Высота. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Высота треугольника – линия, проведённая из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне.

Высота треугольника. Иллюстрация определения.

Обрати внимание, что, в отличие от биссектрисы и медианы, высота может находиться вне треугольника. Вот так, например:

Частный случай высоты вне треугольника.

Немного о терминологии:основанием высоты называют ту точку, в которой высота пересекает противоположную сторону (или её продолжение).

Задачи, связанные с высотой, часто решаются при помощи знаний о прямоугольном треугольнике. Но попадаются задачи и похитрее, при решении которых лучше обладать дополнительными знаниями заранее, а не выводить их «с нуля». Сейчас мы обсудим некоторые из них.

В треугольнике проведено две высоты

Две высоты в треугольнике. Иллюстрация.

Первый «неожиданный факт»:

\(\displaystyle \Delta AB{{H}_{A}}\sim \Delta ~CB{{H}_{C}}\)

Почему бы это? Да очень просто! У них общий угол \(\displaystyle B\) и оба – прямоугольные. Значит, подобны по двум углам.

Второй «неожиданный» факт:

\(\Delta A{{H}_{C}}H\sim{\ }\Delta C{{H}_{A}}H\)
Две высоты в треугольнике. Иллюстрация 2. Здесь тоже подобие по двум углам: \(\angle 1=\angle 2\) (как вертикальные) и по прямому углу.

Третий, по–настоящему неожиданный факт:

\(\Delta ABC\sim \Delta {{H}_{A}}B{{H}_{C}}\)


Две высоты в треугольнике. Иллюстрация 3.

Вот это уже интереснее, правда? Давай разбираться, почему так.

  • Во-первых, конечно, у этих треугольников есть одинаковый (и даже общий) угол \(B\).
  • А во–вторых …ты помнишь ещё первый «неожиданный» факт? Ну, что \(\Delta A{{H}_{A}}B\sim \Delta C{{H}_{C}}B\)? Вспоминаем и применяем!

Запишем отношения соответствующих сторон.

Две высоты в треугольнике. Отношение сторон. Иллюстрация 1. Итак, \(\Delta A{{H}_{A}}B\sim \Delta C{{H}_{C}}B\).Следовательно, \(\frac{{{H}_{C}}B}{{{H}_{A}}B}=\frac{BC}{AB}\)

Перепишем по–другому: \(\frac{{{H}_{C}}B}{BC}=\frac{{{H}_{A}}B}{AB}\)

Отношение сторон. Иллюстрация 1. Ух, да это же – отношение сторон для треугольников \(ABC\) и \({{H}_{A}}B{{H}_{C}}\)!

В итоге мы получили, что у треугольников \(ABC\) и \({{H}_{A}}B{{H}_{C}}\)

  1. Угол \(B\) – общий;
  2. Отношение сторон, заключающих этот угол – одинаковы: \(\frac{{{H}_{C}}B}{BC}=\frac{{{H}_{A}}B}{AB}\).

Значит, мы получили, что:

\(\Delta ABC\sim \Delta {{H}_{A}}B{{H}_{C}}\)

Но самое интересное ещё впереди!

Каков же коэффициент подобия этих треугольников? То есть чему же равно это самое отношение \(\frac{{{H}_{C}}B}{BC}\)?

Рисуем:

Подобные треугольники. Иллюстрация. Где наши знания о прямоугольном треугольнике? Что такое \({{H}_{C}}B\)? Катет, прилежащий к углу \(B\). А что такое \(BC\)? Гипотенуза!

Значит, \(\frac{{{H}_{C}}B}{BC}=cos\angle B\).

Потрясающе, не правда ли?

Давай сформулируем ещё раз, чтобы лучше запомнить:

Две высоты в треугольнике. Отношение сторон. Иллюстрация 2. \(\displaystyle \Delta {{H}_{A}}B{{H}_{C}}\sim \Delta ABC\)\(k=\cos \angle B\)

Проверь себя — реши задачи на высоту треугольника.

Ну вот, две высоты в треугольнике рассмотрены. А теперь…

В треугольнике проведены три высоты.

Как и для медиан, и для биссектрис, для высот треугольника верно следующее утверждение:

В любом треугольнике три высоты или их продолжения пересекаются в одной точке.

Доказывать это утверждение мы здесь, пожалуй, не будем.

Давай просто нарисуем, чтобы понять, как это бывает «высоты или их продолжения».

  1. Треугольник остроугольный – тогда пересекаются сами высоты Остроугольный треугольник. Три высоты - пересекаются.
  2. Треугольник тупоугольный – тогда пересекаются продолжения высот
    11

Проверь себя — реши задачи на высоту треугольника.

Что же полезного мы ещё не обсудили?

Угол между высотами.

Давай узнаем, вдруг угол между высотами можно как–то выразить через углы треугольника? Давай рассмотрим остроугольный треугольник.

Остроугольный треугольник. Угол между высотами. Итак, нам хотелось бы найти \(\displaystyle \angle \varphi \). Смотрим на \(\displaystyle \Delta AHC\). Замечаем, что наш \(\displaystyle \angle \varphi \) – внешний угол в этом треугольнике. Значит, \(\angle \varphi =\angle 1+\angle 2\).

Чему же равны \(\displaystyle \angle 1\) и \(\displaystyle \angle 2\)?

13 Смотри: из \(\Delta A{{H}_{A}}C\) выходит, что \(\angle 1=90{}^\circ -\angle C\). Конечно, таким же образом из \(\Delta C{{H}_{C}}A\) получается, что \(\angle 2=90{}^\circ -\angle A\).

Теперь \(\angle ~\varphi =\angle ~1+\angle ~2=90{}^\circ -\angle ~C+90{}^\circ -\angle ~A=180{}^\circ -\angle ~A-\angle ~C\).

Но что же это такое? Ведь сумма угла углов треугольника — \(180{}^\circ \)! Значит, \(\angle \varphi =\angle B\).

Итак, что получилось?

Угол между высотами в остроугольном треугольнике равен углу между сторонами, к которым эти высоты проведены.

А как же дело обстоит в тупоугольном треугольнике? Давай смотреть…очень внимательно!

Представим, что у нас «главный» не \(\displaystyle \Delta ABC\), а \(\displaystyle \Delta AHC\).

Тупоугольный треугольник. Высота. Тогда оказывается, что прямые \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle HB\) – высоты в \(\displaystyle \Delta AHC\). Но \(\displaystyle \Delta AHC\) уже остроугольный (так как все высоты оказались внутри), а про остроугольный треугольник мы уже всё знаем: \(\displaystyle \angle \alpha =\angle H\). НО! \(\displaystyle \angle \alpha =180{}^\circ -\angle B\)

Значит, для тупоугольного треугольника:

\(\angle ~H=180{}^\circ -\angle ~B\).

Проверь себя — реши задачи на высоту треугольника.

И ещё кое–что:

Вернёмся–ка к остроугольному треугольнику. Отметим на рисунке равные углы:

Тупоугольный треугольник. Отношение. Что видим теперь? Ещё подобные треугольники!

Как от двух линий вообще могут получиться столько подобных треугольников?!

Но тем не менее…

\(\Delta C{{H}_{C}}B\sim \Delta C{{H}_{A}}H\sim \Delta A{{H}_{A}}B\sim \Delta A{{H}_{C}}H\)

Видишь, какое богатство? И всё это может быть использовано в задачах!

Ну вот, теперь ты узнал что-то новенькое про высоты треугольника. Теперь пробуй применять в задачах всё это – и соображение о том, что высота образует прямоугольный треугольник, и простые подобия прямоугольных треугольников, получающихся при пересечении двух высот, и подобие похитрее —  которое с косинусом, и то, что угол между высотами равен углу между сторонами…

Главное, ты не старался просто запоминать все эти факты, а осознай, что их можно очень просто вывести. И тогда, если ты будешь точно знать, например? что две проведённые высоты приносят кучу бонусов в виде всяких подобий, то ты непременно и сам получишь все эти бонусы, а заодно – решение своей задачи!

Проверь себя — реши задачи на высоту треугольника.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий