Трапеция. Иллюстрированный гид

Перед тобой лучший гид по трапеции! Только то, что нужно. Без воды. 

Основные определения, формулы и свойства.

Помни о своей цели! 

Тебе нужно подготовиться к ЕГЭ по математике так, чтобы поступить в ВУЗ мечты!

Приступим?

Трапеция – коротко о главном

Что такое трапеция:

Трапеция – четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (они называются основания), а две другие – нет (это боковые стороны).

Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°

\( \displaystyle \angle 1+\angle 2=180{}^\circ \) и \( \displaystyle \angle 3+\angle 4=180{}^\circ \)

Средняя линия трапеции:

Средняя линия трапеции (\( \displaystyle MN\)) – отрезок, соединяющий середины боковых сторон: \( \displaystyle AM=MB,\ \ CN=ND\).

Средняя линия параллельна основаниям: \( \displaystyle MN\parallel BC\parallel AD\).

Длина средней линии трапеции равна полусумме длин оснований: \( \displaystyle MN=\frac{BC+AD}{2}\).

Диагонали трапеции:

Диагонали любой трапеции пересекаются в точке О.

Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей
(\( \displaystyle BOC\) и \( \displaystyle AOD\)) подобны по двум углам с коэффициентом подобия равным отношению оснований: \( \displaystyle k=\frac{BC}{AD}\).

Площади треугольников, образованных боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции, равны: \( \displaystyle {{S}_{\Delta AOB}}={{S}_{\Delta COD}}\).

Равнобедренная (равнобокая трапеция)

Равнобедренная (равнобокая) трапеция – это трапеция, у которой боковые стороны равны:  \( \displaystyle AB=CD\).

Свойства равнобедренной трапеции:

Диагонали равны: \( \displaystyle AC=BD\);

Углы при основании равны: \( \displaystyle \angle A=\angle D,\text{ }\angle B=\angle C\);

Сумма противолежащих углов равна \( \displaystyle 180{}^\circ \): \( \displaystyle \angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180{}^\circ \).

Стороны и диагональ равнобокой трапеции связаны соотношением: \( \displaystyle A{{C}^{2}}=B{{D}^{2}}=AD\cdot BC+A{{B}^{2}}\).

Если трапецию можно вписать в окружность…

Если трапецию можно вписать в окружность, то она – равнобокая.

Площадь трапеции

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: \( \displaystyle {{S}_{ABCD}}=\frac{BC+AD}{2}\cdot h\).

Для справки: В нашем учебнике для подготовки к ЕГЭ по математике есть все темы планиметрии и стереометрии (да и алгебры тоже есть).

Что такое трапеция?

Трапеция – такой четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет.

Определение трапеции

Параллельные стороны называются – основания, а непараллельные стороны называются боковые стороны.

Вот, смотри:

Оказывается, трапеция (как и треугольник) бывает равнобедренная.

Если боковые стороны трапеции равныто она называется равнобедренной (или равнобокой).

И тут возникает вопрос: а могут ли у трапеции быть равными ОСНОВАНИЯ?

А вот и нет. Тогда это получится не трапеция, а параллелограмм, потому что две стороны окажутся параллельны и равны (вспоминаем признаки параллелограмма)

Свойства трапеции

Итак, что ты должен знать о свойствах трапеции…

Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°. (у нас на рисунке \( \displaystyle \angle 1+\angle 2=180{}^\circ \) и \( \displaystyle \angle 3+\angle 4=180{}^\circ \))

Почему так?

Ну, конечно, просто потому, что основания – параллельны, а боковая сторона – секущая.

Вот и получается, что \( \displaystyle \angle 1\) и \( \displaystyle \angle 2\) – внутренние односторонние углы при параллельных \( \displaystyle AD\) и \( \displaystyle BC\) и секущей \( \displaystyle AB\).

Поэтому \( \displaystyle \angle 1+\angle 2=180{}^\circ \).

И точно так же \( \displaystyle \angle 3\) и \( \displaystyle \angle 4\) – внутренние односторонние углы при тех же параллельных \( \displaystyle AD\) и \( \displaystyle BC\), но секущая теперь – \( \displaystyle CD\).

Видишь: главное, что играет роль – это параллельность оснований. Давай разберем еще некоторые свойства трапеции.

Как у всякого четырехугольника, у трапеции есть диагонали. Их две – посмотри на рисунки:

Снова порассуждаем об углах:

Опять \( \displaystyle AD\) и \( \displaystyle BC\) – параллельные, а диагональ \( \displaystyle AC\) – секущая. Поэтому \( \displaystyle \angle 1=\angle 2\).

А теперь рассмотрим сразу 2 диагонали и 4 угла:

\( \displaystyle \angle 1=\angle 2\) \( \displaystyle \angle 3=\angle 4\)

Что из этого может следовать?

Очень важный факт:

Треугольники \( \displaystyle BOC\) и \( \displaystyle AOD\) – подобны по двум углам.
Их коэффициент подобия равен отношению оснований: \( \displaystyle K=\frac{a}{b}\).

Средняя линия трапеции

Для начала – что же такое средняя линия трапеции?

Средняя линия трапеции –это отрезок, который соединяет середины боковых сторон трапеции.

Оказывается, длину этой средней линии можно выразить через длины оснований трапеции. А именно, имеет место такая формула:

\( \displaystyle m=\frac{a+b}{2}\), то есть:

Длина средней линии трапеции равна полусумме (то есть половине суммы) длин оснований.

А еще…

Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям.

Трапеция, вписанная в окружность

Даже если ты ещё не изучал темы «Окружность. Вписанный угол» и «Вписанный четырехугольник», тебе будет полезно (и, надеюсь, интересно) узнать следующий удивительный факт:

Если трапецию можно вписать в окружность, то она – равнобокая.

Доказывать это мы не будем (здесь, во всяком случае), а вот запомнить хорошо бы – пригодится!

Подведём итог – он короткий.
Самое важное, что есть в трапеции – две параллельные стороны и BCE свойства трапеции именно этим и определяются.

Так что, если у тебя в задаче трапеция, – используй параллельность и всё получится!

7 свойств трапеции

1-е свойство трапеции

Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°.
(у нас на рисунке \( \displaystyle \angle 1+\angle 2=180{}^\circ \) и \( \displaystyle \angle 3+\angle 4=180{}^\circ \))

Почему? \( \displaystyle AD\) и \( \displaystyle BC\) – параллельны, а \( \displaystyle AB\) и \( \displaystyle CD\) – секущие, поэтому:

  • \( \angle 1+\angle 2=180{}^\circ \);
  • \( \angle 3+\angle 4=180{}^\circ \).

2-е свойство трапеции

Треугольники \( \displaystyle BOC\) и \( \displaystyle AOD\) подобны по двум углам.
(\( \displaystyle \angle 1=\angle 2\) и \( \displaystyle \angle 3=\angle 4\) – как накрест лежащие)

Коэффициент подобия треугольников \( \displaystyle BOC\) и \( \displaystyle AOD\) равен отношению оснований:

\( K=\frac{a}{b}\)

3-е свойство трапеции

Сначала сформулируем основное определение, которое тебе нужно знать для понимания этого свойства трапеции:

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

А теперь формула:

\( m=\frac{a+b}{2}\)

А вот и само третье свойство трапеции:

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им.

А это почему? Ту чуть – чуть сложнее – потребуется провести аж одну лишнюю линию!

Итак, проведём \( \displaystyle CE\parallel AB\). Тогда четырехугольник \( \displaystyle ABCE\) – параллелограмм. 

Возьмём середину \( \displaystyle M\) стороны \( \displaystyle AB\) и середину \( \displaystyle K\) стороны \( \displaystyle CE\). 

Оба: \( \displaystyle MBCK\) и \( \displaystyle AMKE\) – снова параллелограммы (\( \displaystyle MB\parallel CK\) и \( \displaystyle MB=CK\); \( \displaystyle AM\parallel KE\) и \( \displaystyle AM=KE\)). 

Ну вот, значит \( \displaystyle MK\parallel AD\), да ещё \( \displaystyle MK=BC=a\).

Поедем дальше.

Проведём \( \displaystyle KN\) – среднюю линию в \( \displaystyle \Delta ECD\).

Знаем, что \( \displaystyle KN\parallel ED\) и \( KN=\frac{1}{2}ED\)

Что же из всего этого следует?

\( \displaystyle MN\parallel AD\) (так как через точку \( \displaystyle K\) можно провести лишь одну прямую параллельную \( \displaystyle AD\), поэтому \( \displaystyle MK\) и \( \displaystyle KN\) – одна прямая \( \displaystyle MN\))

\( \displaystyle MN=MK+KN=a+\frac{b-a}{2}\)
\( \displaystyle MN=\frac{a+b}{2}\)

Вот и доказали!

4-е свойство трапеции

Если трапеция вписана в окружность, то она равнобокая.

Почему?

Подробнее смотри в теме «Вписанный четырехугольник», а тут – двумя строчками:

\( \angle 1+\angle 2=180{}^\circ \) (трапеция же!)

\( \angle 3+\angle 2=180{}^\circ \) (вписанный четырехугольник)

\( \Rightarrow \angle 1=\angle 3\). Ну, и так же \( \angle 2=\angle 4\).

5-е свойство трапеции

В любой трапеции следующие четыре точки лежат на одной прямой:

  • \( \displaystyle F\) и \( \displaystyle H\) – середины оснований
  • \( \displaystyle E\) – точка пересечения продолжений боковых сторон;
  • \( \displaystyle G\) – точка пересечения диагоналей.

Эту теорему доказывать не будем – не пугайся. Заметим только, что ВЕРНО и ОБРАТНОЕ:

Если в каком-нибудь четырехугольнике какие-нибудь три из перечисленных четырёх точек окажутся на одной прямой, то четырёхугольник этот – ТРАПЕЦИЯ.

6-е свойство трапеции

Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции перпендикулярны. 

\( \left\{ \begin{array}{l}\angle 1+\angle 2+\angle 3+\angle 4=180{}^\circ \ -так\, как\, трапеция\\\angle 1=\angle 2\\\angle 3=\angle 4\ -так\, как\, биссектриса\end{array} \right.\Rightarrow 2\cdot \angle 2+2\cdot \angle 3=180{}^\circ \Rightarrow \) \( \angle 2+\angle 3=90{}^\circ \Rightarrow \angle AEB\ =90{}^\circ \)

7-е свойство трапеции

Здесь мы ещё раз увидим, как полезно в трапеции бывает провести линию, параллельную или боковой стороне, или диагонали – сразу появляется новый взгляд.

Один раз мы уже так делали – в пункте про среднюю линию. А теперь ты узнал новый факт, который относительно часто встречается в задачах.

В трапеции с перпендикулярными диагоналями \( FH=\frac{AD+BC}{2}\)

Давай докажем! Это уже целая задача, которая вполне может попасться прямо на ЕГЭ!

Ну вот, и ты теперь старайся с помощью новых знаний и методов решать задачки про трапецию – они обычно не слишком сложные.

Главное, твёрдо помнить все свойства трапеции и не забывать о параллельности оснований и иногда (в задачах посложнее) бывает полезно провести что-то параллельное или соединить боковые стороны.

Доказательство седьмого свойства трапеции

Проведём \( \displaystyle BK\parallel AC\) и \( \displaystyle BL\parallel FH\).

Обозначим \( \displaystyle BC=\text{ }a\); \( \displaystyle AD=b\).

Тогда:

  • \( \displaystyle \Delta KBD\) – прямоугольный
  • \( \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}LD=\frac{b}{2}+\frac{a}{2}=\frac{a+b}{2}\\LK=a+\frac{b}{2}-\frac{a}{2}=\frac{a+b}{2}\end{array} \right.\Rightarrow BL-медиана~в~\ \Delta KBD.\\\end{array}\)

Значит, \( BL=\frac{KD}{2}\) (медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине).

То есть \( BL=\frac{a+b}{2}\).

Но ведь \( \displaystyle FH=BL\) (так как \( \displaystyle BFHL\) – параллелограмм)\( \Rightarrow \) \( FH=\frac{a+b}{2}\).

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

К ЕГЭ можно подготовиться абсолютно бесплатно. У нас на сайте полно качественных материалов. Но вы должны знать что вы делаете. 

  • У вас должен быть план, чтобы вы шли от простого к сложному и не «захлебнулись». 
  • Вас должен кто-то проверять и указывать короткий путь, чтобы вы не теряли время.
  • Вас должен кто-то мотивировать, чтобы вы не бросили все.

Если у вас с этим сложности, приходите к нам.

И если вам нужен действительно высокий балл, приходите на наши курсы: 

Мы качественно готовим к ЕГЭ даже тех, у кого «нет способностей».

Скажи…

Если умеешь решать задачи по свойствам трапеции об окружности и о сумме сторон, поздравляю, ты сделал шаг в олимпиадный уровень! )

А еще задачи по этой теме встречаются особенно часто во второй части ОГЭ. 

Понравилась ли тебе статья? Все ли было понятно?

Если есть вопросы или предложения, пиши нам внизу в комментариях! А еще пиши, что думаешь о статье в целом 🙂

Мы читаем все и будем очень рады узнать.

Удачи!

Поделитесь в социальных сетях:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Один комментарий

  1. Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

    никита
    26 сентября 2018
    вау помогло все так кратко и понятно

    Дмитрий
    18 декабря 2019
    Очень помогает

    Нурдана
    18 февраля 2020
    Определить площадь трапеции, если ее основания равны 6см и 11см, одна из боковых сторон 4см, а сумма углов при нижнем основании равна 90*. Олимпиадная задача

    Алексей Шевчук
    19 февраля 2020
    Нурдана, в условии недостаточно данных. Сравни площади для случаев, если углы при основании равны 45 каждый и, например, если они 60 и 30 – площадь получится разная.