8 июля

1 comments

Тригонометрические уравнения... для подготовки к ЕГЭ на 100 баллов!

Привет, самый лучший ученик во Вселенной!

Сегодня мы с тобой изучим, как решать одну из разновидностей уравнений – тригонометрические.

И станем на шаг ближе к заветной цели – сдать ЕГЭ по математике так, чтобы поступить в ВУЗ мечты!

Чтобы освоить тему, мы с тобой решим более 30 (!) уравнений, от самых простых до суперсложных.

И этого будет достаточно чтобы добавить до 5 баллов из 30 на ЕГЭ!

Поехали!

Содержание

Вот он:

  • что такое синус, косинус, тангенс, котангенс;
  • какие знаки принимает та или иная тригонометрическая функция в разных четвертях тригонометрической окружности;
  • какие из этих функций нечётные, а какие – чётные;
  • знание значений тригонометрических функций в основных углах 1 четверти.

Что ещё?

Ну да, правила арифметики (как складывать, умножать, делить и вычитать дроби и числа) тоже никто не отменял.

Если ты что-то не знаешь, повтори следующие разделы:

Этого будет вполне достаточно. Если это по ходу моего повествования окажется не так, то не сердись, придётся вспомнить что-нибудь ещё, не упомянутое здесь.

НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Что же это такое, как ты думаешь? Является ли, например, уравнение

\( \displaystyle \frac{2}{2{x}-11}=\frac{1}{3}\)

тригонометрическим?

Ты и сам прекрасно понимаешь, что нет! Потому что ни одной тригонометрической функции \( \displaystyle \left( sin x,cos x,tg x,ctg x \right)\) в нём и в помине нет!

А что насчёт вот такого уравнения?

\( \displaystyle sin2x+3x=2\)

И опять ответ отрицательный!

Это так называемое уравнение смешанного типа.

Оно содержит как тригонометрическую составляющую, так и линейную (\( \displaystyle 3x\)).

Некоторые типы подобных уравнений мы будем с тобой решать в следующих раздела этой статьи.

Но вернёмся к вопросу:

Тригонометрические уравнения – это уравнения, в которых неизвестная находится строго под знаком тригонометрической функции!

Например:

  • \( \displaystyle 6co{{s}^{2}}x+5sin{x}-7=0\)
  • \( \displaystyle sin\pi \sqrt{x}=-1\)
  • \( \displaystyle \frac{3}{5}sinx+\frac{4}{5}cosx=1\) и т.д.

Однако в этом разделе мы не будем решать сложные и иногда неприступные тригонометрические уравнения, а ограничимся самыми простыми уравнениями вида:

  • \( \displaystyle sinf\left( x \right)=a\)
  • \( \displaystyle cosf\left( x \right)=a\)
  • \( \displaystyle tgf\left( x \right)=a\)
  • \( \displaystyle ctgf\left( x \right)=a\)

Где \( \displaystyle a\) – некоторое постоянное число.

Например: \( \displaystyle 0,5;~1;~-1;\pi ;\ ~1-\sqrt{3};~1000\) и т. д.

\( \displaystyle f\left( x \right)\) – некоторая функция, зависящая от искомой переменной \( \displaystyle x\), например \( \displaystyle f\left( x \right)=x,~f\left( x \right)=2-x,~f\left( x \right)=\frac{\pi x}{7}\) и т. д.

Такие уравнения называются простейшими!

И основная цель решения ЛЮБОГО тригонометрического уравнения – это свести его к виду простейшего!

Для этого, как правило, используют аппарат, который я описал в разделе "Формулы тригонометрии"

Так что очень важно, я бы даже сказал, жизненно необходимо научиться решать простейшие уравнения, ибо они – фундамент для решения сложных примеров.

Более того, простейшие тригонометрические уравнения могут встретиться ДО ЧЕТЫРЕХ РАЗ в заданиях ЕГЭ:

Это может быть:

  • Задача №5 (простейшее тригонометрическое уравнение – встречается время от времени);
  • Задача №10 (задача с прикладным содержанием, которая включает в себя решение тригонометрического уравнения – встречается изредка);
  • Задача №12 (она на производную, но в конечном счёте сводится к решению простейшего тригонометрического уравнения – ЧАСТО ВСТРЕЧАЕТСЯ В ЕГЭ)
  • Задача №13 – даёт 2 первичных балла – (решение тригонометрического уравнения средней или высокой сложности – ОЧЕНЬ ЧАСТО, ПРАКТИЧЕСКИ ВСЕГДА!)

Так что, как ты понимаешь, при некоторых раскладах, навык решения данного вида уравнений может добавить в твою копилку аж 5 БАЛЛОВ ЕГЭ из 30!

Круто, да?

Два способа решения тригонометрических уравнений – через формулы и по кругу

В принципе, я не могу сказать, что легче: держать в голове, как строится круг, или помнить 4 формулы. Тут решать тебе самому, однако я всё же предпочитаю решать данные уравнения через формулы, поэтому здесь я буду описывать именно этот метод.

Вначале мы начнём с «самых простейших» из простейших уравнений вида:

  • \( \displaystyle \text{sinx}=\text{a}\),
  • \( \displaystyle \text{cosx}=\text{a}\),
  • \( \displaystyle \text{tgx}=\text{a}\),
  • \( \displaystyle \text{ctgx}=\text{a}\).

Я хочу сразу оговориться вот о чем, будь внимателен:

Уравнения вида: \( \displaystyle sinf\left( x \right)=a\), \( \displaystyle cosf\left( x \right)=a\) имеют смысл только тогда, когда \( \displaystyle -1\le \text{a}\le 1\)

Уравнения вида: \( \displaystyle \text{tgx}=\text{a}\), \( \displaystyle \text{ctgx}=\text{a}\) имеют смысл уже при всех значениях \( \displaystyle \text{a}\).

То есть, тебе не надо знать вообще никаких формул, чтобы спокойно ответить, что уравнения, например:

\( \displaystyle sinx=1000\)

\( \displaystyle cos\left( 3{x}-sin\left( x \right) \right)=2\)

\( \displaystyle sin\left( 2{{x}^{2}}-2x+1 \right)=-3\)

Корней не имеют!!!

Почему?

Потому что они "не попадают" в промежуток от минус единицы до плюс единицы.

Ещё раз скажу: внимательно обдумай эти слова, они уберегут тебя от многих глупых ошибок!!!

Для остальных же случаев тригонометрические формулы такие как в этой таблице.

\( \displaystyle A\)\( \displaystyle a\)\( \displaystyle -1\)\( \displaystyle 0\)\( \displaystyle 1\)
\( \displaystyle \sin x=A\)\( \displaystyle {{\left( -1 \right)}^{n}}\arcsin \alpha +\pi n\)\( \displaystyle -\frac{\pi }{2}+2\pi n\)\( \displaystyle \pi n\)\( \displaystyle \frac{\pi }{2}+2\pi n\)
\( \displaystyle \cos x=A\)\( \displaystyle \pm \arccos \alpha +2\pi n\)\( \displaystyle \pi +2\pi n\)\( \displaystyle \frac{\pi }{2}+\pi n\)\( \displaystyle 2\pi n\)
\( \displaystyle tgx=A\)\( \displaystyle arctg\alpha +\pi n\)\( \displaystyle -\frac{\pi }{4}+\pi n\)\( \displaystyle \pi n\)\( \displaystyle \frac{\pi }{4}+\pi n\)
\( \displaystyle ctgx=A\)\( \displaystyle arcctg\alpha +\pi n\)\( \displaystyle \frac{3\pi }{4}+\pi n\)\( \displaystyle \frac{\pi }{2}+\pi n\)\( \displaystyle \frac{\pi }{4}+\pi n\)

На самом деле в этой таблице данных немного больше, чем нужно.

Тебе нужно лишь запомнить первые два её столбца, другие столбцы – частные случаи решения тригонометрических уравнений.

Я, допустим, никогда не утруждаю себя их запоминанием, а вывожу ответ из основных формул.

Глядя на таблицу, не возникло ли у тебя пары вопросов?

У меня бы возникли вот какие:

Что такое \( \displaystyle n\) и что такое, например \( \displaystyle arcsin\alpha ~\left( arccos\alpha ,~arctg\alpha ,~arcctg\alpha \right)\)?

Отвечаю на все по порядку:

\( \displaystyle n\) – это любое целое число \( \displaystyle \left( 0,\text{ }1,\text{ }-1,\text{ }2,\text{ }-2,\text{ }\ldots .\text{ } \right)\).

В чем уникальная особенность тригонометрических уравнений перед всеми остальными, которые ты изучал?

ОНИ ИМЕЮТ БЕСКОНЕЧНОЕ КОЛИЧЕСТВО КОРНЕЙ!!! И число \( \displaystyle n\) и служит для обозначения этой «бесконечности».

Конечно, вместо \( \displaystyle n\) можно писать любую другую букву, только не забывай добавить в ответе: \( \displaystyle n\in Z\) – что означает, что \( \displaystyle n\) – есть любое целое число.

Теперь насчёт арксинуса и других «арок». Вообще, так записываются обратные тригонометрические функции и понимать, скажем, \( \displaystyle arcsin\alpha \) надо как «угол, синус которого равен \( \displaystyle \alpha \))

  • \( \displaystyle arcsin\alpha\)– угол, синус которого равен \( \displaystyle \alpha\)
  • \( \displaystyle arccos\alpha\)– угол, косинус которого равен \( \displaystyle \alpha\)
  • \( \displaystyle \alpha\)\( \displaystyle arctg\alpha\)– угол, тангенс которого равен \( \displaystyle \alpha\)
  • \( \displaystyle \alpha\)\( \displaystyle arcctg\alpha\) – угол, котангенс которого равен \( \displaystyle \alpha\)

Например,

  • \( \displaystyle \arcsin \left( 0 \right)=0,\)
  • \( \displaystyle \arccos \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)=\frac{\pi }{4},\)
  • \( \displaystyle \ arctg\left( 1 \right)=\frac{\pi }{4},\)
  • \( \displaystyle \arcsin \left( 0,5 \right)=\frac{\pi }{6},\)
  • \( \displaystyle \arccos \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)=\frac{\pi }{6},\)
  • \( \displaystyle \ arctg\left( \sqrt{3} \right)=\frac{\pi }{3}\)

То есть…

  1. 1
    Смотрим на то, что стоит под «аркой» – какое там число
  2. 2
    Смотрим, какая у нас «арка» – для синуса ли, или для косинуса, тангенса или котангенса
  3. 3
    Смотрим, чему равен угол (1 четверти), для которого синус, косинус, тангенс, котангенс равен числу, стоящему под аркой
  4. 4
    Записываем ответ

Вот простой пример вычисления аркосинуса:

\( \displaystyle \arccos \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)\)
  1. 1
    Под аркой число \( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\)
  2. 2
    Арка для функции – косинус!
  3. 3
    Косинус какого угла равен \( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\)? Угла \( \displaystyle \frac{\pi }{6}\) (или \( \displaystyle 30\) градусов!)
  4. 4
    Тогда \( \displaystyle \arccos \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)=\frac{\pi }{6}\)

Сам посчитай:

  1. 1
    \( \displaystyle \ arctg\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)\)
  2. 2
    \( \displaystyle \arcsin \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)\)

Ответы: \( \displaystyle \frac{\pi }{6}\) и \( \displaystyle \frac{\pi }{3}\).

Всё ли я сказал про "арки"? Почти что да! Остался вот какой момент.

Что делать, если "арка" берётся от отрицательного числа?

Лезть в таблицу – как бы не так! Для арок выполняются следующие формулы:

  • \( \displaystyle \text{arcsin}\left( -\alpha \right)=-\text{arcsin}\alpha \)
  • \( \displaystyle \text{arctg}\left( -\alpha \right)=-\text{arctg}\alpha \)

И внимание!!!

  • \( \displaystyle \text{arcctg}\left( -\alpha \right)=\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-\text{arcctg}\alpha \)
  • \( \displaystyle \text{arccos}\left( -\alpha \right)=\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-\text{arccos}\alpha \)

Чтобы запомнить, ориентируемся на обычные тригонометрические функции: грубо говоря, синус и тангенс мы смотрим на тригонометрической окружности по вертикальной оси, а косинус и котангенс – по горизонтальной.

Соответственно, для арксинуса и арктангенса выбираем две четверти по вертикали: первую и четвёртую (минусик выносится из аргумента и ставится перед функцией), а для арккосинуса и арккотангенса – по горизонтали: первую и вторую.

В первой и второй четвертях аргумент уже не может быть отрицательным, поэтому и получаются формулы не совсем похожими.

Ну всё, теперь мы можем приступать к решению простейших уравнений!

  1. 1
    \( \displaystyle sin\left( x \right)=0,5\)
  2. 2
    \( \displaystyle sin\left( x \right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
  3. 3
    \( \displaystyle sin\left( x \right)=\frac{\pi }{2}\)
  4. 4
    \( \displaystyle sin\left( x \right)=-0,1\)
  5. 5
    \( \displaystyle cos\left( x \right)=1\)
  6. 6
    \( \displaystyle cos\left( x \right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}\)
  7. 7
    \( \displaystyle cos\left( x \right)=\frac{\pi }{4}\)
  8. 8
    \( \displaystyle cos\left( x \right)=-\sqrt{2}\)
  9. 9
    \( \displaystyle tg\left( x \right)=\sqrt{2}\)
  10. 10
    \( \displaystyle ctg\left( x \right)=-\sqrt{3}\)
  11. 11
    \( \displaystyle ctg\left( x \right)=1\)

Ну что, давай решать вместе!

1. \( \displaystyle sin\left( x \right)=0,5\)

Запишу по определению:

\( \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n}}\arcsin \left( 0,5 \right)+\pi n,~n\in Z\)

Всё готово, осталось только упростить, посчитав значение арксинуса.

Синус какого угла равен \( \displaystyle 0,5\)?

Правильно, синус угла \( \displaystyle \frac{\pi }{6}\)!

Тогда запишу ответ:

\( \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{\pi }{6}+\pi n,~n\in Z\)

Вот и всё, элементарно, правда?

2. \( \displaystyle sin\left( x \right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Снова по определению:

Тогда запишу

\( \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n}}\arcsin \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)+\pi n,~n\in Z\)

Так оставлять нельзя! Вначале вынесу «минус» из арксинуса!

\( \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n}}\left( -\arcsin \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \right)+\pi n,~n\in Z\)

Что означает этот минус? Это означает умножение на минус единицу!!!

\( \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n}}\left( -1 \right)\arcsin \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)+\pi n,~n\in Z\)

По правилам умножения степеней соберу две «минус единицы в одну запись»!

\( \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n}}\left( -1 \right)\arcsin \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)+\pi n={{\left( -1 \right)}^{n+1}}\arcsin \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)+\pi n\)

Осталось посчитать арксинус: Синус какого угла равен \( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\)?

Правильно, синус угла \( \displaystyle \frac{\pi }{3}\)!

Ответ:

\( \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n+1}}\frac{\pi }{3}+\pi n,~n\in Z~\)

Можешь запомнить на будущее:

Если ты решаешь тригонометрическое уравнение с отрицательной правой частью, то ты решаешь его, не глядя на эту «отрицательность», просто «загоняя» её в степень минус единицы!

3. \( \displaystyle sin\left( x \right)=\frac{\pi }{2}\)

Пример-ловушка! Невнимательный ученик бы записал ответ в лоб:

\( \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n}}\arcsin \left( \frac{\pi }{2} \right)+\pi n,~n\in Z\)

Или того хуже:

\( \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n}}\cdot 1+\pi n,~n\in Z\)

Так как \( \displaystyle \sin \left( \frac{\pi }{2} \right)=1\)

Но ты же внимательно читал мои пространные рассуждения, не так ли? И ты ведь не напишешь такую чушь? И ты понял, в чем здесь подвох?

А подвох вот в чем:

\( \displaystyle \frac{\pi }{2}\approx \frac{3,14}{2}>1\)

А мы помним, что если правая часть тригонометрического уравнения больше \( \displaystyle 1\) (или меньше \( \displaystyle -1\)), то такое уравнение решений не имеет в принципе!!

Второе рассуждение тем более ересь: \( \displaystyle \arcsin \left( \frac{\pi }{2} \right)\) надо понимать как угол, синус которого равен \( \displaystyle \frac{\pi }{2}\).

А ну-ка попытайся в таблице найти такой угол, синус которого равен \( \displaystyle \frac{\pi }{2}\)?!

Не нашёл? То-то же!

В общем, из того, что \( \displaystyle \sin \left( \frac{\pi }{2} \right)=1\) никак не следует, что и \( \displaystyle \arcsin \left( \frac{\pi }{2} \right)=1\)!!

Из этого только следует, что \( \displaystyle \arcsin 1=\frac{\pi }{2}\)!

4. \( \displaystyle sin\left( x \right)=-0,1\)

По определению:

\( \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n}}\arcsin \left( -0,1 \right)+\pi n,~n\in Z\)

Или вынесем минус (как в примере 2):

\( \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n+1}}\arcsin \left( 0,1 \right)+\pi n,~n\in Z\)

На этом стоп! Такого числа как 0,1 нет в таблице значений тригонометрических функций, поэтому оставим всё как есть:

Ответ: \( \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n+1}}\arcsin \left( 0,1 \right)+\pi n,~n\in Z\)

5. \( \displaystyle cos\left( x \right)=1\)

И снова по определению (теперь для уравнения другого вида)

\( \displaystyle x=\pm arccos1+2\pi n,~n\in Z\)

Чему равен угол, косинус которого равен \( \displaystyle 1\)?

Этот угол равен\( \displaystyle 0\)!

\( \displaystyle x=\pm 0+2\pi n,~n\in Z\)

Тогда нет смысла прибавлять или вычитать ноль, всё равно это ноль.

\( \displaystyle x=2\pi n,~n\in Z\)

Получили формулу, которая есть в таблице решений тригонометрических уравнений!

Ответ: \( \displaystyle x=2\pi n,~n\in Z\)

6. \( \displaystyle cos\left( x \right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}\)

По определению:

\( \displaystyle x=\pm \arccos \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right)+2\pi n,~n\in Z\)

Прежде всего вынесем «минус» по правилам для арккосинуса:

\( \displaystyle x=\pm \left( \pi -\arccos \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \right)+2\pi n,~n\in Z\)

Вот так и никак иначе выносится минус, запомни это!

Теперь арккосинус.

Не во всех таблицах есть значение \( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\), но во всех есть \( \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\)!!!

А теперь, внимание, ловкость рук и никакого мошенничества!

\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Единица деленная на корень из двух равно корень из двух деленное на два!

Я не зря выделил это замечание жирным шрифтом, запомни это тождество хорошенько! Оно спасёт тебя в очень многих случаях!!

Итак, чему же равен угол, косинус которого равен \( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\)(или одно и то же \( \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\))?

Верно, это угол \( \displaystyle \frac{\pi }{4}\).

Тогда:

\( \displaystyle x=\pm \left( \pi -\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\frac{\pi }{4} \right)+2\pi n,~n\)

\( \displaystyle x=\pm \left( \frac{4\pi }{4}-\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\frac{\pi }{4} \right)+2\pi n,~n\in Z\)

\( \displaystyle x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi n,~n\in Z\)

Ответ: \( \displaystyle x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi n,~n\in Z\)

7. \( \displaystyle cos\left( x \right)=\frac{\pi }{4}\)

\( \displaystyle cos\left( x \right)=\frac{\pi }{4}\)

Ещё один пример-обманка! Хотя данное уравнение решения имеет, ибо:

\( \displaystyle \frac{\pi }{4}=\frac{3,14}{4}<1\)

Тогда по определению:

\( \displaystyle x=\pm \arccos \left( \frac{\pi }{4} \right)+2\pi n,~n\in Z\)

Но из этого никак не следует, что \( \displaystyle \arccos \left( \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\)!!!!!!

Запомни, арккосинус – это угол, его аргумент (начинка) – это число, а выход – угол!!!

Ты когда-нибудь встречал в своей практике такой странный угол как \( \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\)?!

Вот и я нет. Поэтому оставим как есть!

Ответ: \( \displaystyle x=\pm \arccos \left( \frac{\pi }{4} \right)+2\pi n,~n\in Z\)

8. \( \displaystyle cos\left( x \right)=-\sqrt{2}\)

Всё просто: \( \displaystyle -\sqrt{2}<-1\)

... и решений данное уравнение не имеет.

9. \( \displaystyle tg\left( x \right)=\sqrt{2}\)

Запишем по определению:

\( \displaystyle x=arctg\sqrt{2}+\pi n,~n\in Z\)

\( \displaystyle arctg\sqrt{2}\) – не табличное значение, поэтому ответ сохраняем неизменным.

Обрати внимание, что в отличие от уравнений с синусом и косинусом, здесь мне не уже важно, какое у меня число стоит в правой части уравнения.

10. \( \displaystyle ctg\left( x \right)=-\sqrt{3}\)

Снова по определению:

\( \displaystyle x=arсctg\left( -\sqrt{3} \right)+\pi n,~n\in Z\)

Без проблем выносим минус из арккотангенса:

\( \displaystyle x=\pi-arcctg\left( \sqrt{3} \right)+\pi n,~n\in Z\)

Вычисляем: котангенс какого угла равен \( \displaystyle \sqrt{3}\)?

Это угол \( \displaystyle \frac{\pi }{6}\).

Ответ: \( \displaystyle x=\pi-\frac{\pi }{6}+\pi n = \frac{5\pi}{6}+\pi n,~n\in Z\).

11. \( \displaystyle ctg\left( x \right)=1\)

По формуле: \( \displaystyle x=arcctg1+\pi n,~n\in Z\).

Котангенс какого угла равен \( \displaystyle 1\)?

Это угол \( \displaystyle \frac{\pi }{4}\).

Ответ: \( \displaystyle x=\frac{\pi }{4}+\pi n,~n\in Z\).

Ну как, материал не кажется тебе слишком сложным? Я надеюсь, что нет. Теперь давай порешаем для закрепления чуть более сложные задачки.

  1. 1
    Най­ди­те корни урав­не­ния: \( \displaystyle cos\frac{8\pi x}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\).
    В от­ве­те за­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный ко­рень.
  2. 2
    Най­ди­те корни урав­не­ния:\( \displaystyle cos\frac{\pi \left( {x}-7 \right)}{3}=\frac{1}{2}\).
    В ответ за­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный ко­рень.
  3. 3
    Ре­ши­те урав­не­ние \( \displaystyle tg\frac{\pi x}{4}=-1\).
    В от­ве­те на­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный ко­рень.

1. \( \displaystyle cos\frac{8\pi x}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Логика простая: будем поступать так, как поступали раньше не взирая на то, что теперь у тригонометрических функций стал более сложный аргумент!

Если бы мы решали уравнение вида:

\( \displaystyle cost=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

То мы бы записали вот такой ответ:

\( \displaystyle t=\pm arccos\frac{\sqrt{3}}{2}+2\pi n,~n\in Z\)

Или (так как \( \displaystyle arccos\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{6}\))

\( \displaystyle t=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi n,~n\in Z\)

Но теперь в роли \( \displaystyle t\) у нас выступаем вот такое выражение: \( \displaystyle t=\frac{8\pi x}{6}\)

Тогда можно записать:

\( \displaystyle \frac{8\pi x}{6}=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi n\)

Наша с тобою цель – сделать так, чтобы слева стоял просто \( \displaystyle x\), без всяких «примесей»!

Давай постепенно от них избавляться!

Вначале уберём знаменатель при \( \displaystyle x\): для этого домножим наше равенство на \( \displaystyle 6\):

\( \displaystyle \frac{6\cdot 8\pi x}{6}=6\cdot \left( \pm \frac{\pi }{6}+2\pi n \right)\)

\( \displaystyle 8\pi x=\pm \frac{6\pi }{6}+12\pi n\)

\( \displaystyle 8\pi x=\pm \pi +12\pi n\)

Теперь избавимся от \( \displaystyle \pi \), разделив на него обе части:

\( \displaystyle 8x=\pm 1+12n\)

Теперь избавимся от восьмёрки:

\( \displaystyle \frac{8x}{8}=\pm \frac{1}{8}+\frac{12n}{8}\)

\( \displaystyle x=\pm \frac{1}{8}+\frac{3n}{2}\)

Полученное выражение можно расписать как 2 серии решений (по аналогии с квадратным уравнением, где мы либо прибавляем, либо вычитаем дискриминант)

\( \displaystyle x=\frac{1}{8}+\frac{3n}{2}\)

или

\( \displaystyle x=-\frac{1}{8}+\frac{3n}{2}\)

Нам нужно найти наибольший отрицательный корень! Ясно, что надо перебирать \( \displaystyle n\).

Рассмотрим вначале первую серию:

\( \displaystyle x=\frac{1}{8}+\frac{3n}{2}\)

Ясно, что если мы будем брать \( \displaystyle n=0,1,2\ldots \) то в результате мы будем получать положительные числа, а они нас не интересуют.

Значит \( \displaystyle n\) нужно брать отрицательным. Пусть \( \displaystyle n=-1\).

Тогда:

\( \displaystyle x=\frac{1}{8}-\frac{3}{2}=-\frac{11}{8}\)

При \( \displaystyle n=-2\) корень будет уже:

\( \displaystyle x=\frac{1}{8}-3=-~\frac{23}{8}<-\frac{11}{8}\)

А нам нужно найти наибольший отрицательный!! Значит идти в отрицательную сторону здесь уже не имеет смысла. И наибольший отрицательный корень для этой серии будет равен \( \displaystyle -\frac{11}{8}\).

Теперь рассматриваем вторую серию:

\( \displaystyle x=-\frac{1}{8}+\frac{3n}{2}\)

И опять подставляем: \( \displaystyle n=1\), тогда:

\( \displaystyle x=-\frac{1}{8}+\frac{3}{2}=\frac{11}{8}>0\) – не интересует!

Тогда увеличивать \( \displaystyle n\) больше не имеет смысла! Будем уменьшать! Пусть \( \displaystyle n=0\), тогда:

\( \displaystyle x=-\frac{1}{8}<0\) – подходит!

Пусть \( \displaystyle n=-1\). Тогда

\( \displaystyle x=-\frac{1}{8}-\frac{3}{2}=-\frac{13}{8}<-\frac{1}{8}\)

Тогда \( \displaystyle x=-\frac{1}{8}\) – наибольший отрицательный корень!

Ответ: \( \displaystyle -\frac{1}{8}\)

2. \( \displaystyle cos\frac{\pi \left( {x}-7 \right)}{3}=\frac{1}{2}\)

Опять решаем, не взирая на сложный аргумент косинуса:

\( \displaystyle \frac{\pi \left( {x}-7 \right)}{3}=\pm arccos\frac{1}{2}+2\pi n,~n\in Z\)

\( \displaystyle \frac{\pi \left( {x}-7 \right)}{3}=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n,~n\in Z\)

Теперь снова выражаем \( \displaystyle x\) слева:

Умножаем обе стороны на \( \displaystyle 3\)

\( \displaystyle \frac{3\pi \left( {x}-7 \right)}{3}=\pm \frac{3\pi }{3}+2\cdot 3\pi n,~n\in Z\)

\( \displaystyle \pi \left( {x}-7 \right)=\pm \pi +6\pi n,~n\in Z\)

Делим обе стороны на \( \displaystyle \pi\)

\( \displaystyle \frac{\pi \left( {x}-7 \right)}{\pi }=\pm \frac{\pi }{\pi }+\frac{6\pi n}{\pi },~n\in Z\)

\( \displaystyle ~{x}-7=\pm 1+6n,~n\in Z\)

Всё, что осталось, – это перенести \( \displaystyle 7\) вправо, изменив её знак с минуса на плюс.

\( \displaystyle x=7\pm 1+6n,~n\in Z\)

У нас опять получается 2 серии корней, одна с \( \displaystyle +1\), а другая с \( \displaystyle -1\).

\( \displaystyle x=8+6n,~n\in Z\)

или

\( \displaystyle x=6+6n,~n\in Z\)

Нам нужно найти наибольший отрицательный корень. Рассмотрим первую серию:

\( \displaystyle x=8+6n\)

Ясно, что первый отрицательный корень мы получим при \( \displaystyle n=-2\), он будет равен \( \displaystyle -4\) и будет наибольшим отрицательным корнем в 1 серии.

Для второй серии

\( \displaystyle x=6+6n\)

Первый отрицательный корень будет получен также при \( \displaystyle n=-2\) и будет равен \( \displaystyle -6\). Так как \( \displaystyle -4>-6\), то \( \displaystyle -4\) – наибольший отрицательный корень уравнения.

Ответ: \( \displaystyle -4\).

3. \( \displaystyle tg\frac{\pi x}{4}=-1\)

Решаем, не взирая на сложный аргумент тангенса.

Вот, вроде бы ничего сложного, не так ли?

\( \displaystyle \frac{\pi x}{4}=arctg\left( -1 \right)+\pi n\)

\( \displaystyle \frac{\pi x}{4}=-arctg\left( 1 \right)+\pi n\)

\( \displaystyle \frac{\pi x}{4}=-\frac{\pi }{4}+\pi n\)

Как и раньше, выражаем \( \displaystyle x\) в левой части:

\( \displaystyle \frac{4\pi x}{4}=-\frac{4\pi }{4}+4\pi n\)

\( \displaystyle \pi x=-\pi +4\pi n\)

\( \displaystyle \frac{\pi x}{\pi }=-\frac{\pi }{\pi }+\frac{4\pi n}{\pi }\)

\( \displaystyle x=-1+4n\)

Ну вот и замечательно, здесь вообще всего одна серия корней! Опять найдём наибольший отрицательный.

Ясно, что он получается, если положить \( \displaystyle n=0\). И корень этот равен \( \displaystyle -1\).

Ответ: \( \displaystyle -1\)

Теперь попробуй самостоятельно решить следующие задачи.

  1. 1
    Ре­ши­те урав­не­ние \( \displaystyle sin\frac{\pi x}{3}=0,5\).
    В от­ве­те на­пи­ши­те наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный ко­рень.
  2. 2
    Ре­ши­те урав­не­ние \( \displaystyle tg\frac{\pi \left( {x}-6 \right)}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}\).
    В от­ве­те на­пи­ши­те наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный ко­рень.
  3. 3
    Ре­ши­те урав­не­ние \( \displaystyle sin\frac{\pi \left( 2{x}-3 \right)}{6}=-0,5\).
    В от­ве­те на­пи­ши­те наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный ко­рень.

Готов? Проверяем. Я не буду подробно описывать весь алгоритм решения, мне кажется, ему и так уделено достаточно внимания выше.

Ну что же, теперь ты умеешь решать простейшие тригонометрические уравнения! Сверься с ответами:

1. \( \displaystyle sin\frac{\pi x}{3}=0,5\)

\( \displaystyle \frac{\pi x}{3}={{\left( -1 \right)}^{n}}\arcsin \left( 0,5 \right)+\pi n\)

\( \displaystyle \frac{\pi x}{3}={{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}+\pi n\)

Выразим \( \displaystyle x :\)

\( \displaystyle \pi x={{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}+3\pi n\)

\( \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{1}{2}+3n\)

Наименьший положительный корень получится, если положить \( \displaystyle n=0\), так как \( \displaystyle {{\left( -1 \right)}^{0}}=1\), то \( \displaystyle x=0,5\)

Ответ: \( \displaystyle x=0,5\)

2. \( \displaystyle tg\frac{\pi \left( {x}-6 \right)}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

\( \displaystyle \frac{\pi \left( {x}-6 \right)}{6}=arctg\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)+\pi n\)

\( \displaystyle \frac{\pi \left( {x}-6 \right)}{6}=\frac{\pi }{6}+\pi n\)

\( \displaystyle \pi \left( {x}-6 \right)=\pi +6\pi n\)

\( \displaystyle {x}-6=1+6n\)

\( \displaystyle x=7+6n\)

Наименьший положительный корень получится при \( \displaystyle n=-1\).

Он будет равен \( \displaystyle 1\).

Ответ: \( \displaystyle x=1\).

3. \( \displaystyle sin\frac{\pi \left( 2{x}-3 \right)}{6}=-0,5\)

\( \displaystyle \frac{\pi \left( 2{x}-3 \right)}{6}={{\left( -1 \right)}^{n}}\arcsin \left( -0,5 \right)+\pi n\)

\( \displaystyle \frac{\pi \left( 2{x}-3 \right)}{6}={{\left( -1 \right)}^{n+1}}\arcsin \left( 0,5 \right)+\pi n\)

\( \displaystyle \frac{\pi \left( 2{x}-3 \right)}{6}={{\left( -1 \right)}^{n+1}}\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}+\pi n\)

\( \displaystyle \pi \left( 2{x}-3 \right)={{\left( -1 \right)}^{n+1}}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+6\pi n\)

\( \displaystyle 2{x}-3={{\left( -1 \right)}^{n+1}}+6n\)

\( \displaystyle 2{x}=3+{{\left( -1 \right)}^{n+1}}+6n\)

\( \displaystyle x=\frac{3+{{\left( -1 \right)}^{n+1}}}{2}+3n\)

При \( \displaystyle n<0\) получаем \( \displaystyle x<0\), при \( \displaystyle n=0\) имеем \( \displaystyle x=1\).

Ответ: \( \displaystyle x=1\).

Ну что, всё правильно? Ох уж эти гадкие синусы, с ними всегда какие-то беды!

Эти знания помогут тебе решать многие задачи, с которыми ты столкнёшься в экзамене.

Если же ты претендуешь на оценку «5», то тебе просто необходимо перейти к чтению статьи для среднего уровня, которая будет посвящена решению более сложных тригонометрических уравнений.

В этой части статьи я опишу решение тригонометрических уравнений более сложного типа и объясню, как производить отбор их корней. Здесь я буду опираться на следующие темы:

Рекомендую тебе прежде ознакомиться с содержанием этих двух статей, прежде чем приступать к чтению и разбору этого чтиво. Итак, все готово? Прекрасно. Тогда вперед.

Более сложные тригонометрические уравнения – это основа задач повышенной сложности. В них требуется как решить само уравнение в общем виде, так и найти корни этого уравнения, принадлежащие некоторому заданному промежутку.

Решение тригонометрических уравнений сводится к двум подзадачам:

  • Решение уравнения
  • Отбор корней

Следует отметить, что второе требуется не всегда, но все же в большинстве примеров требуется производить отбор. А если же он не требуется, то тебе скорее можно посочувствовать – это значит, что уравнение достаточно сложное само по себе.

Мой опыт разбора задач повышенной сложности показывает, что они как правило делятся на вот такие категории.

  1. 1
    Уравнения, сводящиеся к разложению на множители.
  2. 2
    Уравнения, сводящиеся к виду \( \displaystyle tgx=a\).
  3. 3
    Уравнения, решаемые заменой переменной.
  4. 4
    Уравнения, требующие дополнительного отбора корней из-за иррациональности или знаменателя.

Говоря по-простому: если тебе попалось одно из уравнений первых трех типов, то считай, что тебе повезло. Для них как правило дополнительно нужно подобрать корни, принадлежащие некоторому промежутку.

Если же тебе попалось уравнение 4 типа, то тебе повезло меньше: с ним нужно повозиться подольше и повнимательнее, зато довольно часто в нем не требуется дополнительно отбирать корни.

Тем не менее данный тип уравнений я буду разбирать в разделе для продвинутых, а эту посвящу решению уравнений первых трех типов.

Самое важное, что тебе нужно помнить, чтобы решать уравнения этого типа, это:

Как показывает практика, как правило, этих знаний достаточно. Давай обратимся к примерам:

Уравнения, сводящиеся к разложению с помощью синуса двойного угла:

  • Ре­ши­те урав­не­ние \( \displaystyle sin2x=\text{sin}\left( \frac{\pi }{2}+x \right)\)
  • Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку \( \displaystyle \left[ -\frac{7\pi }{2},-\frac{5\pi }{2} \right]\)

Здесь, как я и обещал, работают формулы приведения:

\( \displaystyle \sin \left( \frac{\pi }{2}+x \right)=cosx\)

Тогда мое уравнение примет вот такой вид:

\( \displaystyle sin2x=cosx\)

Что дальше? А дальше обещанный мною второй пункт программы – синус двойного угла:

\( \displaystyle sin2x=2sinxcosx\)

Тогда мое уравнение примет следующую форму:

\( \displaystyle 2sinxcosx=cosx\)

Недальновидный ученик мог бы сказать: а теперь я сокращу обе части на \( \displaystyle cosx\), получаю простейшее уравнение \( \displaystyle 2sinx=1\) и радуюсь жизни! И будет горько заблуждаться!

Запомни!

Никогда нельзя сокращать обе части тригонометрического уравнения на функцию, содержащую неизвестную! Таки образом ты теряешь корни!

Так что же делать? Да все просто, переносить все в одну сторону и выносить общий множитель:

\( \displaystyle 2sinxcosx-cosx=0\)

\( \displaystyle cosx\left( 2sinx-1 \right)=0\)

Ну вот, на множители разложили, ура! Теперь решаем:

\( \displaystyle cosx=0\) или \( \displaystyle 2sinx=1\)

Первое уравнение имеет корни:

\( \displaystyle x=\frac{\pi }{2}+\pi n\).

А второе:

\( \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{\pi }{6}+\pi n\)

На этом первая часть задачи решена. Теперь нужно отобрать корни. 

Промежуток вот такой: \( \displaystyle \left[ -\frac{7\pi }{2},-\frac{5\pi }{2} \right]\)

Или его еще можно записать вот так: \( \displaystyle \left[ -3,5\pi ;-2,5\pi \right]\)

Ну что, давай отбирать корни:

Вначале поработаем с первой серией (да и проще она, что уж говорить!)

\( \displaystyle x=\frac{\pi }{2}+\pi n\).

Так как наш промежуток – целиком отрицательный, то нет нужды брать неотрицательные \( \displaystyle n\), все равно они дадут неотрицательные корни.

Возьмем \( \displaystyle n=-1\), тогда \( \displaystyle x=-\frac{\pi }{2}\) – многовато, не попадает.

Пусть \( \displaystyle n=-2\), тогда \( \displaystyle x=-\frac{3\pi }{2}\) – снова не попал.

Еще одна попытка - \( \displaystyle n=-3\), тогда \( \displaystyle x=\frac{\pi }{2}-3\pi =-2,5\pi \) – есть, попал! Первый корень найден!

Стреляю еще раз: \( \displaystyle n=-4\), тогда \( \displaystyle x=\frac{\pi }{2}-4\pi =-3,5\pi \) – еще раз попал!

Ну и еще разок: \( \displaystyle n=-5\): \( \displaystyle x=\frac{\pi }{2}-5\pi =-4,5\pi \) – это уже перелет.

Так что из первой серии промежутку \( \displaystyle \left[ -3,5\pi ;-2,5\pi \right]\) принадлежат 2 корня: \( \displaystyle -2,5\pi ,~-3,5\pi \).

Работаем со второй серией

Возводим \( \displaystyle -1\) в степень по правилу:
\( \displaystyle {{\left( -1 \right)}^{нечетная\ степень}}=-1\)

\( \displaystyle {{\left( -1 \right)}^{четная\ степень}}=1\)

\( \displaystyle n=0,~x=\frac{\pi }{6}\) – недолет!

\( \displaystyle n=-1,~x=~-\frac{\pi }{6}-\pi =-\frac{7\pi }{6}\) – снова недолет!

\( \displaystyle n=-2,~x=~\frac{\pi }{6}-2\pi =-\frac{11\pi }{6}\) – опять недолет!

\( \displaystyle n=-3,~x=~-\frac{\pi }{6}-3\pi =-\frac{19\pi }{6}\) – попал!

\( \displaystyle n=-4,~x=\frac{\pi }{6}-4\pi =-\frac{23\pi }{6}\) – перелет!

Таким образом, моему промежутку принадлежат вот такие корни:

\( \displaystyle 2,5\pi ,\text{ }-3,5\pi ,\ -\frac{19\pi }{6}\).

Вот по такому алгоритму мы и будем решать все другие примеры. Давай вместе потренируемся еще на одном примере.

Уравнения, сводящиеся к разложению на множители с помощью формул приведения:

  • Решите уравнение \( \displaystyle 2si{{n}^{2}}x=\cos \left( \frac{3\pi }{2}-x \right)\)
  • Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку \( \displaystyle \left[ -\frac{5\pi }{2},-\pi \right]\).

Решение:

Опять пресловутые формулы приведения:

\( \displaystyle \cos \left( \frac{3\pi }{2}-x \right)=-sinx\)

\( \displaystyle 2si{{n}^{2}}x=-sinx\)

Опять не вздумай сокращать!

\( \displaystyle 2si{{n}^{2}}x+sinx=0\)

\( \displaystyle sinx\left( 2sinx+1 \right)=0\)

Откуда

\( \displaystyle sinx=0\) или \( \displaystyle 2sinx+1=0,~sinx=-\frac{1}{2}\)

Первое уравнение имеет корни:

\( \displaystyle x=\pi n\)

А второе:

\( \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n+1}}\frac{\pi }{6}+\pi n\)

Теперь снова поиск корней.

Начну со второй серии, мне про нее уже все известно из предыдущего примера! Посмотри и убедись, что корни, принадлежащие промежутку \( \displaystyle \left[ -2,5\pi ;-\pi \right]\) следующие:

\( \displaystyle -\frac{13\pi }{6}\)

Теперь первая серия и она попроще:

\( \displaystyle x=\pi n\)

Если \( \displaystyle n=-1,~x=-\pi \) – подходит

Если \( \displaystyle n=-2,~x=-2\pi \) – тоже годится

Если \( \displaystyle n=-3,~x=-3\pi \) – уже перелет.

Тогда корни будут следующие:

\( \displaystyle -\frac{13\pi }{6},~-\pi ,~-2\pi \)

Ну что, техника тебе ясна? Решение тригонометрических уравнений уже не кажется таким сложным? Тогда быстренько прорешай следующие задачки самостоятельно, а потом мы с тобой будем решать другие примеры:

  1. 1
    Решите уравнение \( \displaystyle \sqrt{2}\sin \left( \frac{3\pi }{2}-x \right)\cdot sinx=cosx\)
    Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие промежутку \( \displaystyle \left[ \frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2} \right]\).
  2. 2
    Ре­ши­те урав­не­ние \( \displaystyle 2sin2x=4cosx-sinx+1\)
    Ука­жи­те корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку \( \displaystyle \left[ -5\pi ,-4\pi \right]\)
  3. 3
    Ре­ши­те урав­не­ние \( \displaystyle sin2x-2\sqrt{3}si{{n}^{2}}x+4cosx-4\sqrt{3}sinx=0\)
    Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку \( \displaystyle ~\left[ -\frac{\pi }{2},\pi \right]\).

Уравнение №1

\( \displaystyle \sqrt{2}\sin \left( \frac{3\pi }{2}-x \right)\cdot sinx=cosx\)

И снова формула приведения:

\( \displaystyle ~\sin \left( \frac{3\pi }{2}-x \right)=-cosx\)

\( \displaystyle -\sqrt{2}cosxsinx=cosx\)

\( \displaystyle -\sqrt{2}cosxsinx-cosx=0\)

\( \displaystyle \sqrt{2}cosxsinx+cosx=0\)

\( \displaystyle cosx\left( \sqrt{2}sinx+1 \right)=0\)

\( \displaystyle cosx=0\) или \( \displaystyle \sqrt{2}sinx+1=0\)

\( \displaystyle sinx=-\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Первая серия корней:

\( \displaystyle x=\frac{\pi }{2}+\pi n\).

Вторая серия корней:

\( \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n+1}}\frac{\pi }{4}+\pi n\)

Начинаем отбор для промежутка \( \displaystyle \left[ \frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2} \right]=\left[ 0,5\pi ;1,5\pi \right]\)

\( \displaystyle n\)

\( \displaystyle \frac{\pi }{2}+\pi n\)

\( \displaystyle {{\left( -1 \right)}^{n+1}}\frac{\pi }{4}+\pi n\)

\( \displaystyle 0\)

\( \displaystyle \frac{\pi }{2}\).

\( \displaystyle -\frac{\pi }{4}\)

\( \displaystyle 1\)

\( \displaystyle x=\frac{3\pi }{2}\).

\( \displaystyle x=\frac{\pi }{4}+\pi =\frac{5\pi }{4}\).

\( \displaystyle 2\)

\( \displaystyle \frac{\pi }{2}+2\pi \)- перелет

\( \displaystyle -\frac{\pi }{4}+2\pi \)- перелет

Ответ: \( \displaystyle \frac{\pi }{2}\), \( \displaystyle \frac{3\pi }{2}\), \( \displaystyle \frac{5\pi }{4}\).

Уравнение №2

\( \displaystyle 2sin2x=4cosx-sinx+1\)

Довольно хитрая группировка на множители (применю формулу синуса двойного угла):

\( \displaystyle 2\cdot 2sinxcosx=4cosx-sinx+1\)

\( \displaystyle 4sinxcosx-4cosx+sinx-1=0\)

\( \displaystyle 4cosx\left( sinx-1 \right)+\left( sinx-1 \right)=0\)

\( \displaystyle \left( 4cosx+1 \right)\left( sinx-1 \right)=0\)

тогда \( \displaystyle 4cosx+1=0\) или \( \displaystyle \left( sinx-1 \right)=0\)

\( \displaystyle cosx=-\frac{1}{4}\) или \( \displaystyle sinx=1\)

\( \displaystyle x=\pm \left( \pi -arccos\frac{1}{4} \right)+2\pi n\) или \( \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{\pi }{2}+\pi n\)

Это общее решение. Теперь надо отбирать корни. Беда в том, что мы не можем сказать точное значение угла, косинус которого равен одной четверти. Поэтому я не могу просто так избавиться от арккосинуса – вот такая досада!

Что я могу сделать, так это прикинуть, что так как \( \displaystyle \frac{1}{4}<0,5\), то \( \displaystyle arccos\frac{1}{4}>\frac{\pi }{3}\).

\( \displaystyle \frac{\pi }{2}>arccos\frac{1}{4}>\frac{\pi }{3}\)

Составим таблицу: промежуток: \( \displaystyle \left[ -5\pi ;~-4\pi \right]\)

\( \displaystyle n\)

\( \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{\pi }{2}+\pi n\)

\( \displaystyle x=\pm \left( \pi -arccos\frac{1}{4} \right)+2\pi n\)

\( \displaystyle -2\)

\( \displaystyle \frac{\pi }{2}-2\pi \)- недолет

\( \displaystyle \pm \left( \pi -arccos\frac{1}{4} \right)-4\pi \)
Для \( \displaystyle +\): \( \displaystyle -arccos\frac{1}{4}-3\pi \)- недолет
Для \( \displaystyle -\): \( \displaystyle arccos\frac{1}{4}-5\pi \)- попал

\( \displaystyle -3\)

\( \displaystyle -\frac{\pi }{2}-3\pi \)- пока еще недолет

\( \displaystyle \pm \left( \pi -arccos\frac{1}{4} \right)-6\pi \)
Для \( \displaystyle +\): \( \displaystyle -arccos\frac{1}{4}-5\pi \) - перелет
Для \( \displaystyle -\): \( \displaystyle arccos\frac{1}{4}-7\pi \) - перелет

\( \displaystyle -4\)

\( \displaystyle \frac{\pi }{2}-4\pi \)- еще недолет

Перелет!

\( \displaystyle -5\)

\( \displaystyle -\frac{\pi }{2}-5\pi \)- уже перелет

Ну что же, путем мучительных поисков мы пришли к неутешительному выводу о том, что наше уравнение имеет один корень на указанном промежутке: \displaystyle arccos\frac{1}{4}-5\pi

Уравнение №3

\( \displaystyle sin2x-2\sqrt{3}si{{n}^{2}}x+4cosx-4\sqrt{3}sinx=0\)

Уравнение пугающего вида. Однако решается довольно просто путем применения формулы синуса двойного угла:

\( \displaystyle 2sinxcosx-2\sqrt{3}si{{n}^{2}}x+4cosx-4\sqrt{3}sinx=0\)

Сократим на 2:

\( \displaystyle sinxcosx-\sqrt{3}si{{n}^{2}}x+2cosx-2\sqrt{3}sinx=0\)

Сгруппируем первое слагаемое со вторым и третье с четвертым и вынесем общие множители:

\( \displaystyle sinx\left( cosx-\sqrt{3}sinx \right)+2\left( cosx-\sqrt{3}sinx \right)=0\)

\( \displaystyle \left( sinx+2 \right)\left( cosx-\sqrt{3}sinx \right)=0\)

\( \displaystyle sinx+2=0\) или \( \displaystyle cosx-\sqrt{3}sinx=0\)

Ясно, что первое уравнение корней не имеет, а теперь рассмотрим второе:

\( \displaystyle cosx-\sqrt{3}sinx=0\)

Вообще я собирался чуть позже остановиться на решении таких уравнений, но раз уж подвернулось, то делать нечего, надо решать...

Уравнения вида: \( \displaystyle \text{acosx}+\text{bsinx}=0\), \( \displaystyle \text{a},\text{b}\) – числа

Данное уравнение решается делением обеих частей на \( \displaystyle cosx\):

\( \displaystyle \frac{cosx-\sqrt{3}sinx}{cosx}=0\)

\( \displaystyle 1-\sqrt{3}tgx=0\)

\( \displaystyle tgx=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

\( \displaystyle x=\frac{\pi }{6}+\pi n\)

Таким образом, наше уравнение имеет единственную серию корней:

\( \displaystyle x=\frac{\pi }{6}+\pi n\)

Нужно найти те из них, которые принадлежат промежутку: \( \displaystyle \left[ -\frac{\pi }{2},\pi \right]\).

Опять построим табличку, как я делал и ранее:

\( \displaystyle n\)

\( \displaystyle x=\frac{\pi }{6}+\pi n\)

\( \displaystyle -1\)

\( \displaystyle \frac{\pi }{6}-\pi \)

\( \displaystyle 0\)

\( \displaystyle \frac{\pi }{6}\) - попал!

\( \displaystyle 1\)

\( \displaystyle \frac{\pi }{6}+\pi \)- перелет!

Ответ: \( \displaystyle \frac{\pi }{6}\).

Ну вот, теперь самое время переходить ко второй порции уравнений, тем более, что я уже и так проболтался в чем состоит решение тригонометрических уравнений нового типа. Но не лишним будет повторить, что уравнение вида

\( \displaystyle \text{acosx}+\text{bsinx}=0\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{a},\text{b}\ne 0 \right)\)

Решается делением обеих частей на косинус:

\( \displaystyle \text{a}\frac{\text{cosx}}{\text{cosx}}+\text{b}\frac{\text{sinx}}{\text{cosx}}=0\)

\( \displaystyle \text{a}+\text{btgx}=0\)

\( \displaystyle \text{tgx}=-\frac{\text{a}}{\text{b}}\)

Таким образом, решить уравнение вида

\( \displaystyle \text{acosx}+\text{bsinx}=0 \)

все равно, что решить

\( \displaystyle \text{tgx}=-\frac{\text{a}}{\text{b}}\)

Мы только что рассмотрели, как это происходит на практике. Однако давай решим еще и вот такие примеры.

  1. 1
    Ре­ши­те урав­не­ние \( \displaystyle sinx+si{{n}^{2}}\frac{x}{2}=co{{s}^{2}}\frac{x}{2}\)
    Ука­жи­те корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку \( \displaystyle \left[ -2\pi ,-\frac{\pi }{2} \right]\).
  2. 2
    Ре­ши­те урав­не­ние \( \displaystyle cosx={{\left( cos\frac{x}{2}-sin\frac{x}{2} \right)}^{2}}-1\)
    Ука­жи­те корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку \( \displaystyle \left[ \frac{\pi }{2},2\pi \right]\).

Пример 1

Первое – ну совсем простое. Перенесем \( \displaystyle si{{n}^{2}}\frac{x}{2}\) вправо и применим формулу косинуса двойного угла:

\( \displaystyle sinx=co{{s}^{2}}\frac{x}{2}-si{{n}^{2}}\frac{x}{2}\)

\( \displaystyle sinx=cosx\)

Ага! Уравнение вида: \( \displaystyle acosx+bsinx=0\). Делю обе части на \( \displaystyle cosx\)

\( \displaystyle \frac{sinx}{cosx}=\frac{cosx}{cosx}\)

\( \displaystyle tgx=1\)

\( \displaystyle x=\frac{\pi }{4}+\pi n\)

Делаем отсев корней:

Промежуток: \( \displaystyle \left[ -2\pi ,-\frac{\pi }{2} \right]\)

\( \displaystyle n\)

\( \displaystyle x=\frac{\pi }{4}+\pi n\)

\( \displaystyle -1\)

\( \displaystyle \frac{\pi }{4}-\pi =-\frac{3\pi }{4}\) - попал

\( \displaystyle -2\)

\( \displaystyle \frac{\pi }{4}-2\pi =-\frac{7\pi }{4}\) - попал

\( \displaystyle -3\)

\( \displaystyle \frac{\pi }{4}-3\pi \)- перелет!

Ответ: \( \displaystyle -\frac{3\pi }{4};-\frac{7\pi }{4}\)

Пример 2

Все тоже довольно тривиально: раскроем скобки справа:

\( \displaystyle cosx=co{{s}^{2}}\frac{x}{2}-2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+si{{n}^{2}}\frac{x}{2}-1\)

Основное тригонометрическое тождество:

\( \displaystyle co{{s}^{2}}\frac{x}{2}+si{{n}^{2}}\frac{x}{2}=1\)

Синус двойного угла:

\( \displaystyle 2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}=sinx\)

Окончательно получим:

\( \displaystyle cosx=-sinx\)

или

\( \displaystyle tgx=-1\).

\( \displaystyle x=-\frac{\pi }{4}+\pi n\)

Отсев корней: промежуток \( \displaystyle \left[ \frac{\pi }{2},2\pi \right]\).

\( \displaystyle n\)

\( \displaystyle x=-\frac{\pi }{4}+\pi n\)

\( \displaystyle 1\)

\( \displaystyle -\frac{\pi }{4}+\pi =\frac{3\pi }{4}\) - попал

\( \displaystyle 2\)

\( \displaystyle -\frac{\pi }{4}+2\pi =\frac{7\pi }{4}\) - попал

\( \displaystyle 3\)

\( \displaystyle -\frac{\pi }{4}+3\pi \)- перелет!

Ответ: \( \displaystyle \frac{3\pi }{4};\frac{7\pi }{4}\).

Ну как тебе техника, не слишком сложна? Я надеюсь, что нет. Сразу можно оговориться: в чистом виде уравнения, которые тут же сводятся к уравнению относительно тангенса, встречаются довольно редко. Как правило, этот переход (деление на косинус) является лишь частью более сложной задачи. Вот тебе пример, чтобы ты мог поупражняться:

  1. 3
    Ре­ши­те урав­не­ние \( \displaystyle \sqrt{3}sin2x+3cos2x=0\). Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку \( \displaystyle \left[ \frac{3\pi }{2},3\pi \right]\).

Давай сверяться:

Уравнение решается сразу же, достаточно поделить обе части на \( \displaystyle cos2x\):

\( \displaystyle \sqrt{3}tg2x+3=0\)

\( \displaystyle \sqrt{3}tg2x=-3\)

\( \displaystyle tg2x=-\frac{3}{\sqrt{3}}\)

\( \displaystyle 2x=-\frac{\pi }{3}+\pi n\)

\( \displaystyle x=-\frac{\pi }{6}+\frac{\pi n}{2}\)

Отсев корней:

\( \displaystyle n\)

\( \displaystyle x=-\frac{\pi }{6}+\frac{\pi n}{2}\)

\( \displaystyle 3\)

\( \displaystyle -\frac{\pi }{6}+\frac{3\pi }{2}\) - маленький недолет на \( \displaystyle \frac{\pi }{6}\)

\( \displaystyle 4\)

\( \displaystyle -\frac{\pi }{6}+2\pi =\frac{11\pi }{6}\) - попал!

\( \displaystyle 5\)

\( \displaystyle -\frac{\pi }{6}+\frac{5\pi }{2}=\frac{7\pi }{3}\) - снова в яблочко!

\( \displaystyle 6\)

\( \displaystyle -\frac{\pi }{6}+3\pi =\frac{17\pi }{6}\) - и снова удача на нашей стороне!

\( \displaystyle 7\)

\( \displaystyle -\frac{\pi }{12}+\frac{7\pi }{2}\) - на сей раз уже перелет!

Ответ: \( \displaystyle \frac{11\pi }{6};\frac{14\pi }{6};\frac{17\pi }{6}\).

Так или иначе, нам еще предстоит встретиться с уравнениями того вида, которые мы только что разобрали. Однако нам еще рано закругляться: остался еще один «пласт» уравнений, которые мы не разобрали. Итак:

Здесь все прозрачно: смотрим пристально на уравнение, максимально его упрощаем, делаем замену, решаем, делаем обратную замену! На словах все очень легко. Давай посмотрим на деле:

  • Решить уравнение: \( \displaystyle 4co{{s}^{4}}x-4co{{s}^{2}}x+1=0\). Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку \( \displaystyle \left[ -2\pi ,-\pi \right]\).

Ну что же, здесь замена сама напрашивается к нам в руки!

\( \displaystyle t=co{{s}^{2}}x\)

Тогда наше уравнение превратится вот в такое:

\( \displaystyle 4{{t}^{2}}-4t+1=0\)

\( \displaystyle {{\left( 2t-1 \right)}^{2}}=0\)

\( \displaystyle t=\frac{1}{2}\)

Тогда \( \displaystyle co{{s}^{2}}x=\frac{1}{2}\)

Отсюда \( \displaystyle cosx=\frac{\sqrt{2}}{2}\), \( \displaystyle cosx=-\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Первое уравнение имеет корни:

\( \displaystyle x=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi n\)

А второе вот такие:

\( \displaystyle x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi n\)

Теперь найдем корни, принадлежащие промежутку \( \displaystyle \left[ -2\pi ,-\pi \right]\)

\( \displaystyle n\)

\( \displaystyle x=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi n\)

\( \displaystyle x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi n\)

\( \displaystyle -1\)

Для \( \displaystyle +\): \( \displaystyle \frac{\pi }{4}-2\pi =-\frac{7\pi }{4}\) - подходит!
Для \( \displaystyle -\): \( \displaystyle -\frac{\pi }{4}-2\pi <-2\pi \)- выскочил за интервал

Для \( \displaystyle +\): \( \displaystyle \frac{3\pi }{4}-2\pi =-\frac{5\pi }{4}\) - подходит!
Для \( \displaystyle -\): \( \displaystyle -\frac{3\pi }{4}-2\pi <-2\pi \)- снова выскочил за интервал!

\( \displaystyle -2\)

Выскочил за интервал

Выскочил за интервал

Ответ: \( \displaystyle -\frac{7\pi }{4};\ -\frac{5\pi }{4}\).

Давай вместе разберем чуть более сложный пример:

  • Ре­ши­те урав­не­ние \( \displaystyle 6si{{n}^{2}}x+sin2x=2\). Ука­жи­те корни дан­но­го урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку \( \displaystyle \left[ \frac{3\pi }{2},\frac{5\pi }{2} \right]\). 

Здесь замена сразу не видна, более того, она не очень очевидна. Давай вначале подумаем: а что мы можем сделать?

Можем, например, представить

\( \displaystyle sin2x=2sinxcosx\)

А заодно и

\( \displaystyle 2=2si{{n}^{2}}x+2co{{s}^{2}}x\)

Тогда мое уравнение примет вид:

\( \displaystyle 6si{{n}^{2}}x+2sinxcosx=2si{{n}^{2}}x+2co{{s}^{2}}x\)

\( \displaystyle 4si{{n}^{2}}x+2sinxcosx-2co{{s}^{2}}x=0\)

\( \displaystyle 2si{{n}^{2}}x+sinxcosx-co{{s}^{2}}x=0\)

А теперь внимание, фокус:

Давай разделим обе части уравнения на \( \displaystyle co{{s}^{2}}x\):

\( \displaystyle 2\frac{si{{n}^{2}}x}{co{{s}^{2}}x}+\frac{sinxcosx}{co{{s}^{2}}x}-\frac{co{{s}^{2}}x}{co{{s}^{2}}x}=0\)

\( \displaystyle 2t{{g}^{2}}x+tgx-1=0\)

Внезапно мы с тобой получили квадратное уравнение относительно \( \displaystyle tgx\)!

Сделаем замену \( \displaystyle t=tgx\), тогда получим:

\( \displaystyle 2{{t}^{2}}+t-1=0\)

Уравнение имеет следующие корни:

\( \displaystyle {{t}_{1}}=-1,{{t}_{2}}=\frac{1}{2}\)

Отсюда:

\( \displaystyle tgx=-1\).

\( \displaystyle x=-\frac{\pi }{4}+\pi n\)

Или

\( \displaystyle tgx=\frac{1}{2}\).

\( \displaystyle x=arctg\frac{1}{2}+\pi n\)

Неприятная вторая серия корней, но ничего не поделаешь!

Производим отбор корней на промежутке \( \displaystyle \left[ \frac{3\pi }{2},\frac{5\pi }{2} \right]\).

Нам также нужно учитывать, что:

так как \( \displaystyle \frac{1}{2}<\frac{1}{\sqrt{3}}\) и \( \displaystyle arctg\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\pi }{6}\), то

\( \displaystyle 0<arctg\frac{1}{2}<\frac{\pi }{6}\)

\( \displaystyle n\)

\( \displaystyle x=-\frac{\pi }{4}+\pi n\)

\( \displaystyle x=arctg\frac{1}{2}+\pi n\)

\( \displaystyle 1\)

\( \displaystyle -\frac{\pi }{4}+\pi \)- маловато

\( \displaystyle arctg\frac{1}{2}+\pi \)- маловато

\( \displaystyle 2\)

\( \displaystyle -\frac{\pi }{4}+2\pi =\frac{7\pi }{4}\) - подойдет

\( \displaystyle arctg\frac{1}{2}+2\pi \)- подойдет

\( \displaystyle 3\)

\( \displaystyle -\frac{\pi }{4}+3\pi >2,5\pi \) - перебор

\( \displaystyle arctg\frac{1}{2}+3\pi \)- перебор

Ответ: \( \displaystyle \frac{7\pi }{4};\ arctg\frac{1}{2}+2\pi \)

Для закрепления, прежде чем ты сам будешь решать задачи, вот тебе еще упражнение:

  • Ре­ши­те урав­не­ние \( \displaystyle \frac{1}{t{{g}^{2}}x}+\frac{3}{sinx}+3=0\). Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку \( \displaystyle \left[ 2\pi ,\frac{7\pi }{2} \right]\).

Здесь нужно держать ухо востро: у нас появились знаменатели, которые могут быть нулевыми! Поэтому надо быть особо внимательными к корням!

Прежде всего, мне нужно преобразовать уравнение так, чтобы я мог сделать подходящую замену. Я не могу придумать сейчас ничего лучше, чем переписать тангенс через синус и косинус:

\( \displaystyle t{{g}^{2}}x=\frac{si{{n}^{2}}x}{co{{s}^{2}}x}\)

\( \displaystyle \frac{co{{s}^{2}}x}{si{{n}^{2}}x}+\frac{3}{sinx}+3=0\)

Теперь я перейду от косинуса к синусу по основному тригонометрическому тождеству:

\( \displaystyle \frac{1-si{{n}^{2}}x}{si{{n}^{2}}x}+\frac{3}{sinx}+3=0\)

И, наконец, приведу все к общему знаменателю:

\( \displaystyle \frac{1-si{{n}^{2}}x}{si{{n}^{2}}x}+\frac{3sinx}{si{{n}^{2}}x}+\frac{3si{{n}^{2}}x}{si{{n}^{2}}x}=0\)

\( \displaystyle \frac{1-si{{n}^{2}}x+3sinx+3si{{n}^{2}}x}{si{{n}^{2}}x}=0\)

\( \displaystyle \frac{2si{{n}^{2}}x+3sinx+1}{si{{n}^{2}}x}=0\)

Теперь я могу перейти к уравнению:

\( \displaystyle 2si{{n}^{2}}x+3sinx+1=0\)

Но при \( \displaystyle si{{n}^{2}}x\ne 0\) (то есть при \( \displaystyle x\ne \pi n\)).

Теперь все готово для замены: \( \displaystyle t=sin x\)

\( \displaystyle 2{{t}^{2}}+3t+1=0\)

\( \displaystyle {{t}_{1}}=-1,{{t}_{2}}=-\frac{1}{2}\)

Тогда \( \displaystyle sinx=-1\) или \( \displaystyle sinx=-\frac{1}{2}\)

Однако обрати внимание, что если \( \displaystyle sinx=-1\), то при этом \( \displaystyle cosx=0\)!

Кто от этого страдает? Беда с тангенсом, он не определен, когда косинус равен нулю (происходит деление на ноль).

Таким образом, корни уравнения следующие:

\( \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n+1}}\frac{\pi }{6}+\pi n\)

Теперь производим отсев корней на промежутке \( \displaystyle \left[ 2\pi ,\frac{7\pi }{2} \right]\):

\( \displaystyle n\)

\( \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n+1}}\frac{\pi }{6}+\pi n\)

\( \displaystyle 3\)

\( \displaystyle x=\frac{19\pi }{6}\) - подходит

\( \displaystyle 4\)

\( \displaystyle x=-\frac{\pi }{6}+4\pi \)- перебор

Таким образом, наше уравнение имеет единственный корень на промежутке \( \displaystyle \left[ 2\pi ,\frac{7\pi }{2} \right]\) , и он равен \( \displaystyle x=\frac{19\pi }{6}\).

Видишь: появление знаменателя (также, как и тангенса, приводит к определенным затруднениям с корнями! Тут нужно быть более внимательным!).

Ну что же, мы с тобой почти закончили разбор тригонометрических уравнений, осталось совсем немного – самостоятельно решить две задачи. Вот они.

  1. 1
    Решите уравнение \( \displaystyle 4si{{n}^{2}}x+8\sin \left( \frac{3\pi }{2}+x \right)+1=0\)
    Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку \( \displaystyle \left[ -3\pi ,-\frac{3\pi }{2} \right]\).
  2. 2
    Ре­ши­те урав­не­ние \( \displaystyle t{{g}^{2}}x+\left( 1+\sqrt{3} \right)tgx+\sqrt{3}=0\)
    Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку \( \displaystyle \left[ \frac{5\pi }{2},4\pi \right]\).

Решил? Не очень сложно? Давай сверяться:

1. Работаем по формулам приведения:

\( \displaystyle \sin \left( \frac{3\pi }{2}+x \right)=-cosx\)

Подставляем в уравнение:

\( \displaystyle 4si{{n}^{2}}x+8\left( -cosx \right)+1=0\)

Перепишем все через косинусы, чтобы удобнее было делать замену:

\( \displaystyle 4\left( 1-co{{s}^{2}}x \right)-8cosx+1=0\)

\( \displaystyle -4co{{s}^{2}}x-8cosx+5=0\)

\( \displaystyle 4co{{s}^{2}}x+8cosx-5=0\)

Теперь легко сделать замену:

\( \displaystyle t=cosx\)

\( \displaystyle 4{{t}^{2}}+8t-5=0\)

\( \displaystyle {{t}_{1}}=-\frac{5}{2},{{t}_{2}}=\frac{1}{2}\)

Ясно, что \( \displaystyle {{t}_{1}}=-\frac{5}{2}\) - посторонний корень, так как уравнение \( \displaystyle cosx=-\frac{5}{2}\) решений не имеет. Тогда:

\( \displaystyle cosx=\frac{1}{2}\)

\( \displaystyle x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n\)

Ищем нужные нам корни на промежутке \( \displaystyle \left[ -3\pi ,-\frac{3\pi }{2} \right]\)

\( \displaystyle n\)

\( \displaystyle x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n\)

\( \displaystyle -1\)

Для \( \displaystyle +\):

\( \displaystyle x=\frac{\pi }{3}-2\pi =-\frac{5\pi }{3}\) - подходит

Для \( \displaystyle -\):

\( \displaystyle x=-\frac{\pi }{3}-2\pi =-\frac{7\pi }{3}\) - подходит

\( \displaystyle -2\)

Для \( \displaystyle +\):

\( \displaystyle x=\frac{\pi }{3}-4\pi =-\frac{11\pi }{3}<-3\pi \)- выскочил

Для \( \displaystyle -\): \( \displaystyle x=-\frac{\pi }{3}-4\pi =-\frac{13\pi }{3}<-3\pi \) – тем более выскочил

Ответ: \( \displaystyle -\frac{5\pi }{3};\ -\frac{7\pi }{3}\).

2. \( \displaystyle t{{g}^{2}}x+\left( 1+\sqrt{3} \right)tgx+\sqrt{3}=0\)

Здесь замена видна сразу: \( \displaystyle t=tgx\)

\( \displaystyle {{t}^{2}}+\left( 1+\sqrt{3} \right)t+\sqrt{3}=0\)

\( \displaystyle {{t}_{1}}=-1,~{{t}_{2}}=-\sqrt{3}\)

Тогда \( \displaystyle tgx=-1\) или \( \displaystyle tgx=-\sqrt{3}\)

\( \displaystyle x=-\frac{\pi }{4}+\pi n\)

или

\( \displaystyle x=-\frac{\pi }{3}+\pi n\)

Отбор корней на промежутке \( \displaystyle \left[ \frac{5\pi }{2},4\pi \right]\):

\( \displaystyle n\)

\( \displaystyle x=-\frac{\pi }{4}+\pi n\)

\( \displaystyle x=-\frac{\pi }{3}+\pi n\)

\( \displaystyle 3\)

\( \displaystyle x=\frac{11\pi }{4}\) - подходит!

\( \displaystyle x=\frac{8\pi }{3}\) - подходит!

\( \displaystyle 4\)

\( \displaystyle x=\frac{15\pi }{4}\) - подходит!

\( \displaystyle x=\frac{11\pi }{3}\) - подходит!

\( \displaystyle 5\)

\( \displaystyle x=\frac{19\pi }{4}\) - много!

\( \displaystyle x=\frac{14\pi }{3}\) - тоже много!

Ответ: \( \displaystyle \frac{11\pi }{4};\ \frac{8\pi }{3};\ \frac{15\pi }{4};\ \frac{11\pi }{3}\)

Ну вот, теперь все! Но решение тригонометрических уравнений на этом не заканчивается, за бортом у нас остались самые сложные случаи: когда в уравнениях присутствует иррациональность или разного рода «сложные знаменатели». Как решать подобные задания мы рассмотрим в статье для продвинутого уровня.

В дополнение к рассмотренным в предыдущих двух статьях тригонометрическим уравнениям, рассмотрим еще один класс уравнений, которые требуют еще более внимательного анализа.

Данные тригонометрические примеры содержат либо иррациональность, либо знаменатель, что делает их анализ более сложным

Тем не менее ты вполне можешь столкнуться с данными уравнениями на ЕГЭ (и получить за них максимальное количество баллов!).

Однако нет худа без добра: для таких уравнений уже, как правило, не ставится вопрос о том, какие из его корней принадлежат заданному промежутку.

Давай не будем ходить вокруг да около, а сразу тригонометрические примеры.

  • Решить уравнение \( \displaystyle \frac{2si{{n}^{2}}x+sinx}{2cosx-\sqrt{3}}=0~\) и найти те корни, которые принадлежат отрезку \( \displaystyle \left[ -\frac{3\pi }{2},0 \right]\).

Решение:

У нас появляется знаменатель, который не должен быть равен нулю! Тогда решить данное уравнение – это все равно, что решить систему

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}2si{{n}^{2}}x+sinx=0\\2cosx-\sqrt{3}\ne 0\end{array} \right.\)

Решим каждое из уравнений:

\( \displaystyle 2si{{n}^{2}}x+sinx=0\)

\( \displaystyle sinx\left( 2sinx+1 \right)=0\)

\( \displaystyle sinx=0\) или \( \displaystyle sinx=-\frac{1}{2}\)

\( \displaystyle x=\pi n\) или \( \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n+1}}\frac{\pi }{6}+\pi n\)

А теперь второе:

\( \displaystyle 2cosx-\sqrt{3}\ne 0\)

\( \displaystyle x\ne \pm \frac{\pi }{6}+2\pi n\)

или \( \displaystyle x\ne \frac{\pi }{6}+2\pi n\), \( \displaystyle x\ne -\frac{\pi }{6}+2\pi n\)

Теперь давай посмотрим на серию:

\( \displaystyle {{\left( -1 \right)}^{n+1}}\cdot \frac{\pi }{6}+\pi n=\left\{ \begin{array}{l}-\frac{\pi }{6}+2\pi k\\\frac{\pi }{6}+\pi \left( 2k+1 \right)=\frac{7\pi }{6}+2\pi k\end{array} \right.\)

Ясно, что нам не подходит вариант \( \displaystyle -\frac{\pi }{6}+2\pi k\), так как при этом у нас обнуляется знаменатель (см. на формулу корней второго уравнения)

Если же \( \displaystyle x=\pi n\) – то все в порядке, и знаменатель не равен нулю! Тогда корни уравнения следующие: \( \displaystyle x=\frac{7\pi }{6}+2\pi n\), \( \displaystyle x=\pi n\).

Теперь производим отбор корней, принадлежащих промежутку \( \displaystyle \left[ -\frac{3\pi }{2},0 \right]\).

\( \displaystyle n\)

\( \displaystyle x=\frac{7\pi }{6}+2\pi n\)

\( \displaystyle x=\pi n\)

\( \displaystyle 0\)

\( \displaystyle \frac{7\pi }{6}\) - не подходит

\( \displaystyle 0\) - подходит

\( \displaystyle -1\)

\( \displaystyle -\frac{5\pi }{6}\) - подходит

\( \displaystyle -\pi \)- подходит

\( \displaystyle -2\)

перебор

перебор

Тогда корни следующие: \( \displaystyle 0;-\pi ;\ -\frac{5\pi }{6}\)

Видишь, даже появление небольшой помехи в виде знаменателя существенно отразилось на решении уравнения: мы отбросили серию корней, нулящих знаменатель. Еще сложнее может обстоять дело, если тебе попадутся тригонометрические примеры, имеющие иррациональность.

  • Решите уравнение: \( \displaystyle \left( sinx-\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt{3{{x}^{2}}-7x+4}=0\)

Решение:

Ну хотя бы не надо отбирать корни и то хорошо! Давай вначале решим уравнение, не взирая на иррациональность:

\( \displaystyle sinx=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\( \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{\pi }{3}+\pi n\)

\( \displaystyle 3{{x}^{2}}-7x+4=0\)

\( \displaystyle {{x}_{1}}=1,{{x}_{2}}=\frac{4}{3}\)

И что, это все? Нет, увы, так было бы слишком просто! Надо помнить, что под корнем могут стоять только неотрицательные числа. Тогда:

\( \displaystyle 3{{x}^{2}}-7x+4\ge 0\)

Решение этого неравенства:

\( \displaystyle x\in \left( -\infty ;1 \right]\mathop{\cup }^{}\left[ \frac{4}{3};+\infty \right)\)

Теперь осталось выяснить, не попала ли ненароком часть корней первого уравнения туда, где не выполяется неравенство \( \displaystyle 3{{x}^{2}}-7x+4\ge 0\).

Для этого можно опять воспользоваться таблицей:

\( \displaystyle n\)

\( \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{\pi }{3}+\pi n\)

\( \displaystyle x\in \left( -\infty ;1 \right]\mathop{\cup }^{}\left[ \frac{4}{3};+\infty \right)\)

\( \displaystyle 0\)

\( \displaystyle \frac{\pi }{3}\): \( \displaystyle \frac{\pi }{3}>1\), но \( \displaystyle \frac{\pi }{3}<\frac{4}{3}\)

Нет!

\( \displaystyle 1\)

\( \displaystyle \pi -\frac{\pi }{3}>1,5\)

Да!

\( \displaystyle -1\)

\( \displaystyle -\pi -\frac{\pi }{3}<0\)

Да!

Таким образом, у меня «выпал» один из корней! Он получается, если положить \( \displaystyle n=0\). Тогда ответ можно записать в следующем виде:

Ответ: \( \displaystyle 1;\frac{4}{3};\ {{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{\pi }{3}+\pi n,~n\in Z,~n\ne 0\)

Видишь, корень требует еще более пристального внимания! Усложняем: пусть теперь у меня под корнем стоит тригонометрическая функция.

  • \( \displaystyle \left( 2{{x}^{2}}-5x+2 \right)\sqrt{cosx-\sqrt{3}sinx}=0\)

Как и раньше: вначале решим каждое отдельно, а потом подумаем, что же мы наделали.

\( \displaystyle 2{{x}^{2}}-5x+2=0\)

\( \displaystyle {{x}_{1}}=2,~{{x}_{2}}=0,5\)

Теперь второе уравнение:

\( \displaystyle cosx-\sqrt{3}sinx=0\)

\( \displaystyle tgx=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

\( \displaystyle x=\frac{\pi }{6}+\pi n\)

Теперь самое сложное – выяснить, не получаются ли отрицательные значения под арифметическим корнем, если мы подставим туда корни из первого уравнения:

\( \displaystyle cos2-\sqrt{3}sin2\)

Число \( \displaystyle 2\) надо понимать как \( \displaystyle 2\) радианы.

Так как \( \displaystyle 1\) радиана – это примерно \( \displaystyle 57\) градусов, то \( \displaystyle 2\) радианы – порядка \( \displaystyle 114\) градусов. Это угол второй четверти.

Косинус второй четверти имеет какой знак? Минус. А синус? Плюс. Так что можно сказать про выражение

\( \displaystyle cos2-\sqrt{3}sin2\)?

Оно меньше нуля!

\( \displaystyle cos2-\sqrt{3}sin2<0\)

А значит \( \displaystyle 2\) – не является корнем уравнения.

Теперь черед \( \displaystyle \frac{1}{2}\).

\( \displaystyle cos\frac{1}{2}-\sqrt{3}sin\frac{1}{2}\)

Сравним это число с нулем.

\( \displaystyle cos\frac{1}{2}-\sqrt{3}sin\frac{1}{2}\ \vee \ 0\)

\( \displaystyle cos\frac{1}{2}\ \ \vee \sqrt{3}sin\frac{1}{2}\)

\( \displaystyle ctg\frac{1}{2}\ \ \vee \ \ \sqrt{3}\)

Котангенс – функция убывающая в 1 четверти (чем меньше аргумент, тем больше котангенс). \( \displaystyle \frac{1}{2}\) радианы – это примерно \( \displaystyle 28,5\) градусов.

В то же время

\( \displaystyle \sqrt{3}=ctg\left( 30{}^\circ \right)\)

так как \( \displaystyle 28,5<30\), то \( \displaystyle ctg\frac{1}{2}>~\sqrt{3}\),

а значит и

\( \displaystyle ~cos2-\sqrt{3}sin2>0\),

Ответ: \( \displaystyle x=\frac{\pi }{6}+\pi n;\ \frac{1}{2}\).

Может ли быть еще сложнее? Пожалуйста! Будет труднее, если под корнем по-прежнему тригонометрическая функция, а вторая часть уравнения – снова тригонометрическая функция.

Чем больше тригонометрических примеров, тем лучше, смотри дальше:

  • \( \displaystyle \left( 4co{{s}^{2}}x-4cosx-3 \right)\sqrt{-6sinx}=0\)

\( \displaystyle 4co{{s}^{2}}x-4cosx-3=0\)

\( \displaystyle t=cosx\)

\( \displaystyle 4{{t}^{2}}-4t-3=0\)

\( \displaystyle {{t}_{1}}=-0,5;{{t}_{2}}=1,5\) – корень \( \displaystyle {{t}_{2}}\) не годится, ввиду ограниченности косинуса

\( \displaystyle cosx=-0,5\)

\( \displaystyle x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n\)

Теперь второе:

\( \displaystyle -6sinx=0\)

\( \displaystyle sinx=0\)

\( \displaystyle x=\pi n\)

В то же время по определению корня:

\( \displaystyle -6sinx\ge 0\)

\( \displaystyle sinx\le 0\)

Надо вспомнить единичную окружность: а именно те четверти, где синус меньше нуля. Какие это четверти? Третья и четвертая. Тогда нас будут интересовать те решения первого уравнения, которые лежат в третьей или четвертой четверти.

\( \displaystyle x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n\)

\( \displaystyle x=\frac{2\pi }{3}+2\pi n\) или \( \displaystyle x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi n\)

Первая серия дает корни, лежащие на пересечении третьей и четвертой четверти. Вторая же серия – ей диаметрально противоположная – и порождает корни, лежащие на границе первой и второй четверти. Поэтому эта серия нам не подходит.

Ответ: \( \displaystyle x=\frac{2\pi }{3}+2\pi n\), \( \displaystyle x=\pi n\)

И опять тригонометрические примеры с «трудной иррациональностью». Мало того, что у нас снова под корнем тригонометрическая функция, так теперь она еще и в знаменателе!

  • \( \displaystyle \frac{cos2x+sinx}{\sqrt{\text{sin}\left( x-\frac{\pi }{4} \right)}}=0\)

Ну, ничего не поделаешь – поступаем так, как и раньше.

\( \displaystyle cos2x+sinx=0\)

\( \displaystyle 1-2si{{n}^{2}}x+sinx=0\)

\( \displaystyle 2si{{n}^{2}}x-sinx-1=0\)

\( \displaystyle t=sinx\)

\( \displaystyle 2{{t}^{2}}-t-1=0\)

\( \displaystyle {{t}_{1}}=-0,5,{{t}_{2}}=1\)

\( \displaystyle sinx=-0,5\) или \( \displaystyle sinx=1\)

\( \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n+1}}\frac{\pi }{6}+\pi n\) или \( \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{\pi }{2}+\pi n\)

Теперь работаем со знаменателем:

\( \displaystyle \text{sin}\left( x-\frac{\pi }{4} \right)\ge 0\)

Я не хочу решать тригонометрическое неравенство, а потому поступлю хитро: возьму и подставлю в неравенство мои серии корней:

\( \displaystyle \text{sin}\left( {{\left( -1 \right)}^{n+1}}\frac{\pi }{6}+\pi n-\frac{\pi }{4} \right)\ge 0\)

Если \( \displaystyle n\) – четное, \( \displaystyle \left( n=2k \right)\) то имеем:

\( \displaystyle \text{sin}\left( -\frac{\pi }{6}+2\pi k-\frac{\pi }{4} \right)\ge 0\)

\( \displaystyle \text{sin}\left( -\frac{5\pi }{12}+2\pi k \right)\ge 0\)

так как \( \displaystyle \frac{5\pi }{12}<\frac{\pi }{2}\), то все углы вида \( \displaystyle -\frac{5\pi }{12}+2\pi k\) лежат в четвертой четверти.

И снова сакральный вопрос: каков знак синуса в четвертой четверти?

Отрицательный. Тогда неравенство

\( \displaystyle \text{sin}\left( -\frac{5\pi }{12}+2\pi k \right)\ge 0\)

неверно!

Если же \( \displaystyle n\)-нечетное \( \displaystyle \left( n=2k+1 \right)\), то:

\( \displaystyle \text{sin}\left( \frac{\pi }{6}+\left( 2k+1 \right)\pi -\frac{\pi }{4} \right)\ge 0\)

\( \displaystyle \sin \left( \frac{\pi }{6}+2k\pi +\pi -\frac{\pi }{4} \right)\ge 0\)

\( \displaystyle \sin \left( \frac{11\pi }{12}+2k\pi \right)\ge 0\)

В какой четверти лежит угол \( \displaystyle \frac{11\pi }{12}\) ? Это угол второй четверти.

Тогда все углы \( \displaystyle \frac{11\pi }{12}+2k\pi \) – снова углы второй четверти. Синус там положительный. Как раз то, что надо! Значит, серия:

\( \displaystyle \frac{\pi }{6}+2k\pi +\pi =\frac{7\pi }{6}+2\pi k\) – подходит!

Точно так же разбираемся со второй серией корней:

\( \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{\pi }{2}+\pi n\).

Подставляем в наше неравенство:

\( \displaystyle \text{sin}\left( {{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{\pi }{2}+\pi n-\frac{\pi }{4} \right)\ge 0\)

Если \( \displaystyle n\) – четное \( \displaystyle \left( n=2k \right)\), то

\( \displaystyle \text{sin}\left( \frac{\pi }{2}+2\pi k-\frac{\pi }{4} \right)\ge 0\)

\( \displaystyle \text{sin}\left( \frac{\pi }{4}+2\pi k \right)\ge 0\)

\( \displaystyle \frac{\pi }{4}+2\pi k\) – углы первой четверти.

Синус там положительный, значит серия \( \displaystyle \frac{\pi }{2}+2\pi k\) подходит. Теперь если \( \displaystyle n\) – нечетное \( \displaystyle \left( n=2k+1 \right)\), то:

\( \displaystyle \text{sin}\left( -\frac{\pi }{2}+2\pi k+\pi -\frac{\pi }{4} \right)\ge 0\)

тоже подходит!

Ну вот, теперь записываем ответ!

Ответ: \( \displaystyle \frac{7\pi }{6}+2\pi k;\ {{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{\pi }{2}+\pi k\)

Ну вот, это был, пожалуй, наиболее трудоемкий случай. Теперь я предлагаю тебе задачи для самостоятельного решения.

  1. 1
    \( \displaystyle \sqrt{9-{{x}^{2}}}cosx=0\)
  2. 2
    Решите \( \displaystyle \frac{2si{{n}^{2}}x-sinx}{2cosx-\sqrt{3}}=0\) и найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку \( \displaystyle \left[ \frac{3\pi }{2},3\pi \right]\).
  3. 3
    \( \displaystyle \left( 2co{{s}^{2}}x-cosx \right)\sqrt{-11tgx}=0\)

Решения:

1. \( \displaystyle \sqrt{9-{{x}^{2}}}cosx=0\)

Первое уравнение: \( \displaystyle 9-{{x}^{2}}=0\)

\( \displaystyle x=3\) или \( \displaystyle x=-3\)

ОДЗ корня:

\( \displaystyle 9-{{x}^{2}}\ge 0\)

\( \displaystyle x\in \left[ -3;3 \right]\)

Второе уравнение:

\( \displaystyle cosx=0\)

\( \displaystyle x=\pm \frac{\pi }{2}+2\pi n\)

Отбор корней, которые принадлежат промежутку \( \displaystyle \left[ -3;3 \right]\)

\( \displaystyle n\)

\( \displaystyle 0\)

\( \displaystyle 1\)

\( \displaystyle -1\)

\( \displaystyle x=\pm \frac{\pi }{2}+2\pi n\)

\(\displaystyle \pm \frac{\pi }{2}\)

\( \displaystyle \pm \frac{\pi }{2}+2\pi \)

\( \displaystyle \pm \frac{\pi }{2}-2\pi =-1,5\pi <-4,5\)

Принадлежит?

да

нет

нет

Ответ: \( \displaystyle 3;-3;\pm \frac{\pi }{2}\)

2. \( \displaystyle \frac{2si{{n}^{2}}x-sinx}{2cosx-\sqrt{3}}=0\)

\( \displaystyle 2si{{n}^{2}}x-sinx=0\)

\( \displaystyle sinx\left( 2sinx-1 \right)=0\)

\( \displaystyle sinx=0\) или \( \displaystyle sinx=0,5\)

\( \displaystyle x=\pi n\) или \( \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{\pi }{6}+\pi n\)

Но \( \displaystyle 2cosx-\sqrt{3}\ne 0\)

\( \displaystyle cosx\ne \frac{\sqrt{3}}{2}\)

\( \displaystyle x\ne \pm \frac{\pi }{6}+2\pi n\)

Рассмотрим \( \displaystyle x={{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{\pi }{6}+\pi n\).

Если \( \displaystyle n\) – четное, то

\( \displaystyle x=\frac{\pi }{6}+2\pi k\) – не подходит!

Если \( \displaystyle n\) – нечетное, \( \displaystyle n=2k+1\):

\( \displaystyle x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k+\pi =\frac{5\pi }{6}+2\pi k\) – подходит!

Значит, наше уравнение имеет такие серии корней:

\( \displaystyle x=\pi n\) или \( \displaystyle x=\frac{5\pi }{6}+2\pi n\)

Отбор корней на промежутке \( \displaystyle \left[ \frac{3\pi }{2},3\pi \right]\):

\( \displaystyle n\)

\( \displaystyle 1\)

\( \displaystyle 2\)

\( \displaystyle 3\)

\( \displaystyle x=\pi n\)

\( \displaystyle \pi \)- не подходит

\( \displaystyle 2\pi \) – подходит

\( \displaystyle 3\pi \) – подходит

\( \displaystyle x=\frac{5\pi }{6}+2\pi n\)

\( \displaystyle \frac{5\pi }{6}+2\pi =\frac{17\pi }{6}\) – подходит

\( \displaystyle \frac{5\pi }{6}+4\pi \) – много

много

Ответ: \( \displaystyle 3\pi \), \( \displaystyle 2\pi \), \( \displaystyle \frac{17\pi }{6}\).

3. \( \displaystyle \left( 2co{{s}^{2}}x-cosx \right)\sqrt{-11tgx}=0\)

\( \displaystyle 2co{{s}^{2}}x-cosx=0\)

\( \displaystyle cosx\left( 2cosx-1 \right)=0\)

\( \displaystyle cosx=0~\)или \( \displaystyle 2cosx-1=0\)

Так как \( \displaystyle tgx=\frac{sinx}{cosx}\), то при \( \displaystyle cosx=0~\) тангенс не определен. Тут же отбрасываем эту серию корней!

\( \displaystyle 2cosx-1=0\)

\( \displaystyle cosx=0,5\)

\( \displaystyle x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n\)

Вторая часть:

\( \displaystyle -11tgx=0\)

\( \displaystyle x=\pi n\)

В то же время по ОДЗ требуется, чтобы

\( \displaystyle tgx\le 0\)

Проверяем найденные в первом уравнении корни:

\( \displaystyle tg\left( \pm \frac{\pi }{3}+2\pi n \right)\le 0\)

Если знак \( \displaystyle +\):

\( \displaystyle tg\left( \frac{\pi }{3}+2\pi n \right)\le 0\)

\( \displaystyle \frac{\pi }{3}+2\pi n\) – углы первой четверти, где тангенс положительный. Не подходит!

Если знак \( \displaystyle -\):

\( \displaystyle tg\left( -\frac{\pi }{3}+2\pi n \right)\le 0\)

\( \displaystyle -\frac{\pi }{3}+2\pi n\) – угол четвертой четверти. Там тангенс отрицательный. Подходит. Записываем ответ:

Ответ: \( \displaystyle x=\pi n\), \( \displaystyle x=-\frac{\pi }{3}+2\pi n\).

Мы вместе разобрали в этой статье сложные тригонометрические примеры, но тебе стоит прорешать уравнения самому.

КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Тригонометрическое уравнение – это уравнение, в котором неизвестная находится строго под знаком тригонометрической функции.

Существует два способа решения тригонометрических уравнений:

Первый способ – с использованием формул.

\( \displaystyle A\)

\( \displaystyle a\)

\( \displaystyle -1\)

\( \displaystyle 0\)

\( \displaystyle 1\)

\( \displaystyle \sin x=A\)

\( \displaystyle {{\left( -1 \right)}^{n}}\arcsin \alpha +\pi n\)

\( \displaystyle -\frac{\pi }{2}+2\pi n\)

\( \displaystyle \pi n\)

\( \displaystyle \frac{\pi }{2}+2\pi n\)

\( \displaystyle \cos x=A\)

\( \displaystyle \pm \arccos \alpha +2\pi n\)

\( \displaystyle \pi +2\pi n\)

\( \displaystyle \frac{\pi }{2}+\pi n\)

\( \displaystyle 2\pi n\)

\( \displaystyle tgx=A\)

\( \displaystyle arctg\alpha +\pi n\)

\( \displaystyle -\frac{\pi }{4}+\pi n\)

\( \displaystyle \pi n\)

\( \displaystyle \frac{\pi }{4}+\pi n\)

\( \displaystyle ctgx=A\)

\( \displaystyle arcctg\alpha +\pi n\)

\( \displaystyle \frac{3\pi }{4}+\pi n\)

\( \displaystyle \frac{\pi }{2}+\pi n\)

\( \displaystyle \frac{\pi }{4}+\pi n\)

Второй способ – через тригонометрическую окружность.

Тригонометрическая окружность позволяет измерять углы, находить их синусы, косинусы и прочее.

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

"И если ты давно хотела что-то мне сказать, то говори..."

Помнишь песню? 🙂

Если "хочешь что-то нам сказать" и поделиться с нами своим мнением, пиши его ниже в комментариях! 

Или если у тебя есть вопросы. Или предложения.

Какой метод тебе нравится больше: через формулы или через окружность? Помогла ли тебе статья?

Пиши нам!

Мы читаем все. И обязательно ответим.

Удачи!

  • Александр Кель:

    Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

    Ксения
    24 апреля 2018
    Очень мощно все объясняете! Отличный материал. Я в восторге

    Оксана
    21 июня 2018
    Я вообще не понимала ничего! Сейчас спокойно иду на экзамен! СПАСИБО)))

    Олег
    29 апреля 2019
    Большое спасибо за статью, все понятно и на простом языке. Александр, очень хочется статью про параметр

    Наташа
    06 декабря 2019
    Это было понятно, Спасибо!

    Светлана
    28 июня 2020
    Для второго высшего планирую сдавать внутренние экзамены в ВУЗе. Отлично освежила в памяти решение тригонометрических уравнений. Все остальные темы также доходчиво объясняются?

  • {"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
    >