x^3=t получаем квадратное уравнение: 3t^2-7t+2=0, а ниже, в разделе "Тренировка" в первом примере, в уравнении x^6-3x^3-4=0 при замене x^3=t получаем почему-то кубическое уравнение: t^3-3t-4=0. Как так получается?

ответить

Алексей Шевчук
22 мая 2019

Елена, спасибо, в "Тренировке" была опечатка.

ответить

Елена
20 мая 2019

В среднем уровне во втором примере (x^​2​​ +5x+9)(x^​2​​ +5x+10)=12 в итоге получается уравнение x^2+5x+6=0 и корни в нем должны быть -2, -3

ответить

Алексей Шевчук
22 мая 2019

Елена, спасибо, ошибку исправил.

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем тебе доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб,

... или ко всем скрытым задачам во всех 99 статьях учебника - 899 руб.

Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

Хочу помочь YouClever - 299 руб
Хочу помочь YouClever - 899 руб.

Я уже зарегистрирован / оплатил

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть