Тригонометрические уравнения. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Привет! Сегодня мы с тобой изучим, как решать одну из разновидностей уравнений – тригонометрические. Услышал новое слово? И, дай догадаюсь, это новое слово «тригонометрические»? Ну, так дело не пойдет! Если ты не знаком с этим понятием, то прежде чем продолжить чтение, настоятельно рекомендую тебе повторить хотя бы следующие разделы:

  1. Синус, косинус, тангенс и котангенс угла и числа
  2. Тригонометрическая окружность
  3. Формулы тригонометрии.

Ну что, все усвоил? Ну да ладно, совсем все и не потребуется, мне важно лишь, чтобы ты знал следующие вещи: что такое синус, косинус, тангенс, котангенс. Какие знаки принимает та или иная тригонометрическая функция в разных четвертях тригонометрической окружности, какие из этих функций нечетные, а какая – четная, также совершенно необходимо знание значений тригонометрических функций в основных углах 1 четверти. Что еще? Ну да, правила арифметики (как складывать, умножать, делить и вычитать дроби и числа) тоже никто не отменял. Как мне кажется, этого пока что будет вполне достаточно. Если это по ходу моего повествования окажется не так, то не сердись, придется вспомнить что-нибудь еще, не упомянутое здесь.

Итак, настало время переходить к тригонометрическим уравнениям. Что же это такое, как ты думаешь? Является ли, например, уравнение

$latex \displaystyle \frac{2}{2{x}-11}=\frac{1}{3}$

тригонометрическим? Ты и сам прекрасно понимаешь, что нет! Потому что ни одной тригонометрической функции $latex \displaystyle \left( sinx,cosx,tgx,ctgx \right)$ в нем и в помине нет! А что насчет вот такого уравнения?

$latex \displaystyle sin2x+3x=2$

и опять ответ отрицательный! Это так называемое уравнение смешанного типа: оно содержит как тригонометрическую составляющую, так и линейную ($latex \displaystyle 3x$). Некоторые типы подобных уравнений мы будем с тобой решать в следующих статьях по данной тематике.

Но вернемся к вопросу: что же такое тригонометрические уравнения?

Ответ:

Тригонометрические уравнения — это уравнения, в которых неизвестная находится строго под знаком тригонометрической функции!

Например:

$latex \displaystyle 6co{{s}^{2}}x+5sin{x}-7=0$

$latex \displaystyle sin\pi \sqrt{x}=-1$

$latex \displaystyle \frac{3}{5}sinx+\frac{4}{5}cosx=1$ и т.д.

Однако в данной статье мы не будем решать сложные и иногда неприступные тригонометрические уравнения, а ограничимся самыми простыми уравнениями вида:

$latex \displaystyle sinf\left( x \right)=a$

$latex \displaystyle cosf\left( x \right)=a$

$latex \displaystyle tgf\left( x \right)=a$

$latex \displaystyle ctgf\left( x \right)=a$

где $latex \displaystyle a$ – некоторое постоянное число ($latex \displaystyle 0,5;~1;~-1;\pi ;\ ~1-\sqrt{3};~1000$) и т. д., а $latex \displaystyle f\left( x \right)$ – некоторая функция, зависящая от искомой переменной $latex \displaystyle x$, например $latex \displaystyle f\left( x \right)=x,~f\left( x \right)=2-x,~f\left( x \right)=\frac{\pi x}{7}$ и т. д. Такие уравнения называются простейшими! И основная цель решения ЛЮБОГО тригонометрического уравнения – это свести его к виду простейшего!! Для этого, как правило, используют аппарат, который я описал в разделе «Формулы тригонометрии»

Так что очень важно, я бы даже сказал, жизненно необходимо научиться решать простейшие уравнения, ибо они – фундамент для решения сложных примеров. Более того, простейшие тригонометрические уравнения встречаются не менее одного и не более ЧЕТЫРЕХ раз в заданиях ЕГЭ: это может быть задача B5 (простейшее тригонометрическое уравнение – встречается время от времени), B14 (в конечном счете сводится к решению простейшего тригонометрического уравнения – ОЧЕНЬ ЧАСТО ВСТРЕЧАЕТСЯ В ЕГЭ), B12 (задача с прикладным содержанием, которая включает в себя решение тригонометрического уравнения – встречается изредка), С1 (решение тригонометрического уравнения средней сложности – ОЧЕНЬ ЧАСТО, ПРАКТИЧЕСКИ ВСЕГДА!). Так что, как ты понимаешь, при некоторых раскладах, навык решения данного вида уравнений может добавить в твою копилку аж 5 баллов ЕГЭ из 30! Довольно весомый вклад, надо заметить!

Есть два способа решения тригонометрических уравнений – через формулы и по кругу. В принципе, я не могу сказать, что легче: держать в голове, как строится круг, или помнить 4 формулы. Тут решать тебе самому, однако я все же предпочитаю решать данные уравнения через формулы, поэтому здесь я буду описывать именно этот метод.

Вначале мы начнем с «самых простейших» из простейших уравнений вида:

$latex \displaystyle \text{sinx}=\text{a}$,

$latex \displaystyle \text{cosx}=\text{a}$,

$latex \displaystyle \text{tgx}=\text{a}$,

$latex \displaystyle \text{ctgx}=\text{a}$.

Я хочу сразу оговориться вот о чем, будь внимателен:

ПЕРВЫЕ ДВА УРАВНЕНИЯ (а также их более общий случай
$latex \displaystyle sinf\left( x \right)=a$, $latex \displaystyle cosf\left( x \right)=a$) имеют смысл только тогда, когда $latex \displaystyle -1\le \text{a}\le 1$!!!!!!
В то же время уравнения вида $latex \displaystyle \text{tgx}=\text{a}$, $latex \displaystyle \text{ctgx}=\text{a}$  имеют смысл уже при всех значениях  $latex \displaystyle \text{a}$.

То есть, тебе не надо знать вообще никаких формул, чтобы спокойно ответить, что уравнения, например:
$latex \displaystyle sinx=1000$

$latex \displaystyle cos\left( 3{x}-sin\left( x \right) \right)=2$

$latex \displaystyle sin\left( 2{{x}^{2}}-2x+1 \right)=-3$

Корней не имеют!!! Еще раз скажу: внимательно обдумай эти слова, они уберегут тебя от многих глупых ошибок!!

Для остальных же случаев формулы вот такие:

$latex \displaystyle A$ $latex \displaystyle a$ $latex \displaystyle -1$ $latex \displaystyle 0$ $latex \displaystyle 1$
$latex \displaystyle \sin x=A$ $latex \displaystyle {{\left( -1 \right)}^{n}}\arcsin \alpha +\pi n$ $latex \displaystyle -\frac{\pi }{2}+2\pi n$ $latex \displaystyle \pi n$ $latex \displaystyle \frac{\pi }{2}+2\pi n$
$latex \displaystyle \cos x=A$ $latex \displaystyle \pm \arccos \alpha +2\pi n$ $latex \displaystyle \pi +2\pi n$ $latex \displaystyle \frac{\pi }{2}+\pi n$ $latex \displaystyle 2\pi n$
$latex \displaystyle tgx=A$ $latex \displaystyle arctg\alpha +\pi n$ $latex \displaystyle -\frac{\pi }{4}+\pi n$ $latex \displaystyle \pi n$ $latex \displaystyle \frac{\pi }{4}+\pi n$
$latex \displaystyle ctgx=A$ $latex \displaystyle arcctg\alpha +\pi n$ $latex \displaystyle \frac{3\pi }{4}+\pi n$ $latex \displaystyle \frac{\pi }{2}+\pi n$ $latex \displaystyle \frac{\pi }{4}+\pi n$

Больше задач — после регистрации.

На самом деле в этой таблице данных немного больше, чем нужно. Тебе нужно лишь запомнить первые два ее столбца, другие столбцы – частные случаи решения тригонометрических уравнений. Я, допустим, никогда не утруждаю себя их запоминанием, а вывожу ответ из основных формул.

Глядя на таблицу, не возникло ли у тебя пары вопросов? У меня бы возникли вот какие: что такое $latex \displaystyle n$ и что такое, например $latex \displaystyle arcsin\alpha ~\left( arccos\alpha ,~arctg\alpha ,~arcctg\alpha  \right)$? Отвечаю на все по порядку:

  1. $latex \displaystyle n$ – Это любое целое число $latex \displaystyle \left( 0,\text{ }1,\text{ }-1,\text{ }2,\text{ }-2,\text{ }\ldots .\text{ } \right)$. В чем уникальная особенность тригонометрических уравнений перед всеми остальными, которые ты изучал? ОНИ ИМЕЮТ БЕСКОНЕЧНОЕ КОЛИЧЕСТВО КОРНЕЙ!!! И число $latex \displaystyle n$ и служит для обозначения этой «бесконечности». Конечно, вместо $latex \displaystyle n$ можно писать любую другую букву, только не забывай добавить в ответе: $latex \displaystyle n\in Z$ – что означает, что $latex \displaystyle n$ – есть любое целое число.
  2. Теперь насчет арксинуса и других «арок». Вообще, так записываются обратные тригонометрические функции и понимать, скажем, $latex \displaystyle arcsin\alpha $ надо как «угол, синус которого равен $latex \displaystyle \alpha $)

    $latex \displaystyle arcsin\alpha $– угол, синус которого равен $latex \displaystyle \alpha $
    $latex \displaystyle arccos\alpha $– угол, косинус которого равен $latex \displaystyle \alpha $
    $latex \displaystyle arctg\alpha $– угол, тангенс которого равен $latex \displaystyle \alpha $
    $latex \displaystyle arcctg\alpha $ – угол, котангенс которого равен $latex \displaystyle \alpha $

    Считаются же они непосредственно по определению:
    Например,

    $latex \displaystyle \arcsin \left( 0 \right)=0,\ \ \ \ \arccos \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)=\frac{\pi }{4},\ \ \ \ \ arctg\left( 1 \right)=\frac{\pi }{4}$
    $latex \displaystyle \arcsin \left( 0,5 \right)=\frac{\pi }{6},\ \ \ \ \ \arccos \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)=\frac{\pi }{6},\ \ \ \ \ arctg\left( \sqrt{3} \right)=\frac{\pi }{3}$.

То есть алгоритм их вычисления такой: смотрим на то, что стоит под «аркой» – какое там число. Второе – смотрим, какая у нас «арка» – для синуса ли, или для косинуса, тангенса… Третье – смотрим, чему равен угол (1 четверти), для которого синус или косинус или… равен числу, стоящему под аркой. Четвертое – записываем ответ. Вот простой пример:

$latex \displaystyle \arccos \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$

  1. Под аркой число $latex \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$
  2. Арка для функции косинус!
  3. Косинус какого угла равен $latex \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$?
  4. Угла $latex \displaystyle \frac{\pi }{6}$ (или $latex \displaystyle 30$ градусов!)
  5. Тогда $latex \displaystyle \arccos \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)=\frac{\pi }{6}$

Сам посчитай:

  • $latex \displaystyle \ arctg\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$
  • $latex \displaystyle \arcsin \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$

Ответы: $latex \displaystyle \frac{\pi }{6}$ и  $latex \displaystyle \frac{\pi }{3}$.

Все ли я сказал про арки? Почти что да! Остался вот какой момент. Что делать, если арка берется от отрицательного числа? Лезть в таблицу – как бы не так! Для арок выполняются следующие формулы:

  1. $latex \displaystyle \text{arcsin}\left( -\alpha  \right)=-\text{arcsin}\alpha $
  2. $latex \displaystyle \text{arctg}\left( -\alpha  \right)=-\text{arctg}\alpha $
  3. $latex \displaystyle \text{arcctg}\left( -\alpha  \right)=-\text{arcctg}\alpha $
    И внимание!!!
  4. $latex \displaystyle \text{arccos}\left( -\alpha  \right)=\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-\text{arccos}\left( \alpha  \right)$

Грубо говоря, тут все как для обычных тригонометрических функций – синус, тангенс и котангенс – нечетные, а косинус – четная. Соответственно – арксинус, арктангенс и арккатангенс – нечетные (минусик выносится из аргумента и ставится перед функцией), а арккосинус – четная. Только вот четность у него записывается вот в такой забавной форме!

Ну все, теперь мы можем приступать к решению простейших уравнений!

  1. $latex \displaystyle sin\left( x \right)=0,5$
  2. $latex \displaystyle sin\left( x \right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
  3. $latex \displaystyle sin\left( x \right)=\frac{\pi }{2}$
  4. $latex \displaystyle sin\left( x \right)=-0,1$
  5. $latex \displaystyle cos\left( x \right)=1$
  6. $latex \displaystyle cos\left( x \right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}$
  7. $latex \displaystyle cos\left( x \right)=\frac{\pi }{4}$
  8. $latex \displaystyle cos\left( x \right)=-\sqrt{2}$
  9. $latex \displaystyle tg\left( x \right)=\sqrt{2}$
  10. $latex \displaystyle ctg\left( x \right)=-\sqrt{3}$
  11. $latex \displaystyle ctg\left( x \right)=1$

Ну что, давай решать вместе!

1. $latex \displaystyle sin\left( x \right)=0,5$
Запишу по определению:
$latex \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n}}\arcsin \left( 0,5 \right)+\pi n,~n\in Z$
Все готово, осталось только упростить, посчитав значение арксинуса. Синус какого угла равен $latex \displaystyle 0,5$? Правильно, синус угла $latex \displaystyle \frac{\pi }{6}$!

Тогда запишу ответ:

$latex \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{\pi }{6}+\pi n,~n\in Z$
Вот и все, элементарно, правда?

2. $latex \displaystyle sin\left( x \right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
Снова по определению:
$latex \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n}}\arcsin \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)+\pi n,~n\in Z$
Так оставлять нельзя! Вначале вынесу «минус» из арксинуса!
$latex \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n}}\left( -\arcsin \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \right)+\pi n,~n\in Z$
Что по сути означает этот минус? Это означает умножение на минус единицу!!!
$latex \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n}}\left( -1 \right)\arcsin \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)+\pi n,~n\in Z$
По правилам умножения степеней соберу две «минус единицы в одну запись»!
$latex \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n}}\left( -1 \right)\arcsin \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)+\pi n={{\left( -1 \right)}^{n+1}}\arcsin \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)+\pi n$
Осталось посчитать арксинус: Синус какого угла равен $latex \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$? Правильно, синус угла $latex \displaystyle \frac{\pi }{3}$!

Тогда запишу ответ:

$latex \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n+1}}\frac{\pi }{3}+\pi n,~n\in Z~$

Можешь запомнить на будущее: что если ты решаешь тригонометрическое уравнение с отрицательной правой частью, то ты решаешь его, не глядя на эту «отрицательность», просто «загоняя» ее в степень минус единицы!

3. $latex \displaystyle sin\left( x \right)=\frac{\pi }{2}$
Пример-ловушка! Невнимательный ученик бы записал ответ в лоб:
$latex \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n}}\arcsin \left( \frac{\pi }{2} \right)+\pi n,~n\in Z$
Или того хуже:
$latex \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n}}\cdot 1+\pi n,~n\in Z$
Так как $latex \displaystyle \sin \left( \frac{\pi }{2} \right)=1$
Но ты же внимательно читал мои пространные рассуждения, не так ли? И ты ведь не напишешь такую чушь? И ты понял, в чем здесь подвох? А подвох вот в чем:
$latex \displaystyle \frac{\pi }{2}\approx \frac{3,14}{2}>1$
А мы помним, что если правая часть тригонометрического уравнения больше $latex \displaystyle 1$ (или меньше $latex \displaystyle -1$), то такое уравнение решений не имеет в принципе!! Второе рассуждение тем более ересь: $latex \displaystyle \arcsin \left( \frac{\pi }{2} \right)$ надо понимать как: угол, синус которого равен $latex \displaystyle \frac{\pi }{2}$. А ну-ка попытайся в таблице найти такой угол, синус которого равен $latex \displaystyle \frac{\pi }{2}$?! Не нашел? То-то же!

В общем, из того, что $latex \displaystyle \sin \left( \frac{\pi }{2} \right)=1$ никак не следует, что и $latex \displaystyle \arcsin \left( \frac{\pi }{2} \right)=1$!! Из этого только следует, что $latex \displaystyle \arcsin 1=\frac{\pi }{2}$!

4. $latex \displaystyle sin\left( x \right)=-0,1$
По определению:
$latex \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n}}\arcsin \left( -0,1 \right)+\pi n,~n\in Z$
Или вынесем минус (как в примере 2):
$latex \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n+1}}\arcsin \left( 0,1 \right)+\pi n,~n\in Z$
На этом стоп! Такого числа как $latex \displaystyle 0,1$ нет в таблице значений тригонометрических функций, поэтому оставим все как есть:

Ответ: $latex \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n+1}}\arcsin \left( 0,1 \right)+\pi n,~n\in Z$

5. $latex \displaystyle cos\left( x \right)=1$
И снова по определению (теперь для уравнения другого вида)
$latex \displaystyle x=\pm arccos1+2\pi n,~n\in Z$
Чему равен угол, косинус которого равен $latex \displaystyle 1$? Этот угол равен $latex \displaystyle 0$!
$latex \displaystyle x=\pm 0+2\pi n,~n\in Z$
Тогда нет смысла прибавлять или вычитать ноль, все равно это ноль.
$latex \displaystyle x=2\pi n,~n\in Z$

Получили формулу, которая есть в таблице решений тригонометрических уравнений!

6. $latex \displaystyle cos\left( x \right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}$
По определению:

$latex \displaystyle x=\pm \arccos \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right)+2\pi n,~n\in Z$

Прежде всего вынесем «минус» по правилам для арккосинуса:

$latex \displaystyle x=\pm \left( \pi -\arccos \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \right)+2\pi n,~n\in Z$

Вот так и никак иначе выносится минус, запомни это!
Теперь арккосинус. Не во всех таблицах есть значение $latex \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$, но во всех есть $latex \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$!!! А теперь, внимание, ловкость рук и никакого мошенничества!

$latex \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$latex \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Я не зря выделил это замечание таким крупным шрифтом, запомни это тождество хорошенько! Оно спасет тебя в очень многих случаях!!
Итак, чему же равен угол, косинус которого равен $latex \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$(или одно и то же $latex \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$ ) ? Верно, это угол $latex \displaystyle \frac{\pi }{4}$.
Тогда

$latex \displaystyle x=\pm \left( \pi -\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\frac{\pi }{4} \right)+2\pi n,~n$
$latex \displaystyle x=\pm \left( \frac{4\pi }{4}-\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\frac{\pi }{4} \right)+2\pi n,~n\in Z$
$latex \displaystyle x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi n,~n\in Z$

Ответ: $latex \displaystyle x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi n,~n\in Z$

7. $latex \displaystyle cos\left( x \right)=\frac{\pi }{4}$
Еще один пример-обманка! Хотя данное уравнение решения имеет, ибо:
$latex \displaystyle \frac{\pi }{4}=\frac{3,14}{4}<1$
Тогда по определению:
$latex \displaystyle x=\pm \arccos \left( \frac{\pi }{4} \right)+2\pi n,~n\in Z$
Но из этого никак не следует, что $latex \displaystyle \arccos \left( \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$!!!!!! Запомни, арккосинус – это угол, его аргумент (начинка) – это число, а выход – угол!!! Ты когда-нибудь встречал в своей практике такой странный угол как $latex \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$?! Вот и я нет. Поэтому оставим как есть!

Ответ: $latex \displaystyle x=\pm \arccos \left( \frac{\pi }{4} \right)+2\pi n,~n\in Z$

8. $latex \displaystyle cos\left( x \right)=-\sqrt{2}$
Все просто: $latex \displaystyle -\sqrt{2}<-1$ и решений данное уравнение не имеет.

9. $latex \displaystyle tg\left( x \right)=\sqrt{2}$
Запишем по определению:
$latex \displaystyle x=arctg\sqrt{2}+\pi n,~n\in Z$
$latex \displaystyle arctg\sqrt{2}$ – не табличное значение, поэтому ответ сохраняем неизменным. Обрати внимание, что в отличие от уравнений с синусом и косинусом, здесь мне не уже важно, какое у меня число стоит в правой части уравнения.

10. $latex \displaystyle ctg\left( x \right)=-\sqrt{3}$
Снова по определению:
$latex \displaystyle x=arсctg\left( -\sqrt{3} \right)+\pi n,~n\in Z$
Без проблем выносим минус из арккотангенса:
$latex \displaystyle x=-arcctg\left( \sqrt{3} \right)+\pi n,~n\in Z$
Вычисляем: котангенс какого угла равен $latex \displaystyle \sqrt{3}$? Это угол $latex \displaystyle \frac{\pi }{6}$. Записываем ответ:

Ответ: $latex \displaystyle x=-\frac{\pi }{6}+\pi n,~n\in Z$.

11. $latex \displaystyle ctg\left( x \right)=1$
По формуле:
$latex \displaystyle x=arcctg1+\pi n,~n\in Z$.
Котангенс какого угла равен $latex \displaystyle 1$? Это угол $latex \displaystyle \frac{\pi }{4}$.

Ответ: $latex \displaystyle x=\frac{\pi }{4}+\pi n,~n\in Z$.

Ну как, материал не кажется тебе слишком сложным? Я надеюсь, что нет. Теперь давай порешаем для закрепления чуть более сложные задачки:

  1. Най­ди­те корни урав­не­ния: $latex \displaystyle cos\frac{8\pi x}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
    В от­ве­те за­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный ко­рень.
  2. Най­ди­те корни урав­не­ния:$latex \displaystyle cos\frac{\pi \left( {x}-7 \right)}{3}=\frac{1}{2}$.
    В ответ за­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный ко­рень.
  3. Ре­ши­те урав­не­ние $latex \displaystyle tg\frac{\pi x}{4}=-1$.
    В от­ве­те на­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный ко­рень.

Решение:

1. Логика простая: будем поступать так, как поступали раньше не взирая на то, что теперь у тригонометрических функций стал более сложный аргумент!
Если бы мы решали уравнение вида
$latex \displaystyle cost=\frac{\sqrt{3}}{2}$
То мы бы записали вот такой ответ:
$latex \displaystyle t=\pm arccos\frac{\sqrt{3}}{2}+2\pi n,~n\in Z$
Или (так как $latex \displaystyle arccos\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{6}$)
$latex \displaystyle t=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi n,~n\in Z$
Но теперь в роли $latex \displaystyle t$ у нас выступаем вот такое выражение: $latex \displaystyle t=\frac{8\pi x}{6}$
Тогда можно записать:
$latex \displaystyle \frac{8\pi x}{6}=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi n$
Наша с тобою цель – сделать так, чтобы слева стоял просто $latex \displaystyle x$, без всяких «примесей»! Давай постепенно от них избавляться:
Вначале уберем знаменатель при $latex \displaystyle x$: для этого домножим наше равенство на $latex \displaystyle 6$:
$latex \displaystyle \frac{6\cdot 8\pi x}{6}=6\cdot \left( \pm \frac{\pi }{6}+2\pi n \right)$
$latex \displaystyle 8\pi x=\pm \frac{6\pi }{6}+12\pi n$
$latex \displaystyle 8\pi x=\pm \pi +12\pi n$
Теперь избавимся от $latex \displaystyle \pi $, разделив на него обе части:
$latex \displaystyle \frac{8\pi x}{\pi }=\pm \frac{\pi }{\pi }+\frac{12\pi n}{\pi }$
$latex \displaystyle 8x=\pm 1+12n$
Теперь избавимся от восьмерки:
$latex \displaystyle \frac{8x}{8}=\pm \frac{1}{8}+\frac{12n}{8}$
$latex \displaystyle x=\pm \frac{1}{8}+\frac{3n}{2}$
Полученное выражение можно расписать как 2 серии решений (по аналогии с квадратным уравнением, где мы либо прибавляем, либо вычитаем дискриминант)
$latex \displaystyle x=\frac{1}{8}+\frac{3n}{2}$ или $latex \displaystyle x=-\frac{1}{8}+\frac{3n}{2}$
Нам нужно найти наибольший отрицательный корень! Ясно, что надо перебирать $latex \displaystyle n$. Рассмотрим вначале первую серию:
$latex \displaystyle x=\frac{1}{8}+\frac{3n}{2}$
Ясно, что если мы будем брать $latex \displaystyle n=0,1,2\ldots $ то в результате мы будем получать положительные числа, а они нас не интересуют. Значит $latex \displaystyle n$ нужно брать отрицательным. Пусть $latex \displaystyle n=-1$. Тогда:
$latex \displaystyle x=\frac{1}{8}-\frac{3}{2}=-\frac{11}{8}$
При $latex \displaystyle n=-2$ корень будет уже:
$latex \displaystyle x=\frac{1}{8}-3=-~\frac{23}{8}<-\frac{11}{8}$
А нам нужно найти наибольший отрицательный!! Значит идти в отрицательную сторону здесь уже не имеет смысла. И наибольший отрицательный корень для этой серии будет равен $latex \displaystyle -\frac{11}{8}$.
Теперь рассматриваем вторую серию:
$latex \displaystyle x=-\frac{1}{8}+\frac{3n}{2}$
И опять подставляем: $latex \displaystyle n=1$, тогда:
$latex \displaystyle x=-\frac{1}{8}+\frac{3}{2}=\frac{11}{8}>0$ — не интересует!
Тогда увеличивать $latex \displaystyle n$ больше не имеет смысла! Будем уменьшать! Пусть $latex \displaystyle n=0$, тогда:
$latex \displaystyle x=-\frac{1}{8}<0$ — подходит!
Пусть $latex \displaystyle n=-1$. Тогда
$latex \displaystyle x=-\frac{1}{8}-\frac{3}{2}=-\frac{13}{8}<-\frac{1}{8}$
Тогда $latex \displaystyle x=-\frac{1}{8}$ — наибольший отрицательный корень!

Ответ: $latex \displaystyle -\frac{1}{8}$

2. $latex \displaystyle cos\frac{\pi \left( {x}-7 \right)}{3}=\frac{1}{2}$
Опять решаем, не взирая на сложный аргумент косинуса:
$latex \displaystyle \frac{\pi \left( {x}-7 \right)}{3}=\pm arccos\frac{1}{2}+2\pi n,~n\in Z$
$latex \displaystyle \frac{\pi \left( {x}-7 \right)}{3}=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n,~n\in Z$
Теперь снова выражаем $latex \displaystyle x$ слева:
$latex \displaystyle \frac{3\pi \left( {x}-7 \right)}{3}=\pm \frac{3\pi }{3}+2\cdot 3\pi n,~n\in Z$ (умножаем обе стороны на $latex \displaystyle 3$)
$latex \displaystyle \pi \left( {x}-7 \right)=\pm \pi +6\pi n,~n\in Z$
$latex \displaystyle \frac{\pi \left( {x}-7 \right)}{\pi }=\pm \frac{\pi }{\pi }+\frac{6\pi n}{\pi },~n\in Z$ (делим обе стороны на $latex \displaystyle \pi $)
$latex \displaystyle ~{x}-7=\pm 1+6n,~n\in Z$
Все, что осталось – это перенести $latex \displaystyle 7$ вправо, изменив ее знак с минуса на плюс.
$latex \displaystyle x=7\pm 1+6n,~n\in Z$
У нас опять получается 2 серии корней, одна с $latex \displaystyle +1$, а другая с $latex \displaystyle -1$.
$latex \displaystyle x=8+6n,~n\in Z$ или $latex \displaystyle x=6+6n,~n\in Z$
Нам нужно найти наибольший отрицательный корень. Рассмотрим первую серию:
$latex \displaystyle x=8+6n$
Ясно, что первый отрицательный корень мы получим при $latex \displaystyle n=-2$, он будет равен $latex \displaystyle -4$ и будет наибольшим отрицательным корнем в 1 серии. Для второй серии
$latex \displaystyle x=6+6n$
Первый отрицательный корень будет получен также при $latex \displaystyle n=-2$ и будет равен $latex \displaystyle -6$. Так как $latex \displaystyle -4>-6$, то $latex \displaystyle -4$ – наибольший отрицательный корень уравнения.

Ответ: $latex \displaystyle -4$.

3. $latex \displaystyle tg\frac{\pi x}{4}=-1$
Решаем, не взирая на сложный аргумент тангенса:
$latex \displaystyle \frac{\pi x}{4}=arctg\left( -1 \right)+\pi n$
$latex \displaystyle \frac{\pi x}{4}=-arctg\left( 1 \right)+\pi n$
$latex \displaystyle \frac{\pi x}{4}=-\frac{\pi }{4}+\pi n$
Как и раньше, выражаем $latex \displaystyle x$ в левой части:
$latex \displaystyle \frac{4\pi x}{4}=-\frac{4\pi }{4}+4\pi n$
$latex \displaystyle \pi x=-\pi +4\pi n$
$latex \displaystyle \frac{\pi x}{\pi }=-\frac{\pi }{\pi }+\frac{4\pi n}{\pi }$
$latex \displaystyle x=-1+4n$
Ну вот и замечательно, здесь вообще всего одна серия корней! Опять найдем наибольший отрицательный. Ясно, что он получается, если положить $latex \displaystyle n=0$. И корень этот равен $latex \displaystyle -1$.

Ответ: $latex \displaystyle -1$.

Вот, вроде бы ничего сложного, не так ли? Теперь попробуй самостоятельно решить следующие задачки:

  1. Ре­ши­те урав­не­ние $latex \displaystyle sin\frac{\pi x}{3}=0,5$/
    В от­ве­те на­пи­ши­те наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный ко­рень.
  2. Ре­ши­те урав­не­ние $latex \displaystyle tg\frac{\pi \left( {x}-6 \right)}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}$/
    В от­ве­те на­пи­ши­те наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный ко­рень.
  3. Ре­ши­те урав­не­ние $latex \displaystyle sin\frac{\pi \left( 2{x}-3 \right)}{6}=-0,5$.
    В от­ве­те на­пи­ши­те наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный ко­рень.

Готов? Проверяем. Я не буду подробно описывать весь алгоритм решения, мне кажется, ему и так уделено достаточно внимания выше.

1. $latex \displaystyle sin\frac{\pi x}{3}=0,5$
$latex \displaystyle \frac{\pi x}{3}={{\left( -1 \right)}^{n}}\arcsin \left( 0,5 \right)+\pi n$
$latex \displaystyle \frac{\pi x}{3}={{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}+\pi n$
Выразим $latex \displaystyle x$:
$latex \displaystyle \pi x={{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}+3\pi n$
$latex \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{1}{2}+3n$
Наименьший положительный корень получится, если положить $latex \displaystyle n=0$, так как $latex \displaystyle {{\left( -1 \right)}^{0}}=1$, то  $latex \displaystyle x=0,5$

Ответ: $latex \displaystyle 0,5$

2. $latex \displaystyle tg\frac{\pi \left( {x}-6 \right)}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
$latex \displaystyle \frac{\pi \left( {x}-6 \right)}{6}=arctg\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)+\pi n$
$latex \displaystyle \frac{\pi \left( {x}-6 \right)}{6}=\frac{\pi }{6}+\pi n$
$latex \displaystyle \pi \left( {x}-6 \right)=\pi +6\pi n$
$latex \displaystyle {x}-6=1+6n$
$latex \displaystyle x=7+6n$
Наименьший положительный корень получится при $latex \displaystyle n=-1$. Он будет равен $latex \displaystyle 1$.

Ответ: $latex \displaystyle 1$.

3. $latex \displaystyle sin\frac{\pi \left( 2{x}-3 \right)}{6}=-0,5$
$latex \displaystyle \frac{\pi \left( 2{x}-3 \right)}{6}={{\left( -1 \right)}^{n}}\arcsin \left( -0,5 \right)+\pi n$
$latex \displaystyle \frac{\pi \left( 2{x}-3 \right)}{6}={{\left( -1 \right)}^{n+1}}\arcsin \left( 0,5 \right)+\pi n$
$latex \displaystyle \frac{\pi \left( 2{x}-3 \right)}{6}={{\left( -1 \right)}^{n+1}}\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}+\pi n$
$latex \displaystyle \pi \left( 2{x}-3 \right)={{\left( -1 \right)}^{n+1}}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+6\pi n$
$latex \displaystyle 2{x}-3={{\left( -1 \right)}^{n+1}}+6n$
$latex \displaystyle 2{x}=3+{{\left( -1 \right)}^{n+1}}+6n$
$latex \displaystyle x=\frac{3+{{\left( -1 \right)}^{n+1}}}{2}+3n$
При $latex \displaystyle n<0$ получаем $latex \displaystyle x<0$, при $latex \displaystyle n=0$ имеем $latex \displaystyle x=1$.

Ответ: $latex \displaystyle x=1$.

Ну что, все правильно? Ох уж эти гадкие синусы, с ними всегда какие-то беды! Ну что же, теперь ты умеешь решать простейшие тригонометрические уравнения. Эти знания помогут тебе решать многие задачи, с которыми ты столкнешься в экзамене. Если же ты претендуешь на оценку «5», то тебе просто необходимо перейти к чтению статьи для среднего уровня, которая будет посвящена решению более сложных тригонометрических уравнений (задание С1).

Проверь себя — реши задачи на тригонометрические уравнения.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий