Квадратный корень. Исчерпывающий гид (2019)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Для начала почитай комментарии внизу этой статьи, чтобы понять насколько крутой материал ты сейчас читаешь! )

А теперь давай попробуем разобраться, что это за понятие такое "квадратный корень".

К примеру, перед нами уравнение  .

Какое решение у данного уравнения? Какие числа можно возвести в квадрат и получить при этом  ?

Вспомнив таблицу умножения, ты легко дашь ответ:   и   (ведь при перемножении двух отрицательных чисел получается число положительное)!

Для упрощения, математики ввели специальное понятие квадратного корня и присвоили ему специальный символ  

Давай разберемся с корнем до конца...

СОДЕРЖАНИЕ


 

Введение понятия арифметического квадратного корня​

Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа   называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен  .
 .

А почему же число   должно быть обязательно неотрицательным?

Например, чему равен  ?

Так-так, попробуем подобрать. Может, три? Проверим:  , а не  .

Может,  ? Опять же, проверяем:  .

Ну что же, не подбирается?

Это и следовало ожидать – потому что нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дают отрицательное число!

Это надо запомнить: число или выражение под знаком корня должно быть неотрицательным!

 

Однако ты наверняка уже заметил, что в определении сказано, что решение квадратного корня из «числа   называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен  ».

А в самом начале мы разбирали пример  , подбирали числа, которые можно возвести в квадрат и получить при этом  , ответом были   и  , а тут говорится про какое-то «неотрицательное число»!

Такое замечание вполне уместно. Здесь необходимо просто разграничить понятия квадратных уравнений и арифметического квадратного корня из числа.

К примеру,   не равносильно выражению  .

Из   следует, что

 , то есть   или  ;   (не помнишь почему так? Почитай тему "Модуль числа"!)

А из   следует, что  .

Конечно, это очень путает, но это необходимо запомнить, что знаки являются результатом решения уравнения, так как при решении уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат.

В наше квадратное уравнение подходит как  , так и  .

Однако, если просто извлекать квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат.

А теперь попробуй решить такое уравнение  .

Уже все не так просто и гладко, правда? Попробуй перебрать числа, может, что-то и выгорит?

Начнем с самого начала – с нуля:   – не подходит.

Двигаемся дальше  ;   – меньше трех, тоже отметаем.

А что если  ? Проверим:   – тоже не подходит, т.к. это больше трех.

С отрицательными числами получится такая же история.

И что же теперь делать? Неужели перебор нам ничего не дал?

Совсем нет, теперь мы точно знаем, что ответом будет некоторое число между   и  , а также между   и  .

Кроме того, очевидно, что решения не будут целыми числами. Более того, они не являются рациональными.

И что дальше?

Давай построим график функции   и отметим на нем решения.

Нахождение квадратного корня графическим методом

Попробуем обмануть систему и получить ответ с помощью калькулятора! Извлечем корень из  , делов-то!

Ой-ой-ой, выходит, что   Такое число никогда не кончается.

Как же такое запомнить, ведь на экзамене калькулятора не будет!?

Все очень просто, это и не надо запоминать, необходимо помнить (или уметь быстро прикинуть) приблизительное значение.   и   уже сами по себе ответы.

Такие числа называются иррациональными, именно для упрощения записи таких чисел и было введено понятие квадратного корня.


Рассмотрим еще один пример для закрепления. Разберем такую задачку: тебе необходимо пересечь по диагонали квадратное поле со стороной   км, сколько км тебе предстоит пройти?

Иллюстрация к задаче на нахождение квадратного корня

Самое очевидное здесь рассмотреть отдельно треугольник и воспользоваться теоремой Пифагора:  .

Таким образом,  .

Так чему же здесь равно искомое расстояние?

Очевидно, что расстояние не может быть отрицательным, получаем, что  . Корень из двух приблизительно равен  , но, как мы заметили раньше,   -уже является полноценным ответом.

Извлечение корней

Чтобы решение примеров с корнями не вызывало проблем, необходимо их видеть и узнавать.

Для этого необходимо знать, по меньшей мере, квадраты чисел от   до  , а также уметь их распознавать.

То есть, тебе необходимо знать, что   в квадрате равно  , а также, наоборот, что   – это   в квадрате.

Первое время в извлечении корня тебе поможет эта таблица.

Таблица: квадратный корень двузначных чисел

Как только ты прорешаешь достаточное количество примеров, то надобность в ней автоматически отпадет.

Попробуй самостоятельно извлечь квадратный корень в следующих выражениях:

  1.  ;
  2.  ;
  3.  ;
  4.  ;

Ответы:

 


Ну как, получилось? Теперь давай посмотрим такие примеры:

  1.  ;
  2.  ;
  3.  .

Ответы:

 

 Свойства арифметического квадратного корня

Теперь ты знаешь, как извлекать корни и пришло время узнать о свойствах арифметического квадратного корня. Их всего 3:

  • умножение;
  • деление;
  • возведение в степень.

Их ну просто очень легко запомнить с помощью этой таблицы и, конечно же, тренировки:

Свойство Пример

Корень произведения равен произведению корней:

  

 

Корень из дроби - это корень из числителя и корень из знаменателя:

 , если  

 

Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное значение:

 , при  

 

Попробуем решить по несколько примеров на каждое свойство!

Умножение корней

Взглянул еще раз на табличку… И, поехали!

Начнем с простенького:

 

 

 

Минуууточку.   это  , а это значит, что мы можем записать вот так:

 

 

Усвоил? Вот тебе следующий:

 

 

Корни из получившихся чисел ровно не извлекаются? Не беда – вот тебе такие примеры:

 

 

 

А что, если множителей не два, а больше? То же самое! Формула умножения корней работает с любым количеством множителей:

 

 

Теперь полностью самостоятельно:

  1.  
  2.  
  3.  

 

Ответы: Молодец! Согласись, все очень легко, главное знать таблицу умножения!

 

Деление корней

С умножением корней разобрались, теперь приступим к свойству деления.

Напомню, что формула в общем виде выглядит так:

 , если  .

А значит это, что корень из частного равен частному корней.

 

Ну что, давай разбираться на примерах:

 

 

Вот и вся наука. А вот такой пример:

 

Все не так гладко, как в первом примере, но, как видишь, ничего сложного нет.

 

А что, если попадется такое выражение:

 

Надо просто применить формулу в обратном направлении:

 

 

А вот такой примерчик:

 

 

Еще ты можешь встретить такое выражение:

 

 

Все то же самое, только здесь надо вспомнить, как переводить дроби (если не помнишь, загляни в тему дроби и возвращайся!). Вспомнил? Теперь решаем!

 

Уверена, что ты со всем, всем справился, теперь попробуем возводить корни в степени.

 

Возведение в степень

А что же будет, если квадратный корень возвести в квадрат? Все просто, вспомним смысл квадратного корня из числа   – это число, квадратный корень которого равен  .

Так вот, если мы возводим число, квадратный корень которого равен  , в квадрат, то что получаем?

Ну, конечно,  !

Рассмотрим на примерах:

 
 

 

 

Все просто, правда? А если корень будет в другой степени? Ничего страшного!

Придерживайся той же логики и помни свойства и возможные действия со степенями.

Забыл?

Почитай теорию по теме «Степень и ее свойства» и тебе все станет предельно ясно.

Вот, к примеру, такое выражение:

 

В этом примере степень четная, а если она будет нечетная? Опять же, примени свойства степени и разложи все на множители:

 

С этим вроде все ясно, а как извлечь корень из числа в степени? Вот, к примеру, такое:

 

Довольно просто, правда? А если степень больше двух? Следуем той же логике, используя свойства степеней:


 
 

Ну как, все понятно? Тогда реши самостоятельно примеры:

  1.  
  2.  
  3.  

А вот и ответы:

 

Внесение под знак корня

Что мы только не научились делать с корнями! Осталось только потренироваться вносить число под знак корня!

Это совсем легко! 

 

Молодец! У тебя получилось внести число под знак корня! Перейдем к не менее важному – рассмотрим, как сравнивать числа, содержащие квадратный корень!

 

Сравнение корней

Зачем нам учиться сравнивать числа, содержащие квадратный корень?

Очень просто. Часто, в больших и длиииинных выражениях, встречающихся на экзамене, мы получаем иррациональный ответ (помнишь, что это такое? Мы с тобой сегодня об этом уже говорили!)

Полученные ответы нам необходимо расположить на координатной прямой, например, чтобы определить, какой интервал подходит для решения уравнения. И вот здесь возникает загвоздка: калькулятора на экзамене нет, а без него как представить какое число больше, а какое меньше? То-то и оно!

Например, определи, что больше:   или  ?

Сходу и не скажешь. Ну что, воспользуемся разобранным свойством внесения числа под знак корня?

Тогда вперед:

 

Извлечение корней из больших чисел

До этого мы вносили множитель под знак корня, а как его вынести? Надо просто разложить его на множители и извлечь то, что извлекается!

 

Можно было пойти по иному пути и разложить на другие множители:

 

Что дальше? А дальше раскладываем на множители до самого конца:

 

Неплохо, да? Любой из этих подходов верен, решай как тебе удобно.

Разложение на множители очень пригодится при решении таких нестандартных заданий, как вот это:

 

Не пугаемся, а действуем! Разложим каждый множитель под корнем на отдельные множители:

А теперь попробуй самостоятельно (без калькулятора! его на экзамене не будет):

 

Получилось  ? Молодец, все верно!

А теперь попробуй вот такой пример решить:

 

А пример-то – крепкий орешек, так сходу и не разберешься, как к нему подступиться. Но нам он, конечно, по зубам.

 

Подведем итоги

  1. Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа   называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен  .
     .
  2. Если мы просто извлекаем квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат.
  3. Свойства арифметического корня:
    Свойство Пример
    Корень произведения равен произведению корней , если    
    Корень из дроби - это корень из числителя и корень из знаменателя. , если    
    Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное значение , при    
  4. При сравнении квадратных корней необходимо помнить, что чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень.

 

Как тебе квадратный корень? Все понятно?

Мы постарались объяснить тебе без воды все что нужно знать на экзамене про квадратный корень.

Теперь твоя очередь. Напиши нам сложная это для тебя тема или нет.

Узнал ты что-то новое или все было и так ясно.

Пиши в комментариях и удачи на экзаменах!

P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ :)

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.  

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.  

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

  1. Открой  доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - Купить статью - 299 руб
  2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 899 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Удачи!

Комментарии

Люба
13 ноября 2017

спасибо огромное очень помогли

ответить

Александр (админ)
13 ноября 2017

Люба, и тебе спасибо. Очень рады помочь!

ответить

Анна
13 ноября 2017

Спасибо. Я начала понимать алгебру благодаря вашему сайту !

ответить

Александр (админ)
13 ноября 2017

Анна, очень приятно слышать. Особенно нашим преподавателям, которые писали этот учебник Шевчуку Алексею Сергеевичу и Баштовой Елене Евгеньевне. Удачи, тебе на экзаменах.

ответить

Алевтина
15 ноября 2017

я работаю достаточно долго. а работа -ах как мне понравилась! спасибо!

ответить

Александр (админ)
15 ноября 2017

Отлично, Алевтина! Спасибо!

ответить

кыса
15 ноября 2017

шыкарнае обясненее. я сразу всё понила.

ответить

Александр (админ)
15 ноября 2017

СпасЫбо, Кыса! ))

ответить

БезгрАмАдный Оркадий
22 ноября 2017

шЫкарнА длА пАвтАрения перИт кАнтрольнАй))) А если нормально, но действительно годная теория))

ответить

Оликсандэр (админ)
23 ноября 2017

"Паффтарения" пишыца чириc дфа фэ... Спасибо! :))

ответить

Ирина
23 ноября 2017

СПАСИИИИБОО!!!!! 10 лет назад закончила учебу, а сейчас понадобилась математика вновь. Очень доходчиво и легко пишете. Огромное спасибо!

ответить

Александр
23 ноября 2017

Ничего себе! Через 10 лет понадобилась школьная математика? Мы рады, что помогло, Ирина.

ответить

Ксения
23 ноября 2017

Супер! Спасибо !

ответить

Александр (админ)
23 ноября 2017

Ксения, спасибо и тебе! Удачи на экзаменах!

ответить

сара
28 ноября 2017

спасибо...

ответить

Александр (админ)
28 ноября 2017

Пожалуйста, Сара!

ответить

28 ноября 2017

Благодарю:3 Очень помогло! Я не поняла корни на уроке,а тут просто и четко объяснили! Спасибо огромное)

ответить

Александр (админ)
28 ноября 2017

Очень рады, что помогло! Теперь если что не понятно, ты знаешь где искать простое и четкое объяснение :) На youclever )

ответить

Нина
30 ноября 2017

Спасибо огромное!Думала репетитора придётся нанимать.Молодцы всё очень понятно!!!

ответить

Александр (админ)
30 ноября 2017

Пожалуйста, Нина. Очень приятно слышать такую оценку... но если захотите все-таки нанимать репетитора, посмотрите сначала наши курсы на 100gia.ru... Пишите )

ответить

Арсений
01 декабря 2017

Очень помогла теория и тут же закрепила практикой. Спасибо за понятную теорию!

ответить

Александр (админ)
01 декабря 2017

Рады слышать... Пожалуйста... (не знаю как обращаться, Арсений?). А где закрепляла практикой? Здесь же в учебнике? Или где-то еще. Вопрос не праздный... Очень надо знать.

ответить

Илья
08 декабря 2017

Всё очень понятно, но здесь к сожалению нет примеров, с которыми у меня возникают трудности: это когда под корнем ещё один корень( а под ним может быть ещё один, и т.д.).

ответить

Александр (админ)
10 декабря 2017

Илья, замечание принято. К сожалению мы не успеваем учитывать все, но вот какое объяснение я нашел на стороннем ресурсе. Может будет понятно... https://www.youtube.com/watch?v=5rntedrQ7NY

ответить

Алик
10 декабря 2017

Спасибо!За 10 минут я понял всю тему чем за 45 минут урока....

ответить

Александр (админ)
10 декабря 2017

Алик, как приятно слышать! Мы, вся команда, математики, консультанты, администраторы именно этого и добивались, чтобы было понятно за 10 минут. Удачи на экзаменах!)

ответить

Полина
12 декабря 2017

Очень доходчиво! Буду надеяться что сдам конторошку... Кстати не знаю нужно это вам или нет, НО мы сейчас час проходим такие примеры: Под корнем 17 в степени 2 минус 8 в степени 2(это на пример) В общем я думаю вам бы понадобилось и это записать)

ответить

Александр (админ)
12 декабря 2017

Полина, спасибо! Лучики тепла тебе и удачи ни контрошке... Может быть тебе будет интересно... у нас на 100gia.ru есть возможность за небольшие деньги купить "Тренировку по теме". Там по каждой теме много задач, с решениями и ответами моментальными и с объяснениями. Как раз чтобы подготовиться к конкретной контрошке (хорошее слово, кстати) :)

ответить

Алексей Шевчук
20 декабря 2017

Полина, посмотри в теме "Формулы сокращённого умножения" - разность квадратов: https://youclever.org/book/formuly-sokrashhennogo-umnozheniya-1#raznost-kvadratov

ответить

Юлька
19 декабря 2017

А про построение графиков с арифметическими корнями, если они возводятся в квадрат. y=(√x+3)^2+(√5-x)^2 при x>5 корень над всем выражением в скобках

ответить

Алексей Шевчук
21 декабря 2017

Юля, если корень возводится в квадрат, нужно написать ОДЗ и убрать корни вместе с квадратами. Если же это корень из квадрата выражения (то есть квадрат под корнем), то он превращается в модуль выражения.

ответить

Алла
22 декабря 2017

И все же. если в примере стоит корень из 64, то в ответе надо писать 8 или + - 8?

ответить

Игорь
22 декабря 2017

Насколько я понимаю есть две ситуации: 1) x^2=64. и 2) x= √64. В первом случае у нас квадратное уравнение и его решением будет "модуль х =√64" (уже видно отличие от второго случая) и, далее получаем два корня x1 = +8 и х2 = -8 Во втором случае у нас НЕТ квадратного уравнения, просто х равен корню из числа и в этом случае ответ всегда "одно неотрицательное число", то есть 8. (Это из определения корня, см выше)

ответить

Сергей
18 января 2018

Ответьте мне пожалуйста на 1 вопрос. Зачем он нужен этот квадратный корень? Я начинающий программист в школе учился хорошо, сейчас для общего развития решаю задачки со всякими алгоритмами в том числе с квадратным корнем. Чем умнее я становлюсь тем больше убеждаюсь что вся эта муть простому человеку нафиг не нужна ну серьёзно. Чтобы делать сайты не нужно быть математиком, я уже не говорю про гуманитариев, которые даже таблицу умножения могут не помнить уже. Так зачем всё это нужно?

ответить

Александр (админ)
18 января 2018

Хороший вопрос, Сергей ). По мне, так вопрос "Зачем?" самый важный и интересный. В особенности в математике. Ответ есть в нашем тексте. Почитайте внимательно. Математики люди ленивые и потому сообразительные. Чтобы записывать иррациональные числа более простым способом ввели понятие квадратного корня. Вот и все.

ответить

Александр
11 февраля 2018

Здравствуйте! Очень много полезной информации! СПАСИБО! Но я не смог найти информацию про корень в корне, т.е. вот посмотрите пример 5 на этом сайте: http://ru.solverbook.com/primery-reshenij/reshenie-primerov-s-kornyami/

ответить

Александр (админ)
11 февраля 2018

Спасибо, Александр. Про "корень в корне" где-то у нас тоже было. Но спасибо за ссылку. Пусть повисит здесь у нас.

ответить

RedTea01
20 февраля 2018

Админ, спасибо за помощь)))

ответить

Александр (админ)
20 февраля 2018

Всегда рад! :)

ответить

Егор
21 февраля 2018

В школе ничего не понял, зашел на сайт и разобрал темы на 3 урока вперед. Спасибо вам, доходчиво и с подробными объяснениями.

ответить

Александр (админ)
21 февраля 2018

Егор, вот ради таких комментариев мы и работаем. ОЧЕНЬ приятно слышать всей нашей команде!

ответить

Светлана
12 марта 2018

Мне 72 , внучка задала вопрос по возведению в степень корня. Подзабыла. с удовольствием вспомнила. Спасибо з!амечательно

ответить

Александр
12 марта 2018

О как! Светлана, здавствуйте! Очень приятно слышать! Удачи Вашей внучке на экзаменах! )

ответить

Семён
13 мая 2018

А мне 77 лет. С удовольствием заполняю досуг, благо свободного времени хватает. И такое удовольствие получаю. Вот бы так учили в мои школьные годы. Израиль

ответить

Александр (админ)
13 мая 2018

Вот это комментарий!!! Семен, это ОЧЕНЬ приятно слышать. У нас были сомнения о том, как писать учебник: как обычно или "человеческим" языком. Видимо мы нашли правильный способ подачи материала. Спасибо Вам и отличного времяпровождения )

ответить

Александр
14 марта 2018

Ребята Огромное спасибо, я после армии, нужно сдать экзамен)) вы очень помогли!!!

ответить

Александр (админ)
14 марта 2018

Привет, Александр. Приятно слышать. Сам через это проходил: сдавал вступительные экзамены в институт (тогда ЕГЭ не было) после армии. Это очень трудно. Удачи на экзаменах.

ответить

Тати
08 апреля 2018

помогите решить пример

ответить

Тати
09 апреля 2018

(∛2+5-(20√2)/(5+√2))(√2-(20√2)/(5-√2))-√4 помогите решить

ответить

Александр (админ)
04 мая 2018

Тати, прости, мы не помогаем решать примеры. Может быть кто-нибудь из читателей покажет класс? )

ответить

Евгения
04 мая 2018

Спасибо огромное! Всё очень понятно и даже увлекательно) Кажется я начинаю любить математику:З

ответить

Александр (админ)
04 мая 2018

Ого! Евгения, это то, на что даже мы не рассчитывали! :) На самом деле очень приятно... Удачи тебе с математикой. Она не такая и страшная, правда ведь? )

ответить

Шерзод
01 ноября 2018

Добрый день! Есть вопросы?

ответить

Сергей.
05 ноября 2018

Спасибо Вашей программе. Мне 72 , решил помочь внуку и чтобы не выглядеть неучем , вошел в вашу программу освежить немножко то что забыл. Объяснение очень доходчиво . СПАСИБО!

ответить

Александр (админ)
05 ноября 2018

Сергей, спасибо Вам! Очень ценно для нас слышать такие отзывы. Мы старались написать программу так, чтобы люди без подготовки и без знаний математики смогли ее понять. Удачи Вам и Вашему внуку.

ответить

Рам
02 декабря 2018

Вообще клево , инфа не теряет свойств со временем :) Надо глянуть , что у вас тут еще есть по корням и теме , к ним прилежащей !

ответить

Александр (админ)
02 декабря 2018

Спасибо, Рам!

ответить

фрося
24 декабря 2018

два корня из 6 правильный ответ а не 24 24 это коень 4 помножить на корень6 4 делим на 2 получаем 2 корень из 2 корень из 6 либо 6 тк само значение корня равно 2/2

ответить

лол
17 января 2019

Спосыба аграмнае, очинь панятна

ответить

лол
17 января 2019

Спосыба аграмнае, очинь панятна

ответить

Александр (админ)
17 января 2019

Пажылуста ни мение агромнае!

ответить

SpaceJumpsuit
03 февраля 2019

Я уже 2 года учусь только по вашему сайту, ибо школа нормально ничего не объясняет. Снимаю шляпу перед YouClever... Спасибо, спасибо, спасибо.

ответить

Александр (админ)
03 февраля 2019

Вау!!! Вот это да! Очень! Очень приятно!

ответить

Алина
11 февраля 2019

Сайт-офигенный, вот реально, всё понятно, мне оч нравится, спасибо Вам большое от души

ответить

Александр (админ)
11 февраля 2019

Алина, спасибо огромное! Лучики тепла тебе!))

ответить

Генадий
11 февраля 2019

И всё же, из сказанного (К примеру, x2=4x​2​​ =4 не равносильно выражению x=4–x=√4)(вставилось с искажениями), всё равно в итоге приходим к двум значениям корня из положит. числа. Другое дело, что разбирая свойства корней, возникает необходимость преимущественно оперировать только положительным значением корня. А потому и привели их к положит. значению через абсолютную величину. Так, в примере - корень из 64 * из 9 = 8*3=24 оперировать попеременно и с отриц .значениями не получится. Сказанное настоятельно не утверждаю, просто в качестве рассуждения. Всё же как-то трудновато для понимания как бы неприемлемость отриц. значения при извлечении кв. корня из числа. А вот свойства, да, получаются без ограничений только для положительных корней. А потому оперируем только ариффметическими при преобразовании выражений.

ответить

Алексей
11 февраля 2019

Геннадий, это хороший вопрос, который в рамках школьной программы, к сожалению, не разбирается. Вы можете посмотреть ответ на подобный вопрос в этом видео: https://www.youtube.com/watch?v=w9wPMMapKIQ

ответить

Сергей
19 февраля 2019

Ваш сайт единственный который смог достучаться до меня (в плане алгебры).

ответить

Александр (админ)
19 февраля 2019

Это очень... приятно слышать, Сергей. Удачи, на экзамене!

ответить

Викп
20 февраля 2019

Спасибо огромное за теорию. Очень понятно и доходчиво написано, разобрала все за минут 40-50~

ответить

Александр (админ)
20 февраля 2019

Спасибо, Викп! Была бы у меня возможность ставить смайлики, поставил бы довольную рожицу! :)

ответить

Павел
26 февраля 2019

Спасибо большое,все понял...почти. Вы написали что для того что бы вычислить квадратный корень из большого числа нужно разложить его на множители но как например разложить на множители такие крупные числа как 11234 3345 и т.д если таблицы квадратов на экзамене не будет+ очень трудно будет ее запомнить с11по 99)). Есть совет как быстро разложить такие большие числа на множители?

ответить

Александр (админ)
27 февраля 2019

Спасибо, Павел. Если коротко, то нужно знать две вещи: 1) что такое простое число 2) признаки делимости чисел(наизусть) и затем делить большое число на наименьший простой делитель (кроме единицы) без остатка, в столбик, до тех пор пока не останется 1. В вашем примере, используя признаки делимости определяем на какое наименьшее простое число делится 112 343 345. На 2? Нет. На 3? Сумма цифр числа не делится на 3. Значит нет. На 5? Да! Делим на 5 в столбик и получаем 22 468 669.... Опять вспоминаем признаки делимости. На какое наименьшее простое число делится уже новое число? И вот тут интересно...оно не делится без остатка ни на одно простое число. Это мы определяем по признакам делимости. Значит оно само - уже простое число. Мы можем разделить его только на 1 или на само себя. Вот мы и разложили ваше большое число на два множителя: 5 и 22 468 669.... Если я нигде не ошибся )) Ну, думаю, идею вы поняли. Признаки делимости можно посмотреть здесь: https://youclever.org/book/razlozhenie-na-mnozhiteli-2 Их надо выучить назубок.

ответить

Александр (админ)
27 февраля 2019

Павел, вот здесь наглядно очень про то, как раскладывать на множители большие числа: https://ru.wikihow.com/разложить-число-на-множители

ответить

Вадим
10 марта 2019

Ребята, если хотите посмотреть скрытые элементы статьи бесплатно, просто пропишите display: block вместо display: none для класса paymenttoshow через инспектор в вашем браузере. P.S: Лучше прописывать для каждого элемента по отдельности, иначе страница зависает. P.Sx2: Уважаемая администрация и владельцы сайта, можете связаться со мной, я посоветую как исправить данную слабость и надёжнее скрыть эти элементы.

ответить

Александр (админ)
11 марта 2019

Вадим, спасибо за внимательность и найденную дырку - исправим )

ответить

Игорь
17 марта 2019

Спасибо коллективу авторов и участникам проекта! Понятное объяснение на примерах!

ответить

Александр (админ)
17 марта 2019

Приятно слышать, Игорь!

ответить

Ива
18 марта 2019

Здравствуйте! Будьте добры, помогите разделить 1 на корень из 3. Спасибо

ответить

Сергей
27 марта 2019

√​​b​​a​​​​​=​​​​√​b​​​​​​​​√​a​​​​​, если a≥0 , b≥0a≥0 , b≥0. Научились делить на 0 (ноль) ?!!! Круто! :)

ответить

Александр (админ)
27 марта 2019

Нет, не научились еще ) Спасибо, поправили.

ответить

Сергей
27 марта 2019

присвоили ему специальный символ √. Этот символ имеет собственное название - РАДИКАЛ. Хорошие у Вас лекции. Скажите, а в комментах можно пользоваться HTML-кодом? Все-таки на что -то читатель хочет обратить внимание - процитировав, где-то использовать курсив итп

ответить

Александр (админ)
27 марта 2019

К сожалению нет. Но идея хорошая. Может быть прикрутим редактор к коментариям.

ответить

Сергей
15 апреля 2019

Очень жаль, что не читаете комментарий. В тексте написано: "присвоили ему специальный символ √." Было предложено дописать: "присвоили ему специальный символ √(радикал)." Это, что ухудшит текст?

ответить

Александр (админ)
15 апреля 2019

Сергей, я прочитал комментарий, но не понял, что это было предложение ). Не обижайтесь, но я его не принял. Мы старались облегчить тексты для понимания. Если дать сразу все определения слова "радикал" - это не поможет разобраться, наоборот запутает. Ведь тогда надо говорить, что радикал - это еще и значение числа, извлекаемого из квадратного корня, а так же значение выражения извлекаемого из квадратного корня, что это "не тот радикал, что бросает бомбы", ну и так далее. Определение символа добавляет не много смысла, но утяжеляет текст и отвлекает от основного понятия. На мой взгляд учебники математики для школьников этим грешат: даются сразу все определения, причем строгие... Но так никто не учится. В том числе и те, кто пишет эти учебники. Их учили не так. Им в детстве вводили понятия не сразу все, а последовательно и давали возможность встроить понятия в свою картину мира, своими словами. А уж потом давали строгие определения... В общем без обид :)) Я не буду перегружать текст.

ответить

Сергей
15 апреля 2019

<blockquote>прочитал комментарий, но не понял, что это было предложение ).</blockquote> Был бы тег и догадываться не пришлось бы. :) Не обижайтесь, но все последующии доводы в ответе - говорят о том, что вы не в курсе почему у знака радикал две полки ( речь в данном случае не о том, что маленькая для степени, большая для "содержимого") . Речь об истории возникновения данного символа и его фундаментально значения для понимания - ЧИСЛА. Но это тема для отдельной беседы. С уважением.

ответить

Александр (админ)
30 мая 2019

Сергей, спасибо еще раз за предложение сделать html код. Дай бог дойдут руки... Но предложение правда хорошее. По сути предмета - я не математик ) Эти лекции писал не я.

ответить

Даня
30 мая 2019

спасибо за информацию. без нее я бы не написал реферат и не получил бы итоговую

ответить

Александр Кель (админ)
30 мая 2019

Даня! Приятно слышать! Мои поздравления с итоговой оценкой! Так держать! :)

ответить

Anubis
07 июня 2019

Ужасный сайт всё платное плохо всё расписано просто -

ответить

Александр (админ)
12 июня 2019

Anubis, а что конкретно "плохо расписано"? По поводу платности контента. Для меня весь контент сайта платный. Мне пришлось заплатить математикам, которые его писали, довольно приличную сумму. А для пользователей сайта 90% конетнта бесплатно. Вы разве не заметили? За оставшиеся 10% я беру деньги и они идут на поддержание сайта. Кстати, Anubi, не хотите бесплатно поработать над созданием контента или еще над чем-нибудь для сайта? Что вы умеете? Работы много...

ответить

Александр
16 июня 2019

Можете пояснить следующий момент. Вы пишете, что корень из числа имеет 2 варианта ответа (например корень из 4 это +2 и -2) только если решается уровнение\неравенство, а если ПРОСТО извлечь корень из числа то только положительное число. Но получается какая-то несостыковка: при решении иррациональных УРАВНЕНИЙ принимают как подкоренное выражение не должно быть отрицательным, но так и корень >= 0. Вроде и решение уравнения и в тоже время просто извлечение корня и все одновременно. :(

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем тебе доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб,

... или ко всем скрытым задачам во всех 99 статьях учебника - 899 руб.

Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

Хочу помочь YouClever - 299 руб
Хочу помочь YouClever - 899 руб.

Я уже зарегистрирован / оплатил

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть