Биссектриса. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Помнишь, что такое биссектриса?

Биссектриса – это линия, которая делит угол пополам.

Биссектриса рис. 1

Тебе встретилась в задаче биссектриса? Постарайся применить одно (а иногда можешь и несколько) из следующих потрясающих  свойств.

1. Биссектриса в равнобедренном треугольнике.

Не боишься слова «теорема»? Если боишься, то – зря. Теоремой математики привыкли называть всякое утверждение, которое можно как-то вывести из других, более простых утверждений.

Так вот, внимание, теорема!

Теорема. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также и медианой, и высотой.

Докажем эту теорему, то есть поймём, почему же так получается? Посмотри на равнобедренный \(\triangle ABC\).

Биссектриса равнобедренного треугольника В нём \(\displaystyle AB=BC\) и проведена биссектриса \(\displaystyle BD\). Видишь: получилось два треугольника \(\displaystyle ABD\). и \(\displaystyle CBD\).

Давай посмотрим на них внимательно. И тогда увидим, что

  1. \(\displaystyle AB=BC\)
  2. \(\displaystyle BD\) — общая.
  3. \(\angle 1=\angle 2\)

А это значит (скорее вспоминай первый признак равенства треугольников!), что \(\displaystyle \triangle ABD=\triangle CBD\). Ну и что? Хочется тебе так сказать? А то, что мы ещё не смотрели на третьи стороны и оставшиеся углы этих треугольников. А вот теперь посмотрим. Раз \(\displaystyle \triangle ABD=\triangle CBD\), то совершенно точно \(\displaystyle ~AD=CD\) и даже вдобавок, \(\displaystyle ~\angle 3=\angle 4\).

Вот и получилось, что

  1. \(\displaystyle BD\) разделила сторону \(\displaystyle AC\) пополам, то есть оказалась медианой
  2. \(\displaystyle ~\angle 3=\angle 4\), а значит, они оба по \(\displaystyle 90{}^\circ \), так как \(\displaystyle ~\angle 3+\angle 4=180{}^\circ \) (глянь ещё раз на рисунок).

Вот и оказалась биссектриса \(\displaystyle BD\) и высотой тоже!

Ура! Доказали теорему. Но представляешь, это ещё не всё. Верна ещё и обратная теорема:

Теорема. Если в треугольнике биссектриса, проведённая из какого-то угла, совпадает с медианой или с высотой, то этот треугольник равнобедренный.

Доказательство? Неужели тебе интересно? Читай следующий уровень теории!

А если неинтересно, то твердо запомни:

Биссектриса совпадает с высотой и медианой только в равнобедренном треугольнике!

Зачем же это твердо запоминать? Как это может помочь? А вот представь, что у тебя задача:

Дано: \(AB=5,~\angle ~ABD=~\angle DBC,~AD=DC\).

Найти: \(\displaystyle BC\).

Биссектриса рис. 3

Ты тут же соображаешь, \(\displaystyle BD\) биссектриса и, о чудо, она разделила сторону \(\displaystyle AC\) пополам! (по условию…). Если ты твердо помнишь, что так бывает только в равнобедренном треугольнике, то делаешь вывод, что \(AB=BC\) и значит, пишешь ответ: \(BC=5\). Здорово, правда? Конечно, не во всех задачах будет так легко, но знание обязательно поможет!

Проверь себя — реши задачи по биссектрисе.

А теперь следующее свойство. Готов?

2. Биссектриса угла – геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла.

Испугался? На самом деле ничего страшного. Ленивые математики в двух строчках спрятали четыре. Итак, что же значит, «Биссектриса – геометрическое место точек»? А это значит, что выполняются сразу два утверждения:

  1. Если точка лежит на биссектрисе, то расстояния от неё до сторон угла равны.
  2. Если у какой-нибудь точки расстояния до сторон угла равны, то эта точка обязательно лежит на биссектрисе.

Видишь разницу между утверждениями 1 и 2? Если не очень, то вспомни Шляпника из «Алисы в стране чудес»: «Так ты еще чего доброго скажешь, будто «Я вижу то, что ем» и «Я ем то, что вижу», — одно и то же!»

Итак, нам нужно доказать утверждения 1 и 2, и тогда утверждение: «биссектриса – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла»   будет доказано!

Почему же верно 1?

Возьмём любую точку на биссектрисе и назовём её \(\displaystyle A\).

Биссектриса угла

Опустим из этой точки перпендикуляры \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle AC\) на стороны угла.

Биссектриса угла рис. 2

А теперь …приготовились вспоминать признаки равенства прямоугольных треугольников! Если ты их подзабыл, то загляни в раздел «Прямоугольный треугольник».

Итак…два прямоугольных треугольника: \(\displaystyle AOC\) и \(\displaystyle AOB\). У них:

  • Общая гипотенуза \(\displaystyle AO\).
  • \(\displaystyle \angle 1=\angle 2\) (потому что \(\displaystyle AO\) – биссектриса!)

Значит, \(\displaystyle \triangle AOC=\triangle AOB\) — по углу и гипотенузе. Поэтому и соответствующие катеты у этих треугольников – равны! То есть \(\displaystyle AC=AB\).

Доказали, что точка \(\displaystyle A\) одинаково (или равно) удалена от сторон угла. С пунктом 1 разобрались. Теперь перейдём к пункту 2.

Почему же верно 2?

Биссектриса угла рис. 3 Возьмем какую-то точку \(\displaystyle E\) внутри угла, для которой расстояние до сторон угла равны.

И соединим точки \(\displaystyle E\) и \(\displaystyle O\).

Биссектриса угла рис. 3 Теперь \(\displaystyle \triangle EOC=\triangle EOB\) как прямоугольные по катету и гипотенузе.

Значит, \(\displaystyle \angle 1=\angle 2\), то есть \(\displaystyle E\) лежит на биссектрисе!

Вот и всё!

Как же все это применить при решении задач? Вот например, в задачах часто бывает такая фраза: «Окружность касается сторон угла….». Ну, и найти нужно что-то.

То быстро соображаешь, что

Биссектриса рис. 7
  • Окружность касается сторон угла – значит, \(\displaystyle AC=AB\). (Правда, для этого нужно ещё знать, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной)
  • А раз \(\displaystyle AC=AB\), то \(\displaystyle AO\) – точно биссектриса!

И можно пользоваться равенством \(\displaystyle \angle 1=\angle 2\).

Проверь себя — реши задачи по биссектрисе.

3. Три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке

Из свойства биссектрисы быть геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла, вытекает следующее утверждение:

Три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, и эта точка – центр вписанной в треугольник окружности.

Как именно вытекает? А вот смотри: две-то биссектрисы точно пересекутся, правда?

Точка пересечения биссектрис

А третья биссектриса  могла бы пройти так:

Пересечение биссектрис

Но на самом деле-то всё гораздо лучше!

Давай рассмотрим точку пересечения двух биссектрис. Назовём её \(\displaystyle O\).

Точка пересечения биссектрис Эта точка лежит на биссектрисе \(\displaystyle AD\). Что из этого следует? Правильно! \(\displaystyle OK=OM\)!
Точка \(\displaystyle O\) лежит ещё и на биссектрисе \(\displaystyle CE\), поэтому \(\displaystyle OK=ON\).

Что мы тут оба раза применяли? Да пункт 1, конечно же! Если точка лежит на биссектрисе, то она одинаково удалена от сторон угла.

Вот и получилось \(\displaystyle OK=OM\) и \(\displaystyle OK=ON\).

Но посмотри внимательно на эти два равенства! Ведь из них следует, что \(\displaystyle OM=OK=ON\) и, значит, \(\displaystyle OM=ON\).

А вот теперь в дело пойдёт пункт 2: если расстояния до сторон угла равны, то точка лежит на биссектрисе…какого же угла? Ещё раз смотри на картинку:

\(\displaystyle OM\) и \(\displaystyle ON\) – расстояния до сторон угла \(\displaystyle B\), и они равны, значит, точка \(\displaystyle O\) лежит на биссектрисе угла \(\displaystyle B\). Третья биссектриса прошла через ту же точку! Все три биссектрисы пересеклись в одной точке! И, как дополнительный подарок —

\(\displaystyle OM=OK=ON\) — радиусы вписанной окружности.

(Для верности посмотри ещё тему «Вписанная окружность»).

Ну вот, теперь ты никогда не забудешь:

Точка пересечения биссектрис треугольника – центр вписанной в неё окружности.

Переходим к следующему свойству… Ух и много же свойств у биссектрисы, правда? И это здорово, потому что, чем больше свойств, тем больше инструментов для решения задач про биссектрису.

Проверь себя — реши задачи по биссектрисе.

4. Биссектриса и параллельность, биссектрисы смежных углов

Тот факт, что биссектриса делит угол пополам, в каких-то случаях приводит к совершенно неожиданным результатам. Вот, например,

Случай 1

Биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник.

Биссектриса угла параллелограмма

Здорово, правда? Давай поймём, почему так.

С одной стороны, \(\displaystyle \angle 1=\angle 2\) — мы же проводим биссектрису!

Но, с другой стороны, \(\displaystyle \angle 2=\angle 3\) — как накрест лежащие углы (вспоминаем тему «Параллельные прямые»).

И теперь выходит, что \(\displaystyle \angle 1=\angle 2=\angle 3\); выкидываем середину: \(\displaystyle \angle 1=\angle 3\)! \(\displaystyle \triangle ABE\) – равнобедренный!

Случай 2

Биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника перпендикулярны.

Представь треугольник (или посмотри на картинку)

13

Давай продолжим сторону \(\displaystyle AC\) за точку \(A\). Теперь получилось два угла \(\displaystyle A\):

  • \(\displaystyle \angle 1\) – внутренний угол \(\displaystyle \triangle ABC\)
  • \(\displaystyle \angle 2\) – внешний угол \(\displaystyle \triangle ABC\) – он же снаружи, верно?

Так вот, а теперь кому-то захотелось провести не одну, а сразу две биссектрисы: и для \(\displaystyle \angle 1\), и для \(\displaystyle \angle 2\). Что же получится?

14

А получится прямоугольный \(\displaystyle \triangle ALK\)!

Удивительно, но это именно так.

Разбираемся.

15

Как ты думаешь, чему равна сумма \(\displaystyle \angle 1+\angle 2+\angle 3+\angle 4\)?

Конечно же, \(\displaystyle 180{}^\circ \) — ведь они все вместе составляют такой угол, что получается прямая \(\displaystyle AC\).

А теперь вспомним, что \(\displaystyle AL\) и \(\displaystyle AK\) –биссектрисы и увидим, что внутри угла \(\displaystyle LAK\) находится ровно половина от суммы всех четырех углов: \(\displaystyle \angle 2\) и \(\displaystyle \angle 3\)-  – то есть ровно \(\displaystyle 90{}^\circ \). Можно написать и уравнением:

\(\angle 1+\angle 2+\angle 3+\angle 4=180{}^\circ \)

\(\displaystyle 2\cdot \angle 2+2\cdot \angle 3=180{}^\circ \)

\(\displaystyle 2\left( \angle 2+\angle 3 \right)=180{}^\circ \)

\(\displaystyle \angle 2+\angle 3=90{}^\circ \)

Итак, невероятно, но факт:

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего угла треугольника равен \(\displaystyle 90{}^\circ \).

15_1

Случай 3

Биссектрисы односторонних углов параллелограмма и трапеции пересекаются под прямым углом.

Биссектрисы односторонних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.

Видишь, что здесь все так же, как и для внутреннего и внешнего углов?

Биссектрисы односторонних углов  трапеции пересекаются под прямым углом.

Или ещё раз подумаем, почему так получается?

Снова, как и для смежных углов,

\(\angle 1+\angle 2+\angle 3+\angle 4=180{}^\circ \) (как соответственные при параллельных основаниях).

И опять, \(\angle 2+\angle 3 \) составляют ровно половину от суммы \(\angle 1+\angle 2+\angle 3+\angle 4=180{}^\circ \)

Значит, \(\angle 2+\angle 3=90{}^\circ \).

Вывод: Если в задаче встретились биссектрисы смежных углов или биссектрисы соответственных углов параллелограмма или трапеции, то в этой задаче непременно участвует прямоугольный треугольник, а может даже и целый прямоугольник.

Проверь себя — реши задачи по биссектрисе.

5. Биссектриса и противоположная сторона

Оказывается, биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону не как-нибудь, а специальным и очень интересным образом:

Биссектриса и противоположная сторона рис 1 \(\frac{x}{y}=\frac{a}{b}\)

То есть:

Отношение отрезков, на которые биссектриса поделила сторону \(\displaystyle AB\), такое же, как и отношение двух сторон, между которыми эта биссектриса прошла.

Удивительный факт, не правда ли?

Сейчас мы этот факт докажем, но приготовься: будет немного сложнее, чем раньше.

Биссектриса и противоположная сторона рис 2

Снова – выход в «космос» — дополнительное построение!

Проведём прямую \(BK\parallel AC\).

Зачем? Сейчас увидим.

Биссектриса и противоположная сторона рис 3

Продолжим биссектрису \(\displaystyle CD\) до пересечения с прямой \(\displaystyle BK\).

Биссектриса и противоположная сторона рис 4

Знакомая картинка? Да-да-да, точно так же, как в пункте 4, случай 1 – получается, что  \(\angle 1=\angle 2\)   (\(\displaystyle CD\) – биссектриса)

\(\angle 2=\angle 3\) — как накрест лежащие

\(\Rightarrow \angle 1=\angle 3\) и \(BC=BL\)

Значит, \(BL\) – это тоже \(a\).

А теперь посмотрим на треугольники \(ACD\) и \(BLD\).

Что про них можно сказать?

Они…подобны. Ну да, у них \(\angle 2=\angle 3\) и углы \(D\) равны как вертикальные. Значит, \(\triangle ACD\sim \triangle BLD\) по двум углам.

Теперь имеем право писать отношения соответствующих сторон.

\(\frac{BD}{AD}=\frac{BL}{AC}\)

А теперь в коротких обозначениях:

\(\frac{x}{y}=\frac{a}{b}\)

Ой! Что-то напоминает, верно? Не это ли самое мы хотели доказать? Да-да, именно это!

Видишь, как здорово проявил себя «выход в космос» — построение дополнительной прямой \(BK\) – без неё ничего бы не вышло! А так, мы доказали, что

Биссектриса и противоположная сторона рис 5 \(\frac{x}{y}=\frac{a}{b}\)

Теперь можешь смело использовать! Разберём ещё одно свойство биссектрис углов треугольника – не пугайся, теперь самое сложное кончилось – будет проще.

Проверь себя — реши задачи по биссектрисе.

6. Угол между биссектрисами треугольника

Угол между биссектрисами треугольника Пусть \(AO\) и \(CO\) – биссектрисы. Найдём \(\angle AOC\) (помним, что сумма углов треугольника равна \(\displaystyle 180{}^\circ \)).

\(\angle \text{ }\!\!~\!\!\text{ AOC}=180{}^\circ -\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\frac{\angle A}{2}-\frac{\angle \text{C}}{2}=180{}^\circ -\frac{\angle \text{A}+\angle \text{C}}{2}=180{}^\circ -\frac{180{}^\circ -\angle \text{B}}{2}\)

Получаем, что 

\(\angle \text{ }\!\!~\!\!\text{ AOC}=90{}^\circ +\frac{\angle B}{2}\)

Это знание можно применить в тех задачах, где участвуют две биссектрисы и дан лишь угол \(B\), а искомые величины выдерживаются через \(\angle AOC\) или, наоборот, \(\angle AOC\) дан, а нужно найти что-то с участием угла \(B\).

Основные знания о биссектрисе закончились. Комбинируя эти факты, ты найдёшь ключ к любой задаче о биссектрисе!

Проверь себя — реши задачи по биссектрисе.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий