Площадь круга и его частей. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Круг

Круг $latex \displaystyle \ S=\pi {{R}^{2}}$,
$latex \displaystyle R$ — радиус,
$latex \displaystyle \pi $ — число $latex \displaystyle \approx 3,1428$

Производит впечатление? Представляешь, сколько времени математики думали, пока не додумались, что

Радиус круга площадь круга радиуса $latex \displaystyle R$ ровно (!) в $latex \displaystyle \pi $ раз больше площади квадрата со стороной $latex \displaystyle R$.

Проверь себя — реши задачи на нахождение площади круга и его частей.

Ну вот, а теперь площадь части круга.

Сектор

Смотри на картинку, это такая «хорошая» часть круга.

Сектор $latex \displaystyle \ S=\frac{a}{2}{{R}^{2}}$, где:
$latex \displaystyle a $ — величина угла сектора в радианах (т.е. в числах $latex \displaystyle \frac{\pi }{6}$, $latex \displaystyle \frac{\pi }{4}$, $latex \displaystyle \frac{\pi }{27}$ и т.д.)

Подробнее о радианах смотри в теме «Окружность. Вписанный угол».

Сегмент

А это «плохая» часть круга – опять смотри на картинку:

27_1 $latex \displaystyle \ {{S}_{сегмента}}={{S}_{сектора}}-{{S}_{\Delta OBC}}$

И даже не старайся запомнить ничего другого, хотя, конечно, можно написать сразу формулу

$latex \displaystyle \ S_{сегмента} \displaystyle =\frac{1}{2}{{R}^{2}}(\alpha -\sin \alpha )$,

но это и есть $latex \displaystyle {{S}_{сегмента}}=\underbrace{{{S}_{сектора}}}_{\frac{1}{2}{{R}^{2}}\cdot \alpha }-\underbrace{{{S}_{\Delta OBC}}}_{\frac{1}{2}{{R}^{2}}\cdot \sin \alpha }$

Проверь себя — реши задачи на нахождение площади круга и его частей.

Площадь других частей круга

Иногда бывает, что нужно посчитать площадь какой-нибудь странной части круга. Эта часть может не быть ни сектором, ни сегментом. Как тогда быть?

Давай рассмотрим два примера.

Пример 1

Окружности радиусов $latex \displaystyle 2$ и $latex \displaystyle 4$ пересекаются по хорде, равной $latex \displaystyle 2$.

Найти площадь общей части кругов.

Площадь общей части кругов

Решение

Обрати  внимание, что общая часть кругов состоит из двух сегментов: красного и голубого.

Найдем площадь голубого сегмента.

Для этого нужно посмотреть на окружность с центром $latex \displaystyle {{O}_{1}}$.

$latex \displaystyle \Delta A{{O}_{1}}B$ — правильный $latex \displaystyle  \quad \Rightarrow \ \angle A{{O}_{1}}B=\frac{\pi }{3}\,\, ({{60}^{\circ }})$.

Значит,

$latex \displaystyle {{S}_{голубого\, сегм.}}=\frac{\pi }{6}\cdot {{2}^{2}}-\frac{{2}^{2}\sqrt{3}}{4}\ $

(это по формуле $latex \displaystyle {{S}_{сегм.}}={{S}_{сектора}}-{{S}_{\Delta A{{O}_{1}}B}}$ ).

Если не помнишь, как считается площадь правильного треугольника, загляни в тему «Равносторонний треугольник».

Итак, $latex \displaystyle {{S}_{голубого\, сегм.}}=\frac{2}{3}\pi -\sqrt{3}$

$latex \displaystyle {{S}_{красного\, сегм.}}={{S}_{сектора\ A{{O}_{2}}B}}-{{S}_{\Delta A{{O}_{2}}B}}$

Равносторонний треугольник $latex \displaystyle {{S}_{\Delta A{{O}_{2}}B}}=\frac{1}{2}{O}_{2}K\cdot AB$
$latex \displaystyle {O}_{2}K=\sqrt{A{O}_{2}^{2}-A{K}^{2}}=\sqrt{16-1}=\sqrt{15}$
$latex \displaystyle {{S}_{A{{O}_{2}}B}}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{15}\cdot 2=\sqrt{15}.$

А вот найти $latex \displaystyle \angle A{{O}_{2}}B$ уже сложнее. Придется применять теорему косинусов!

$latex \displaystyle A{{B}^{2}}=A{{O}_{2}}^{2}+{{O}_{2}}{{B}^{2}}-2A{{O}_{2}}\cdot {{O}_{2}}B\cdot \cos \angle A{{O}_{2}}B.$

$latex \displaystyle \cos \angle A{{O}_{2}}B=\frac{A{{O}_{2}}^{2}+{{O}_{2}}{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}{2A{{O}_{2}}\cdot {{O}_{2}}B}=\frac{16+16-4}{2\cdot 16}=\frac{7}{8}.$

$latex \displaystyle \Rightarrow \angle A{{O}_{2}}B=\arccos \frac{7}{8}.$

Подставляем:

$latex \displaystyle {{S}_{кр.}}=\frac{\arccos \frac{7}{8}}{2}\cdot {{4}^{2}}-\sqrt{15}=8\cdot \arccos \frac{7}{8}-\sqrt{15}$

И теперь

$latex \displaystyle S={{S}_{гол.}}+{{S}_{кр.}}=\frac{2}{3}\cdot \pi +8\cdot \arccos \frac{7}{8}-\sqrt{3}-\sqrt{15}.$

Проверь себя — реши задачи на нахождение площади круга и его частей.

Пример 2

На стороне $latex \displaystyle AB$ треугольника $latex \displaystyle ABC$ как на диаметре построена окружность.

Найти площадь общей части треугольника и круга, если $latex \displaystyle AB=4$, $latex \displaystyle \angle A=30{}^\circ $, $latex \displaystyle \angle B=140{}^\circ $.

Площадь общей части треугольника и круга

Решение

Проведем $latex \displaystyle OD$.

Опять наша непонятная фигура разделилась на две стандартные:

Сектор $latex \displaystyle BOD$ и $latex \displaystyle \Delta AOD$.

$latex \displaystyle \angle A=30{}^\circ $, значит $latex \displaystyle \angle BOD=60{}^\circ $

(смотри тему «Окружность. Вписанный угол»)

$latex \displaystyle {{S}_{\ сектора \ BOD}}=\frac{\pi }{6}\cdot {{2}^{2}}=\frac{2}{3}\pi .$

Нужно найти $latex \displaystyle {{S}_{\Delta AOD}}.$

Треугольник AOD $latex \displaystyle {{S}_{\Delta AOD}}=\frac{1}{2}AO\cdot OD\cdot sin\angle O=$
$latex \displaystyle =\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2\cdot sin120{}^\circ =\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.$

И значит,

$latex \displaystyle S=\frac{2}{3}\pi +\sqrt{3}$.

Это и есть ответ.

Что же общего в этих двух примерах, и есть ли общее правило?

Есть! И оно гласит:

Непонятную фигуру нужно разделить на несколько стандартных, таких как сектор, сегмент, треугольник и т.д., потом посчитать площадь каждой стандартной фигуры и сложить все площади.

Проверь себя — реши задачи на нахождение площади круга и его частей.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий