Площадь круга и его частей. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Круг

Круг \(\displaystyle \ S=\pi {{R}^{2}}\),
\(\displaystyle R\) — радиус,
\(\displaystyle \pi \) — число \(\displaystyle \approx 3,1428\)

Производит впечатление? Представляешь, сколько времени математики думали, пока не додумались, что

Радиус круга площадь круга радиуса \(\displaystyle R\) ровно (!) в \(\displaystyle \pi \) раз больше площади квадрата со стороной \(\displaystyle R\).

Проверь себя — реши задачи на нахождение площади круга и его частей.

Ну вот, а теперь площадь части круга.

Сектор

Смотри на картинку, это такая «хорошая» часть круга.

Сектор \(\displaystyle \ S=\frac{a}{2}{{R}^{2}}\), где:
\(\displaystyle a \) — величина угла сектора в радианах (т.е. в числах \(\displaystyle \frac{\pi }{6}\), \(\displaystyle \frac{\pi }{4}\), \(\displaystyle \frac{\pi }{27}\) и т.д.)

Подробнее о радианах смотри в теме «Окружность. Вписанный угол».

Сегмент

А это «плохая» часть круга – опять смотри на картинку:

27_1 \(\displaystyle \ {{S}_{сегмента}}={{S}_{сектора}}-{{S}_{\Delta OBC}}\)

И даже не старайся запомнить ничего другого, хотя, конечно, можно написать сразу формулу

\(\displaystyle \ S_{сегмента} \displaystyle =\frac{1}{2}{{R}^{2}}(\alpha -\sin \alpha )\),

но это и есть \(\displaystyle {{S}_{сегмента}}=\underbrace{{{S}_{сектора}}}_{\frac{1}{2}{{R}^{2}}\cdot \alpha }-\underbrace{{{S}_{\Delta OBC}}}_{\frac{1}{2}{{R}^{2}}\cdot \sin \alpha }\)

Проверь себя — реши задачи на нахождение площади круга и его частей.

Площадь других частей круга

Иногда бывает, что нужно посчитать площадь какой-нибудь странной части круга. Эта часть может не быть ни сектором, ни сегментом. Как тогда быть?

Давай рассмотрим два примера.

Пример 1

Окружности радиусов \(\displaystyle 2\) и \(\displaystyle 4\) пересекаются по хорде, равной \(\displaystyle 2\).

Найти площадь общей части кругов.

Площадь общей части кругов

Решение

Обрати  внимание, что общая часть кругов состоит из двух сегментов: красного и голубого.

Найдем площадь голубого сегмента.

Для этого нужно посмотреть на окружность с центром \(\displaystyle {{O}_{1}}\).

\(\displaystyle \Delta A{{O}_{1}}B\) — правильный \(\displaystyle  \quad \Rightarrow \ \angle A{{O}_{1}}B=\frac{\pi }{3}\,\, ({{60}^{\circ }})\).

Значит,

\(\displaystyle {{S}_{голубого\, сегм.}}=\frac{\pi }{6}\cdot {{2}^{2}}-\frac{{2}^{2}\sqrt{3}}{4}\ \)

(это по формуле \(\displaystyle {{S}_{сегм.}}={{S}_{сектора}}-{{S}_{\Delta A{{O}_{1}}B}}\) ).

Если не помнишь, как считается площадь правильного треугольника, загляни в тему «Равносторонний треугольник».

Итак, \(\displaystyle {{S}_{голубого\, сегм.}}=\frac{2}{3}\pi -\sqrt{3}\)

\(\displaystyle {{S}_{красного\, сегм.}}={{S}_{сектора\ A{{O}_{2}}B}}-{{S}_{\Delta A{{O}_{2}}B}}\)

Равносторонний треугольник \(\displaystyle {{S}_{\Delta A{{O}_{2}}B}}=\frac{1}{2}{O}_{2}K\cdot AB\)
\(\displaystyle {O}_{2}K=\sqrt{A{O}_{2}^{2}-A{K}^{2}}=\sqrt{16-1}=\sqrt{15}\)
\(\displaystyle {{S}_{A{{O}_{2}}B}}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{15}\cdot 2=\sqrt{15}.\)

А вот найти \(\displaystyle \angle A{{O}_{2}}B\) уже сложнее. Придется применять теорему косинусов!

\(\displaystyle A{{B}^{2}}=A{{O}_{2}}^{2}+{{O}_{2}}{{B}^{2}}-2A{{O}_{2}}\cdot {{O}_{2}}B\cdot \cos \angle A{{O}_{2}}B.\)

\(\displaystyle \cos \angle A{{O}_{2}}B=\frac{A{{O}_{2}}^{2}+{{O}_{2}}{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}{2A{{O}_{2}}\cdot {{O}_{2}}B}=\frac{16+16-4}{2\cdot 16}=\frac{7}{8}.\)

\(\displaystyle \Rightarrow \angle A{{O}_{2}}B=\arccos \frac{7}{8}.\)

Подставляем:

\(\displaystyle {{S}_{кр.}}=\frac{\arccos \frac{7}{8}}{2}\cdot {{4}^{2}}-\sqrt{15}=8\cdot \arccos \frac{7}{8}-\sqrt{15}\)

И теперь

\(\displaystyle S={{S}_{гол.}}+{{S}_{кр.}}=\frac{2}{3}\cdot \pi +8\cdot \arccos \frac{7}{8}-\sqrt{3}-\sqrt{15}.\)

Проверь себя — реши задачи на нахождение площади круга и его частей.

Пример 2

На стороне \(\displaystyle AB\) треугольника \(\displaystyle ABC\) как на диаметре построена окружность.

Найти площадь общей части треугольника и круга, если \(\displaystyle AB=4\), \(\displaystyle \angle A=30{}^\circ \), \(\displaystyle \angle B=140{}^\circ \).

Площадь общей части треугольника и круга

Решение

Проведем \(\displaystyle OD\).

Опять наша непонятная фигура разделилась на две стандартные:

Сектор \(\displaystyle BOD\) и \(\displaystyle \Delta AOD\).

\(\displaystyle \angle A=30{}^\circ \), значит \(\displaystyle \angle BOD=60{}^\circ \)

(смотри тему «Окружность. Вписанный угол»)

\(\displaystyle {{S}_{\ сектора \ BOD}}=\frac{\pi }{6}\cdot {{2}^{2}}=\frac{2}{3}\pi .\)

Нужно найти \(\displaystyle {{S}_{\Delta AOD}}.\)

Треугольник AOD \(\displaystyle {{S}_{\Delta AOD}}=\frac{1}{2}AO\cdot OD\cdot sin\angle O=\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2\cdot sin120{}^\circ =\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.\)

И значит,

\(\displaystyle S=\frac{2}{3}\pi +\sqrt{3}\).

Это и есть ответ.

Что же общего в этих двух примерах, и есть ли общее правило?

Есть! И оно гласит:

Непонятную фигуру нужно разделить на несколько стандартных, таких как сектор, сегмент, треугольник и т.д., потом посчитать площадь каждой стандартной фигуры и сложить все площади.

Проверь себя — реши задачи на нахождение площади круга и его частей.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *