Касательные, касающиеся окружности. Начальный уровень.

Касательная - прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку.

Касательная окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, которая находится внутри угла:  , где   - касательная,   - хорда,   - угол, внутри которого находится дуга  .

Отрезки касательных, проведённых из одной точки к одной окружности, равны:   Углы, образованные касательными, проведёнными из одной точки, и прямой, проходящей через центр окружности и эту точку, равны:  .

Секущая - прямая, которая пересекает окружность в двух различных точках:   и  . Для любой прямой  , пересекающей окружность:  ,где  - отрезок касательной.

Касание окружностей: если две окружности касаются, то точка касания лежит на прямой, соединяющей их центры. Кроме того, эта прямая перпендикулярна касательной, проведённой в точку касания окружностей:

Внешнее касание

Внутреннее касание

Для двух окружностей с центрами   и  , и радиусами   и  :

• при внешнем касании:  ;
• при внутреннем касании:  .

1. Определения и основная теорема

В обычной жизни ты очень хорошо представляешь себе, что значит слово «коснуться». И вот представь себе, в математике тоже существует такое понятие. В этой теме мы разберёмся с выражениями «прямая касается окружности» и «две окружности касаются».

Итак.

Прямая касается окружности, если имеет с ней ровно одну общую точку.

Такая прямая называется касательной к данной окружности.

Посмотри-ка внимательно: очень похоже на жизнь, не правда ли? Прямая на картинке лишь чуть-чуть дотрагивается до окружности, касается ее.

Ну вот, и точно так же:

Две окружности касаются, если имеют ровно одну общую точку.

Что же тебе нужно знать о касательных и касающихся окружности?

Самая важная теорема гласит, что:

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Запомни это прямо как таблицу умножения! Все остальные факты о касательных и касающихся окружностях основаны именно на этой теореме.

Доказывать её мы здесь не будем (можешь заглянуть в следующие уровни теории), а вот как эта самая важная теорема работает, увидим сейчас несколько раз.

2. Угол между касательной и хордой

Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, которая находится внутри угла.

Прежде всего: как это понимать? Подробнее о том, что такое «градусная мера дуги» написано в теме «Окружность. Вписанный угол».

Здесь напомним только, что в дуге столько же градусов, сколько в центральном угле, заключающем эту дугу.То есть «градусная мера дуги» - это «сколько градусов в центральном угле» - и всё!

Ну вот, как говорит Карлсон, «продолжаем разговор».

Рисуем ещё раз теорему об угле между касательной и хордой.

Смотри, хорда   разбила окружность на две дуги. Одна дуга находится ВНУТРИ угла  , а другая дуга – внутри угла  .

И теорема об угле между касательной и хордой говорит, что   равен ПОЛОВИНЕ угла  ,   равен ПОЛОВИНЕ большего (на рисунке - зеленого) угла  .

При чем же тут тот факт, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной?

Сейчас и увидим.   – радиус,   – касательная.

Значит ,  . Поэтому: .Но   (  и   - радиусы) .

И осталось вспомнить, что сумма углов треугольника   равна  .

Пишем:

Короче:

Здорово, правда? И самым главным оказалось то, что  .

3. Равенство отрезков касательных

Задумывался ли ты над вопросом «а сколько касательных можно провести из одной точки к одной окружности»? Вот, представь себе, ровно две! Вот так:

А ещё более удивительный факт состоит в том, что:

Отрезки касательных, проведённых из одной точки к одной окружности, равны.

То есть, на нашем рисунке,  .

И для этого факта тоже самым главным является то, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Вот, убедись: проведём радиусы   и   и соединим   и  .

–радиус.   – касательная, значит, . Ну, и так же  .

Получилось два прямоугольных треугольника   и  , у которых:

•   - равные катеты
•   - общая гипотенуза

 

(заглядываем в тему "Прямоугольный треугольник", если не помним, когда, бывают равны прямоугольные треугольники).

Но раз   то .УРА!

И ещё раз повторим – этот факт тоже очень важный:

Отрезки касательных, проведённых из одной точки, – равны.

И есть ещё один факт, который мы здесь не будем доказывать, но он может оказаться тебе полезен при решении задач.

Для любой прямой  , пересекающей окружность, , где  - отрезок касательной.

Хитроумными словами об этом говорят так:

«квадрат длины отрезка касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть».

Страшно? Не бойся, помни только, что в буквах это:

4. Общая касательная к двум окружностям

Прямая, которая касается двух окружностей, называется их общей касательной.

Общие касательные бывают внешние и внутренние.

Смотри на картинки.

Две внутренние общие касательные.

Две внешние общие касательные.

А всего – четыре - не больше, но может быть меньше.

Вот так:

Есть только две внешние общие касательные.

Или так: одна «внутренняя» и две «внешних».

А может быть вообще так:

только одна общая касательная:

И снова факты:

Длины отрезков двух внутренних общих касательных равны Длины отрезков двух внешних общих касательных равны. НО! При этом: внешние и внутренние касательные – разные! (а некоторых, может, и вообще нет…)

5. Касающиеся окружности

Касание окружностей бывает внешним и внутренним.

Вот такая картинка называется

«окружности касаются внешним образом».

А вот такая картинка называется

«окружности касаются внутренним образом».

Что же самое главное нужно знать?

Если две окружности касаются, то точка касания лежит на прямой, соединяющей центры.Кроме того, эта прямая перпендикулярна касательной, проведённой в точку касания окружностей.

Если тебе показалось слишком длинно – посмотри картинку. Может быть ещё так:

Ура, теперь ты полностью вооружён на борьбу с касательными – дерзай!