Биссектриса. Средний уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2018Пройти пробный ОГЭ 2018

Помнишь, что такое биссектриса?

Биссектриса – это линия, которая делит угол пополам.

Биссектриса рис. 1

Тебе встретилась в задаче биссектриса? Постарайся применить одно (а иногда можешь и несколько) из следующих потрясающих свойств.

1. Биссектриса в равнобедренном треугольнике.

Не боишься слова «теорема»? Если боишься, то – зря. Теоремой математики привыкли называть всякое утверждение, которое можно как-то вывести из других, более простых утверждений.

Так вот, внимание, теорема!

Теорема. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также и медианой, и высотой.

Докажем эту теорему, то есть поймём, почему же так получается? Посмотри на равнобедренный  .

Биссектриса равнобедренного треугольника В нём   и проведена биссектриса  . Видишь: получилось два треугольника  . и  .

Давай посмотрим на них внимательно. И тогда увидим, что

  1.  
  2.   - общая.
  3.  

А это значит (скорее вспоминай первый признак равенства треугольников!), что  . Ну и что? Хочется тебе так сказать? А то, что мы ещё не смотрели на третьи стороны и оставшиеся углы этих треугольников. А вот теперь посмотрим. Раз  , то совершенно точно   и даже вдобавок,  .

Вот и получилось, что

  1.   разделила сторону   пополам, то есть оказалась медианой
  2.  , а значит, они оба по  , так как   (глянь ещё раз на рисунок).

Вот и оказалась биссектриса   и высотой тоже!

Ура! Доказали теорему. Но представляешь, это ещё не всё. Верна ещё и обратная теорема:

Теорема. Если в треугольнике биссектриса, проведённая из какого-то угла, совпадает с медианой или с высотой, то этот треугольник равнобедренный.

Доказательство? Неужели тебе интересно? Читай следующий уровень теории!

А если неинтересно, то твердо запомни:

Биссектриса совпадает с высотой и медианой только в равнобедренном треугольнике!

Зачем же это твердо запоминать? Как это может помочь? А вот представь, что у тебя задача:

Дано:  .

Найти:  .

Биссектриса рис. 3

Ты тут же соображаешь,   биссектриса и, о чудо, она разделила сторону   пополам! (по условию…). Если ты твердо помнишь, что так бывает только в равнобедренном треугольнике, то делаешь вывод, что   и значит, пишешь ответ:  . Здорово, правда? Конечно, не во всех задачах будет так легко, но знание обязательно поможет!

А теперь следующее свойство. Готов?

2. Биссектриса угла – геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла.

Испугался? На самом деле ничего страшного. Ленивые математики в двух строчках спрятали четыре. Итак, что же значит, «Биссектриса – геометрическое место точек»? А это значит, что выполняются сразу дваутверждения:

  1. Если точка лежит на биссектрисе, то расстояния от неё до сторон угла равны.
  2. Если у какой-нибудь точки расстояния до сторон угла равны, то эта точка обязательно лежит на биссектрисе.

Видишь разницу между утверждениями 1 и 2? Если не очень, то вспомни Шляпника из «Алисы в стране чудес»: "Так ты еще чего доброго скажешь, будто "Я вижу то, что ем" и "Я ем то, что вижу", - одно и то же!"

Итак, нам нужно доказать утверждения 1 и 2, и тогда утверждение: "биссектриса – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла" будет доказано!

Почему же верно 1?

Возьмём любую точку на биссектрисе и назовём её  .

Биссектриса угла

Опустим из этой точки перпендикуляры   и   на стороны угла.

Биссектриса угла рис. 2

А теперь …приготовились вспоминать признаки равенства прямоугольных треугольников! Если ты их подзабыл, то загляни в раздел «Прямоугольный треугольник».

Итак…два прямоугольных треугольника:   и  . У них:

  • Общая гипотенуза  .
  •   (потому что   – биссектриса!)

Значит,   - по углу и гипотенузе. Поэтому и соответствующие катеты у этих треугольников – равны! То есть  .

Доказали, что точка   одинаково (или равно) удалена от сторон угла. С пунктом 1 разобрались. Теперь перейдём к пункту 2.

Почему же верно 2?

Биссектриса угла рис. 3 Возьмем какую-то точку   внутри угла, для которой расстояние до сторон угла равны.

И соединим точки   и  .

Биссектриса угла рис. 3 Теперь   как прямоугольные по катету и гипотенузе.

Значит,  , то есть   лежит на биссектрисе!

Вот и всё!

Как же все это применить при решении задач? Вот например, в задачах часто бывает такая фраза: «Окружность касается сторон угла….». Ну, и найти нужно что-то.

То быстро соображаешь, что

Биссектриса рис. 7
  • Окружность касается сторон угла – значит,  . (Правда, для этого нужно ещё знать, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной)
  • А раз  , то   – точно биссектриса!

И можно пользоваться равенством  .

3. Три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке

Из свойства биссектрисы быть геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла, вытекает следующее утверждение:

Три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, и эта точка – центр вписанной в треугольник окружности.

Как именно вытекает? А вот смотри: две-то биссектрисы точно пересекутся, правда?

Точка пересечения биссектрис

А третья биссектриса могла бы пройти так:

Пересечение биссектрис

Но на самом деле-то всё гораздо лучше!

Давай рассмотрим точку пересечения двух биссектрис. Назовём её  .

Точка пересечения биссектрис 2 Эта точка лежит на биссектрисе  . Что из этого следует? Правильно!  !
Точка   лежит ещё и на биссектрисе  , поэтому  .

Что мы тут оба раза применяли? Да пункт 1, конечно же! Если точка лежит на биссектрисе, то она одинаково удалена от сторон угла.

Вот и получилось   и  .

Но посмотри внимательно на эти два равенства! Ведь из них следует, что   и, значит,  .

А вот теперь в дело пойдёт пункт 2: если расстояния до сторон угла равны, то точка лежит на биссектрисе…какого же угла? Ещё раз смотри на картинку:

  и   – расстояния до сторон угла  , и они равны, значит, точка   лежит на биссектрисе угла  . Третья биссектриса прошла через ту же точку! Все три биссектрисы пересеклись в одной точке! И, как дополнительный подарок -

  - радиусы вписанной окружности.

(Для верности посмотри ещё тему «Вписанная окружность»).

Ну вот, теперь ты никогда не забудешь:

Точка пересечения биссектрис треугольника – центр вписанной в неё окружности.

Переходим к следующему свойству… Ух и много же свойств у биссектрисы, правда? И это здорово, потому что, чем больше свойств, тем больше инструментов для решения задач про биссектрису.

4. Биссектриса и параллельность, биссектрисы смежных углов

Тот факт, что биссектриса делит угол пополам, в каких-то случаях приводит к совершенно неожиданным результатам. Вот, например,

Случай 1

Биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник.

Биссектриса угла параллелограмма

Здорово, правда? Давай поймём, почему так.

С одной стороны,   - мы же проводим биссектрису!

Но, с другой стороны,   - как накрест лежащие углы (вспоминаем тему «Параллельные прямые»).

И теперь выходит, что  ; выкидываем середину:  !   – равнобедренный!

Случай 2

Биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника перпендикулярны.

Представь треугольник (или посмотри на картинку)

Давай продолжим сторону   за точку  . Теперь получилось два угла  :

  •   – внутренний угол  
  •   – внешний угол   – он же снаружи, верно?

Так вот, а теперь кому-то захотелось провести не одну, а сразу две биссектрисы: и для  , и для  . Что же получится?

А получится прямоугольный  !

Удивительно, но это именно так.

Разбираемся.

Как ты думаешь, чему равна сумма  ?

Конечно же,   - ведь они все вместе составляют такой угол, что получается прямая  .

А теперь вспомним, что   и   –биссектрисы и увидим, что внутри угла   находится ровно половина от суммы всех четырех углов:   и  - – то есть ровно  . Можно написать и уравнением:

 

 

 

 

Итак, невероятно, но факт:

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего угла треугольника равен  .

Случай 3

Биссектрисы односторонних углов параллелограмма и трапеции пересекаются под прямым углом.

Биссектрисы односторонних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.

Видишь, что здесь все так же, как и для внутреннего и внешнего углов?

Биссектрисы односторонних углов трапеции пересекаются под прямым углом.

Или ещё раз подумаем, почему так получается?

Снова, как и для смежных углов,

  (как соответственные при параллельных основаниях).

И опять,   составляют ровно половину от суммы  

Значит,  .

Вывод: Если в задаче встретились биссектрисы смежных углов или биссектрисы соответственных углов параллелограмма или трапеции, то в этой задаче непременно участвует прямоугольный треугольник, а может даже и целый прямоугольник.

5. Биссектриса и противоположная сторона

Оказывается, биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону не как-нибудь, а специальным и очень интересным образом:

Биссектриса и противоположная сторона рис 1  

То есть:

Отношение отрезков, на которые биссектриса поделила сторону  , такое же, как и отношение двух сторон, между которыми эта биссектриса прошла.

Удивительный факт, не правда ли?

Сейчас мы этот факт докажем, но приготовься: будет немного сложнее, чем раньше.

Биссектриса и противоположная сторона рис 2

Снова – выход в «космос» - дополнительное построение!

Проведём прямую  .

Зачем? Сейчас увидим.

Биссектриса и противоположная сторона рис 3

Продолжим биссектрису   до пересечения с прямой  .

Биссектриса и противоположная сторона рис 4

Знакомая картинка? Да-да-да, точно так же, как в пункте 4, случай 1 – получается, что   (  – биссектриса)

  - как накрест лежащие

  и  

Значит,   – это тоже  .

А теперь посмотрим на треугольники   и  .

Что про них можно сказать?

Они…подобны. Ну да, у них   и углы   равны как вертикальные. Значит,   по двум углам.

Теперь имеем право писать отношения соответствующих сторон.

 

А теперь в коротких обозначениях:

 

Ой! Что-то напоминает, верно? Не это ли самое мы хотели доказать? Да-да, именно это!

Видишь, как здорово проявил себя «выход в космос» - построение дополнительной прямой   – без неё ничего бы не вышло! А так, мы доказали, что

Биссектриса и противоположная сторона рис 5  

Теперь можешь смело использовать! Разберём ещё одно свойство биссектрис углов треугольника – не пугайся, теперь самое сложное кончилось – будет проще.

6. Угол между биссектрисами треугольника

Угол между биссектрисами треугольника Пусть   и   – биссектрисы. Найдём   (помним, что сумма углов треугольника равна  ).

 

Получаем, что 

 

Это знание можно применить в тех задачах, где участвуют две биссектрисы и дан лишь угол  , а искомые величины выдерживаются через   или, наоборот,   дан, а нужно найти что-то с участием угла  .

Основные знания о биссектрисе закончились. Комбинируя эти факты, ты найдёшь ключ к любой задаче о биссектрисе!

Комментарии

Алекс
05 января 2018

Отличное Объяснение! Всё подробно и понятным языком...Спасибо огромное!

ответить

Александр (админ)
06 января 2018

Алекс, привет! Спасибо за теплые слова. Мы старались. ) Удачи на экзаменах.

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть