Коротко о главном Начальный уровень

Призма. Начальный уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2018Пройти пробный ОГЭ 2018

1. Что такое призма?

Давай ответим сперва картинками:

Призмы

Смотри: у призмы сверху и снизу два одинаковых многоугольника – они называются основаниями. Остальные грани называются боковыми. Плоскости оснований параллельный. Боковые грани – параллелограммы.

Рисуем ещё раз:

Призма. Основание и грани.

А теперь: рёбра. Смотри: бывают рёбра основания и боковые рёбра.

Призма. Ребра.

Важно знать, что:

все боковые рёбра призмы равны и параллельны.

Если в основании призмы лежит треугольник, то призма называется треугольной, если четырёхугольник, то – четырёхугольной и так далее: бывают и десятиугольные, и двадцатиугольные призмы, но , к счастью, не в твоих задачах. А у тебя будут встречаться чаще всего треугольные, четырёхугольные и шестиугольные призмы.

2. Высота призмы

Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.

Призма. Высота.

И ясно даже (а тебе?), что та же самая высота получится, если опустить перпендикуляр из любой точки на верхней плоскости.

3. Прямая призма

Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, то призма называется прямой.

Правильная призма.

У прямой призмы:

  • все боковые грани прямоугольники;
  • все сечения проходящие через боковые рёбра – прямоугольники;
  • и даже сечения, проходящие только через одно боковое ребро - прямоугольники.
У прямой призмы высота совпадает с боковым ребром.

4. Правильная призма

Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, а в основании лежит правильный многоугольник, то призма называется правильной.

То есть правильная призма – это прямая призма, у которой в основании правильный многоугольник. Тебе, скорее всего, может встретиться:

1) Правильнаятреугольная призма – в основании правильный треугольник, боковые грани – прямоугольники.

Правильная треугольная призма

2) Правильнаячетырёхугольнаяпризма – это ещё и разновидность прямоугольного параллелепипеда – в основании квадрат, боковые грани – прямоугольники.

Правильная четырёхугольная призма

3) Правильнаяшестиугольнаяпризма – в основании правильный шестиугольник, боковые грани – прямоугольники.

Правильная шестиугольная призма

Объём призмы

Главная формула объема призмы

 

  –площадь основания

  – высота

Объем призмы

Эта формула верна для любой призмы, но если призма прямая, то   «превращается» в боковое ребро. И тогда

 

– то же самое, что

 

Объем призмы 2

Необычная формула объёма призмы

Представь себе, есть ещё одна, «перевёрнутая» формула для объёма призмы .

 

  - площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,

  - длина бокового ребра.

Объем призмы 3

Используется ли эта формула в задачах? Честно говоря, довольно редко, так что можешь ограничиться знанием основной формулы объёма.

Давай теперь для упражнения посчитаем объём самых популярных призм.

Правильная треугольная призма

Пусть дано, что сторона основания равна  , а боковое ребро равно  .

Правильная треугольная призма

Найдём объём:

 

Вспомним, как находить площадь правильного треугольника

Площадь правильного треугольника

 

 

 

Подставляем в формулу объёма:

 .

Правильная четырёхугольная призма

Опять дано: сторона основания равна  , боковое ребро равно  .

Правильная четырёхугольная призма

 

Ну, площадь квадрата долго искать не надо:

 

Значит,  .

Правильная шестиугольная призма

 

Правильная шестиугольная призма

Что же такое  ? Как найти?

Смотри: шестиугольник   состоит из шести одинаковых правильных треугольников.

Шестиугольник

Значит:  

Ну и теперь  .

Площадь поверхности призмы

Площадь боковой поверхности призмы – сумма площадей всех боковых граней.

Есть ли общая формула? Нет, в общем случае нет. Просто нужно искать площади боковых граней и суммировать их.

Призма 2

Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.

 

Поверхность призмы

Формулу можно написать для прямой призмы:

 , где   - периметр основания.

Призма. Периметр основания.

 .

Но всё-таки гораздо проще в каждом конкретном случае сложить все площади, чем запоминать дополнительные формулы. Для примера посчитаем полную поверхность правильной шестиугольной призмы.

Пусть сторона основания равна  , а боковое ребро равно  .

Сторона и боковое ребро призмы.

 

Все боковые грани – прямоугольники. Значит  .

  - это уже выводили при подсчёте объёма.

Итак, получаем:

 .