Биссектриса. Средний уровень.

  • Биссектриса - это линия, делящая угол пополам.
  • Биссектриса – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.
Биссектриса треугольника - это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.

Теорема 1:

Три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, и эта точка – центр вписанной в треугольник окружности.

Теорема 2:

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также и медианой, и высотой.

Теорема 3:

Биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник.

Теорема 4:

Биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника перпендикулярны.

Теорема 5:

Биссектрисы односторонних углов параллелограмма и трапеции пересекаются под прямым углом.

Теорема 6:

Отношение отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону, такое же, как и отношение двух сторон, между которыми эта биссектриса прошла.
 

Биссектриса треугольника и ее свойства

Знаешь ли ты, что такое середина отрезка? Конечно же знаешь. А центр круга? Тоже. А что такое середина угла? Ты можешь сказать, что такого не бывает. Но почему же, отрезок можно разделить пополам, а угол нельзя? Вполне можно – только не точкой, а…. линией.

Помнишь шутку: биссектриса это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам. Так вот, настоящее определение биссектрисы очень похоже на эту шутку:

Биссектриса угла Биссектриса – это линия, делящая угол пополам.

Биссектриса треугольника - это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.

Когда-то древние астрономы и математики открыли очень много интересных свойств биссектрисы. Эти знания сильно упростили жизнь людей. Стало легче строить, считать расстояния, даже корректировать стрельбу из пушек… Нам же знание этих свойств поможет решить некоторые задания ГИА и ЕГЭ!

Первое знание, которое поможет в этом – биссектриса равнобедренного треугольника.

биссектриса треугольника Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является и медианой, и высотой.

Кстати, а помнишь ли ты все эти термины? Помнишь чем они отличаются друг от друга? Нет? Не страшно. Сейчас разберемся.

Итак, основание равнобедренного треугольника – это та сторона, которая не равна никакой другой. Посмотри на рисунок, как ты думаешь, какая это сторона? Правильно - это сторона  .

Медиана – это линия, проведенная из вершины треугольника и делящая противоположную сторону (это снова  ) пополам.

Заметь, мы не говорим: «Медиана равнобедренного треугольника». А знаешь почему? Потому что медиана, проведенная из вершины треугольника, делит противоположную сторону пополам в ЛЮБОМ треугольнике.

Ну, а высота – это линия, проведенная из вершины и перпендикулярная основанию. Ты заметил? Мы опять говорим о любом треугольнике, а не только о равнобедренном. Высота в ЛЮБОМ треугольнике всегда перпендикулярна основанию.

Итак, разобрались? Ну почти. Чтобы еще лучше понять и навсегда запомнить что такое биссектриса, медиана и высота, их нужно сравнить друг с другом и понять в чем они похожи и чем они отличаются друг от друга. При этом, чтобы лучше запомнить, лучше описать все «человеческим языком». Потом ты легко будешь оперировать языком математики, но сначала ты этот язык не понимаешь и тебе нужно осмыслить все на своем языке.

Итак, в чем они похожи? Биссектриса, медиана и высота – все они «выходят» из вершины треугольника и упираются в противоположную сторону и «что-то делают» либо с углом из которого выходят, либо с противоположной стороной. По-моему просто, нет?

А чем они отличаются?

  • Биссектриса делит угол, из которого выходит, пополам.
  • Медиана делит противоположную сторону пополам.
  • Высота всегда перпендикулярна противоположной стороне.

Теперь все. Понять – легко. А раз понял, можешь запомнить.

Теперь следующий вопрос. Почему же в случае с равнобедренным треугольником биссектриса оказывается одновременно и медианой и высотой?

Можно просто посмотреть на рисунок и убедиться, что медиана   разбивает   на два абсолютно равных треугольника. Вот и все! Но математики не любят верить своим глазам. Им нужно все доказывать. Страшное слово? Ничего подобного - все просто! Смотри: у   и   равны стороны   и  , сторона   у них вообще общая и  . (  – биссектриса!) И вот, получилось, что два треугольника имеют по две равные стороны и угол между ними. Вспоминаем первый признак равенства треугольников (не помнишь, загляни в тему «Треугольник») и заключаем, что  , а значит   =   и  .

  =   – это уже хорошо – значит,   оказалась медианой.

А вот что такое  ?

Посмотрим на картинку -  . А у нас получилось, что  . Значит,   и   тоже! Наконец, ура!   и  .

Показалось ли тебе это доказательство тяжеловатым? Посмотри на картинку – два одинаковых треугольника говорят сами за себя.

В любом случае твердо запомни:

Биссектриса, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, делит это основание пополам и перпендикулярна ему.

Готов дальше?

Теперь сложнее: мы посчитаем угол между биссектрисами в любом треугольнике! Не бойся, все не так уж хитро. Смотри на рисунок:

Угол между биссектрисами B   проведем две биссектрисы   и   . Они пересеклись – а куда деваться-то? Какой же угол получился у точки  ?

Давай его посчитаем. Ты помнишь, что сумма углов треугольника равна  ?

Применим этот потрясающий факт.

С одной стороны, из  :

 , то есть  .

Теперь посмотрим на   :

 

Но биссектрисы, биссектрисы же!

 

Значит  

 , то есть

 

 

Вспомним про   :  

Значит,  

Теперь через буквы

 

Не удивительно ли? Получилось, что угол между биссектрисами двух углов зависит только от третьего угла!

Ну вот, две биссектрисы мы посмотрели. А что, если их три??!! Пересекутся ли они все в одной точке?

три биссектрисы пересекаются

Или будет так?

3 биссектрисы не пересекаются

Как ты думаешь? Вот математики думали-думали и доказали:

Три биссектрисы треугольника (любого!) пересекаются в одной точке – и эта точка – центр вписанной окружности.

Три биссектрисы треугольника и окружность

Правда, здорово?

Хочешь знать, почему же так получается?

Переходи на следующий уровень – ты готов к покорению новых вершин знаний о биссектрисе!

Помнишь, что такое биссектриса?

Биссектриса – это линия, которая делит угол пополам.

Биссектриса рис. 1

Тебе встретилась в задаче биссектриса? Постарайся применить одно (а иногда можешь и несколько) из следующих потрясающих свойств.

1. Биссектриса в равнобедренном треугольнике.

Не боишься слова «теорема»? Если боишься, то – зря. Теоремой математики привыкли называть всякое утверждение, которое можно как-то вывести из других, более простых утверждений.

Так вот, внимание, теорема!

Теорема. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также и медианой, и высотой.

Докажем эту теорему, то есть поймём, почему же так получается? Посмотри на равнобедренный  .

Биссектриса равнобедренного треугольника В нём   и проведена биссектриса  . Видишь: получилось два треугольника  . и  .

Давай посмотрим на них внимательно. И тогда увидим, что

  1.  
  2.   - общая.
  3.  

А это значит (скорее вспоминай первый признак равенства треугольников!), что  . Ну и что? Хочется тебе так сказать? А то, что мы ещё не смотрели на третьи стороны и оставшиеся углы этих треугольников. А вот теперь посмотрим. Раз  , то совершенно точно   и даже вдобавок,  .

Вот и получилось, что

  1.   разделила сторону   пополам, то есть оказалась медианой
  2.  , а значит, они оба по  , так как   (глянь ещё раз на рисунок).

Вот и оказалась биссектриса   и высотой тоже!

Ура! Доказали теорему. Но представляешь, это ещё не всё. Верна ещё и обратная теорема:

Теорема. Если в треугольнике биссектриса, проведённая из какого-то угла, совпадает с медианой или с высотой, то этот треугольник равнобедренный.

Доказательство? Неужели тебе интересно? Читай следующий уровень теории!

А если неинтересно, то твердо запомни:

Биссектриса совпадает с высотой и медианой только в равнобедренном треугольнике!

Зачем же это твердо запоминать? Как это может помочь? А вот представь, что у тебя задача:

Дано:  .

Найти:  .

Биссектриса рис. 3

Ты тут же соображаешь,   биссектриса и, о чудо, она разделила сторону   пополам! (по условию…). Если ты твердо помнишь, что так бывает только в равнобедренном треугольнике, то делаешь вывод, что   и значит, пишешь ответ:  . Здорово, правда? Конечно, не во всех задачах будет так легко, но знание обязательно поможет!

А теперь следующее свойство. Готов?

2. Биссектриса угла – геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла.

Испугался? На самом деле ничего страшного. Ленивые математики в двух строчках спрятали четыре. Итак, что же значит, «Биссектриса – геометрическое место точек»? А это значит, что выполняются сразу дваутверждения:

  1. Если точка лежит на биссектрисе, то расстояния от неё до сторон угла равны.
  2. Если у какой-нибудь точки расстояния до сторон угла равны, то эта точка обязательно лежит на биссектрисе.

Видишь разницу между утверждениями 1 и 2? Если не очень, то вспомни Шляпника из «Алисы в стране чудес»: "Так ты еще чего доброго скажешь, будто "Я вижу то, что ем" и "Я ем то, что вижу", - одно и то же!"

Итак, нам нужно доказать утверждения 1 и 2, и тогда утверждение: "биссектриса – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла" будет доказано!

Почему же верно 1?

Возьмём любую точку на биссектрисе и назовём её  .

Биссектриса угла

Опустим из этой точки перпендикуляры   и   на стороны угла.

Биссектриса угла рис. 2

А теперь …приготовились вспоминать признаки равенства прямоугольных треугольников! Если ты их подзабыл, то загляни в раздел «Прямоугольный треугольник».

Итак…два прямоугольных треугольника:   и  . У них:

  • Общая гипотенуза  .
  •   (потому что   – биссектриса!)

Значит,   - по углу и гипотенузе. Поэтому и соответствующие катеты у этих треугольников – равны! То есть  .

Доказали, что точка   одинаково (или равно) удалена от сторон угла. С пунктом 1 разобрались. Теперь перейдём к пункту 2.

Почему же верно 2?

Биссектриса угла рис. 3 Возьмем какую-то точку   внутри угла, для которой расстояние до сторон угла равны.

И соединим точки   и  .

Биссектриса угла рис. 3 Теперь   как прямоугольные по катету и гипотенузе.

Значит,  , то есть   лежит на биссектрисе!

Вот и всё!

Как же все это применить при решении задач? Вот например, в задачах часто бывает такая фраза: «Окружность касается сторон угла….». Ну, и найти нужно что-то.

То быстро соображаешь, что

Биссектриса рис. 7
  • Окружность касается сторон угла – значит,  . (Правда, для этого нужно ещё знать, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной)
  • А раз  , то   – точно биссектриса!

И можно пользоваться равенством  .

3. Три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке

Из свойства биссектрисы быть геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла, вытекает следующее утверждение:

Три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, и эта точка – центр вписанной в треугольник окружности.

Как именно вытекает? А вот смотри: две-то биссектрисы точно пересекутся, правда?

Точка пересечения биссектрис

А третья биссектриса могла бы пройти так:

Пересечение биссектрис

Но на самом деле-то всё гораздо лучше!

Давай рассмотрим точку пересечения двух биссектрис. Назовём её  .

Точка пересечения биссектрис 2 Эта точка лежит на биссектрисе  . Что из этого следует? Правильно!  !
Точка   лежит ещё и на биссектрисе  , поэтому  .

Что мы тут оба раза применяли? Да пункт 1, конечно же! Если точка лежит на биссектрисе, то она одинаково удалена от сторон угла.

Вот и получилось   и  .

Но посмотри внимательно на эти два равенства! Ведь из них следует, что   и, значит,  .

А вот теперь в дело пойдёт пункт 2: если расстояния до сторон угла равны, то точка лежит на биссектрисе…какого же угла? Ещё раз смотри на картинку:

  и   – расстояния до сторон угла  , и они равны, значит, точка   лежит на биссектрисе угла  . Третья биссектриса прошла через ту же точку! Все три биссектрисы пересеклись в одной точке! И, как дополнительный подарок -

  - радиусы вписанной окружности.

(Для верности посмотри ещё тему «Вписанная окружность»).

Ну вот, теперь ты никогда не забудешь:

Точка пересечения биссектрис треугольника – центр вписанной в неё окружности.

Переходим к следующему свойству… Ух и много же свойств у биссектрисы, правда? И это здорово, потому что, чем больше свойств, тем больше инструментов для решения задач про биссектрису.

4. Биссектриса и параллельность, биссектрисы смежных углов

Тот факт, что биссектриса делит угол пополам, в каких-то случаях приводит к совершенно неожиданным результатам. Вот, например,

Случай 1

Биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник.

Биссектриса угла параллелограмма

Здорово, правда? Давай поймём, почему так.

С одной стороны,   - мы же проводим биссектрису!

Но, с другой стороны,   - как накрест лежащие углы (вспоминаем тему «Параллельные прямые»).

И теперь выходит, что  ; выкидываем середину:  !   – равнобедренный!

Случай 2

Биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника перпендикулярны.

Представь треугольник (или посмотри на картинку)

Давай продолжим сторону   за точку  . Теперь получилось два угла  :

  •   – внутренний угол  
  •   – внешний угол   – он же снаружи, верно?

Так вот, а теперь кому-то захотелось провести не одну, а сразу две биссектрисы: и для  , и для  . Что же получится?

А получится прямоугольный  !

Удивительно, но это именно так.

Разбираемся.

Как ты думаешь, чему равна сумма  ?

Конечно же,   - ведь они все вместе составляют такой угол, что получается прямая  .

А теперь вспомним, что   и   –биссектрисы и увидим, что внутри угла   находится ровно половина от суммы всех четырех углов:   и  - – то есть ровно  . Можно написать и уравнением:

 

 

 

 

Итак, невероятно, но факт:

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего угла треугольника равен  .

Случай 3

Биссектрисы односторонних углов параллелограмма и трапеции пересекаются под прямым углом.

Биссектрисы односторонних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.

Видишь, что здесь все так же, как и для внутреннего и внешнего углов?

Биссектрисы односторонних углов трапеции пересекаются под прямым углом.

Или ещё раз подумаем, почему так получается?

Снова, как и для смежных углов,

  (как соответственные при параллельных основаниях).

И опять,   составляют ровно половину от суммы  

Значит,  .

Вывод: Если в задаче встретились биссектрисы смежных углов или биссектрисы соответственных углов параллелограмма или трапеции, то в этой задаче непременно участвует прямоугольный треугольник, а может даже и целый прямоугольник.

5. Биссектриса и противоположная сторона

Оказывается, биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону не как-нибудь, а специальным и очень интересным образом:

Биссектриса и противоположная сторона рис 1  

То есть:

Отношение отрезков, на которые биссектриса поделила сторону  , такое же, как и отношение двух сторон, между которыми эта биссектриса прошла.

Удивительный факт, не правда ли?

Сейчас мы этот факт докажем, но приготовься: будет немного сложнее, чем раньше.

Биссектриса и противоположная сторона рис 2

Снова – выход в «космос» - дополнительное построение!

Проведём прямую  .

Зачем? Сейчас увидим.

Биссектриса и противоположная сторона рис 3

Продолжим биссектрису   до пересечения с прямой  .

Биссектриса и противоположная сторона рис 4

Знакомая картинка? Да-да-да, точно так же, как в пункте 4, случай 1 – получается, что   (  – биссектриса)

  - как накрест лежащие

  и  

Значит,   – это тоже  .

А теперь посмотрим на треугольники   и  .

Что про них можно сказать?

Они…подобны. Ну да, у них   и углы   равны как вертикальные. Значит,   по двум углам.

Теперь имеем право писать отношения соответствующих сторон.

 

А теперь в коротких обозначениях:

 

Ой! Что-то напоминает, верно? Не это ли самое мы хотели доказать? Да-да, именно это!

Видишь, как здорово проявил себя «выход в космос» - построение дополнительной прямой   – без неё ничего бы не вышло! А так, мы доказали, что

Биссектриса и противоположная сторона рис 5  

Теперь можешь смело использовать! Разберём ещё одно свойство биссектрис углов треугольника – не пугайся, теперь самое сложное кончилось – будет проще.

6. Угол между биссектрисами треугольника

Угол между биссектрисами треугольника Пусть   и   – биссектрисы. Найдём   (помним, что сумма углов треугольника равна  ).

 

Получаем, что 

 

Это знание можно применить в тех задачах, где участвуют две биссектрисы и дан лишь угол  , а искомые величины выдерживаются через   или, наоборот,   дан, а нужно найти что-то с участием угла  .

Основные знания о биссектрисе закончились. Комбинируя эти факты, ты найдёшь ключ к любой задаче о биссектрисе!

Комментарии

Алекс
05 января 2018

Отличное Объяснение! Всё подробно и понятным языком...Спасибо огромное!

ответить

Александр (админ)
06 января 2018

Алекс, привет! Спасибо за теплые слова. Мы старались. ) Удачи на экзаменах.

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем для тебя ВСЕ скрытые примеры учебника до конца учебного года.

Всего 299 руб...

Но твоя помощь бесценна! :)  

Спасибо!

Я хочу помочь YouClever!

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть