Тригонометрические уравнения. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Привет! Сегодня мы с тобой изучим, как решать одну из разновидностей уравнений – тригонометрические. Услышал новое слово? И, дай догадаюсь, это новое слово «тригонометрические»? Ну, так дело не пойдет! Если ты не знаком с этим понятием, то прежде чем продолжить чтение, настоятельно рекомендую тебе повторить хотя бы следующие разделы:

  1. Синус, косинус, тангенс и котангенс угла и числа
  2. Тригонометрическая окружность
  3. Формулы тригонометрии.

Ну что, все усвоил? Ну да ладно, совсем все и не потребуется, мне важно лишь, чтобы ты знал следующие вещи: что такое синус, косинус, тангенс, котангенс. Какие знаки принимает та или иная тригонометрическая функция в разных четвертях тригонометрической окружности, какие из этих функций нечетные, а какая – четная, также совершенно необходимо знание значений тригонометрических функций в основных углах 1 четверти. Что еще? Ну да, правила арифметики (как складывать, умножать, делить и вычитать дроби и числа) тоже никто не отменял. Как мне кажется, этого пока что будет вполне достаточно. Если это по ходу моего повествования окажется не так, то не сердись, придется вспомнить что-нибудь еще, не упомянутое здесь.

Итак, настало время переходить к тригонометрическим уравнениям. Что же это такое, как ты думаешь? Является ли, например, уравнение

\(\displaystyle \frac{2}{2{x}-11}=\frac{1}{3}\)

тригонометрическим? Ты и сам прекрасно понимаешь, что нет! Потому что ни одной тригонометрической функции \(\displaystyle \left( sinx,cosx,tgx,ctgx \right)\) в нем и в помине нет! А что насчет вот такого уравнения?

\(\displaystyle sin2x+3x=2\)

и опять ответ отрицательный! Это так называемое уравнение смешанного типа: оно содержит как тригонометрическую составляющую, так и линейную (\(\displaystyle 3x\)). Некоторые типы подобных уравнений мы будем с тобой решать в следующих статьях по данной тематике.

Но вернемся к вопросу: что же такое тригонометрические уравнения?

Ответ:

Тригонометрические уравнения — это уравнения, в которых неизвестная находится строго под знаком тригонометрической функции!

Например:

\(\displaystyle 6co{{s}^{2}}x+5sin{x}-7=0\)

\(\displaystyle sin\pi \sqrt{x}=-1\)

\(\displaystyle \frac{3}{5}sinx+\frac{4}{5}cosx=1\) и т.д.

Однако в данной статье мы не будем решать сложные и иногда неприступные тригонометрические уравнения, а ограничимся самыми простыми уравнениями вида:

\(\displaystyle sinf\left( x \right)=a\)

\(\displaystyle cosf\left( x \right)=a\)

\(\displaystyle tgf\left( x \right)=a\)

\(\displaystyle ctgf\left( x \right)=a\)

где \(\displaystyle a\) – некоторое постоянное число (\(\displaystyle 0,5;~1;~-1;\pi ;\ ~1-\sqrt{3};~1000\)) и т. д., а \(\displaystyle f\left( x \right)\) – некоторая функция, зависящая от искомой переменной \(\displaystyle x\), например \(\displaystyle f\left( x \right)=x,~f\left( x \right)=2-x,~f\left( x \right)=\frac{\pi x}{7}\) и т. д. Такие уравнения называются простейшими! И основная цель решения ЛЮБОГО тригонометрического уравнения – это свести его к виду простейшего!! Для этого, как правило, используют аппарат, который я описал в разделе «Формулы тригонометрии»

Так что очень важно, я бы даже сказал, жизненно необходимо научиться решать простейшие уравнения, ибо они – фундамент для решения сложных примеров. Более того, простейшие тригонометрические уравнения встречаются не менее одного и не более ЧЕТЫРЕХ раз в заданиях ЕГЭ: это может быть задача B5 (простейшее тригонометрическое уравнение – встречается время от времени), B14 (в конечном счете сводится к решению простейшего тригонометрического уравнения – ОЧЕНЬ ЧАСТО ВСТРЕЧАЕТСЯ В ЕГЭ), B12 (задача с прикладным содержанием, которая включает в себя решение тригонометрического уравнения – встречается изредка), С1 (решение тригонометрического уравнения средней сложности – ОЧЕНЬ ЧАСТО, ПРАКТИЧЕСКИ ВСЕГДА!). Так что, как ты понимаешь, при некоторых раскладах, навык решения данного вида уравнений может добавить в твою копилку аж 5 баллов ЕГЭ из 30! Довольно весомый вклад, надо заметить!

Есть два способа решения тригонометрических уравнений – через формулы и по кругу. В принципе, я не могу сказать, что легче: держать в голове, как строится круг, или помнить 4 формулы. Тут решать тебе самому, однако я все же предпочитаю решать данные уравнения через формулы, поэтому здесь я буду описывать именно этот метод.

Вначале мы начнем с «самых простейших» из простейших уравнений вида:

\(\displaystyle \text{sinx}=\text{a}\),

\(\displaystyle \text{cosx}=\text{a}\),

\(\displaystyle \text{tgx}=\text{a}\),

\(\displaystyle \text{ctgx}=\text{a}\).

Я хочу сразу оговориться вот о чем, будь внимателен:

ПЕРВЫЕ ДВА УРАВНЕНИЯ (а также их более общий случай
\(\displaystyle sinf\left( x \right)=a\), \(\displaystyle cosf\left( x \right)=a\)) имеют смысл только тогда, когда \(\displaystyle -1\le \text{a}\le 1\)!!!!!!
В то же время уравнения вида \(\displaystyle \text{tgx}=\text{a}\), \(\displaystyle \text{ctgx}=\text{a}\)  имеют смысл уже при всех значениях  \(\displaystyle \text{a}\).

То есть, тебе не надо знать вообще никаких формул, чтобы спокойно ответить, что уравнения, например:
\(\displaystyle sinx=1000\)

\(\displaystyle cos\left( 3{x}-sin\left( x \right) \right)=2\)

\(\displaystyle sin\left( 2{{x}^{2}}-2x+1 \right)=-3\)

Корней не имеют!!! Еще раз скажу: внимательно обдумай эти слова, они уберегут тебя от многих глупых ошибок!!

Для остальных же случаев формулы вот такие:

\(\displaystyle A\) \(\displaystyle a\) \(\displaystyle -1\) \(\displaystyle 0\) \(\displaystyle 1\)
\(\displaystyle \sin x=A\) \(\displaystyle {{\left( -1 \right)}^{n}}\arcsin \alpha +\pi n\) \(\displaystyle -\frac{\pi }{2}+2\pi n\) \(\displaystyle \pi n\) \(\displaystyle \frac{\pi }{2}+2\pi n\)
\(\displaystyle \cos x=A\) \(\displaystyle \pm \arccos \alpha +2\pi n\) \(\displaystyle \pi +2\pi n\) \(\displaystyle \frac{\pi }{2}+\pi n\) \(\displaystyle 2\pi n\)
\(\displaystyle tgx=A\) \(\displaystyle arctg\alpha +\pi n\) \(\displaystyle -\frac{\pi }{4}+\pi n\) \(\displaystyle \pi n\) \(\displaystyle \frac{\pi }{4}+\pi n\)
\(\displaystyle ctgx=A\) \(\displaystyle arcctg\alpha +\pi n\) \(\displaystyle \frac{3\pi }{4}+\pi n\) \(\displaystyle \frac{\pi }{2}+\pi n\) \(\displaystyle \frac{\pi }{4}+\pi n\)

Больше задач — после регистрации.

На самом деле в этой таблице данных немного больше, чем нужно. Тебе нужно лишь запомнить первые два ее столбца, другие столбцы – частные случаи решения тригонометрических уравнений. Я, допустим, никогда не утруждаю себя их запоминанием, а вывожу ответ из основных формул.

Глядя на таблицу, не возникло ли у тебя пары вопросов? У меня бы возникли вот какие: что такое \(\displaystyle n\) и что такое, например \(\displaystyle arcsin\alpha ~\left( arccos\alpha ,~arctg\alpha ,~arcctg\alpha  \right)\)? Отвечаю на все по порядку:

  1. \(\displaystyle n\) – Это любое целое число \(\displaystyle \left( 0,\text{ }1,\text{ }-1,\text{ }2,\text{ }-2,\text{ }\ldots .\text{ } \right)\). В чем уникальная особенность тригонометрических уравнений перед всеми остальными, которые ты изучал? ОНИ ИМЕЮТ БЕСКОНЕЧНОЕ КОЛИЧЕСТВО КОРНЕЙ!!! И число \(\displaystyle n\) и служит для обозначения этой «бесконечности». Конечно, вместо \(\displaystyle n\) можно писать любую другую букву, только не забывай добавить в ответе: \(\displaystyle n\in Z\) – что означает, что \(\displaystyle n\) – есть любое целое число.
  2. Теперь насчет арксинуса и других «арок». Вообще, так записываются обратные тригонометрические функции и понимать, скажем, \(\displaystyle arcsin\alpha \) надо как «угол, синус которого равен \(\displaystyle \alpha \))

    \(\displaystyle arcsin\alpha \)– угол, синус которого равен \(\displaystyle \alpha \)
    \(\displaystyle arccos\alpha \)– угол, косинус которого равен \(\displaystyle \alpha \)
    \(\displaystyle arctg\alpha \)– угол, тангенс которого равен \(\displaystyle \alpha \)
    \(\displaystyle arcctg\alpha \) – угол, котангенс которого равен \(\displaystyle \alpha \)

    Считаются же они непосредственно по определению:
    Например,

    \(\displaystyle \arcsin \left( 0 \right)=0,\ \ \ \ \arccos \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)=\frac{\pi }{4},\ \ \ \ \ arctg\left( 1 \right)=\frac{\pi }{4}\)
    \(\displaystyle \arcsin \left( 0,5 \right)=\frac{\pi }{6},\ \ \ \ \ \arccos \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)=\frac{\pi }{6},\ \ \ \ \ arctg\left( \sqrt{3} \right)=\frac{\pi }{3}\).

То есть алгоритм их вычисления такой: смотрим на то, что стоит под «аркой» – какое там число. Второе – смотрим, какая у нас «арка» – для синуса ли, или для косинуса, тангенса… Третье – смотрим, чему равен угол (1 четверти), для которого синус или косинус или… равен числу, стоящему под аркой. Четвертое – записываем ответ. Вот простой пример:

\(\displaystyle \arccos \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)\)

  1. Под аркой число \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\)
  2. Арка для функции косинус!
  3. Косинус какого угла равен \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\)?
  4. Угла \(\displaystyle \frac{\pi }{6}\) (или \(\displaystyle 30\) градусов!)
  5. Тогда \(\displaystyle \arccos \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)=\frac{\pi }{6}\)

Сам посчитай:

  • \(\displaystyle \ arctg\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)\)
  • \(\displaystyle \arcsin \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)\)

Ответы: \(\displaystyle \frac{\pi }{6}\) и  \(\displaystyle \frac{\pi }{3}\).

Все ли я сказал про арки? Почти что да! Остался вот какой момент. Что делать, если арка берется от отрицательного числа? Лезть в таблицу – как бы не так! Для арок выполняются следующие формулы:

  1. \(\displaystyle \text{arcsin}\left( -\alpha  \right)=-\text{arcsin}\alpha \)
  2. \(\displaystyle \text{arctg}\left( -\alpha  \right)=-\text{arctg}\alpha \)
  3. \(\displaystyle \text{arcctg}\left( -\alpha  \right)=-\text{arcctg}\alpha \)
    И внимание!!!
  4. \(\displaystyle \text{arccos}\left( -\alpha  \right)=\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-\text{arccos}\left( \alpha  \right)\)

Грубо говоря, тут все как для обычных тригонометрических функций – синус, тангенс и котангенс – нечетные, а косинус – четная. Соответственно – арксинус, арктангенс и арккатангенс – нечетные (минусик выносится из аргумента и ставится перед функцией), а арккосинус – четная. Только вот четность у него записывается вот в такой забавной форме!

Ну все, теперь мы можем приступать к решению простейших уравнений!

  1. \(\displaystyle sin\left( x \right)=0,5\)
  2. \(\displaystyle sin\left( x \right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
  3. \(\displaystyle sin\left( x \right)=\frac{\pi }{2}\)
  4. \(\displaystyle sin\left( x \right)=-0,1\)
  5. \(\displaystyle cos\left( x \right)=1\)
  6. \(\displaystyle cos\left( x \right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}\)
  7. \(\displaystyle cos\left( x \right)=\frac{\pi }{4}\)
  8. \(\displaystyle cos\left( x \right)=-\sqrt{2}\)
  9. \(\displaystyle tg\left( x \right)=\sqrt{2}\)
  10. \(\displaystyle ctg\left( x \right)=-\sqrt{3}\)
  11. \(\displaystyle ctg\left( x \right)=1\)

Ну что, давай решать вместе!

1. \(\displaystyle sin\left( x \right)=0,5\)
Запишу по определению:
\(\displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n}}\arcsin \left( 0,5 \right)+\pi n,~n\in Z\)
Все готово, осталось только упростить, посчитав значение арксинуса. Синус какого угла равен \(\displaystyle 0,5\)? Правильно, синус угла \(\displaystyle \frac{\pi }{6}\)!

Тогда запишу ответ:

\(\displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{\pi }{6}+\pi n,~n\in Z\)
Вот и все, элементарно, правда?

2. \(\displaystyle sin\left( x \right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Снова по определению:
\(\displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n}}\arcsin \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)+\pi n,~n\in Z\)
Так оставлять нельзя! Вначале вынесу «минус» из арксинуса!
\(\displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n}}\left( -\arcsin \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \right)+\pi n,~n\in Z\)
Что по сути означает этот минус? Это означает умножение на минус единицу!!!
\(\displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n}}\left( -1 \right)\arcsin \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)+\pi n,~n\in Z\)
По правилам умножения степеней соберу две «минус единицы в одну запись»!
\(\displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n}}\left( -1 \right)\arcsin \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)+\pi n={{\left( -1 \right)}^{n+1}}\arcsin \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)+\pi n\)
Осталось посчитать арксинус: Синус какого угла равен \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\)? Правильно, синус угла \(\displaystyle \frac{\pi }{3}\)!

Тогда запишу ответ:

\(\displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n+1}}\frac{\pi }{3}+\pi n,~n\in Z~\)

Можешь запомнить на будущее: что если ты решаешь тригонометрическое уравнение с отрицательной правой частью, то ты решаешь его, не глядя на эту «отрицательность», просто «загоняя» ее в степень минус единицы!

3. \(\displaystyle sin\left( x \right)=\frac{\pi }{2}\)
Пример-ловушка! Невнимательный ученик бы записал ответ в лоб:
\(\displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n}}\arcsin \left( \frac{\pi }{2} \right)+\pi n,~n\in Z\)
Или того хуже:
\(\displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n}}\cdot 1+\pi n,~n\in Z\)
Так как \(\displaystyle \sin \left( \frac{\pi }{2} \right)=1\)
Но ты же внимательно читал мои пространные рассуждения, не так ли? И ты ведь не напишешь такую чушь? И ты понял, в чем здесь подвох? А подвох вот в чем:
\(\displaystyle \frac{\pi }{2}\approx \frac{3,14}{2}>1\)
А мы помним, что если правая часть тригонометрического уравнения больше \(\displaystyle 1\) (или меньше \(\displaystyle -1\)), то такое уравнение решений не имеет в принципе!! Второе рассуждение тем более ересь: \(\displaystyle \arcsin \left( \frac{\pi }{2} \right)\) надо понимать как: угол, синус которого равен \(\displaystyle \frac{\pi }{2}\). А ну-ка попытайся в таблице найти такой угол, синус которого равен \(\displaystyle \frac{\pi }{2}\)?! Не нашел? То-то же!

В общем, из того, что \(\displaystyle \sin \left( \frac{\pi }{2} \right)=1\) никак не следует, что и \(\displaystyle \arcsin \left( \frac{\pi }{2} \right)=1\)!! Из этого только следует, что \(\displaystyle \arcsin 1=\frac{\pi }{2}\)!

4. \(\displaystyle sin\left( x \right)=-0,1\)
По определению:
\(\displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n}}\arcsin \left( -0,1 \right)+\pi n,~n\in Z\)
Или вынесем минус (как в примере 2):
\(\displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n+1}}\arcsin \left( 0,1 \right)+\pi n,~n\in Z\)
На этом стоп! Такого числа как \(\displaystyle 0,1\) нет в таблице значений тригонометрических функций, поэтому оставим все как есть:

Ответ: \(\displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n+1}}\arcsin \left( 0,1 \right)+\pi n,~n\in Z\)

5. \(\displaystyle cos\left( x \right)=1\)
И снова по определению (теперь для уравнения другого вида)
\(\displaystyle x=\pm arccos1+2\pi n,~n\in Z\)
Чему равен угол, косинус которого равен \(\displaystyle 1\)? Этот угол равен \(\displaystyle 0\)!
\(\displaystyle x=\pm 0+2\pi n,~n\in Z\)
Тогда нет смысла прибавлять или вычитать ноль, все равно это ноль.
\(\displaystyle x=2\pi n,~n\in Z\)

Получили формулу, которая есть в таблице решений тригонометрических уравнений!

6. \(\displaystyle cos\left( x \right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}\)
По определению:

\(\displaystyle x=\pm \arccos \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right)+2\pi n,~n\in Z\)

Прежде всего вынесем «минус» по правилам для арккосинуса:

\(\displaystyle x=\pm \left( \pi -\arccos \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \right)+2\pi n,~n\in Z\)

Вот так и никак иначе выносится минус, запомни это!
Теперь арккосинус. Не во всех таблицах есть значение \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\), но во всех есть \(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\)!!! А теперь, внимание, ловкость рук и никакого мошенничества!

\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Я не зря выделил это замечание таким крупным шрифтом, запомни это тождество хорошенько! Оно спасет тебя в очень многих случаях!!
Итак, чему же равен угол, косинус которого равен \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\)(или одно и то же \(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\) ) ? Верно, это угол \(\displaystyle \frac{\pi }{4}\).
Тогда

\(\displaystyle x=\pm \left( \pi -\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\frac{\pi }{4} \right)+2\pi n,~n\)
\(\displaystyle x=\pm \left( \frac{4\pi }{4}-\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\frac{\pi }{4} \right)+2\pi n,~n\in Z\)
\(\displaystyle x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi n,~n\in Z\)

Ответ: \(\displaystyle x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi n,~n\in Z\)

7. \(\displaystyle cos\left( x \right)=\frac{\pi }{4}\)
Еще один пример-обманка! Хотя данное уравнение решения имеет, ибо:
\(\displaystyle \frac{\pi }{4}=\frac{3,14}{4}<1\)
Тогда по определению:
\(\displaystyle x=\pm \arccos \left( \frac{\pi }{4} \right)+2\pi n,~n\in Z\)
Но из этого никак не следует, что \(\displaystyle \arccos \left( \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\)!!!!!! Запомни, арккосинус – это угол, его аргумент (начинка) – это число, а выход – угол!!! Ты когда-нибудь встречал в своей практике такой странный угол как \(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\)?! Вот и я нет. Поэтому оставим как есть!

Ответ: \(\displaystyle x=\pm \arccos \left( \frac{\pi }{4} \right)+2\pi n,~n\in Z\)

8. \(\displaystyle cos\left( x \right)=-\sqrt{2}\)
Все просто: \(\displaystyle -\sqrt{2}<-1\) и решений данное уравнение не имеет.

9. \(\displaystyle tg\left( x \right)=\sqrt{2}\)
Запишем по определению:
\(\displaystyle x=arctg\sqrt{2}+\pi n,~n\in Z\)
\(\displaystyle arctg\sqrt{2}\) – не табличное значение, поэтому ответ сохраняем неизменным. Обрати внимание, что в отличие от уравнений с синусом и косинусом, здесь мне не уже важно, какое у меня число стоит в правой части уравнения.

10. \(\displaystyle ctg\left( x \right)=-\sqrt{3}\)
Снова по определению:
\(\displaystyle x=arсctg\left( -\sqrt{3} \right)+\pi n,~n\in Z\)
Без проблем выносим минус из арккотангенса:
\(\displaystyle x=-arcctg\left( \sqrt{3} \right)+\pi n,~n\in Z\)
Вычисляем: котангенс какого угла равен \(\displaystyle \sqrt{3}\)? Это угол \(\displaystyle \frac{\pi }{6}\). Записываем ответ:

Ответ: \(\displaystyle x=-\frac{\pi }{6}+\pi n,~n\in Z\).

11. \(\displaystyle ctg\left( x \right)=1\)
По формуле:
\(\displaystyle x=arcctg1+\pi n,~n\in Z\).
Котангенс какого угла равен \(\displaystyle 1\)? Это угол \(\displaystyle \frac{\pi }{4}\).

Ответ: \(\displaystyle x=\frac{\pi }{4}+\pi n,~n\in Z\).

Ну как, материал не кажется тебе слишком сложным? Я надеюсь, что нет. Теперь давай порешаем для закрепления чуть более сложные задачки:

  1. Най­ди­те корни урав­не­ния: \(\displaystyle cos\frac{8\pi x}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\).
    В от­ве­те за­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный ко­рень.
  2. Най­ди­те корни урав­не­ния:\(\displaystyle cos\frac{\pi \left( {x}-7 \right)}{3}=\frac{1}{2}\).
    В ответ за­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный ко­рень.
  3. Ре­ши­те урав­не­ние \(\displaystyle tg\frac{\pi x}{4}=-1\).
    В от­ве­те на­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный ко­рень.

Решение:

1. Логика простая: будем поступать так, как поступали раньше не взирая на то, что теперь у тригонометрических функций стал более сложный аргумент!
Если бы мы решали уравнение вида
\(\displaystyle cost=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
То мы бы записали вот такой ответ:
\(\displaystyle t=\pm arccos\frac{\sqrt{3}}{2}+2\pi n,~n\in Z\)
Или (так как \(\displaystyle arccos\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{6}\))
\(\displaystyle t=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi n,~n\in Z\)
Но теперь в роли \(\displaystyle t\) у нас выступаем вот такое выражение: \(\displaystyle t=\frac{8\pi x}{6}\)
Тогда можно записать:
\(\displaystyle \frac{8\pi x}{6}=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi n\)
Наша с тобою цель – сделать так, чтобы слева стоял просто \(\displaystyle x\), без всяких «примесей»! Давай постепенно от них избавляться:
Вначале уберем знаменатель при \(\displaystyle x\): для этого домножим наше равенство на \(\displaystyle 6\):
\(\displaystyle \frac{6\cdot 8\pi x}{6}=6\cdot \left( \pm \frac{\pi }{6}+2\pi n \right)\)
\(\displaystyle 8\pi x=\pm \frac{6\pi }{6}+12\pi n\)
\(\displaystyle 8\pi x=\pm \pi +12\pi n\)
Теперь избавимся от \(\displaystyle \pi \), разделив на него обе части:
\(\displaystyle \frac{8\pi x}{\pi }=\pm \frac{\pi }{\pi }+\frac{12\pi n}{\pi }\)
\(\displaystyle 8x=\pm 1+12n\)
Теперь избавимся от восьмерки:
\(\displaystyle \frac{8x}{8}=\pm \frac{1}{8}+\frac{12n}{8}\)
\(\displaystyle x=\pm \frac{1}{8}+\frac{3n}{2}\)
Полученное выражение можно расписать как 2 серии решений (по аналогии с квадратным уравнением, где мы либо прибавляем, либо вычитаем дискриминант)
\(\displaystyle x=\frac{1}{8}+\frac{3n}{2}\) или \(\displaystyle x=-\frac{1}{8}+\frac{3n}{2}\)
Нам нужно найти наибольший отрицательный корень! Ясно, что надо перебирать \(\displaystyle n\). Рассмотрим вначале первую серию:
\(\displaystyle x=\frac{1}{8}+\frac{3n}{2}\)
Ясно, что если мы будем брать \(\displaystyle n=0,1,2\ldots \) то в результате мы будем получать положительные числа, а они нас не интересуют. Значит \(\displaystyle n\) нужно брать отрицательным. Пусть \(\displaystyle n=-1\). Тогда:
\(\displaystyle x=\frac{1}{8}-\frac{3}{2}=-\frac{11}{8}\)
При \(\displaystyle n=-2\) корень будет уже:
\(\displaystyle x=\frac{1}{8}-3=-~\frac{23}{8}<-\frac{11}{8}\)
А нам нужно найти наибольший отрицательный!! Значит идти в отрицательную сторону здесь уже не имеет смысла. И наибольший отрицательный корень для этой серии будет равен \(\displaystyle -\frac{11}{8}\).
Теперь рассматриваем вторую серию:
\(\displaystyle x=-\frac{1}{8}+\frac{3n}{2}\)
И опять подставляем: \(\displaystyle n=1\), тогда:
\(\displaystyle x=-\frac{1}{8}+\frac{3}{2}=\frac{11}{8}>0\) — не интересует!
Тогда увеличивать \(\displaystyle n\) больше не имеет смысла! Будем уменьшать! Пусть \(\displaystyle n=0\), тогда:
\(\displaystyle x=-\frac{1}{8}<0\) — подходит!
Пусть \(\displaystyle n=-1\). Тогда
\(\displaystyle x=-\frac{1}{8}-\frac{3}{2}=-\frac{13}{8}<-\frac{1}{8}\)
Тогда \(\displaystyle x=-\frac{1}{8}\) — наибольший отрицательный корень!

Ответ: \(\displaystyle -\frac{1}{8}\)

2. \(\displaystyle cos\frac{\pi \left( {x}-7 \right)}{3}=\frac{1}{2}\)
Опять решаем, не взирая на сложный аргумент косинуса:
\(\displaystyle \frac{\pi \left( {x}-7 \right)}{3}=\pm arccos\frac{1}{2}+2\pi n,~n\in Z\)
\(\displaystyle \frac{\pi \left( {x}-7 \right)}{3}=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n,~n\in Z\)
Теперь снова выражаем \(\displaystyle x\) слева:
\(\displaystyle \frac{3\pi \left( {x}-7 \right)}{3}=\pm \frac{3\pi }{3}+2\cdot 3\pi n,~n\in Z\) (умножаем обе стороны на \(\displaystyle 3\))
\(\displaystyle \pi \left( {x}-7 \right)=\pm \pi +6\pi n,~n\in Z\)
\(\displaystyle \frac{\pi \left( {x}-7 \right)}{\pi }=\pm \frac{\pi }{\pi }+\frac{6\pi n}{\pi },~n\in Z\) (делим обе стороны на \(\displaystyle \pi \))
\(\displaystyle ~{x}-7=\pm 1+6n,~n\in Z\)
Все, что осталось – это перенести \(\displaystyle 7\) вправо, изменив ее знак с минуса на плюс.
\(\displaystyle x=7\pm 1+6n,~n\in Z\)
У нас опять получается 2 серии корней, одна с \(\displaystyle +1\), а другая с \(\displaystyle -1\).
\(\displaystyle x=8+6n,~n\in Z\) или \(\displaystyle x=6+6n,~n\in Z\)
Нам нужно найти наибольший отрицательный корень. Рассмотрим первую серию:
\(\displaystyle x=8+6n\)
Ясно, что первый отрицательный корень мы получим при \(\displaystyle n=-2\), он будет равен \(\displaystyle -4\) и будет наибольшим отрицательным корнем в 1 серии. Для второй серии
\(\displaystyle x=6+6n\)
Первый отрицательный корень будет получен также при \(\displaystyle n=-2\) и будет равен \(\displaystyle -6\). Так как \(\displaystyle -4>-6\), то \(\displaystyle -4\) – наибольший отрицательный корень уравнения.

Ответ: \(\displaystyle -4\).

3. \(\displaystyle tg\frac{\pi x}{4}=-1\)
Решаем, не взирая на сложный аргумент тангенса:
\(\displaystyle \frac{\pi x}{4}=arctg\left( -1 \right)+\pi n\)
\(\displaystyle \frac{\pi x}{4}=-arctg\left( 1 \right)+\pi n\)
\(\displaystyle \frac{\pi x}{4}=-\frac{\pi }{4}+\pi n\)
Как и раньше, выражаем \(\displaystyle x\) в левой части:
\(\displaystyle \frac{4\pi x}{4}=-\frac{4\pi }{4}+4\pi n\)
\(\displaystyle \pi x=-\pi +4\pi n\)
\(\displaystyle \frac{\pi x}{\pi }=-\frac{\pi }{\pi }+\frac{4\pi n}{\pi }\)
\(\displaystyle x=-1+4n\)
Ну вот и замечательно, здесь вообще всего одна серия корней! Опять найдем наибольший отрицательный. Ясно, что он получается, если положить \(\displaystyle n=0\). И корень этот равен \(\displaystyle -1\).

Ответ: \(\displaystyle -1\).

Вот, вроде бы ничего сложного, не так ли? Теперь попробуй самостоятельно решить следующие задачки:

  1. Ре­ши­те урав­не­ние \(\displaystyle sin\frac{\pi x}{3}=0,5\)/
    В от­ве­те на­пи­ши­те наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный ко­рень.
  2. Ре­ши­те урав­не­ние \(\displaystyle tg\frac{\pi \left( {x}-6 \right)}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)/
    В от­ве­те на­пи­ши­те наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный ко­рень.
  3. Ре­ши­те урав­не­ние \(\displaystyle sin\frac{\pi \left( 2{x}-3 \right)}{6}=-0,5\).
    В от­ве­те на­пи­ши­те наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный ко­рень.

Готов? Проверяем. Я не буду подробно описывать весь алгоритм решения, мне кажется, ему и так уделено достаточно внимания выше.

1. \(\displaystyle sin\frac{\pi x}{3}=0,5\)
\(\displaystyle \frac{\pi x}{3}={{\left( -1 \right)}^{n}}\arcsin \left( 0,5 \right)+\pi n\)
\(\displaystyle \frac{\pi x}{3}={{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}+\pi n\)
Выразим \(\displaystyle x\):
\(\displaystyle \pi x={{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}+3\pi n\)
\(\displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{1}{2}+3n\)
Наименьший положительный корень получится, если положить \(\displaystyle n=0\), так как \(\displaystyle {{\left( -1 \right)}^{0}}=1\), то  \(\displaystyle x=0,5\)

Ответ: \(\displaystyle 0,5\)

2. \(\displaystyle tg\frac{\pi \left( {x}-6 \right)}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle \frac{\pi \left( {x}-6 \right)}{6}=arctg\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)+\pi n\)
\(\displaystyle \frac{\pi \left( {x}-6 \right)}{6}=\frac{\pi }{6}+\pi n\)
\(\displaystyle \pi \left( {x}-6 \right)=\pi +6\pi n\)
\(\displaystyle {x}-6=1+6n\)
\(\displaystyle x=7+6n\)
Наименьший положительный корень получится при \(\displaystyle n=-1\). Он будет равен \(\displaystyle 1\).

Ответ: \(\displaystyle 1\).

3. \(\displaystyle sin\frac{\pi \left( 2{x}-3 \right)}{6}=-0,5\)
\(\displaystyle \frac{\pi \left( 2{x}-3 \right)}{6}={{\left( -1 \right)}^{n}}\arcsin \left( -0,5 \right)+\pi n\)
\(\displaystyle \frac{\pi \left( 2{x}-3 \right)}{6}={{\left( -1 \right)}^{n+1}}\arcsin \left( 0,5 \right)+\pi n\)
\(\displaystyle \frac{\pi \left( 2{x}-3 \right)}{6}={{\left( -1 \right)}^{n+1}}\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}+\pi n\)
\(\displaystyle \pi \left( 2{x}-3 \right)={{\left( -1 \right)}^{n+1}}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+6\pi n\)
\(\displaystyle 2{x}-3={{\left( -1 \right)}^{n+1}}+6n\)
\(\displaystyle 2{x}=3+{{\left( -1 \right)}^{n+1}}+6n\)
\(\displaystyle x=\frac{3+{{\left( -1 \right)}^{n+1}}}{2}+3n\)
При \(\displaystyle n<0\) получаем \(\displaystyle x<0\), при \(\displaystyle n=0\) имеем \(\displaystyle x=1\).

Ответ: \(\displaystyle x=1\).

Ну что, все правильно? Ох уж эти гадкие синусы, с ними всегда какие-то беды! Ну что же, теперь ты умеешь решать простейшие тригонометрические уравнения. Эти знания помогут тебе решать многие задачи, с которыми ты столкнешься в экзамене. Если же ты претендуешь на оценку «5», то тебе просто необходимо перейти к чтению статьи для среднего уровня, которая будет посвящена решению более сложных тригонометрических уравнений (задание С1).

Проверь себя — реши задачи на тригонометрические уравнения.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *