8 июля

1 comments

Все, что нужно знать о призме для успешной сдачи ЕГЭ по математике в 2021 году

Привет!

Сейчас я расскажу тебе ВСЕ о призме. Без воды. Только то, что нужно.

Помни о своей цели! Тебе нужно подготовиться к ЕГЭ по математике так, чтобы поступить в ВУЗ мечты!

Это самый лучший материал в инете.

Не веришь?

Посмотри отзывы внизу статьи, и ты все поймешь... И, кстати, можешь оставить свои 🙂

Ладно, хватит болтать – к делу!

Что такое призма?

Давай ответим сперва картинками:

Определение призмы

Смотри: у призмы сверху и снизу два одинаковых многоугольника – они называются основаниями. Остальные грани называются боковыми.

Плоскости оснований параллельный. Боковые грани – параллелограммы.

Рисуем ещё раз:

А теперь рёбра.

Смотри: бывают рёбра основания и боковые рёбра.

Важно знать, что:

Все боковые рёбра призмы равны и параллельны.

А еще:

  • Если в основании призмы лежит треугольник, то призма называется треугольной, если четырёхугольник, то четырёхугольной и т.д.;
  • Бывают и десятиугольные, и двадцатиугольные призмы, но, к счастью, не в твоих задачах;
  • А тебе будут встречаться чаще всего треугольные, четырёхугольные и шестиугольные призмы.

Думаю, теперь мы можем дать определение призмы:

Определение призмы

Призма — многогранник, две грани которого (основания) — равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани — параллелограммы.

Виды призм

Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.

Прямая призма – это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания.

Другие призмы называются наклонными.

Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. 

Боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники.

Высота призмы

Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.

И ясно, что та же самая высота получится, если опустить перпендикуляр из любой точки на верхней плоскости.

Согласен?

Объем и площадь призмы

  • Главная формула объема призмы:
    \( \displaystyle V=S{{\ }_{основания}}\cdot \text{H}\),
    где \( {{\text{S}}_{основания}}\) — площадь основания,
    \( H\) — высота.
  • Необычная формула объема призмы:
    \( \text{V}={{\text{S}}_{\bot }}\cdot l\),
    где \( {{\text{S}}_{\bot }}\) - площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,
    \( l\) - длина бокового ребра.
  • Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.
    \( \displaystyle {{\text{S}}_{полн. пов.}}={{\text{S}}_{боков.пов.}}+2\cdot {{\text{S}}_{\text{основания}.}}\)

Прямая призма

Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, то призма называется прямой.

Свойства прямой призмы:

  • Все боковые грани прямоугольники;
  • Все сечения, проходящие через боковые рёбра, – прямоугольники;
  • Даже сечения, проходящие только через одно боковое ребро, – прямоугольники;
  • У прямой призмы высота совпадает с боковым ребром.

Правильная призма

Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, а в основании лежит правильный многоугольник, то призма называется правильной.

То есть правильная призма – это прямая призма, у которой в основании правильный многоугольник.

Тебе, скорее всего, может встретиться:

  • Правильная треугольная призма – в основании правильный треугольник, боковые грани – прямоугольники.
  • Правильная четырёхугольная призма – это ещё и разновидность прямоугольного параллелепипеда – в основании квадрат, боковые грани – прямоугольники.
  • Правильная шестиугольная призма – в основании правильный шестиугольник, боковые грани – прямоугольники.
\( \displaystyle V=S{{\ }_{основания}}\cdot \text{H}\)

\( {{\text{S}}_{основания}}\) – площадь основания

\( H\) – высота

Эта формула верна для любой призмы, но если призма прямая, то \( H\) «превращается» в боковое ребро. И тогда

\( \displaystyle V=S{{\ }_{основания}}\cdot \text{H}\)

– то же самое, что

\( \displaystyle V=S{{\ }_{основания}}\cdot боковое\ ребро\)

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему 

 

Представь себе, есть ещё одна, «перевёрнутая» формула для объёма призмы.

\( \Large \text{V}={{\text{S}}_{\bot }}\cdot l\)

\( {{\text{S}}_{\bot }}\) – площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,

\( l\) – длина бокового ребра.

Используется ли эта формула в задачах? Честно говоря, довольно редко, так что можешь ограничиться знанием основной формулы объёма.

Давай теперь для упражнения посчитаем объём самых популярных призм.

Пусть дано, что сторона основания равна \( a\), а боковое ребро равно \( b\).

Найдём объём:

\( \text{V}={{\text{S}}_{Основания}}\cdot \text{H}={{\text{S}}_{\text{ABC}}}\cdot \text{b}\)

Вспомним, как находить площадь правильного треугольника

\( {{\text{S}}_{\text{ABC}}}=\frac{1}{2}\text{a}\cdot \text{h}\)

\( \text{h}=\sqrt{{{\text{a}}^{2}}-\frac{{{\text{a}}^{2}}}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{a}\)

\( {{\text{S}}_{\text{ABC}}}=\frac{1}{2}\text{a}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\text{a}=\frac{{{\text{a}}^{2}}\sqrt{3}}{4}\)

Подставляем в формулу объёма:

\( \text{V}={{\text{S}}_{\text{ABC}}}\cdot \text{b}=\frac{{{\text{a}}^{2}}\text{b}\sqrt{3}}{4}\).

Опять дано: сторона основания равна \( a\), боковое ребро равно \( b\).

\( \text{V}={{\text{S}}_{\text{основания}}}\cdot \text{H}={{\text{S}}_{\text{ABC}}}\cdot \text{b}\)

Ну, площадь квадрата долго искать не надо:

\( \displaystyle {{\text{S}}_{\text{ABCD}}}={{\text{a}}^{2}}\)

Значит, \( \displaystyle \text{V}={{\text{S}}_{\text{ABCD}}}\cdot \text{b}={{\text{a}}^{2}}\text{b}\).

\( \displaystyle \text{V}={{\text{S}}_{\text{основния}}}\cdot \text{H}={{\text{S}}_{\text{ABCDEF}}}\cdot \text{b}\)

Что же такое \( \displaystyle {{\text{S}}_{\text{ABCDEF}}}\)? Как найти?

Смотри: шестиугольник \( \displaystyle ABCDEF\) состоит из шести одинаковых правильных треугольников.

Значит, \( \displaystyle {{\text{S}}_{\text{ABCDF}}}=6\cdot \frac{{{\text{a}}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}{{\text{a}}^{2}}}{2}\)

Ну и теперь \( \displaystyle \text{V}={{\text{S}}_{\text{ABCDF}}}\cdot \text{b}=\frac{3\sqrt{3}{{\text{a}}^{2}}\text{b}}{2}\).

Площадь боковой поверхности призмы – сумма площадей всех боковых граней.

Есть ли общая формула?

Нет, в общем случае нет. Просто нужно искать площади боковых граней и суммировать их.

Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.
\( \displaystyle {{\text{S}}_{полн. пов.}}={{\text{S}}_{боков.пов.}}+2\cdot {{\text{S}}_{\text{основания}.}}\)

Формулу можно написать для прямой призмы:

\( \displaystyle {{\text{S}}_{боков.}}=\text{H}\cdot \text{P}\), где \( \displaystyle P\) – периметр основания.

\( \displaystyle {{\text{S}}_{\text{полной}}}=\text{H}\cdot \text{P}+2{{\text{S}}_{основания}}\).

Но всё-таки гораздо проще в каждом конкретном случае сложить все площади, чем запоминать дополнительные формулы.

Для примера посчитаем полную поверхность правильной шестиугольной призмы.

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему 

Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро равно \( \displaystyle b\).

\( \displaystyle {{\text{S}}_{полн.}}={{\text{S}}_{бок.}}+2\cdot {{\text{S}}_{\text{осн}.}}\)

Все боковые грани – прямоугольники. Значит \( \displaystyle {{\text{S}}_{\text{бок.}}}=6\cdot \text{ab}\).

\( \displaystyle {{\text{S}}_{осн.}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}{{\text{a}}^{2}}\) - это уже выводили при подсчёте объёма.

Итак, получаем:

\( \displaystyle {{\text{S}}_{\text{осн.}}}=6\text{ab}+3\sqrt{3}{{\text{a}}^{2}}\).

 

КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Определение

Определение призмы

Призма – многогранник, две грани которого (основания) – равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани – параллелограммы.

Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.

Виды призм:

Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.

Прямая призма – это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Другие призмы называются наклонными.

Правильная призма – это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы – равные прямоугольники.

Объем и площадь призмы:

  • Главная формулаобъема призмы:
    \( \displaystyle V=S{{\ }_{основания}}\cdot \text{H}\),
    где \( {{\text{S}}_{основания}}\) – площадь основания,
    \( H\) – высота.
  • Необычная формула объема призмы:объема призмы:
    \( \text{V}={{\text{S}}_{\bot }}\cdot l\),
    где \( {{\text{S}}_{\bot }}\) – площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,
    \( l\) – длина бокового ребра.
  • Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.
    \( \displaystyle {{\text{S}}_{полн. пов.}}={{\text{S}}_{боков.пов.}}+2\cdot {{\text{S}}_{\text{основания}.}}\)

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Действуй!

А теперь мы хотим узнать твое мнение!

Многие ученики путают прямую и правильную призму. А ты теперь никогда не запутаешься!

Была ли эта статья полезной? Ты все понял?

Если у тебя остались вопросы, пиши внизу в комментариях! Разберёмся!

Или если появились предложения. Или если просто хочешь поделиться своими мыслями. Мы будем очень рады.

Мы читаем все.

Удачи!

  • Александр Кель:

    Некоторые комментарии прошлых лет об этой статье:

    Илья
    26 ноября 2017
    Огромное вам спасибо за созданный сайт, он очень удобен и информативен. Мне сложно представить какое количество времени было потрачено на «переработку» материала в понятном и доступном виде.Теперь есть источник чистых знаний, без лишней «воды», который не только помогает узнать новое, но и систематизировать информацию в голове. Жаль, что я не нашел сайт раньше. Вы лучшие!

    Дмитрий
    21 февраля 2018
    Сайт отличный!Все подробно описано. Никогда не понимал эту тему, но благодаря создателям этого сайта я наконец понял эту тему. Спасибо вам за ваши труды!!! Очень вам благодарен.

    Regina
    29 марта 2018
    Аааааааа,это просто лучшее. Никогда не разбиралась в геометрии…Готовясь к зачету искала все сайты на эту тему. Нашла вас. Ввы все объяснили просто и доступно. Спасибо большое!

    Настя
    21 мая 2018
    Красивый сайт, ничего глаза не режет, смотреть и читать приятно.

    Женя
    27 февраля 2019
    можете указать свои инициалы? мне это для проекта надо)

    Анна
    29 апреля 2019
    Преподнесено очень понятным языком, с наглядными картинками, спасибо) Хотелось бы хоть пример одной задачи и решение чтобы было открыто бесплатно, чтобы понять на сколько хорошо поясняете, но я думаю все ок.

    Жанна
    27 апреля 2020
    Спасибо! Я — учитель и мне очень понравилось!

    Николай
    04 июня 2020
    Все очень доступно и понятно. Только вот не написано в статье про диагональ призмы. А так все просто супер, подготовился к сессии по данному материалу 🙂

    Алексей Шевчук
    05 июня 2020
    Николай, спасибо. Диагонали в разных призмах разные, а в треугольной её и вовсе нет, поэтому длина диагонали — частный случай, а не какая-то полезная формула. Стоит рассмотрения разве что диагональ прямоугольного параллелепипеда — она вычисляется по теореме Пифагора и равна корню из суммы квадратов рёбер.

  • {"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
    >