Биссектриса. Средний уровень.

Помнишь, что такое биссектриса?

Биссектриса – это линия, которая делит угол пополам.

Биссектриса рис. 1

Тебе встретилась в задаче биссектриса? Постарайся применить одно (а иногда можешь и несколько) из следующих потрясающих свойств.

1. Биссектриса в равнобедренном треугольнике.

Не боишься слова «теорема»? Если боишься, то – зря. Теоремой математики привыкли называть всякое утверждение, которое можно как-то вывести из других, более простых утверждений.

Так вот, внимание, теорема!

Теорема. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также и медианой, и высотой.

Докажем эту теорему, то есть поймём, почему же так получается? Посмотри на равнобедренный  .

Биссектриса равнобедренного треугольника В нём   и проведена биссектриса  . Видишь: получилось два треугольника  . и  .

Давай посмотрим на них внимательно. И тогда увидим, что

  1.  
  2.   - общая.
  3.  

А это значит (скорее вспоминай первый признак равенства треугольников!), что  . Ну и что? Хочется тебе так сказать? А то, что мы ещё не смотрели на третьи стороны и оставшиеся углы этих треугольников. А вот теперь посмотрим. Раз  , то совершенно точно   и даже вдобавок,  .

Вот и получилось, что

  1.   разделила сторону   пополам, то есть оказалась медианой
  2.  , а значит, они оба по  , так как   (глянь ещё раз на рисунок).

Вот и оказалась биссектриса   и высотой тоже!

Ура! Доказали теорему. Но представляешь, это ещё не всё. Верна ещё и обратная теорема:

Теорема. Если в треугольнике биссектриса, проведённая из какого-то угла, совпадает с медианой или с высотой, то этот треугольник равнобедренный.

Доказательство? Неужели тебе интересно? Читай следующий уровень теории!

А если неинтересно, то твердо запомни:

Биссектриса совпадает с высотой и медианой только в равнобедренном треугольнике!

Зачем же это твердо запоминать? Как это может помочь? А вот представь, что у тебя задача:

Дано:  .

Найти:  .

Биссектриса рис. 3

Ты тут же соображаешь,   биссектриса и, о чудо, она разделила сторону   пополам! (по условию…). Если ты твердо помнишь, что так бывает только в равнобедренном треугольнике, то делаешь вывод, что   и значит, пишешь ответ:  . Здорово, правда? Конечно, не во всех задачах будет так легко, но знание обязательно поможет!

А теперь следующее свойство. Готов?

2. Биссектриса угла – геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла.

Испугался? На самом деле ничего страшного. Ленивые математики в двух строчках спрятали четыре. Итак, что же значит, «Биссектриса – геометрическое место точек»? А это значит, что выполняются сразу дваутверждения:

  1. Если точка лежит на биссектрисе, то расстояния от неё до сторон угла равны.
  2. Если у какой-нибудь точки расстояния до сторон угла равны, то эта точка обязательно лежит на биссектрисе.

Видишь разницу между утверждениями 1 и 2? Если не очень, то вспомни Шляпника из «Алисы в стране чудес»: "Так ты еще чего доброго скажешь, будто "Я вижу то, что ем" и "Я ем то, что вижу", - одно и то же!"

Итак, нам нужно доказать утверждения 1 и 2, и тогда утверждение: "биссектриса – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла" будет доказано!

Почему же верно 1?

Возьмём любую точку на биссектрисе и назовём её  .

Биссектриса угла

Опустим из этой точки перпендикуляры   и   на стороны угла.

Биссектриса угла рис. 2

А теперь …приготовились вспоминать признаки равенства прямоугольных треугольников! Если ты их подзабыл, то загляни в раздел «Прямоугольный треугольник».

Итак…два прямоугольных треугольника:   и  . У них:

  • Общая гипотенуза  .
  •   (потому что   – биссектриса!)

Значит,   - по углу и гипотенузе. Поэтому и соответствующие катеты у этих треугольников – равны! То есть  .

Доказали, что точка   одинаково (или равно) удалена от сторон угла. С пунктом 1 разобрались. Теперь перейдём к пункту 2.

Почему же верно 2?

Биссектриса угла рис. 3 Возьмем какую-то точку   внутри угла, для которой расстояние до сторон угла равны.

И соединим точки   и  .

Биссектриса угла рис. 3 Теперь   как прямоугольные по катету и гипотенузе.

Значит,  , то есть   лежит на биссектрисе!

Вот и всё!

Как же все это применить при решении задач? Вот например, в задачах часто бывает такая фраза: «Окружность касается сторон угла….». Ну, и найти нужно что-то.

То быстро соображаешь, что

Биссектриса рис. 7
  • Окружность касается сторон угла – значит,  . (Правда, для этого нужно ещё знать, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной)
  • А раз  , то   – точно биссектриса!

И можно пользоваться равенством  .

3. Три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке

Из свойства биссектрисы быть геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла, вытекает следующее утверждение:

Три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, и эта точка – центр вписанной в треугольник окружности.

Как именно вытекает? А вот смотри: две-то биссектрисы точно пересекутся, правда?

Точка пересечения биссектрис

А третья биссектриса могла бы пройти так:

Пересечение биссектрис

Но на самом деле-то всё гораздо лучше!

Давай рассмотрим точку пересечения двух биссектрис. Назовём её  .

Точка пересечения биссектрис 2 Эта точка лежит на биссектрисе  . Что из этого следует? Правильно!  !
Точка   лежит ещё и на биссектрисе  , поэтому  .

Что мы тут оба раза применяли? Да пункт 1, конечно же! Если точка лежит на биссектрисе, то она одинаково удалена от сторон угла.

Вот и получилось   и  .

Но посмотри внимательно на эти два равенства! Ведь из них следует, что   и, значит,  .

А вот теперь в дело пойдёт пункт 2: если расстояния до сторон угла равны, то точка лежит на биссектрисе…какого же угла? Ещё раз смотри на картинку:

  и   – расстояния до сторон угла  , и они равны, значит, точка   лежит на биссектрисе угла  . Третья биссектриса прошла через ту же точку! Все три биссектрисы пересеклись в одной точке! И, как дополнительный подарок -

  - радиусы вписанной окружности.

(Для верности посмотри ещё тему «Вписанная окружность»).

Ну вот, теперь ты никогда не забудешь:

Точка пересечения биссектрис треугольника – центр вписанной в неё окружности.

Переходим к следующему свойству… Ух и много же свойств у биссектрисы, правда? И это здорово, потому что, чем больше свойств, тем больше инструментов для решения задач про биссектрису.

4. Биссектриса и параллельность, биссектрисы смежных углов

Тот факт, что биссектриса делит угол пополам, в каких-то случаях приводит к совершенно неожиданным результатам. Вот, например,

Случай 1

Биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник.

Биссектриса угла параллелограмма

Здорово, правда? Давай поймём, почему так.

С одной стороны,   - мы же проводим биссектрису!

Но, с другой стороны,   - как накрест лежащие углы (вспоминаем тему «Параллельные прямые»).

И теперь выходит, что  ; выкидываем середину:  !   – равнобедренный!

Случай 2

Биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника перпендикулярны.

Представь треугольник (или посмотри на картинку)

Давай продолжим сторону   за точку  . Теперь получилось два угла  :

  •   – внутренний угол  
  •   – внешний угол   – он же снаружи, верно?

Так вот, а теперь кому-то захотелось провести не одну, а сразу две биссектрисы: и для  , и для  . Что же получится?

А получится прямоугольный  !

Удивительно, но это именно так.

Разбираемся.

Как ты думаешь, чему равна сумма  ?

Конечно же,   - ведь они все вместе составляют такой угол, что получается прямая  .

А теперь вспомним, что   и   –биссектрисы и увидим, что внутри угла   находится ровно половина от суммы всех четырех углов:   и  - – то есть ровно  . Можно написать и уравнением:

 

 

 

 

Итак, невероятно, но факт:

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего угла треугольника равен  .

Случай 3

Биссектрисы односторонних углов параллелограмма и трапеции пересекаются под прямым углом.

Биссектрисы односторонних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.

Видишь, что здесь все так же, как и для внутреннего и внешнего углов?

Биссектрисы односторонних углов трапеции пересекаются под прямым углом.

Или ещё раз подумаем, почему так получается?

Снова, как и для смежных углов,

  (как соответственные при параллельных основаниях).

И опять,   составляют ровно половину от суммы  

Значит,  .

Вывод: Если в задаче встретились биссектрисы смежных углов или биссектрисы соответственных углов параллелограмма или трапеции, то в этой задаче непременно участвует прямоугольный треугольник, а может даже и целый прямоугольник.

5. Биссектриса и противоположная сторона

Оказывается, биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону не как-нибудь, а специальным и очень интересным образом:

Биссектриса и противоположная сторона рис 1  

То есть:

Отношение отрезков, на которые биссектриса поделила сторону  , такое же, как и отношение двух сторон, между которыми эта биссектриса прошла.

Удивительный факт, не правда ли?

Сейчас мы этот факт докажем, но приготовься: будет немного сложнее, чем раньше.

Биссектриса и противоположная сторона рис 2

Снова – выход в «космос» - дополнительное построение!

Проведём прямую  .

Зачем? Сейчас увидим.

Биссектриса и противоположная сторона рис 3

Продолжим биссектрису   до пересечения с прямой  .

Биссектриса и противоположная сторона рис 4

Знакомая картинка? Да-да-да, точно так же, как в пункте 4, случай 1 – получается, что   (  – биссектриса)

  - как накрест лежащие

  и  

Значит,   – это тоже  .

А теперь посмотрим на треугольники   и  .

Что про них можно сказать?

Они…подобны. Ну да, у них   и углы   равны как вертикальные. Значит,   по двум углам.

Теперь имеем право писать отношения соответствующих сторон.

 

А теперь в коротких обозначениях:

 

Ой! Что-то напоминает, верно? Не это ли самое мы хотели доказать? Да-да, именно это!

Видишь, как здорово проявил себя «выход в космос» - построение дополнительной прямой   – без неё ничего бы не вышло! А так, мы доказали, что

Биссектриса и противоположная сторона рис 5  

Теперь можешь смело использовать! Разберём ещё одно свойство биссектрис углов треугольника – не пугайся, теперь самое сложное кончилось – будет проще.

6. Угол между биссектрисами треугольника

Угол между биссектрисами треугольника Пусть   и   – биссектрисы. Найдём   (помним, что сумма углов треугольника равна  ).

 

Получаем, что 

 

Это знание можно применить в тех задачах, где участвуют две биссектрисы и дан лишь угол  , а искомые величины выдерживаются через   или, наоборот,   дан, а нужно найти что-то с участием угла  .

Основные знания о биссектрисе закончились. Комбинируя эти факты, ты найдёшь ключ к любой задаче о биссектрисе!

Комментарии

Алекс
05 января 2018

Отличное Объяснение! Всё подробно и понятным языком...Спасибо огромное!

ответить

Александр (админ)
06 января 2018

Алекс, привет! Спасибо за теплые слова. Мы старались. ) Удачи на экзаменах.

ответить

Сабина
09 декабря 2018

Как же все аккуратно разложено по полочкам. Все доступно пониманию. Спасибо за ваш труд.

ответить

Александр (админ)
09 декабря 2018

Спасибо, Сабина!

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем для тебя ВСЕ скрытые примеры учебника до конца учебного года.

Всего 299 руб...

Но твоя помощь бесценна! :)  

Спасибо!

Я хочу помочь YouClever!

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть