25 июля

1 comments

Высота треугольника. Визуальный гид (ЕГЭ – 2021)

Там, где есть высота, есть и прямой угол.

А значит, и прямоугольный треугольник, который поможет тебе решить массу задач!

И простые подобия, и «хитрые подобия с косинусом», и другие свойства прямоугольных треугольников!

И самое главное – не нужно ничего запоминать.

Научись выводить и никогда не ошибёшься, сможешь всегда себя проверить и решить любую задачу!

Все в этой статье. Читай.

НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Высота – линия, проведённая из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне (прямой, которая эту сторону содержит).

Давай нарисуем:

На этом рисунке \( \displaystyle BH\) – высота.

Но иногда высота ведёт себя, как непослушный ребенок – «выбегает» из треугольника. Это бывает в тупоугольном треугольнике.

И тогда получается так:

В общем, не нужно пугаться, если основание высоты оказалось не на стороне треугольника, а «за» треугольником, на продолжении стороны. Как же решать задачи, в которых участвует высота?

Нужно стремиться применить какие-нибудь знания о прямоугольном треугольнике – ведь где высота – там и прямой угол.

Давай попробуем.

Пример решения задачи

Вот есть, скажем, задача:

В треугольнике \( \displaystyle ABC\) с тупым углом \( \displaystyle C\) проведена высота \( \displaystyle BH\). Найти \( \displaystyle AC\), если \( AB=2\sqrt{10}\), \( BC=\sqrt{13}\), \( BH=2\).

Решаем:

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему 

Смотри: из-за того, что угол \( C\) – тупой, высота \( BH\) опустилась на продолжение стороны \( AC\), а не на саму сторону.

Теперь давай увидим во всём этом два прямоугольных треугольника.

Смотри их целых два:

Применяем теорему Пифагора к треугольнику \( BCH\):

\( B{{C}^{2}}=B{{H}^{2}}+C{{H}^{2}}\), то есть \( 13=4+C{{H}^{2}}\); \( CH=3\).

А теперь теорема Пифагора для \( \Delta ABH\):

\( A{{B}^{2}}=A{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}\); то есть \( 40=A{{H}^{2}}+4\); \( AH=6\).

Теперь осталось только заметить, что \( AC=AH-CH=6-3=3\).

Нашли!

Пересечение высот

А теперь давай зададимся вопросом: а сколько вообще высот у треугольника? Конечно, три! И вот, есть такое утверждение, доказывать которое мы здесь не будем, но знать его нужно, тем более, что запоминается оно просто:

В любом треугольнике все три высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Смотрим, как это бывает:

a) Сами высоты пересекаются:

b) Пересекаются продолжения:

Ну вот, про высоту и запоминать-то нужно всего ничего:

  • Задача про высоту часто решается с помощью знаний о прямоугольном треугольнике.
  • Три высоты (или три продолжения) пересекаются в одной точке.
    (Но! Это НЕ центр НИКАКОЙ окружности)

СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Высота треугольника – линия, проведённая из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне (прямой, содержащей эту высоту).

Обрати внимание, что, в отличие от биссектрисы и медианы, высота может находиться вне треугольника. Вот так, например:

Немного о терминологии: основанием высоты называют ту точку, в которой высота пересекает противоположную сторону (или её продолжение).

Задачи, связанные с высотой, часто решаются при помощи знаний о прямоугольном треугольнике. Но попадаются задачи и похитрее, при решении которых лучше обладать дополнительными знаниями заранее, а не выводить их «с нуля». Сейчас мы обсудим некоторые из них.

Первый «неожиданный факт»:

\( \displaystyle \Delta AB{{H}_{A}}\sim \Delta ~CB{{H}_{C}}\)

Почему бы это? Да очень просто! У них общий угол \( \displaystyle B\) и оба – прямоугольные. Значит, подобны по двум углам.

Второй «неожиданный» факт:

\( \Delta A{{H}_{C}}H\sim{\ }\Delta C{{H}_{A}}H\)

Здесь тоже подобие по двум углам: \( \angle 1=\angle 2\) (как вертикальные) и по прямому углу.

Третий, по-настоящему неожиданный факт:

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему 

 

\( \Delta ABC\sim \Delta {{H}_{A}}B{{H}_{C}}\)

Вот это уже интереснее, правда? Давай разбираться, почему так.

  • Во-первых, конечно, у этих треугольников есть одинаковый (и даже общий) угол \( B\).
  • А во-вторых… Ты помнишь ещё первый "неожиданный" факт? Ну, что \( \Delta A{{H}_{A}}B\sim \Delta C{{H}_{C}}B\)? Вспоминаем и применяем!

Запишем отношения соответствующих сторон.

Итак, \( \Delta A{{H}_{A}}B\sim \Delta C{{H}_{C}}B\).

Следовательно, \( \frac{{{H}_{C}}B}{{{H}_{A}}B}=\frac{BC}{AB}\)

Перепишем по–другому: \( \frac{{{H}_{C}}B}{BC}=\frac{{{H}_{A}}B}{AB}\)

Ух, да это же – отношение сторон для треугольников \( ABC\) и \( {{H}_{A}}B{{H}_{C}}\)!

В итоге мы получили, что у треугольников \( ABC\) и \( {{H}_{A}}B{{H}_{C}}\)

  • Угол \( B\) – общий;
  • Отношение сторон, заключающих этот угол – одинаковы: \( \frac{{{H}_{C}}B}{BC}=\frac{{{H}_{A}}B}{AB}\).

Значит, мы получили, что:

\( \Delta ABC\sim \Delta {{H}_{A}}B{{H}_{C}}\)

Но самое интересное ещё впереди!

Каков же коэффициент подобия этих треугольников? То есть чему же равно это самое отношение \( \frac{{{H}_{C}}B}{BC}\)?

Рисуем:

Где наши знания о прямоугольном треугольнике?

Что такое \( {{H}_{C}}B\)? Катет, прилежащий к углу \( B\).

А что такое \( BC\)? Гипотенуза!

Значит, \( \frac{{{H}_{C}}B}{BC}=cos\angle B\).

Потрясающе, не правда ли?

Давай сформулируем ещё раз, чтобы лучше запомнить:

\( \displaystyle \Delta {{H}_{A}}B{{H}_{C}}\sim \Delta ABC\)\( k=\cos \angle B\)

Ну вот, две высоты в треугольнике рассмотрены. А теперь…

В треугольнике проведены три высоты

Как и для медиан, и для биссектрис, для высот треугольника верно следующее утверждение:

В любом треугольнике три высоты или их продолжения пересекаются в одной точке.

Доказывать это утверждение мы здесь, пожалуй, не будем.

Давай просто нарисуем, чтобы понять, как это бывает «высоты или их продолжения».

1. Треугольник остроугольный – тогда пересекаются сами высоты:

2. Треугольник тупоугольный – тогда пересекаются продолжения высот:

Что же полезного мы ещё не обсудили?

Угол между высотами

Давай узнаем, вдруг угол между высотами можно как–то выразить через углы треугольника? Давай рассмотрим остроугольный треугольник.

Итак, нам хотелось бы найти \( \displaystyle \angle \varphi \).

Смотрим на \( \displaystyle \Delta AHC\). Замечаем, что наш \( \displaystyle \angle \varphi \) – внешний угол в этом треугольнике.

Значит, \( \angle \varphi =\angle 1+\angle 2\).

Чему же равны \( \displaystyle \angle 1\) и \( \displaystyle \angle 2\)?

Смотри: из \( \Delta A{{H}_{A}}C\) выходит, что \( \angle 1=90{}^\circ -\angle C\).

Конечно, таким же образом из \( \Delta C{{H}_{C}}A\) получается, что \( \angle 2=90{}^\circ -\angle A\).

Теперь \( \angle ~\varphi =\angle ~1+\angle ~2=90{}^\circ -\angle ~C+90{}^\circ -\angle ~A=180{}^\circ -\angle ~A-\angle ~C\).

Но что же это такое? Ведь сумма угла углов треугольника - \( 180{}^\circ \)! Значит, \( \angle \varphi =\angle B\).

Итак, что получилось?

Угол между высотами в остроугольном треугольнике равен углу между сторонами, к которым эти высоты проведены.

А как же дело обстоит в тупоугольном треугольнике? Давай смотреть…очень внимательно!

Представим, что у нас «главный» не \( \displaystyle \Delta ABC\), а \( \displaystyle \Delta AHC\).

Тогда оказывается, что прямые \( \displaystyle AB\), \( \displaystyle BC\) и \( \displaystyle HB\) – высоты в \( \displaystyle \Delta AHC\).

Но \( \displaystyle \Delta AHC\) уже остроугольный (так как все высоты оказались внутри), а про остроугольный треугольник мы уже всё знаем: \( \displaystyle \angle \alpha =\angle H\).

НО! \( \displaystyle \angle \alpha =180{}^\circ -\angle B\)

Значит, для тупоугольного треугольника:

\( \angle ~H=180{}^\circ -\angle ~B\).

И ещё кое–что...

Вернёмся–ка к остроугольному треугольнику. Отметим на рисунке равные углы:

Что видим теперь? Ещё подобные треугольники!

Как от двух линий вообще могут получиться столько подобных треугольников?!

Но тем не менее…

\( \Delta C{{H}_{C}}B\sim \Delta C{{H}_{A}}H\sim \Delta A{{H}_{A}}B\sim \Delta A{{H}_{C}}H\)

Видишь, какое богатство? И всё это может быть использовано в задачах!

Ну вот, теперь ты узнал что-то новенькое про высоты треугольника. Теперь пробуй применять в задачах всё это – и соображение о том, что высота образует прямоугольный треугольник, и простые подобия прямоугольных треугольников, получающихся при пересечении двух высот, и подобие похитрее - которое с косинусом, и то, что угол между высотами равен углу между сторонами…

Главное, ты не старался просто запоминать все эти факты, а осознай, что их можно очень просто вывести. И тогда, если ты будешь точно знать, например, что две проведённые высоты приносят кучу бонусов в виде всяких подобий, то ты непременно и сам получишь все эти бонусы, а заодно – решение своей задачи!

Высота – линия, проведённая из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне (прямой, которая эту сторону содержит).

Три высоты любого треугольника пересекаются в одной точке.

Высоты треугольника обратно пропорциональны сторонам, на которые они опущены: \( \displaystyle A{{H}_{A}}:B{{H}_{B}}:C{{H}_{C}}=\frac{1}{BC}:\frac{1}{AC}:\frac{1}{AB}\).

Способы вычисления длины высоты, проведенной к стороне BC:

  • Через сторону и угол треугольника: \( \displaystyle A{{H}_{A}}=AC\cdot \sin C=AB\cdot \sin B\).
  • Через все 3 стороны треугольника:\( \displaystyle A{{H}_{A}}=\frac{2}{BC}\cdot \sqrt{p\cdot (p-BC)\cdot (p-AC)\cdot (p-AB)}\),где \( \displaystyle p\) - полупериметр треугольника: \( \displaystyle p=\frac{AB+BC+AC}{2}\).
  • Через сторону и площадь треугольника: \( \displaystyle A{{H}_{A}}=\frac{2S}{BC}\).
  • Через стороны треугольника и радиус описанной окружности:
    \( \displaystyle A{{H}_{A}}=\frac{AB\cdot AC}{2R}\),где \( \displaystyle R\) - радиус описанной окружности.

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Твоя очередь!

Ты знаешь очень много о высоте треугольника. И вот, что нужно сделать дальше. Практикуйся! Ведь я уверен, что с каждой задачей ты будешь все увереннее применять свои знания!

Высота треугольника – не просто перпендикуляр, длину которого мы используем для нахождения площади, верно? Это кое-что покруче 🙂

А теперь мы хотим узнать твое мнение!

Помогла ли тебе эта статья? Понравилась ли она тебе и все ли было понятно?

Напиши внизу в комментариях!

А если остались вопросы, задай их! Мы непременно ответим тебе!

Успехов!

  • Александр Кель:

    Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

    Дарья Сулейманова
    15 января 2018
    Сидела и готовилась к зачёту по геометрии около двух часов, заходила на множество разных сайтов. И только на вашем сайте всё написано понятным языком, без заумных терминов. Спасибо!

    Александр (админ)
    15 января 2018
    Дарья, спасибо! Всей нашей команде очень приятно это слышать. Мы, консультанты, убеждали математиков использовать «человеческий» язык. И они справились очень хорошо. В результате получилось то, что всем нравится. Мы каждый день получаем благодарности. Еще раз спасибо и удачи на зачете!

    Олеся
    06 апреля 2018
    Готовится с внуком к ОГЭ. Школу закончила 45 лет назад. Учили в то время просто отлично. Многое помню хорошо, но некоторые нюансы забылись. Ваш сайт очень помог. Все лаконично, по существу и без лишних заумных оборотов. Скачала ла себе на телефон. В свободное время просматриваю. С удовольствием решаю задачи. Спасибо Вам.

    Александр (админ)
    06 апреля 2018
    Олеся, спасибо за такой отзыв и удачи Вашему внуку на всех экзаменах. А сайт я лично попросил математиков написать «человеческим языком» ) Судя по отзывам, они справились.

    Ольга
    15 февраля 2019
    А как бы еще доказать подобие треугольников HcHHa и АНС Можно без окружностей

    Дмитрий
    10 февраля 2020
    Скажите, прав ли я. (Задание «Угол между высотами») Что не может угол Фи быть = углу В Так как, угол В это 180 минус угол А+С И угол Н это 180 минус угол А+С Значит В и Н равны, следовательно угол Фи это 180 — Н или минус В, что априори не может быть равным не В не Н.

    Алексей Шевчук
    13 февраля 2020
    Дмитрий, угол H — это угол в треугольнике AHC, но в этом треугольнике углы A и С не равны углам A и C треугольника ABC. Чтобы не возникало такой путаницы, важно (а на экзаменах даже обязательно) писать углы полностью (тремя вершинами): ∠AHC = 180 — (∠HAC + ∠HCA); ∠ABC = 180 — (∠BAC + ∠BCA) — и теперь сразу видно, что это не одно и то же.

    Андрей
    08 апреля 2020
    Очень доходчивый язык учебника. Как в старой советской школе. Я просто в восторге

    Александр (админ)
    08 апреля 2020
    Андрей, спасибо большое! Очень приятно слышать! Сравнение лестное! ))

  • {"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
    >