Биссектриса. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Помнишь, что такое биссектриса?

Биссектриса – это линия, которая делит угол пополам.

Биссектриса рис. 1

Тебе встретилась в задаче биссектриса? Постарайся применить одно (а иногда можешь и несколько) из следующих потрясающих  свойств.

1. Биссектриса в равнобедренном треугольнике.

Не боишься слова «теорема»? Если боишься, то – зря. Теоремой математики привыкли называть всякое утверждение, которое можно как-то вывести из других, более простых утверждений.

Так вот, внимание, теорема!

Теорема. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также и медианой, и высотой.

Докажем эту теорему, то есть поймём, почему же так получается? Посмотри на равнобедренный $latex \triangle ABC$.

Биссектриса равнобедренного треугольника В нём $latex \displaystyle AB=BC$ и проведена биссектриса $latex \displaystyle BD$. Видишь: получилось два треугольника $latex \displaystyle ABD$. и $latex \displaystyle CBD$.

Давай посмотрим на них внимательно. И тогда увидим, что

  1. $latex \displaystyle AB=BC$
  2. $latex \displaystyle BD$ — общая.
  3. $latex \angle 1=\angle 2$

А это значит (скорее вспоминай первый признак равенства треугольников!), что $latex \displaystyle \triangle ABD=\triangle CBD$. Ну и что? Хочется тебе так сказать? А то, что мы ещё не смотрели на третьи стороны и оставшиеся углы этих треугольников. А вот теперь посмотрим. Раз $latex \displaystyle \triangle ABD=\triangle CBD$, то совершенно точно $latex \displaystyle ~AD=CD$ и даже вдобавок, $latex \displaystyle ~\angle 3=\angle 4$.

Вот и получилось, что

  1. $latex \displaystyle BD$ разделила сторону $latex \displaystyle AC$ пополам, то есть оказалась медианой
  2. $latex \displaystyle ~\angle 3=\angle 4$, а значит, они оба по $latex \displaystyle 90{}^\circ $, так как $latex \displaystyle ~\angle 3+\angle 4=180{}^\circ $ (глянь ещё раз на рисунок).

Вот и оказалась биссектриса $latex \displaystyle BD$ и высотой тоже!

Ура! Доказали теорему. Но представляешь, это ещё не всё. Верна ещё и обратная теорема:

Теорема. Если в треугольнике биссектриса, проведённая из какого-то угла, совпадает с медианой или с высотой, то этот треугольник равнобедренный.

Доказательство? Неужели тебе интересно? Читай следующий уровень теории!

А если неинтересно, то твердо запомни:

Биссектриса совпадает с высотой и медианой только в равнобедренном треугольнике!

Зачем же это твердо запоминать? Как это может помочь? А вот представь, что у тебя задача:

Дано: $latex AB=5,~\angle ~ABD=~\angle DBC,~AD=DC$.

Найти: $latex \displaystyle BC$.

Биссектриса рис. 3

Ты тут же соображаешь, $latex \displaystyle BD$ биссектриса и, о чудо, она разделила сторону $latex \displaystyle AC$ пополам! (по условию…). Если ты твердо помнишь, что так бывает только в равнобедренном треугольнике, то делаешь вывод, что $latex AB=BC$ и значит, пишешь ответ: $latex BC=5$. Здорово, правда? Конечно, не во всех задачах будет так легко, но знание обязательно поможет!

Проверь себя — реши задачи по биссектрисе.

А теперь следующее свойство. Готов?

2. Биссектриса угла – геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла.

Испугался? На самом деле ничего страшного. Ленивые математики в двух строчках спрятали четыре. Итак, что же значит, «Биссектриса – геометрическое место точек»? А это значит, что выполняются сразу два утверждения:

  1. Если точка лежит на биссектрисе, то расстояния от неё до сторон угла равны.
  2. Если у какой-нибудь точки расстояния до сторон угла равны, то эта точка обязательно лежит на биссектрисе.

Видишь разницу между утверждениями 1 и 2? Если не очень, то вспомни Шляпника из «Алисы в стране чудес»: «Так ты еще чего доброго скажешь, будто «Я вижу то, что ем» и «Я ем то, что вижу», — одно и то же!»

Итак, нам нужно доказать утверждения 1 и 2, и тогда утверждение: «биссектриса – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла»   будет доказано!

Почему же верно 1?

Возьмём любую точку на биссектрисе и назовём её $latex \displaystyle A$.

Биссектриса угла

Опустим из этой точки перпендикуляры $latex \displaystyle AB$ и $latex \displaystyle AC$ на стороны угла.

Биссектриса угла рис. 2

А теперь …приготовились вспоминать признаки равенства прямоугольных треугольников! Если ты их подзабыл, то загляни в раздел «Прямоугольный треугольник».

Итак…два прямоугольных треугольника: $latex \displaystyle AOC$ и $latex \displaystyle AOB$. У них:

  • Общая гипотенуза $latex \displaystyle AO$.
  • $latex \displaystyle \angle 1=\angle 2$ (потому что $latex \displaystyle AO$ – биссектриса!)

Значит, $latex \displaystyle \triangle AOC=\triangle AOB$ — по углу и гипотенузе. Поэтому и соответствующие катеты у этих треугольников – равны! То есть $latex \displaystyle AC=AB$.

Доказали, что точка $latex \displaystyle A$ одинаково (или равно) удалена от сторон угла. С пунктом 1 разобрались. Теперь перейдём к пункту 2.

Почему же верно 2?

Биссектриса угла рис. 3 Возьмем какую-то точку $latex \displaystyle E$ внутри угла, для которой расстояние до сторон угла равны.

И соединим точки $latex \displaystyle E$ и $latex \displaystyle O$.

Биссектриса угла рис. 3 Теперь $latex \displaystyle \triangle EOC=\triangle EOB$ как прямоугольные по катету и гипотенузе.

Значит, $latex \displaystyle \angle 1=\angle 2$, то есть $latex \displaystyle E$ лежит на биссектрисе!

Вот и всё!

Как же все это применить при решении задач? Вот например, в задачах часто бывает такая фраза: «Окружность касается сторон угла….». Ну, и найти нужно что-то.

То быстро соображаешь, что

Биссектриса рис. 7
  • Окружность касается сторон угла – значит, $latex \displaystyle AC=AB$. (Правда, для этого нужно ещё знать, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной)
  • А раз $latex \displaystyle AC=AB$, то $latex \displaystyle AO$ – точно биссектриса!

И можно пользоваться равенством $latex \displaystyle \angle 1=\angle 2$.

Проверь себя — реши задачи по биссектрисе.

3. Три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке

Из свойства биссектрисы быть геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла, вытекает следующее утверждение:

Три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, и эта точка – центр вписанной в треугольник окружности.

Как именно вытекает? А вот смотри: две-то биссектрисы точно пересекутся, правда?

Точка пересечения биссектрис

А третья биссектриса  могла бы пройти так:

Пересечение биссектрис

Но на самом деле-то всё гораздо лучше!

Давай рассмотрим точку пересечения двух биссектрис. Назовём её $latex \displaystyle O$.

Точка пересечения биссектрис Эта точка лежит на биссектрисе $latex \displaystyle AD$. Что из этого следует? Правильно! $latex \displaystyle OK=OM$!
Точка $latex \displaystyle O$ лежит ещё и на биссектрисе $latex \displaystyle CE$, поэтому $latex \displaystyle OK=ON$.

Что мы тут оба раза применяли? Да пункт 1, конечно же! Если точка лежит на биссектрисе, то она одинаково удалена от сторон угла.

Вот и получилось $latex \displaystyle OK=OM$ и $latex \displaystyle OK=ON$.

Но посмотри внимательно на эти два равенства! Ведь из них следует, что $latex \displaystyle OM=OK=ON$ и, значит, $latex \displaystyle OM=ON$.

А вот теперь в дело пойдёт пункт 2: если расстояния до сторон угла равны, то точка лежит на биссектрисе…какого же угла? Ещё раз смотри на картинку:

$latex \displaystyle OM$ и $latex \displaystyle ON$ – расстояния до сторон угла $latex \displaystyle B$, и они равны, значит, точка $latex \displaystyle O$ лежит на биссектрисе угла $latex \displaystyle B$. Третья биссектриса прошла через ту же точку! Все три биссектрисы пересеклись в одной точке! И, как дополнительный подарок —

$latex \displaystyle OM=OK=ON$ — радиусы вписанной окружности.

(Для верности посмотри ещё тему «Вписанная окружность»).

Ну вот, теперь ты никогда не забудешь:

Точка пересечения биссектрис треугольника – центр вписанной в неё окружности.

Переходим к следующему свойству… Ух и много же свойств у биссектрисы, правда? И это здорово, потому что, чем больше свойств, тем больше инструментов для решения задач про биссектрису.

Проверь себя — реши задачи по биссектрисе.

4. Биссектриса и параллельность, биссектрисы смежных углов

Тот факт, что биссектриса делит угол пополам, в каких-то случаях приводит к совершенно неожиданным результатам. Вот, например,

Случай 1

Биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник.

Биссектриса угла параллелограмма

Здорово, правда? Давай поймём, почему так.

С одной стороны, $latex \displaystyle \angle 1=\angle 2$ — мы же проводим биссектрису!

Но, с другой стороны, $latex \displaystyle \angle 2=\angle 3$ — как накрест лежащие углы (вспоминаем тему «Параллельные прямые»).

И теперь выходит, что $latex \displaystyle \angle 1=\angle 2=\angle 3$; выкидываем середину: $latex \displaystyle \angle 1=\angle 3$! $latex \displaystyle \triangle ABE$ – равнобедренный!

Случай 2

Биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника перпендикулярны.

Представь треугольник (или посмотри на картинку)

13

Давай продолжим сторону $latex \displaystyle AC$ за точку $latex A$. Теперь получилось два угла $latex \displaystyle A$:

  • $latex \displaystyle \angle 1$ – внутренний угол $latex \displaystyle \triangle ABC$
  • $latex \displaystyle \angle 2$ – внешний угол $latex \displaystyle \triangle ABC$ – он же снаружи, верно?

Так вот, а теперь кому-то захотелось провести не одну, а сразу две биссектрисы: и для $latex \displaystyle \angle 1$, и для $latex \displaystyle \angle 2$. Что же получится?

14

А получится прямоугольный $latex \displaystyle \triangle ALK$!

Удивительно, но это именно так.

Разбираемся.

15

Как ты думаешь, чему равна сумма $latex \displaystyle \angle 1+\angle 2+\angle 3+\angle 4$?

Конечно же, $latex \displaystyle 180{}^\circ $ — ведь они все вместе составляют такой угол, что получается прямая $latex \displaystyle AC$.

А теперь вспомним, что $latex \displaystyle AL$ и $latex \displaystyle AK$ –биссектрисы и увидим, что внутри угла $latex \displaystyle LAK$ находится ровно половина от суммы всех четырех углов: $latex \displaystyle \angle 2$ и $latex \displaystyle \angle 3$-  – то есть ровно $latex \displaystyle 90{}^\circ $. Можно написать и уравнением:

$latex \angle 1+\angle 2+\angle 3+\angle 4=180{}^\circ $

$latex \displaystyle 2\cdot \angle 2+2\cdot \angle 3=180{}^\circ $

$latex \displaystyle 2\left( \angle 2+\angle 3 \right)=180{}^\circ $

$latex \displaystyle \angle 2+\angle 3=90{}^\circ $

Итак, невероятно, но факт:

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего угла треугольника равен $latex \displaystyle 90{}^\circ $.

15_1

Случай 3

Биссектрисы односторонних углов параллелограмма и трапеции пересекаются под прямым углом.

Биссектрисы односторонних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.

Видишь, что здесь все так же, как и для внутреннего и внешнего углов?

Биссектрисы односторонних углов  трапеции пересекаются под прямым углом.

Или ещё раз подумаем, почему так получается?

Снова, как и для смежных углов,

$latex \angle 1+\angle 2+\angle 3+\angle 4=180{}^\circ $ (как соответственные при параллельных основаниях).

И опять, $latex \angle 2+\angle 3 $ составляют ровно половину от суммы $latex \angle 1+\angle 2+\angle 3+\angle 4=180{}^\circ $

Значит, $latex \angle 2+\angle 3=90{}^\circ $.

Вывод: Если в задаче встретились биссектрисы смежных углов или биссектрисы соответственных углов параллелограмма или трапеции, то в этой задаче непременно участвует прямоугольный треугольник, а может даже и целый прямоугольник.

Проверь себя — реши задачи по биссектрисе.

5. Биссектриса и противоположная сторона

Оказывается, биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону не как-нибудь, а специальным и очень интересным образом:

Биссектриса и противоположная сторона рис 1 $latex \frac{x}{y}=\frac{a}{b}$

То есть:

Отношение отрезков, на которые биссектриса поделила сторону $latex \displaystyle AB$, такое же, как и отношение двух сторон, между которыми эта биссектриса прошла.

Удивительный факт, не правда ли?

Сейчас мы этот факт докажем, но приготовься: будет немного сложнее, чем раньше.

Биссектриса и противоположная сторона рис 2

Снова – выход в «космос» — дополнительное построение!

Проведём прямую $latex BK\parallel AC$.

Зачем? Сейчас увидим.

Биссектриса и противоположная сторона рис 3

Продолжим биссектрису $latex \displaystyle CD$ до пересечения с прямой $latex \displaystyle BK$.

Биссектриса и противоположная сторона рис 4

Знакомая картинка? Да-да-да, точно так же, как в пункте 4, случай 1 – получается, что  $latex \angle 1=\angle 2$   ($latex \displaystyle CD$ – биссектриса)

$latex \angle 2=\angle 3$ — как накрест лежащие

$latex \Rightarrow \angle 1=\angle 3$ и $latex BC=BL$

Значит, $latex BL$ – это тоже $latex a$.

А теперь посмотрим на треугольники $latex ACD$ и $latex BLD$.

Что про них можно сказать?

Они…подобны. Ну да, у них $latex \angle 2=\angle 3$ и углы $latex D$ равны как вертикальные. Значит, $latex \triangle ACD\sim \triangle BLD$ по двум углам.

Теперь имеем право писать отношения соответствующих сторон.

$latex \frac{BD}{AD}=\frac{BL}{AC}$

А теперь в коротких обозначениях:

$latex \frac{x}{y}=\frac{a}{b}$

Ой! Что-то напоминает, верно? Не это ли самое мы хотели доказать? Да-да, именно это!

Видишь, как здорово проявил себя «выход в космос» — построение дополнительной прямой $latex BK$ – без неё ничего бы не вышло! А так, мы доказали, что

Биссектриса и противоположная сторона рис 5 $latex \frac{x}{y}=\frac{a}{b}$

Теперь можешь смело использовать! Разберём ещё одно свойство биссектрис углов треугольника – не пугайся, теперь самое сложное кончилось – будет проще.

Проверь себя — реши задачи по биссектрисе.

6. Угол между биссектрисами треугольника

Угол между биссектрисами треугольника Пусть $latex AO$ и $latex CO$ – биссектрисы. Найдём $latex \angle AOC$ (помним, что сумма углов треугольника равна $latex \displaystyle 180{}^\circ $).

$latex \angle \text{ }\!\!~\!\!\text{ AOC}=180{}^\circ -\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\frac{\angle A}{2}-\frac{\angle \text{C}}{2}=180{}^\circ -\frac{\angle \text{A}+\angle \text{C}}{2}=180{}^\circ -\frac{180{}^\circ -\angle \text{B}}{2}$

Получаем, что 

$latex \angle \text{ }\!\!~\!\!\text{ AOC}=90{}^\circ +\frac{\angle B}{2}$

Это знание можно применить в тех задачах, где участвуют две биссектрисы и дан лишь угол $latex B$, а искомые величины выдерживаются через $latex \angle AOC$ или, наоборот, $latex \angle AOC$ дан, а нужно найти что-то с участием угла $latex B$.

Основные знания о биссектрисе закончились. Комбинируя эти факты, ты найдёшь ключ к любой задаче о биссектрисе!

Проверь себя — реши задачи по биссектрисе.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий