Пирамида (Разбор задания №14 из ЕГЭ по профильной математике)

Итак. Стереометрия. Пирамида.

Разбор задачи №14 из пробного ЕГЭ 2020 на нашем канале YouTube и визуальный гид по пирамиде в этой статье.

Сложно?

Нет не очень. Для решения ЛЮБОЙ задачи из ЕГЭ по стереометрии нужно:

  • научиться рисовать объемные фигуры (хороший рисунок - залог правильного решения)
  • знать несложные базовые теоремы
  • уметь их доказывать
  • уметь записывать доказательство.

Все. 

Посмотри видео и теорию и ты будешь знать о пирамидах все (и заодно поймешь как решать задание №14 из продвинутой стереометрии!)

ЕГЭ 14. Стереометрия. Пирамида. Разбор варианта профильного ЕГЭ 2020

Вот что мы здесь разобрали на этом видео и на что надо обратить внимание:

  • 00:00 Условие задачи
  • 00:25 Как нарисовать шестиугольную пирамиду
  • 05:52 Как правильно подписать вершины пирамиды
  • 06:24 Как исправить рисунок, если грани пирамиды сливаются
  • 10:18 Доказательство пункта А
  • 14:13 Запись доказательства пункта А
  • 18:50 Доказательство (решение) пункта Б (Найти объем пирамиды)
  • 23:45 Запись доказательства (решения) пункта Б
  • 26:08 Найдем площадь основания пирамиды (чтобы найти объем) и запишем решение 
  • 29:18 Нахождение объема пирамиды
  • 29:59 На что рекомендуем обратить внимание  

Всему этому мы учим на наших курсах по стереометрии:

https://youclever.org/product/math-stereometry/  - ЕГЭ №8. Стереометрия - основы (1 первичный балл на ЕГЭ)

https://youclever.org/product/math-stereometry-2/  - ЕГЭ №14. Стереометрия - продвинутый курс (3 первичных балла на ЕГЭ)

А полный курс подготовки к ЕГЭ по математике с Алексеем Шевчуком здесь:

https://youclever.org/prices-math-repetitor-d/  - Подготовка к ЕГЭ по математике с Алексеем Шевчуком (полный курс)

Курс - это вебинары 3 раза в неделю, проверка домашних работ, ответы репетитора на ваши вопросы в закрытой группе вконтакте. Фишка курса - марафон "Год за месяц". В мае мы повторяем всю программу, занимаясь ежедневно!

Пирамида – это многогранник, который состоит из любого плоского многоугольника (основание пирамиды), точки, не лежащей в плоскости основания, (вершина пирамиды) и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.

Треугольники, в которые "сливаются" эти отрезки, называются боковыми гранями, а отрезки, проведённые к вершинам основания - это боковые ребра.

Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.
Правильная пирамида - пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр основания.

Свойства правильной пирамиды:

  • В правильной пирамиде все боковые рёбра равны.
  • Все боковые грани – равнобедренные треугольники и все эти треугольники равны.

Объем пирамиды:

\( \displaystyle V=\frac{1}{3}{{S}_{osn}}\cdot H\)

Как она выглядит?

Вместо того, чтобы читать длинное определение, достаточно просто посмотреть на картинку:

Видишь: у пирамиды внизу (говорят «в основании») какой-нибудь многоугольник, и все вершины этого многоугольника соединены с некоторой точкой в пространстве (эта точка называется «вершина»).

У всей этой конструкции ещё есть боковые грани, боковые рёбра и рёбра основания.

Ещё раз нарисуем пирамиду вместе со всеми этими названиями:

Некоторые пирамиды могут выглядеть очень странно, но всё равно это – пирамиды.

Вот, например, совсем «косая» пирамида.

И ещё немного о названиях: если в основании пирамиды лежит треугольник, то пирамида называется треугольной, если четырёхугольник, то четырёхугольной, а если стоугольник, то … догадайся сам.


Высота пирамидыперпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

При этом точка, куда oпустилась высота, называется основанием высоты. Обрати внимание, что в «кривых» пирамидах высота может вообще оказаться вне пирамиды. Вот так:

И ничего в этом страшного нет. Похоже на тупоугольный треугольник.

Правильной называется такая пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр основания.

Много сложный слов?

Давай расшифруем: «В основании – правильный многоугольник» - это понятно.

А теперь вспомним, что у правильного многоугольника есть центр – точка, являющаяся центром и вписанной, и описанной окружности.

Ну вот, а слова «вершина проецируется в центр основания» означают, что основание высоты попадает как раз в центр основания. Смотри, как ровненько и симпатично выглядит правильная пирамида.

Шестиугольная правильная пирамида

В основании – правильный шестиугольник, вершина \( \displaystyle S\) проецируется в центр основания.

Четырехугольная правильная пирамида

В основании – квадрат, вершина \( \displaystyle S\) проецируется в точку пересечения диагоналей этого квадрата.

Треугольная правильная пирамида

В основании – правильный треугольник, вершина \( \displaystyle S\) проецируется в точку пересечения высот (они же и медианы, и биссектрисы) этого треугольника.

Очень важные свойства правильной пирамиды

В правильной пирамиде:

  • все боковые рёбра равны;
  • все боковые грани – равнобедренные треугольники и все эти треугольники равны.


Главная формула объема пирамиды

\( \displaystyle \Large V=\frac{1}{3}{{S}_{осн}}\cdot H\)

Откуда взялась именно \( \displaystyle \frac{1}{3}\)?

Это не так уж просто, и на первых порах нужно просто запомнить, что у пирамиды и конуса в формуле объема есть \( \displaystyle \frac{1}{3}\), а у цилиндра – нет.

Теперь давай посчитаем объем самых популярных пирамид.

Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро равно \( \displaystyle b\). Нужно найти \( \displaystyle {{S}_{осн}}\) и \( \displaystyle H\).

\( \displaystyle {{S}_{осн}}\) – это площадь правильного треугольника \( \displaystyle ABC\).

Вспомним, как искать эту площадь.

Используем формулу площади:

\( \displaystyle S=\frac{1}{2}ab\cdot \sin \gamma \)

У нас «\( \displaystyle a\)» – это \( \displaystyle a\), а «\( \displaystyle b\)» - это тоже \( \displaystyle a\), а \( \displaystyle \sin \gamma =\sin 60{}^\circ =\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Значит, \( \displaystyle {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}{{a}^{2}}\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\).

Теперь найдем \( \displaystyle H\).

По теореме Пифагора для \( \displaystyle \Delta SOC\)

\( \displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-O{{C}^{2}}\)

Чему же равно \( \displaystyle OC\)? Это радиус описанной окружности в \( \displaystyle \Delta ABC\), потому что пирамида правильная и, значит, \( \displaystyle O\) - центр \( \displaystyle \Delta ABC\)

Найдем \( \displaystyle OC\) (Подробнее смотри в теме «Правильный треугольник»).

\( \displaystyle OC=\frac{2}{3}CK\), так как \( \displaystyle O\) - точка пересечения и медиан тоже.

\( \displaystyle C{{K}^{2}}=A{{C}^{2}}-A{{K}^{2}}\) (теорема Пифагора для \( \displaystyle \Delta ACK\))

\( \displaystyle C{{K}^{2}}-{{a}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{4}=\frac{3{{a}^{2}}}{4}\); \( \displaystyle CK=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Значит, \( \displaystyle OC=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)

Подставим \( \displaystyle OC\) в формулу для \( \displaystyle H\).

\( \displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-O{{C}^{2}}={{b}^{2}}-{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}={{b}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{3}\)

И подставим все в формулу объема:

\( \displaystyle V=\frac{1}{3}{{S}_{ABC}}\cdot H=\frac{1}{3}\cdot \frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\cdot \sqrt{{{b}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{3}}\)

\( \displaystyle V=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{12}\sqrt{{{b}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{3}}\).

Внимание: если у тебя правильный тетраэдр (т.е. \( \displaystyle b=a\)), то формула получается такой:

\( \displaystyle V=\frac{{{a}^{3}}}{6\sqrt{2}}\).

Объем правильной четырехугольной пирамиды

Хотите читать учебник без ограничений? Зарегистрируйтесь:

Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро равно \( \displaystyle b\).

\( \displaystyle V=\frac{1}{3}{{S}_{OCH}}H\).

Здесь \( \displaystyle {{S}_{OCH}}\) и искать не нужно; ведь в основании – квадрат, и поэтому \( \displaystyle {{S}_{OCH}}={{a}^{2}}\).

Найдем \( \displaystyle H\). По теореме Пифагора для \( \displaystyle \Delta SOD\)

\( \displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-O{{D}^{2}}\)

Известно ли нам \( \displaystyle OD\)? Ну, почти. Смотри:

\( \displaystyle OD=a\cdot \cos 45{}^\circ =\frac{a}{\sqrt{2}}\) (это мы увидели, рассмотрев \( \displaystyle \Delta COD\))

Подставляем \( \displaystyle OD\) в формулу для \( \displaystyle H\):

\( \displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{2}\)

\( \displaystyle H=\sqrt{{{b}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{2}}\)

А теперь и \( \displaystyle H\) и \( \displaystyle {{S}_{OCH}}\) подставляем в формулу объема.

\( \displaystyle V=\frac{1}{3}{{S}_{OCH}}\cdot H=\frac{1}{3}{{a}^{2}}\sqrt{{{b}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{2}}\).

Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро \( \displaystyle b\).

\( \displaystyle V=\frac{1}{3}{{S}_{OCH}}\cdot H\)

Как найти \( \displaystyle {{S}_{OCH}}\)? Смотри, шестиугольник \( \displaystyle ABCDEF\) состоит ровно из шести одинаковых правильных треугольников. Площадь правильного треугольника мы уже искали при подсчете объема правильной треугольной пирамиды, здесь используем найденную формулу.

\( \displaystyle {{S}_{ABCDEF}}=6\cdot {{S}_{AOF}}=6\cdot \frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}\)

Теперь найдем \( \displaystyle H\) (это \( \displaystyle SO\)).

По теореме Пифагора для \( \displaystyle \Delta SOE\)

\( \displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-OE\)?

Но чему же равно \( \displaystyle OE\)? Это просто \( \displaystyle a\), потому что \( \displaystyle \Delta EOF\) (и все остальные тоже) правильный.

Значит,

\( \displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-{{a}^{2}}\)

\( \displaystyle H=\sqrt{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}\)

Подставляем:

\( \displaystyle V=\frac{1}{3}{{S}_{OSN}}\cdot H=\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}\cdot \sqrt{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}\)

\(\displaystyle V=\frac{\sqrt{3}}{2}{{a}^{2}}\sqrt{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}\)

МАРАФОН "ГОД ЗА МЕСЯЦ" - ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ, ИНФОРМАТИКЕ И ФИЗИКЕ

{"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
>