Призма. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

1. Что такое призма?

Давай ответим сперва картинками:

Призмы

Смотри: у призмы сверху и снизу два одинаковых многоугольника – они называются основаниями. Остальные грани называются боковыми. Плоскости оснований параллельный. Боковые грани – параллелограммы.

Рисуем ещё раз:

Призма. Основание и грани.

А теперь: рёбра. Смотри: бывают рёбра основания и боковые рёбра.

Призма. Ребра.

Важно знать, что:

все боковые рёбра призмы равны и параллельны.

Если в основании призмы лежит треугольник, то призма называется треугольной, если четырёхугольник, то – четырёхугольной и так далее: бывают и десятиугольные, и двадцатиугольные призмы, но , к счастью, не в твоих задачах. А у тебя будут встречаться чаще всего треугольные, четырёхугольные и шестиугольные призмы.

2. Высота призмы

Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.

Призма. Высота.

И ясно даже (а тебе?), что та же самая высота получится, если опустить перпендикуляр из любой точки на верхней плоскости.

Проверь себя — реши задачи на призму.

3. Прямая призма

Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, то призма называется прямой.

Правильная призма. У прямой призмы:

  • все боковые грани прямоугольники;
  • все сечения проходящие через боковые рёбра – прямоугольники;
  • и даже сечения, проходящие только через одно боковое ребро — прямоугольники.
У прямой призмы высота совпадает с боковым ребром.

4. Правильная призма

Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, а в основании лежит правильный многоугольник, то призма называется правильной.

То есть правильная призма – это прямая призма, у которой в основании правильный многоугольник. Тебе, скорее всего, может встретиться:

1) Правильная треугольная призма – в основании правильный треугольник, боковые грани – прямоугольники.

Правильная треугольная призма

2) Правильная четырёхугольная призма – это ещё и разновидность прямоугольного параллелепипеда – в основании квадрат, боковые грани – прямоугольники.

Правильная четырёхугольная призма

3) Правильная шестиугольная призма – в основании правильный шестиугольник, боковые грани – прямоугольники.

Правильная шестиугольная призма

Проверь себя — реши задачи на призму.

Объём призмы

Главная формула объема призмы

\(\displaystyle V=S{{\ }_{основания}}\cdot \text{H}\)

\({{\text{S}}_{основания}}\) –площадь основания

\(H\) – высота

Объем призмы

Эта формула верна для любой призмы, но если призма прямая, то \(H\) «превращается» в боковое ребро. И тогда

\(\displaystyle V=S{{\ }_{основания}}\cdot \text{H}\)

– то же самое, что

\(\displaystyle V=S{{\ }_{основания}}\cdot боковое\ ребро\)

Объем призмы 2

Необычная формула объёма призмы

Представь себе, есть ещё одна, «перевёрнутая» формула для объёма призмы .

\(\Large \text{V}={{\text{S}}_{\bot }}\cdot l\)

\({{\text{S}}_{\bot }}\) — площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,

\(l\) — длина бокового ребра.

Объем призмы 3

Используется ли эта формула в задачах? Честно говоря, довольно редко, так что можешь ограничиться знанием основной формулы объёма.

Давай теперь для упражнения посчитаем объём самых популярных призм.

Проверь себя — реши задачи на призму.

Правильная треугольная призма

Пусть дано, что сторона основания равна \(a\), а боковое ребро равно \(b\).

Правильная треугольная призма

Найдём объём:

\(\text{V}={{\text{S}}_{Основания}}\cdot \text{H}={{\text{S}}_{\text{ABC}}}\cdot \text{b}\)

Вспомним, как находить площадь правильного треугольника

Площадь правильного треугольника

\({{\text{S}}_{\text{ABC}}}=\frac{1}{2}\text{a}\cdot \text{h}\)

\(\text{h}=\sqrt{{{\text{a}}^{2}}-\frac{{{\text{a}}^{2}}}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{a}\)

\({{\text{S}}_{\text{ABC}}}=\frac{1}{2}\text{a}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\text{a}=\frac{{{\text{a}}^{2}}\sqrt{3}}{4}\)

Подставляем в формулу объёма:

\(\text{V}={{\text{S}}_{\text{ABC}}}\cdot \text{b}=\frac{{{\text{a}}^{2}}\text{b}\sqrt{3}}{4}\).

Правильная четырёхугольная призма

Опять дано: сторона основания равна \(a\), боковое ребро равно \(b\).

Правильная четырёхугольная призма

\(\text{V}={{\text{S}}_{\text{основания}}}\cdot \text{H}={{\text{S}}_{\text{ABC}}}\cdot \text{b}\)

Ну, площадь квадрата долго искать не надо:

\(\displaystyle {{\text{S}}_{\text{ABCD}}}={{\text{a}}^{2}}\)

Значит, \(\displaystyle \text{V}={{\text{S}}_{\text{ABCD}}}\cdot \text{b}={{\text{a}}^{2}}\text{b}\).

Правильная шестиугольная призма

\(\displaystyle \text{V}={{\text{S}}_{\text{основния}}}\cdot \text{H}={{\text{S}}_{\text{ABCDEF}}}\cdot \text{b}\)

Правильная шестиугольная призма

Что же такое \(\displaystyle {{\text{S}}_{\text{ABCDEF}}}\)? Как найти?

Смотри: шестиугольник \(\displaystyle ABCDEF\) состоит из шести одинаковых правильных треугольников.

Шестиугольник

Значит: \(\displaystyle {{\text{S}}_{\text{ABCDF}}}=6\cdot \frac{{{\text{a}}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}{{\text{a}}^{2}}}{2}\)

Ну и теперь \(\displaystyle \text{V}={{\text{S}}_{\text{ABCDF}}}\cdot \text{b}=\frac{3\sqrt{3}{{\text{a}}^{2}}\text{b}}{2}\).

Проверь себя — реши задачи на призму.

Площадь поверхности призмы

Площадь боковой поверхности призмы – сумма площадей всех боковых граней.

Есть ли общая формула? Нет, в общем случае нет. Просто нужно искать площади боковых граней и суммировать их.

Призма 2

Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.

\(\displaystyle {{\text{S}}_{полн. пов.}}={{\text{S}}_{боков.пов.}}+2\cdot {{\text{S}}_{\text{основания}.}}\)

Поверхность призмы

Формулу можно написать для прямой призмы:

\(\displaystyle {{\text{S}}_{боков.}}=\text{H}\cdot \text{P}\), где \(\displaystyle P\) — периметр основания.

Призма. Периметр основания.

\(\displaystyle {{\text{S}}_{\text{полной}}}=\text{H}\cdot \text{P}+2{{\text{S}}_{основания}}\).

Но всё-таки гораздо проще в каждом конкретном случае сложить все площади, чем запоминать дополнительные формулы. Для примера посчитаем полную поверхность правильной шестиугольной призмы.

Пусть сторона основания равна \(\displaystyle a\), а боковое ребро равно \(\displaystyle b\).

Сторона и боковое ребро призмы.

\(\displaystyle {{\text{S}}_{полн.}}={{\text{S}}_{бок.}}+2\cdot {{\text{S}}_{\text{осн}.}}\)

Все боковые грани – прямоугольники. Значит \(\displaystyle {{\text{S}}_{\text{бок.}}}=6\cdot \text{ab}\).

\(\displaystyle {{\text{S}}_{осн.}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}{{\text{a}}^{2}}\) — это уже выводили при подсчёте объёма.

Итак, получаем:

\(\displaystyle {{\text{S}}_{\text{осн.}}}=6\text{ab}+3\sqrt{3}{{\text{a}}^{2}}\).

Проверь себя — реши задачи на призму.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *