8 июля

1 comments

Трапеция. Иллюстрированный гид (ЕГЭ – 2021)

Привет!

Перед тобой лучший гид по трапеции! Только то, что нужно. Без воды. 

Основные определения, формулы и свойства.

Помни о своей цели! 

Тебе нужно подготовиться к ЕГЭ по математике так, чтобы поступить в ВУЗ мечты! Будь уверен!

Приступим!

НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Что такое трапеция?

Определение трапеции

Трапеция – такой четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет.

Параллельные стороны называются – основания, а непараллельные стороны называются боковые стороны.

Вот, смотри:

Оказывается, трапеция (как и треугольник) бывает равнобедренная.

Если боковые стороны трапеции равны, то она называется равнобедренной (или равнобокой).

И тут возникает вопрос: а могут ли у трапеции быть равными ОСНОВАНИЯ?

А вот и нет. Тогда это получится не трапеция, а параллелограмм, потому что две стороны окажутся параллельны и равны (вспоминаем признаки параллелограмма)

Свойства трапеции

Итак, что ты должен знать о свойствах трапеции...

Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°.
(у нас на рисунке \( \displaystyle \angle 1+\angle 2=180{}^\circ \) и \( \displaystyle \angle 3+\angle 4=180{}^\circ \))

Почему так? Ну, конечно, просто потому, что основания – параллельны, а боковая сторона – секущая. Вот и получается, что \( \displaystyle \angle 1\) и \( \displaystyle \angle 2\) – внутренние односторонние углы при параллельных \( \displaystyle AD\) и \( \displaystyle BC\) и секущей \( \displaystyle AB\). Поэтому \( \displaystyle \angle 1+\angle 2=180{}^\circ \). И точно так же \( \displaystyle \angle 3\) и \( \displaystyle \angle 4\) – внутренние односторонние углы при тех же параллельных \( \displaystyle AD\) и \( \displaystyle BC\), но секущая теперь – \( \displaystyle CD\).

Видишь: главное, что играет роль – это параллельность оснований. Давай разберем еще некоторые свойства трапеции.

Как у всякого четырехугольника, у трапеции есть диагонали. Их две – посмотри на рисунки:

Снова порассуждаем об углах:

Опять \( \displaystyle AD\) и \( \displaystyle BC\) – параллельные, а диагональ \( \displaystyle AC\) – секущая. Поэтому \( \displaystyle \angle 1=\angle 2\).

А теперь рассмотрим сразу 2 диагонали и 4 угла:

\( \displaystyle \angle 1=\angle 2\)

\( \displaystyle \angle 3=\angle 4\)

Что из этого может следовать?

Очень важный факт:

Треугольники \( \displaystyle BOC\) и \( \displaystyle AOD\) – подобны по двум углам.
Их коэффициент подобия равен отношению оснований: \( \displaystyle K=\frac{a}{b}\).

Средняя линия трапеции

Для начала – что же такое средняя линия трапеции?

Средняя линия трапеции это отрезок, который соединяет середины боковых сторон трапеции.

Оказывается, длину этой средней линии можно выразить через длины оснований трапеции. А именно, имеет место такая формула:

\( \displaystyle m=\frac{a+b}{2}\), то есть:

Длина средней линии трапеции равна полусумме (то есть половине суммы) длин оснований.

А ещё:

Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям.

Трапеция, вписанная в окружность

Даже если ты ещё не изучал темы «Окружность. Вписанный угол» и «Вписанный четырехугольник», тебе будет полезно (и, надеюсь, интересно) узнать следующий удивительный факт:

Если трапецию можно вписать в окружность, то она – равнобокая.

Доказывать это мы не будем (здесь, во всяком случае), а вот запомнить хорошо бы – пригодится!

Подведём итог – он короткий.
Самое важное, что есть в трапеции – две параллельные стороны и BCE свойства трапеции именно этим и определяются.

Так что, если у тебя в задаче трапеция, – используй параллельность и всё получится!

Определение трапеции

Трапеция – такой четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет.

Параллельные стороны называются основаниями, а непараллельные – боковыми сторонами.

Если боковые стороны трапеции равны, то она называется равнобедренной (или равнобокой).

Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°.
(у нас на рисунке \( \displaystyle \angle 1+\angle 2=180{}^\circ \) и \( \displaystyle \angle 3+\angle 4=180{}^\circ \))

Почему? \( \displaystyle AD\) и \( \displaystyle BC\) – параллельны, а \( \displaystyle AB\) и \( \displaystyle CD\) – секущие, поэтому:

  • \( \angle 1+\angle 2=180{}^\circ \);
  • \( \angle 3+\angle 4=180{}^\circ \).

Треугольники \( \displaystyle BOC\) и \( \displaystyle AOD\) подобны по двум углам.
(\( \displaystyle \angle 1=\angle 2\) и \( \displaystyle \angle 3=\angle 4\) – как накрест лежащие)

Коэффициент подобия треугольников \( \displaystyle BOC\) и \( \displaystyle AOD\) равен отношению оснований:

\( K=\frac{a}{b}\)

Сначала сформулируем основное определение, которое тебе нужно знать для понимания этого свойства трапеции:

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

А теперь формула:

\( m=\frac{a+b}{2}\)

А вот и само третье свойство трапеции:

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им.

А это почему? Ту чуть – чуть сложнее – потребуется провести аж одну лишнюю линию!

Итак, проведём \( \displaystyle CE\parallel AB\). Тогда четырехугольник \( \displaystyle ABCE\) – параллелограмм.

Возьмём середину \( \displaystyle M\) стороны \( \displaystyle AB\) и середину \( \displaystyle K\) стороны \( \displaystyle CE\).

Оба: \( \displaystyle MBCK\) и \( \displaystyle AMKE\) – снова параллелограммы (\( \displaystyle MB\parallel CK\) и \( \displaystyle MB=CK\); \( \displaystyle AM\parallel KE\) и \( \displaystyle AM=KE\)).

Ну вот, значит \( \displaystyle MK\parallel AD\), да ещё \( \displaystyle MK=BC=a\).

Поедем дальше.

Проведём \( \displaystyle KN\) – среднюю линию в \( \displaystyle \Delta ECD\).

Знаем, что \( \displaystyle KN\parallel ED\) и \( KN=\frac{1}{2}ED\)

Что же из всего этого следует?

  • \( \displaystyle MN\parallel AD\) (так как через точку \( \displaystyle K\) можно провести лишь одну прямую параллельную \( \displaystyle AD\), поэтому \( \displaystyle MK\) и \( \displaystyle KN\) – одна прямая \( \displaystyle MN\))
  • \( \displaystyle MN=MK+KN=a+\frac{b-a}{2}\)
    \( \displaystyle MN=\frac{a+b}{2}\)

Вот и доказали!

Если трапеция вписана в окружность, то она равнобокая.

Почему? Подробнее смотри в теме «Вписанный четырехугольник», а тут – двумя строчками:

\( \angle 1+\angle 2=180{}^\circ \) (трапеция же!)

\( \angle 3+\angle 2=180{}^\circ \) (вписанный четырехугольник)

\( \Rightarrow \angle 1=\angle 3\). Ну, и так же \( \angle 2=\angle 4\).

В любой трапеции следующие четыре точки лежат на одной прямой:

  • \( \displaystyle E\) – точка пересечения продолжений боковых сторон;
  • \( \displaystyle F\) и \( \displaystyle H\) – середины оснований;
  • \( \displaystyle G\) – точка пересечения диагоналей.

Эту теорему доказывать не будем – не пугайся.

Заметим только, что ВЕРНО и ОБРАТНОЕ:

Если в каком-нибудь четырехугольнике какие-нибудь три из перечисленных четырёх точек окажутся на одной прямой, то четырёхугольник этот – ТРАПЕЦИЯ.

Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции перпендикулярны. 

\( \left\{ \begin{array}{l}\angle 1+\angle 2+\angle 3+\angle 4=180{}^\circ \ -так\, как\, трапеция\\\angle 1=\angle 2\\\angle 3=\angle 4\ -так\, как\, биссектриса\end{array} \right.\Rightarrow 2\cdot \angle 2+2\cdot \angle 3=180{}^\circ \Rightarrow \)

\( \angle 2+\angle 3=90{}^\circ \Rightarrow \angle AEB\ =90{}^\circ \)

Здесь мы ещё раз увидим, как полезно в трапеции бывает провести линию, параллельную или боковой стороне, или диагонали – сразу появляется новый взгляд. Один раз мы уже так делали – в пункте про среднюю линию. А теперь ты узнал новый факт, который относительно часто встречается в задачах.

В трапеции с перпендикулярными диагоналями \( FH=\frac{AD+BC}{2}\)

Давай докажем! Это уже целая задача, которая вполне может попасться прямо на экзамене!

Ну вот, и ты теперь старайся с помощью новых знаний и методов решать задачки про трапецию – они обычно не слишком сложные. Главное, твёрдо помнить все свойства трапеции и не забывать о параллельности оснований и иногда (в задачах посложнее) бывает полезно провести что-то параллельное или соединить боковые стороны.

Проведём \( \displaystyle BK\parallel AC\) и \( \displaystyle BL\parallel FH\).

Обозначим \( \displaystyle BC=\text{ }a\); \( \displaystyle AD=b\).

Тогда:

  • \( \displaystyle \Delta KBD\) – прямоугольный
  • \( \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}LD=\frac{b}{2}+\frac{a}{2}=\frac{a+b}{2}\\LK=a+\frac{b}{2}-\frac{a}{2}=\frac{a+b}{2}\end{array} \right.\Rightarrow BL-медиана~в~\ \Delta KBD.\\\end{array}\)

Значит, \( BL=\frac{KD}{2}\) (медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине).

То есть \( BL=\frac{a+b}{2}\).

Но ведь \( \displaystyle FH=BL\) (так как \( \displaystyle BFHL\) - параллелограмм)\( \Rightarrow \) \( FH=\frac{a+b}{2}\).

Трапеция – четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (они называются основания), а две другие – нет (это боковые стороны).
  • Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°
  • \( \displaystyle \angle 1+\angle 2=180{}^\circ \) и \( \displaystyle \angle 3+\angle 4=180{}^\circ \)

Средняя линия трапеции (\( \displaystyle MN\)) – отрезок, соединяющий середины боковых сторон:

\( \displaystyle AM=MB,\ \ CN=ND\).

  • Средняя линия параллельна основаниям: \( \displaystyle MN\parallel BC\parallel AD\).
  • Длина средней линии трапеции равна полусумме длин оснований: \( \displaystyle MN=\frac{BC+AD}{2}\).
  • Диагонали любой трапеции пересекаются в точке О.
  • Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей
    (\( \displaystyle BOC\) и \( \displaystyle AOD\)) подобны по двум углам с коэффициентом подобия равным отношению оснований: \( \displaystyle k=\frac{BC}{AD}\).
  • Площади треугольников, образованных боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции, равны: \( \displaystyle {{S}_{\Delta AOB}}={{S}_{\Delta COD}}\).

Равнобедренная (равнобокая) трапеция – это трапеция, у которой боковые стороны равны:

\( \displaystyle AB=CD\).

Свойства равнобедренной трапеции:

  • диагонали равны: \( \displaystyle AC=BD\);
  • углы при основании равны: \( \displaystyle \angle A=\angle D,\text{ }\angle B=\angle C\);
  • сумма противолежащих углов равна \( \displaystyle 180{}^\circ \): \( \displaystyle \angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180{}^\circ \).
  • Если трапецию можно вписать в окружность, то она – равнобокая.
  • Стороны и диагональ равнобокой трапеции связаны соотношением: \( \displaystyle A{{C}^{2}}=B{{D}^{2}}=AD\cdot BC+A{{B}^{2}}\).
Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: \( \displaystyle {{S}_{ABCD}}=\frac{BC+AD}{2}\cdot h\).

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Скажи погромче!

Если умеешь решать задачи по свойствам трапеции об окружности и о сумме сторон, поздравляю, ты сделал шаг в олимпиадный уровень!

А еще задачи по этой теме встречаются особенно часто во второй части ОГЭ. 

Понравилась ли тебе статья? Все ли было понятно?

Если есть вопросы или предложения, пиши нам внизу в комментариях! А еще пиши, что думаешь о статье в целом 🙂

Мы читаем все и будем очень рады узнать.

Удачи!

  • Александр Кель:

    Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

    никита
    26 сентября 2018
    вау помогло все так кратко и понятно

    Дмитрий
    18 декабря 2019
    Очень помогает

    Нурдана
    18 февраля 2020
    Определить площадь трапеции, если ее основания равны 6см и 11см, одна из боковых сторон 4см, а сумма углов при нижнем основании равна 90*. Олимпиадная задача

    Алексей Шевчук
    19 февраля 2020
    Нурдана, в условии недостаточно данных. Сравни площади для случаев, если углы при основании равны 45 каждый и, например, если они 60 и 30 — площадь получится разная.

  • {"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
    >