Касательные, касающиеся окружности. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

1. Определения и основная теорема

В обычной жизни ты очень хорошо представляешь себе, что значит слово «коснуться». И вот представь себе, в математике тоже существует такое понятие. В этой теме мы разберёмся с выражениями «прямая касается окружности» и «две окружности касаются».

Итак.

Касательная Прямая касается окружности, если имеет с ней ровно одну общую точку.

Такая прямая называется касательной к данной окружности.

Посмотри-ка внимательно: очень похоже на жизнь, не правда ли? Прямая на картинке лишь чуть-чуть дотрагивается до окружности, касается ее.

Ну вот, и точно так же:

Касающиеся окружности Две окружности касаются, если имеют ровно одну общую точку.

Что же тебе нужно знать о касательных и касающихся окружности?

Самая важная теорема гласит, что:

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Запомни это прямо как таблицу умножения! Все остальные факты о касательных и касающихся окружностях основаны именно на этой теореме.

Доказывать её мы здесь не будем (можешь заглянуть в следующие уровни теории), а вот как эта самая важная теорема работает,  увидим сейчас несколько раз.

2. Угол между касательной и хордой

Угол между касательной и хордой Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, которая находится внутри угла.

Прежде всего: как это понимать? Подробнее о том, что такое «градусная мера дуги» написано в теме «Окружность. Вписанный угол».

Касательные, касающиеся окружности рис. 1 Здесь напомним только, что в дуге столько же градусов, сколько в центральном угле, заключающем эту дугу.То есть «градусная мера дуги» — это «сколько градусов в центральном угле» — и всё!

Ну вот, как говорит Карлсон, «продолжаем разговор».

Рисуем ещё раз теорему об угле между касательной и хордой.

Касательные, касающиеся окружности рис. 2 Смотри, хорда $latex \displaystyle AB$ разбила окружность на две дуги. Одна дуга находится ВНУТРИ угла $latex \displaystyle BAC$, а другая дуга – внутри угла $latex \displaystyle BAD$.

И теорема об угле между касательной и хордой говорит, что $latex \displaystyle \angle CAB$ равен ПОЛОВИНЕ угла $latex \displaystyle AOB$, $latex \displaystyle \angle DAB$ равен ПОЛОВИНЕ большего (на рисунке — зеленого) угла $latex \displaystyle AOB$.

При чем же тут тот факт, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной?

Сейчас и увидим. $latex \displaystyle OA$ – радиус, $latex \displaystyle AC$ – касательная.

Касательные, касающиеся окружности рис. 3 Значит , $latex \displaystyle \angle OAC=90{}^\circ $. Поэтому:$latex \displaystyle \angle 1=90{}^\circ -\angle 4$.Но $latex \displaystyle \angle 2=\angle 1$ ($latex \displaystyle OA$ и $latex \displaystyle OB$ — радиусы)$latex \displaystyle \angle 2=90{}^\circ -\angle 4$.

И осталось вспомнить, что сумма углов треугольника $latex \displaystyle AOB$ равна $latex \displaystyle 180{}^\circ $.

Пишем:

Касательные, касающиеся окружности рис. 4

Короче:

Касательные, касающиеся окружности рис. 5

Здорово, правда? И самым главным оказалось то, что $latex \displaystyle \angle OAC=90{}^\circ $.

Проверь себя — реши задачи на касательные и касающиеся окружности.

3. Равенство отрезков касательных, длина касательной

Задумывался ли ты над вопросом «а сколько касательных можно провести из одной точки к одной окружности»? Вот, представь себе, ровно две! Вот так:

Касательные, касающиеся окружности рис. 6

А ещё более удивительный факт состоит в том, что:

Отрезки касательных, проведённых из одной точки к одной окружности, равны.

То есть, на нашем рисунке, $latex \displaystyle AB=AC$.

И для этого факта тоже самым главным является то, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Вот, убедись: проведём радиусы $latex \displaystyle OB$ и $latex \displaystyle OC$ и соединим $latex \displaystyle O$ и $latex \displaystyle A$.

Касательные, касающиеся окружности рис. 7 $latex \displaystyle OB$ –радиус.
$latex \displaystyle AB$ – касательная, значит,$latex \displaystyle OB\bot AB$.
Ну, и так же $latex \displaystyle OC\bot AC$.

Получилось два прямоугольных треугольника $latex \displaystyle AOB$ и $latex \displaystyle AOC$, у которых:

  • $latex \displaystyle OB=OC$ — равные катеты
  • $latex \displaystyle OA$ — общая гипотенуза

$latex \displaystyle \Rightarrow \Delta AOB\ =\ \Delta AOC$

(заглядываем в тему «Прямоугольный треугольник«, если не помним, когда, бывают равны прямоугольные треугольники).

Касательные, касающиеся окружности рис. 8 Но раз $latex \displaystyle \Delta AOB=\Delta AOC,$ то$latex \displaystyle AB=AC$.УРА!

И ещё раз повторим – этот факт тоже очень важный:

Отрезки касательных, проведённых из одной точки, – равны.

И есть ещё один факт, который мы здесь не будем доказывать, но он может оказаться тебе полезен при решении задач.

Касательные, касающиеся окружности рис. 9 Для любой прямой $latex \displaystyle AD$, пересекающей окружность, $latex \displaystyle AD\cdot AC=A{{B}^{2}}$,  где $latex \displaystyle AB$- отрезок касательной.

Хитроумными словами об этом говорят так:

«квадрат длины отрезка касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть».

Страшно? Не бойся, помни только, что в буквах это:

Проверь себя — реши задачи на касательные и касающиеся окружности.

4. Общая касательная к двум окружностям

Общая касательная к двум окружностям Прямая, которая касается двух окружностей, называется их общей касательной.

Общие касательные бывают внешние и внутренние.

Смотри на картинки.

Общая касательная к двум окружностям рис. 2 Две внутренние общие касательные.
Общая касательная к двум окружностям рис. 3 Две внешние общие касательные.

А всего – четыре  — не больше, но может быть меньше.

Вот так:

Общая касательная к двум окружностям рис. 4 Есть только две внешние общие касательные.
Общая касательная к двум окружностям рис. 5 Или так: одна «внутренняя» и две «внешних».

А может быть вообще так: 

Общая касательная к двум окружностям рис. 6 только одна общая касательная:

И снова факты:

  1. Длины двух внутренних общих касательных равны
  2. Длины двух внешних общих касательных равны.

НО! При этом:

внешние и внутренние касательные – разные! (а некоторых, может, и вообще нет…)

5. Касающиеся окружности

Касание окружностей бывает внешним и внутренним.

Вот такая картинка называется

окружности касаются внешним образом «окружности касаются внешним образом».

А вот такая картинка называется

окружности касаются внутренним образом «окружности касаются внутренним образом».

Что же самое главное нужно знать?

Если две окружности касаются, то точка касания лежит на прямой, соединяющей центры Если две окружности касаются, то точка касания лежит на прямой, соединяющей центры.Кроме того, эта прямая перпендикулярна касательной, проведённой в точку касания окружностей.

Если тебе показалось слишком длинно – посмотри картинку. Может быть ещё так:

Касательные, касающиеся окружности рис. 11

Ура, теперь ты полностью вооружён на борьбу с касательными – дерзай!

Проверь себя — реши задачи на касательные и касающиеся окружности.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий