Касательные, касающиеся окружности. Визуальный гид (2020)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

1. Определения и основная теорема

В обычной жизни ты очень хорошо представляешь себе, что значит слово «коснуться». И вот представь себе, в математике тоже существует такое понятие. В этой теме мы разберёмся с выражениями «прямая касается окружности» и «две окружности касаются».

Итак.

Касательная Прямая касается окружности, если имеет с ней ровно одну общую точку.

Такая прямая называется касательной к данной окружности.

Посмотри-ка внимательно: очень похоже на жизнь, не правда ли? Прямая на картинке лишь чуть-чуть дотрагивается до окружности, касается ее.

Ну вот, и точно так же:

Касающиеся окружности Две окружности касаются, если имеют ровно одну общую точку.

Что же тебе нужно знать о касательных и касающихся окружности?

Самая важная теорема гласит, что:

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Запомни это прямо как таблицу умножения! Все остальные факты о касательных и касающихся окружностях основаны именно на этой теореме.

Доказывать её мы здесь не будем (можешь заглянуть в следующие уровни теории), а вот как эта самая важная теорема работает, увидим сейчас несколько раз.

2. Угол между касательной и хордой

Угол между касательной и хордой Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, которая находится внутри угла.

Прежде всего: как это понимать? Подробнее о том, что такое «градусная мера дуги» написано в теме «Окружность. Вписанный угол».

Касательные, касающиеся окружности рис. 1 Здесь напомним только, что в дуге столько же градусов, сколько в центральном угле, заключающем эту дугу.То есть «градусная мера дуги» - это «сколько градусов в центральном угле» - и всё!

Ну вот, как говорит Карлсон, «продолжаем разговор».

Рисуем ещё раз теорему об угле между касательной и хордой.

Касательные, касающиеся окружности рис. 2 Смотри, хорда   разбила окружность на две дуги. Одна дуга находится ВНУТРИ угла  , а другая дуга – внутри угла  .

И теорема об угле между касательной и хордой говорит, что   равен ПОЛОВИНЕ угла    равен ПОЛОВИНЕ большего (на рисунке - зеленого) угла  .

При чем же тут тот факт, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной?

Сейчас и увидим.   – радиус,   – касательная.

Касательные, касающиеся окружности рис. 3 Значит ,  . Поэтому: .Но   (  и   - радиусы) .

И осталось вспомнить, что сумма углов треугольника   равна  .

Пишем:

Касательные, касающиеся окружности рис. 4

Короче:

Касательные, касающиеся окружности рис. 5

Здорово, правда? И самым главным оказалось то, что  .

3. Равенство отрезков касательных

Задумывался ли ты над вопросом «а сколько касательных можно провести из одной точки к одной окружности»? Вот, представь себе, ровно две! Вот так:

Касательные, касающиеся окружности рис. 6

А ещё более удивительный факт состоит в том, что:

Отрезки касательных, проведённых из одной точки к одной окружности, равны.

То есть, на нашем рисунке,  .

И для этого факта тоже самым главным является то, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Вот, убедись: проведём радиусы   и   и соединим   и  .

Касательные, касающиеся окружности рис. 7   –радиус.
  – касательная, значит, .
Ну, и так же  .

Получилось два прямоугольных треугольника   и  , у которых:

  •   - равные катеты
  •   - общая гипотенуза

 

(заглядываем в тему "Прямоугольный треугольник", если не помним, когда, бывают равны прямоугольные треугольники).

Касательные, касающиеся окружности рис. 8 Но раз   то .УРА!

И ещё раз повторим – этот факт тоже очень важный:

Отрезки касательных, проведённых из одной точки, – равны.

И есть ещё один факт, который мы здесь не будем доказывать, но он может оказаться тебе полезен при решении задач.

Касательные, касающиеся окружности рис. 9 Для любой прямой  , пересекающей окружность, , где  - отрезок касательной.

Хитроумными словами об этом говорят так:

«квадрат длины отрезка касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть».

Страшно? Не бойся, помни только, что в буквах это:

4. Общая касательная к двум окружностям

Общая касательная к двум окружностям Прямая, которая касается двух окружностей, называется их общей касательной.

Общие касательные бывают внешние и внутренние.

Смотри на картинки.

Общая касательная к двум окружностям рис. 2 Две внутренние общие касательные.
Общая касательная к двум окружностям рис. 3 Две внешние общие касательные.

А всего – четыре - не больше, но может быть меньше.

Вот так:

Общая касательная к двум окружностям рис. 4 Есть только две внешние общие касательные.
Общая касательная к двум окружностям рис. 5 Или так: одна «внутренняя» и две «внешних».

А может быть вообще так:

Общая касательная к двум окружностям рис. 6 только одна общая касательная:

И снова факты:

  1. Длины отрезков двух внутренних общих касательных равны
  2. Длины отрезков двух внешних общих касательных равны.

НО! При этом:

внешние и внутренние касательные – разные! (а некоторых, может, и вообще нет…)

5. Касающиеся окружности

Касание окружностей бывает внешним и внутренним.

Вот такая картинка называется

окружности касаются внешним образом «окружности касаются внешним образом».

А вот такая картинка называется

окружности касаются внутренним образом «окружности касаются внутренним образом».

Что же самое главное нужно знать?

Если две окружности касаются, то точка касания лежит на прямой, соединяющей центры Если две окружности касаются, то точка касания лежит на прямой, соединяющей центры.Кроме того, эта прямая перпендикулярна касательной, проведённой в точку касания окружностей.

Если тебе показалось слишком длинно – посмотри картинку. Может быть ещё так:

Касательные, касающиеся окружности рис. 11

Ура, теперь ты полностью вооружён на борьбу с касательными – дерзай!

КАСАТЕЛЬНЫЕ, КАСАЮЩИЕСЯ ОКРУЖНОСТИ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Касательная - прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку.

  • Касательная окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
  • Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, которая находится внутри угла:  , где
  •   - касательная,
  •   - хорда,
  •   - угол, внутри которого находится дуга  .
  • Отрезки касательных, проведённых из одной точки к одной окружности, равны:  
  • Углы, образованные касательными, проведёнными из одной точки, и прямой, проходящей через центр окружности и эту точку, равны:  .
  • Секущая - прямая, которая пересекает окружность в двух различных точках:   и  .
  • Для любой прямой  , пересекающей окружность:
     ,где  - отрезок касательной.

Касание окружностей: если две окружности касаются, то точка касания лежит на прямой, соединяющей их центры. Кроме того, эта прямая перпендикулярна касательной, проведённой в точку касания окружностей:

Внешнее касание  Внутреннее касание 

Для двух окружностей с центрами   и  , и радиусами   и  :

  • при внешнем касании:  ;
  • при внутреннем касании:  .

 

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER

Получить доступ к учебнику YouClever без ограничений можно кликнув по этой ссылке:

 ПОЛУЧИТЬ ДОСТУП К УЧЕБНИКУ YOUCLEVER!

 

 

 

Комментарии

Камиль Богуцкий
15 октября 2017

Замечательно подобранный материал. Спасибо!

ответить

Александр Кель (админ)
15 октября 2017

Камиль, большое спасибо! Передам ваш отзыв автору этого материала Елене Евгеньевне Баштовой (http://new.math.msu.su/department/probab/staff/bashtova.html). Ей будет приятно. (Александр Кель, админ)

ответить

Юлия Рябова
04 ноября 2017

Более толкового,полного, наглядное и потому очень понятного и доброжелательного объяснения,не встречала .Спасибо уважаемой Елене Евгеньевна. Браво.

ответить

Александр (админ)
04 ноября 2017

Юлия, огромное спасибо! Елене Евгеньевне, думаю, будет приятно слышать! ) Интересно, если мы сделаем возможность скачать объяснение в pdf, нужно будет кому-нибудь? Или достаточно в электронном виде?

ответить

Сандра
01 мая 2018

Достаточно в электронном виде

ответить

Ната
28 сентября 2018

А нам бы хотелось скачать в pdf

ответить

Александр (админ)
28 октября 2019

Увы, Ната, пока это невозможно.

ответить

Vufkan
07 ноября 2019

Спасибо вам вы очень помогли!

ответить

Александр (админ)
07 ноября 2019

Спасибо Vufkan! Очень рады! Заходи еще )

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Привет!

2/3 статьи, а также разбор задач доступны только ученикам YouClever.

Если вы хотите им стать, пройдите по ссылке и ознакомьтесь с условиями.

Или оставьте Email и получите доступ к 5-ти статьям учебника бесплатно.

Удачи,
Александр Кель

Оставить Email

Имя

E-mail

Кто Вы?

Класс

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем тебе доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб,

... или ко всем скрытым задачам во всех 99 статьях учебника - 899 руб.

Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

Хочу помочь YouClever - 299 руб
Хочу помочь YouClever - 899 руб.

Я уже зарегистрирован / оплатил

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть