Касательные, касающиеся окружности. Визуальный гид (2020)
Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».
1. Определения и основная теорема
В обычной жизни ты очень хорошо представляешь себе, что значит слово «коснуться». И вот представь себе, в математике тоже существует такое понятие. В этой теме мы разберёмся с выражениями «прямая касается окружности» и «две окружности касаются».
Итак.
![]() |
Прямая касается окружности, если имеет с ней ровно одну общую точку. |
Такая прямая называется касательной к данной окружности.
Посмотри-ка внимательно: очень похоже на жизнь, не правда ли? Прямая на картинке лишь чуть-чуть дотрагивается до окружности, касается ее.
Ну вот, и точно так же:
![]() |
Две окружности касаются, если имеют ровно одну общую точку. |
Что же тебе нужно знать о касательных и касающихся окружности?
Самая важная теорема гласит, что:
![]() |
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. |
Запомни это прямо как таблицу умножения! Все остальные факты о касательных и касающихся окружностях основаны именно на этой теореме.
Доказывать её мы здесь не будем (можешь заглянуть в следующие уровни теории), а вот как эта самая важная теорема работает, увидим сейчас несколько раз.
2. Угол между касательной и хордой
![]() |
Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, которая находится внутри угла. |
Прежде всего: как это понимать? Подробнее о том, что такое «градусная мера дуги» написано в теме «Окружность. Вписанный угол».
![]() |
Здесь напомним только, что в дуге столько же градусов, сколько в центральном угле, заключающем эту дугу.То есть «градусная мера дуги» - это «сколько градусов в центральном угле» - и всё! |
Ну вот, как говорит Карлсон, «продолжаем разговор».
Рисуем ещё раз теорему об угле между касательной и хордой.
![]() |
Смотри, хорда |
И теорема об угле между касательной и хордой говорит, что
При чем же тут тот факт, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной?
Сейчас и увидим.
![]() |
Значит , |
И осталось вспомнить, что сумма углов треугольника
Пишем:
Короче:
Здорово, правда? И самым главным оказалось то, что
3. Равенство отрезков касательных
Задумывался ли ты над вопросом «а сколько касательных можно провести из одной точки к одной окружности»? Вот, представь себе, ровно две! Вот так:
А ещё более удивительный факт состоит в том, что:
Отрезки касательных, проведённых из одной точки к одной окружности, равны. |
То есть, на нашем рисунке,
И для этого факта тоже самым главным является то, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
Вот, убедись: проведём радиусы
![]() |
Ну, и так же |
Получилось два прямоугольных треугольника
(заглядываем в тему "Прямоугольный треугольник", если не помним, когда, бывают равны прямоугольные треугольники).
![]() |
Но раз |
И ещё раз повторим – этот факт тоже очень важный:
Отрезки касательных, проведённых из одной точки, – равны.
И есть ещё один факт, который мы здесь не будем доказывать, но он может оказаться тебе полезен при решении задач.
![]() |
Для любой прямой |
Хитроумными словами об этом говорят так:
«квадрат длины отрезка касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть».
Страшно? Не бойся, помни только, что в буквах это:
4. Общая касательная к двум окружностям
![]() |
Прямая, которая касается двух окружностей, называется их общей касательной. |
Общие касательные бывают внешние и внутренние.
Смотри на картинки.
![]() |
Две внутренние общие касательные. |
![]() |
Две внешние общие касательные. |
А всего – четыре - не больше, но может быть меньше.
Вот так:
![]() |
Есть только две внешние общие касательные. |
![]() |
Или так: одна «внутренняя» и две «внешних». |
А может быть вообще так:
![]() |
только одна общая касательная: |
И снова факты:
НО! При этом: внешние и внутренние касательные – разные! (а некоторых, может, и вообще нет…) |
5. Касающиеся окружности
Касание окружностей бывает внешним и внутренним.
Вот такая картинка называется
![]() |
«окружности касаются внешним образом». |
А вот такая картинка называется
![]() |
«окружности касаются внутренним образом». |
Что же самое главное нужно знать?
![]() |
Если две окружности касаются, то точка касания лежит на прямой, соединяющей центры.Кроме того, эта прямая перпендикулярна касательной, проведённой в точку касания окружностей. |
Если тебе показалось слишком длинно – посмотри картинку. Может быть ещё так:
Ура, теперь ты полностью вооружён на борьбу с касательными – дерзай!
КАСАТЕЛЬНЫЕ, КАСАЮЩИЕСЯ ОКРУЖНОСТИ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
Касательная - прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку.
![]() |
|
![]() |
|
![]() |
|
Касание окружностей: если две окружности касаются, то точка касания лежит на прямой, соединяющей их центры. Кроме того, эта прямая перпендикулярна касательной, проведённой в точку касания окружностей:
Внешнее касание ![]() |
Внутреннее касание ![]() |
Для двух окружностей с центрами
- при внешнем касании:
- при внутреннем касании:
ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER
Получить доступ к учебнику YouClever без ограничений можно кликнув по этой ссылке:
ПОЛУЧИТЬ ДОСТУП К УЧЕБНИКУ YOUCLEVER!
Комментарии
Камиль, большое спасибо! Передам ваш отзыв автору этого материала Елене Евгеньевне Баштовой (http://new.math.msu.su/department/probab/staff/bashtova.html). Ей будет приятно. (Александр Кель, админ)
Более толкового,полного, наглядное и потому очень понятного и доброжелательного объяснения,не встречала .Спасибо уважаемой Елене Евгеньевна. Браво.
Юлия, огромное спасибо! Елене Евгеньевне, думаю, будет приятно слышать! ) Интересно, если мы сделаем возможность скачать объяснение в pdf, нужно будет кому-нибудь? Или достаточно в электронном виде?
Замечательно подобранный материал. Спасибо!
ответить