9 июля

1 comments

Биссектрисса треугольника (ЕГЭ – 2021)

Когда-то древние астрономы и математики открыли очень много интересных свойств биссектрисы. 

Эти знания сильно упростили жизнь людей. Стало легче строить, считать расстояния, даже корректировать стрельбу из пушек… 

Нам же знание этих свойств поможет решить некоторые задания ОГЭ и ЕГЭ!

Приступим!

НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Знаешь ли ты, что такое середина отрезка? Конечно же знаешь. А центр круга? Тоже.

А что такое середина угла?

Ты можешь сказать, что такого не бывает. Но почему же, отрезок можно разделить пополам, а угол нельзя? Вполне можно – только не точкой, а…. линией.

Помнишь шутку: биссектриса это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам.

Так вот, настоящее определение биссектрисы очень похоже на эту шутку:

Определение биссектрисы 

Биссектриса – это линия, делящая угол пополам.

Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.

Биссектриса равнобедренного треугольника

Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является и медианой, и высотой.

Кстати, а помнишь ли ты все эти термины?

Помнишь чем они отличаются друг от друга? Нет?

Не страшно. Сейчас разберемся.

Итак,

  • Основание равнобедренного треугольника – это та сторона, которая не равна никакой другой. Посмотри на рисунок, как ты думаешь, какая это сторона? Правильно – это сторона \( AC. \);
  • Медиана – это линия, проведенная из вершины треугольника и делящая противоположную сторону (это снова \( \(\) AC \)) пополам. Заметь, мы не говорим: «Медиана равнобедренного треугольника». А знаешь почему? Потому что медиана, проведенная из вершины треугольника, делит противоположную сторону пополам в ЛЮБОМ треугольнике.;
  • Высота – это линия, проведенная из вершины и перпендикулярная основанию. Ты заметил? Мы опять говорим о любом треугольнике, а не только о равнобедренном. Высота в ЛЮБОМ треугольнике всегда перпендикулярна основанию.

Итак, разобрались? Ну почти.

Чтобы еще лучше понять и навсегда запомнить что такое биссектриса, медиана и высота, их нужно сравнить друг с другом и понять в чем они похожи и чем они отличаются друг от друга.

При этом, чтобы лучше запомнить, лучше описать все «человеческим языком».

Потом ты легко будешь оперировать языком математики, но сначала ты этот язык не понимаешь и тебе нужно осмыслить все на своем языке.

Итак, в чем они похожи?

Биссектриса, медиана и высота – все они «выходят» из вершины треугольника и упираются в противоположную сторону и «что-то делают» либо с углом из которого выходят, либо с противоположной стороной.

По-моему, просто, нет? А чем они отличаются?

Чем друг от друга отличаются биссектриса, медиана, высота

  • Биссектриса делит угол, из которого выходит, пополам.
  • Медиана делит противоположную сторону пополам.
  • Высота всегда перпендикулярна противоположной стороне.

Теперь все. Понять – легко. А раз понял, можешь запомнить.

Теперь следующий вопрос.

Почему же в случае с равнобедренным треугольником биссектриса оказывается одновременно и медианой и высотой?

Можно просто посмотреть на рисунок и убедиться, что медиана \( BL \) разбивает \( \triangle ABC \) на два абсолютно равных треугольника.

Вот и все! Но математики не любят верить своим глазам. Им нужно все доказывать.

Страшное слово?

Ничего подобного - все просто!

Смотри: у \( \triangle ABL \) и \( \triangle CBL \) равны стороны \( AB \) и \( BC \), сторона \( BL \) у них вообще общая и \( \angle 1=\angle 2\). (\( BL \) – биссектриса!)

И вот, получилось, что два треугольника имеют по две равные стороны и угол между ними.

Вспоминаем первый признак равенства треугольников (не помнишь, загляни в тему «Треугольник») и заключаем, что \( \triangle ABL=\triangle CBL \), а значит \( AL \)= \( CL \) и \( \angle 3=\angle 4 \).

\( AL \) = \( CL \) – это уже хорошо – значит, \( BL \) оказалась медианой.

А вот что такое \( \angle 3=\angle 4 \)?

Посмотрим на картинку - \( \angle 3+\angle 4\text{ }=\text{ }180{}^\circ \).

А у нас получилось, что \( \angle 3=\angle 4 \).

Значит, \( 2\cdot \angle 3=180{}^\circ \) и \( 2\cdot \angle 4=180{}^\circ \) тоже!

Наконец, ура! \( \angle 3=90{}^\circ \) и \( \angle 4=90{}^\circ \) .

Показалось ли тебе это доказательство тяжеловатым?

Посмотри на картинку – два одинаковых треугольника говорят сами за себя.

В любом случае твердо запомни:

Биссектриса, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, делит это основание пополам и перпендикулярна ему.

Готов дальше?

Теперь сложнее...

Угол между биссектрисами любого треугольника

B \( \triangle ABC \)проведем две биссектрисы \( AO \)и \( OC \). 

Они пересеклись – а куда деваться-то? Какой же угол получился у точки \( O \)

Давай его посчитаем. Ты помнишь, что сумма углов треугольника равна \( 180{}^\circ \) ?

Применим этот потрясающий факт.

С одной стороны, из \( \triangle ABC \):

\( \angle A+\angle B+\angle C=180{}^\circ \), то есть \( \angle B=180{}^\circ \text{ }-\text{ }\left( \angle A+\angle C \right) \).

Теперь посмотрим на \( \triangle AOC \):

\( \angle 2+\angle 6+\angle 3=180{}^\circ \)

Но биссектрисы, биссектрисы же!

\( \angle 2=\frac{\angle A}{2};\ \ \angle 3=\frac{\angle C}{2} \)

Значит \( \left( \triangle AOC \right) \)

\( \frac{\angle A}{2}+\angle 6+\frac{\angle C}{2}=180{}^\circ \), то есть

\( \angle 6=180{}^\circ -\frac{\angle A}{2}-\frac{\angle C}{2} \);

\(  \angle 6=180{}^\circ -\frac{\angle A+\angle C}{2} \)

Вспомним про \( \triangle ABC : \angle A+\angle C=180{}^\circ -\angle B \)

Значит, \( \angle 6=180{}^\circ -\frac{180{}^\circ -\angle B}{2}=90+\frac{\angle B}{2} \)

Теперь через буквы

\(  \angle AOC=90{}^\circ +\frac{\angle B}{2} \)

Не удивительно ли?

Получилось, что угол между биссектрисами двух углов зависит только от третьего угла!

Ну вот, две биссектрисы мы посмотрели. А что, если их три?! Пересекутся ли они все в одной точке?

Или будет так?

Как ты думаешь? Вот математики думали-думали и доказали:

Три биссектрисы треугольника (любого!) пересекаются в одной точке, и эта точка – центр вписанной окружности.

Правда, здорово?

Хочешь знать, почему же так получается?

Переходи на следующий уровень – ты готов к покорению новых вершин знаний о биссектрисе! 🙂

СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Биссектриса – это линия, которая делит угол пополам.

Тебе встретилась в задаче биссектриса? Постарайся применить одно (а иногда можешь и несколько) из следующих потрясающих свойств:

Биссектриса равнобедренного треугольника

Не боишься слова «теорема»?

Если боишься, то – зря. Теоремой математики привыкли называть всякое утверждение, которое можно как-то вывести из других, более простых утверждений.

Так вот, внимание, теорема!

Теорема. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также и медианой, и высотой.

Докажем эту теорему, то есть поймём, почему же так получается? Посмотри на равнобедренный \( \triangle ABC. \)

В нём \( \displaystyle AB=BC \) и проведена биссектриса \( \displaystyle BD. \)  

Видишь, получилось два треугольника \( \displaystyle ABD.\) и \( \displaystyle CBD. \)

Давай посмотрим на них внимательно. И тогда увидим, что

  1. 1
    \( \displaystyle AB=BC \)
  2. 2
    \( \displaystyle BD \) - общая
  3. 3
    \( \angle 1=\angle 2 \)

А это значит (скорее вспоминай первый признак равенства треугольников!), что \( \displaystyle \triangle ABD=\triangle CBD. \)

Ну и что? Хочется тебе так сказать? А то, что мы ещё не смотрели на третьи стороны и оставшиеся углы этих треугольников.

А вот теперь посмотрим. Раз \(\displaystyle \triangle ABD=\triangle CBD \), то совершенно точно \(\displaystyle ~AD=CD \) и даже вдобавок, \( \displaystyle ~\angle 3=\angle 4. \)

Вот и получилось, что

  1. 1
    \( \displaystyle BD \)разделила сторону \(\displaystyle AC \) пополам, то есть оказалась медианой
  2. 2
    \(\displaystyle ~\angle 3=\angle 4 \), а значит, они оба по \( \displaystyle 90{}^\circ \) , так как \( \displaystyle ~\angle 3+\angle 4=180{}^\circ \) (глянь ещё раз на рисунок).

Вот и оказалась биссектриса \( \displaystyle BD \) и высотой тоже!

Ура! Доказали теорему.

Но представляешь, это ещё не всё. Верна ещё и обратная теорема:

Теорема. Если в треугольнике биссектриса, проведённая из какого-то угла, совпадает с медианой или с высотой, то этот треугольник равнобедренный.

Доказательство? Неужели тебе интересно? Читай следующий уровень теории!

А если неинтересно, то твердо запомни:

Биссектриса совпадает с высотой и медианой только в равнобедренном треугольнике!

Зачем же это твердо запоминать? Как это может помочь?

А вот представь, что у тебя задача:

Дано: \( AB=5,~\angle ~ABD=~\angle DBC,~AD=DC. \)

Найти: \( \displaystyle BC. \)

Ты тут же соображаешь, \(\displaystyle BD \) биссектриса и, о чудо, она разделила сторону \( \displaystyle AC \) пополам! (по условию…).

Если ты твердо помнишь, что так бывает только в равнобедренном треугольнике, то делаешь вывод, что AB=BC и значит, пишешь ответ: BC=5.

Здорово, правда? Конечно, не во всех задачах будет так легко, но знание обязательно поможет!

А теперь следующее свойство. Готов?

Испугался? На самом деле ничего страшного. Ленивые математики в двух строчках спрятали четыре. Итак, что же значит, «Биссектриса – геометрическое место точек»? А это значит, что выполняются сразу два утверждения:

  1. 1
    Если точка лежит на биссектрисе, то расстояния от неё до сторон угла равны.
  2. 2
    Если у какой-нибудь точки расстояния до сторон угла равны, то эта точка обязательно лежит на биссектрисе.

Видишь разницу между утверждениями 1 и 2? Если не очень, то вспомни Шляпника из «Алисы в стране чудес»: "Так ты еще чего доброго скажешь, будто "Я вижу то, что ем" и "Я ем то, что вижу", - одно и то же!"

Итак, нам нужно доказать утверждения 1 и 2, и тогда утверждение: "биссектриса – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла" будет доказано!

Почему же верно 1?

Возьмём любую точку на биссектрисе и назовём её \( \displaystyle A. \)

Опустим из этой точки перпендикуляры \( \displaystyle \) AB и \( \displaystyle AC \) на стороны угла.

А теперь... Приготовились вспоминать признаки равенства прямоугольных треугольников! Если ты их подзабыл, то загляни в раздел «Прямоугольный треугольник».

Итак… Два прямоугольных треугольника: \( \displaystyle AOC \) и \( \displaystyle AOB. \) У них:

  • Общая гипотенуза \( \displaystyle AO. \);
  • \( \displaystyle \angle 1=\angle 2 \) (потому что \( \displaystyle AO \) – биссектриса!).

Значит, \( \displaystyle \triangle AOC=\triangle AOB \) - по углу и гипотенузе. Поэтому и соответствующие катеты у этих треугольников – равны! То есть \( \displaystyle AC=AB. \)

Доказали, что точка \( \displaystyle A\) одинаково (или равно) удалена от сторон угла. С пунктом 1 разобрались. Теперь перейдём к пункту 2.

Почему же верно 2?

Возьмем какую-то точку \( \displaystyle E\) внутри угла, для которой расстояние до сторон угла равны.

И соединим точки \( \displaystyle E\) и \( \displaystyle O\).

Теперь \( \displaystyle \triangle EOC=\triangle EOB\) как прямоугольные по катету и гипотенузе.

Значит, \( \displaystyle \angle 1=\angle 2\), то есть \( \displaystyle E\) лежит на биссектрисе!

Вот и всё!

Как же все это применить при решении задач? Вот например, в задачах часто бывает такая фраза: «Окружность касается сторон угла….». Ну, и найти нужно что-то.

То быстро соображаешь, что:

  • Окружность касается сторон угла – значит, \( \displaystyle AC=AB\). (Правда, для этого нужно ещё знать, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной)
  • А раз \( \displaystyle AC=AB\), то \( \displaystyle AO\) – точно биссектриса!

И можно пользоваться равенством \( \displaystyle \angle 1=\angle 2\).

Три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке

Из свойства биссектрисы быть геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла, вытекает следующее утверждение:

Три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, и эта точка – центр вписанной в треугольник окружности.

Как именно вытекает? А вот смотри: две-то биссектрисы точно пересекутся, правда?

А третья биссектриса могла бы пройти так:

Но на самом деле-то всё гораздо лучше!

Давай рассмотрим точку пересечения двух биссектрис. Назовём её \( \displaystyle O\).

Эта точка лежит на биссектрисе \( \displaystyle AD\). Что из этого следует? 

Правильно! \( \displaystyle OK=OM\)!

Точка \( \displaystyle O\) лежит ещё и на биссектрисе \( \displaystyle CE\), поэтому \( \displaystyle OK=ON\).

Что мы тут оба раза применяли? Да пункт 1, конечно же! Если точка лежит на биссектрисе, то она одинаково удалена от сторон угла.

Вот и получилось \( \displaystyle OK=OM\) и \( \displaystyle OK=ON\).

Но посмотри внимательно на эти два равенства! Ведь из них следует, что \( \displaystyle OM=OK=ON\) и, значит, \( \displaystyle OM=ON\).

А вот теперь в дело пойдёт пункт 2: если расстояния до сторон угла равны, то точка лежит на биссектрисе…какого же угла? Ещё раз смотри на картинку:

\( \displaystyle OM\) и \( \displaystyle ON\) – расстояния до сторон угла \( \displaystyle B\), и они равны, значит, точка \( \displaystyle O\) лежит на биссектрисе угла \( \displaystyle B\). Третья биссектриса прошла через ту же точку! Все три биссектрисы пересеклись в одной точке! И, как дополнительный подарок -

\( \displaystyle OM=OK=ON\) - радиусы вписанной окружности.

(Для верности посмотри ещё тему «Вписанная окружность»).

Ну вот, теперь ты никогда не забудешь:

Точка пересечения биссектрис треугольника – центр вписанной в неё окружности.

Переходим к следующему свойству… Ух и много же свойств у биссектрисы, правда? И это здорово, потому что, чем больше свойств, тем больше инструментов для решения задач про биссектрису.

Биссектриса и параллельность, биссектрисы смежных углов

Тот факт, что биссектриса делит угол пополам, в каких-то случаях приводит к совершенно неожиданным результатам. Вот, например, некоторые из них:

Биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник.

Здорово, правда? Давай поймём, почему так.

С одной стороны, \( \displaystyle \angle 1=\angle 2\) - мы же проводим биссектрису!

Но, с другой стороны, \( \displaystyle \angle 2=\angle 3\) - как накрест лежащие углы (вспоминаем тему «Параллельные прямые»).

И теперь выходит, что \( \displaystyle \angle 1=\angle 2=\angle 3\); выкидываем середину: \( \displaystyle \angle 1=\angle 3\)! \( \displaystyle \triangle ABE\) – равнобедренный!

Биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника перпендикулярны.

Представь треугольник (или посмотри на картинку)

Давай продолжим сторону \( \displaystyle AC\) за точку \( A\). Теперь получилось два угла \( \displaystyle A\):

  • \( \displaystyle \angle 1\) – внутренний угол \( \displaystyle \triangle ABC\)
  • \( \displaystyle \angle 2\) – внешний угол \( \displaystyle \triangle ABC\) – он же снаружи, верно?

Так вот, а теперь кому-то захотелось провести не одну, а сразу две биссектрисы: и для \( \displaystyle \angle 1\), и для \( \displaystyle \angle 2\). Что же получится?

А получится прямоугольный \( \displaystyle \triangle ALK\)!

Удивительно, но это именно так.

Разбираемся.

Как ты думаешь, чему равна сумма \( \displaystyle \angle 1+\angle 2+\angle 3+\angle 4\)?

Конечно же, \( \displaystyle 180{}^\circ \) – ведь они все вместе составляют такой угол, что получается прямая \( \displaystyle AC\).

А теперь вспомним, что \( \displaystyle AL\) и \( \displaystyle AK\) –биссектрисы и увидим, что внутри угла \( \displaystyle LAK\) находится ровно половина от суммы всех четырех углов: \( \displaystyle \angle 2\) и \( \displaystyle \angle 3\)- – то есть ровно \( \displaystyle 90{}^\circ \). Можно написать и уравнением:

\( \angle 1+\angle 2+\angle 3+\angle 4=180{}^\circ \)

\( \displaystyle 2\cdot \angle 2+2\cdot \angle 3=180{}^\circ \)

\( \displaystyle 2\left( \angle 2+\angle 3 \right)=180{}^\circ \)

\( \displaystyle \angle 2+\angle 3=90{}^\circ \)

Итак, невероятно, но факт:

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего угла треугольника равен \( \displaystyle 90{}^\circ \).

Биссектрисы односторонних углов параллелограмма и трапеции пересекаются под прямым углом.

Видишь, что здесь все так же, как и для внутреннего и внешнего углов?

Или ещё раз подумаем, почему так получается?

Снова, как и для смежных углов,

\( \angle 1+\angle 2+\angle 3+\angle 4=180{}^\circ \) (как соответственные при параллельных основаниях).

И опять, \( \angle 2+\angle 3 \) составляют ровно половину от суммы \( \angle 1+\angle 2+\angle 3+\angle 4=180{}^\circ \)

Значит, \( \angle 2+\angle 3=90{}^\circ \).

Вывод: Если в задаче встретились биссектрисы смежных углов или биссектрисы соответственных углов параллелограмма или трапеции, то в этой задаче непременно участвует прямоугольный треугольник, а может даже и целый прямоугольник.

Биссектриса и противоположная сторона

Оказывается, биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону не как-нибудь, а специальным и очень интересным образом:

\( \displaystyle \frac{x}{y}=\frac{a}{b}\)

То есть:

Отношение отрезков, на которые биссектриса поделила сторону \( \displaystyle AB\), такое же, как и отношение двух сторон, между которыми эта биссектриса прошла.

Удивительный факт, не правда ли?

Сейчас мы этот факт докажем, но приготовься: будет немного сложнее, чем раньше.

Снова – выход в «космос» - дополнительное построение!

Проведём прямую \( BK\parallel AC\).

Зачем? Сейчас увидим.

Продолжим биссектрису \( \displaystyle CD\) до пересечения с прямой \( \displaystyle BK\).

Знакомая картинка? Да-да-да, точно так же, как в пункте 4, случай 1 – получается, что \( \angle 1=\angle 2\) (\( \displaystyle CD\) – биссектриса)

\( \angle 2=\angle 3\) - как накрест лежащие

\( \Rightarrow \angle 1=\angle 3\) и \( BC=BL\)

Значит, \( BL\) – это тоже \( a\).

А теперь посмотрим на треугольники \( ACD\) и \( BLD\).

Что про них можно сказать?

Они…подобны. Ну да, у них \( \angle 2=\angle 3\) и углы \( D\) равны как вертикальные. Значит, \( \triangle ACD\sim \triangle BLD\) по двум углам.

Теперь имеем право писать отношения соответствующих сторон.

\( \displaystyle \frac{BD}{AD}=\frac{BL}{AC}\)

А теперь в коротких обозначениях:

\( \displaystyle \frac{x}{y}=\frac{a}{b}\)

Ой! Что-то напоминает, верно? Не это ли самое мы хотели доказать? Да-да, именно это!

Видишь, как здорово проявил себя «выход в космос» - построение дополнительной прямой \( BK\) – без неё ничего бы не вышло! А так, мы доказали, что

\( \displaystyle \frac{x}{y}=\frac{a}{b}\)

Теперь можешь смело использовать! Разберём ещё одно свойство биссектрис углов треугольника – не пугайся, теперь самое сложное кончилось – будет проще.

Угол между биссектрисами треугольника

Пусть \( AO\) и \( CO\) – биссектрисы. 

Найдём \( \angle AOC\) (помним, что сумма углов треугольника равна \( \displaystyle 180{}^\circ \)).

\( \angle \text{ }\!\!~\!\!\text{ AOC}=180{}^\circ -\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\frac{\angle A}{2}-\frac{\angle \text{C}}{2}=180{}^\circ -\frac{\angle \text{A}+\angle \text{C}}{2}=180{}^\circ -\frac{180{}^\circ -\angle \text{B}}{2}\)

Получаем, что

\( \angle \text{ }\!\!~\!\!\text{ AOC}=90{}^\circ +\frac{\angle B}{2}\)

Это знание можно применить в тех задачах, где участвуют две биссектрисы и дан лишь угол \( B\), а искомые величины выдерживаются через \( \angle AOC\) или, наоборот, \( \angle AOC\) дан, а нужно найти что-то с участием угла \( B\).

Основные знания о биссектрисе закончились. Комбинируя эти факты, ты найдёшь ключ к любой задаче о биссектрисе!

Определения

  • Биссектриса - это линия, делящая угол пополам.
  • Биссектриса – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.

Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.

Теоремы

Теорема 1:

Три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, и эта точка – центр вписанной в треугольник окружности.

Теорема 2:

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также и медианой, и высотой.

Теорема 3:

Биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник.

Теорема 4:

Биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника перпендикулярны.

Теорема 5:

Биссектрисы односторонних углов параллелограмма и трапеции пересекаются под прямым углом.

Теорема 6:

Отношение отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону, такое же, как и отношение двух сторон, между которыми эта биссектриса прошла.

\( \displaystyle \frac{x}{y}=\frac{a}{b}\)

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Как тебе?

Теперь ты знаешь о биссектрисе все!

Даже самые странные вещи – теорема о соотношении, о внешнем угле, о прямом угле. О них часто все забывают. А они могут очень пригодится и сохранить тебе время.

Узнал что-нибудь новое? Пиши в комментариях ниже!

А еще пиши, если остались вопросы. Или возникли предложения.

Мы обязательно ответим.

Удачи!

  • Александр Кель:

    Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

    Алекс
    05 января 2018
    Отличное Объяснение! Всё подробно и понятным языком…Спасибо огромное!

    Сабина
    09 декабря 2018
    Как же все аккуратно разложено по полочкам. Все доступно пониманию. Спасибо за ваш труд.

    Данил
    14 декабря 2019
    Спасибо огромное

  • {"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
    >