25 июля

1 comments

Площадь круга и его частей. Визуальный гид (ЕГЭ – 2021)

Привет! 

Существует множество сложных задач о площади круга и его частей: секторов, сегментов, пересечений...

После прочтения этой статьи они станут для тебя простыми!

Поехали!

Круг

\( \displaystyle \ S=\pi {{R}^{2}}\),

\( \displaystyle R\) - радиус,
\( \displaystyle \pi \) – число \( \displaystyle \approx 3,1415\)

Производит впечатление? Представляешь, сколько времени математики думали, пока не додумались, что...

...площадь круга радиуса \( \displaystyle R\) ровно (!) в \( \displaystyle \pi \) раз больше площади квадрата со стороной \( \displaystyle R\).

Ну вот, а теперь – площадь части круга.

Сектор

Смотри на картинку, это такая «хорошая» часть круга.

\( \displaystyle \ S=\frac{a}{2}{{R}^{2}}\),

где \( \displaystyle a \) – величина угла сектора в радианах (т.е. в числах \( \displaystyle \frac{\pi }{6}\), \( \displaystyle \frac{\pi }{4}\), \( \displaystyle \frac{\pi }{27}\) и т.д.)

Подробнее о радианах смотри в теме «Окружность. Вписанный угол».

Сегмент

А это «плохая» часть круга – опять смотри на картинку:

\( \displaystyle \ {{S}_{сегмента}}={{S}_{сектора}}-{{S}_{\Delta OBC}}\)

И даже не старайся запомнить ничего другого, хотя, конечно, можно написать сразу формулу

\( \displaystyle \ S_{сегмента} \displaystyle=\frac{1}{2}{{R}^{2}}(\alpha -\sin \alpha )\),

но это и есть \( \displaystyle {{S}_{сегмента}}=\underbrace{{{S}_{сектора}}}_{\frac{1}{2}{{R}^{2}}\cdot \alpha }-\underbrace{{{S}_{\Delta OBC}}}_{\frac{1}{2}{{R}^{2}}\cdot \sin \alpha }\)

Иногда бывает, что нужно посчитать площадь какой-нибудь странной части круга. Эта часть может не быть ни сектором, ни сегментом. Как тогда быть?

Давай рассмотрим два примера.

Окружности радиусов \( \displaystyle 2\) и \( \displaystyle 4\) пересекаются по хорде, равной \( \displaystyle 2\).

Найти площадь общей части кругов.

Решение:

Обрати внимание, что общая часть кругов состоит из двух сегментов: красного и голубого.

Найдем площадь голубого сегмента.

Для этого нужно посмотреть на окружность с центром \( \displaystyle {{O}_{1}}\).

\( \displaystyle \Delta A{{O}_{1}}B\) - правильный \( \displaystyle \quad \Rightarrow \ \angle A{{O}_{1}}B=\frac{\pi }{3}\,\, ({{60}^{\circ }})\).

Значит,

\( \displaystyle {{S}_{голубого\, сегм.}}=\frac{\pi }{6}\cdot {{2}^{2}}-\frac{{2}^{2}\sqrt{3}}{4}\ \)

(это по формуле \( \displaystyle {{S}_{сегм.}}={{S}_{сектора}}-{{S}_{\Delta A{{O}_{1}}B}}\) ).

Если не помнишь, как считается площадь правильного треугольника, загляни в тему «Равносторонний треугольник».

Итак, \( \displaystyle {{S}_{голубого\, сегм.}}=\frac{2}{3}\pi -\sqrt{3}\)

\( \displaystyle {{S}_{красного\, сегм.}}={{S}_{сектора\ A{{O}_{2}}B}}-{{S}_{\Delta A{{O}_{2}}B}}\)

\( \displaystyle {{S}_{\Delta A{{O}_{2}}B}}=\frac{1}{2}{O}_{2}K\cdot AB\)

\( \displaystyle {O}_{2}K=\sqrt{A{O}_{2}^{2}-A{K}^{2}}=\sqrt{16-1}=\sqrt{15}\)

\( \displaystyle {{S}_{A{{O}_{2}}B}}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{15}\cdot 2=\sqrt{15}.\)

А вот найти \( \displaystyle \angle A{{O}_{2}}B\) уже сложнее. Придется применять теорему косинусов!

\( \displaystyle A{{B}^{2}}=A{{O}_{2}}^{2}+{{O}_{2}}{{B}^{2}}-2A{{O}_{2}}\cdot {{O}_{2}}B\cdot \cos \angle A{{O}_{2}}B.\)

\( \displaystyle \cos \angle A{{O}_{2}}B=\frac{A{{O}_{2}}^{2}+{{O}_{2}}{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}{2A{{O}_{2}}\cdot {{O}_{2}}B}=\frac{16+16-4}{2\cdot 16}=\frac{7}{8}.\)

\( \displaystyle \Rightarrow \angle A{{O}_{2}}B=\arccos \frac{7}{8}.\)

Подставляем:

\( \displaystyle {{S}_{кр.}}=\frac{\arccos \frac{7}{8}}{2}\cdot {{4}^{2}}-\sqrt{15}=8\cdot \arccos \frac{7}{8}-\sqrt{15}\)

И теперь

\( \displaystyle S={{S}_{гол.}}+{{S}_{кр.}}=\frac{2}{3}\cdot \pi +8\cdot \arccos \frac{7}{8}-\sqrt{3}-\sqrt{15}.\)

Пример 2

На стороне \( \displaystyle AB\) треугольника \( \displaystyle ABC\) как на диаметре построена окружность.

Найти площадь общей части треугольника и круга, если \( \displaystyle AB=4\), \( \displaystyle \angle A=30{}^\circ \), \( \displaystyle \angle B=140{}^\circ \).

Решение:

Проведем \( \displaystyle OD\).

Опять наша непонятная фигура разделилась на две стандартные:

Сектор \( \displaystyle BOD\) и \( \displaystyle \Delta AOD\).

\( \displaystyle \angle A=30{}^\circ \), значит \( \displaystyle \angle BOD=60{}^\circ \)

(смотри тему «Окружность. Вписанный угол»)

\( \displaystyle {{S}_{\ сектора \ BOD}}=\frac{\pi }{6}\cdot {{2}^{2}}=\frac{2}{3}\pi .\)

Нужно найти \( \displaystyle {{S}_{\Delta AOD}}.\)

\( \displaystyle {{S}_{\Delta AOD}}=\frac{1}{2}AO\cdot OD\cdot sin\angle O=\)

\( \displaystyle=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2\cdot sin120{}^\circ =\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.\)

И значит,

\( \displaystyle S=\frac{2}{3}\pi +\sqrt{3}\).

Это и есть ответ.

Что же общего в этих двух примерах, и есть ли общее правило?

Есть! И оно гласит:

Непонятную фигуру нужно разделить на несколько стандартных, таких как сектор, сегмент, треугольник и т.д., потом посчитать площадь каждой стандартной фигуры и сложить все площади.

Основные формулы

  • Площадь круга:
    \( \displaystyle S=\pi {{R}^{2}}\)
  • Площадь сектора:
    \( \displaystyle S=\frac{a}{2}{{R}^{2}}\), где: \( \displaystyle a \) – величина угла сектора в радианах.
  • Площадь сегмента:
    \( \displaystyle {{S}_{сегмента}}={{S}_{сектора}}-{{S}_{\Delta OBC}}\)

Правило нахождения нестандартной части круга

  • Непонятную фигуру нужно разделить на несколько стандартных (сектор, сегмент, треугольник и т.д.), потом посчитать площадь каждой стандартной фигуры и сложить все площади.

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Знаешь, что самое важное?

Что теперь ты знаешь намного больше, чем обычно рассказывают в школе. И я очень тобой горжусь.

Такие вещи очень полезно знать. Кто знает, вдруг подкрадется какая-нибудь задача про это? 🙂

Мы будем очень рады узнать твое мнение об этой статье. А еще мы ответим на любые твои вопросы, если такие есть.

Напиши в комментариях ниже, понравилась ли тебе статья? Все ли было достаточно подробно?

Мы читаем все!

Удачи!

  • Александр Кель:

    Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

    Сережа
    07 апреля 2019
    Как рассчитать площадь треугольника с криволинейной (выпуклой дугой) гипотенузой? Размеры катетов и дуги известны.

    Алексей Шевчук
    04 сентября 2019
    Сережа, проведи прямую гипотенузу, таким образом ты разобьёшь фигуру на 2 части. Вычисли площадь каждой из них, потом сложи.

    Роберт
    23 ноября 2019
    Как найти площадь усеченной полу окружности?

    Алексей Шевчук
    24 ноября 2019
    Роберт, разрежьте её на два сектора и треугольник, посчитайте площадь каждой части, потом сложите.

    Владислав
    26 января 2020
    Как найти площадь наложенных друг на друга секторов, с центрами внутри одной окружности?

    Алексей Шевчук
    27 января 2020
    Владислав, не совсем понятно, это секторы одной окружности, то есть с общим центром? Или центры не совпадают?

    Нодир Юлдашев
    09 июня 2020
    Алексей, как можно посчитать, сколько процентов площади первого круга затмил второй круг исходя из того, сколько части диаметра первого круга затмил второй круг? Сейчас почитал про предстоящее кольцеобразное солнечное затмение 21 июня 2020 года и мне стало интересно. Диаметры кругов могут немножко отличаться из-за периодического изменения расстояния до Солнца и до Луны (в максимуме этого затмения видимый диаметр Солнца будет 31′ 28,4″ (0,524(5)°), а Луны — 30′ 48″ (0,51(3)°)). https://heavens-above.com/SolarEclipse.aspx?jdmax=2459021.77865012 (вкладка «Местные условия»)

    Алексей Шевчук
    09 июня 2020
    Нодир, можно. Углы, которые здесь написаны, пропорциональны диаметрам (а значит, и радиусам) кругов. Отношение площадей равно квадрату отношения радиусов или диаметров (если поделить две формулы площади круга друг на друга, пи сокращается). Делим угловой диаметр Луны на Солнца, возводим в квадрат. Числа должны быть переведены в единицы измерения одного типа, например, в граусы: (0,513 / 0,525)^2 = 0.977^2 = 0.955 = 95.5%

    Нодир Юлдашев
    09 июня 2020
    Алексей, спасибо за ответ, это тоже запомню, я хотел спросить о частичном затмении, которое у нас можно будет наблюдать. Луна подойдёт к Солнцу справа (с запада) и начинает его закрывать. В максимальной фазе Луна закроет 0,652 части диаметра Солнца (это величина (магнитуда) затмения) и 56,4% его площади (это максимальная фаза, %) (нижнюю часть Солнца). Центр Луны через центр Солнца у нас не пройдёт. Потом будет двигаться дальше налево (на восток) и выйдет из солнечного диска. Хотел поинтересоваться, а можно ли составить формулу для вычисления процента площади затмения исходя из величины (магнитуды) затмения. Я сам не школьник, я бухгалтер, и мне просто стало интересно. 🙂

  • {"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
    >