Модуль числа. Исчерпывающий гид (2020)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Модуль числа и его свойства

Определение:

Модуль (абсолютная величина) числа   - это само число  , если  , и число  , если  :

 

Например:  

Пример:

Упростите выражение  .

Решение:

 

 

 

Основные свойства модуля

Для всех  :

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  

Пример:

Докажите свойство №5.

Доказательство:

Предположим, что существуют такие  , что   Возведем левую и правую части неравенства в квадрат (это можно сделать, т.к. обе части неравенства всегда неотрицательны):

 

а это противоречит определению модуля.

Следовательно, таких   не существует, а значит, при всех   выполняется неравенство  

Примеры для самостоятельного решения:

1) Докажите свойство №6.

2) Упростите выражение  .

Ответы:

1) Воспользуемся свойством №3:  , а поскольку  , тогда

 , ч.т.д.

2)  .

Чтобы упростить, нужно раскрыть модули. А чтобы раскрыть модули, нужно узнать, положительны или отрицательны выражения под модулем?

a. Сравним числа и   и  :

 

 

b. Теперь сравним   и  :

 

 .

Складываем значения модулей:

 

МОДУЛЬ ЧИСЛА. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

В математике, как и в жизни, часто встречаются ситуации, где отрицательные числа не имеют никакого практического смысла: например, мы не можем проехать на машине   километров (мы проедем   километров, неважно, в каком направлении), как и не можем купить   килограммов апельсинов. Эти значения всегда должны быть положительными. Именно поэтому в математике существует специальный термин – модуль.

Что же такое модуль числа?

Представь, что это ты.

Предположим, что ты стоишь на месте и можешь двигаться как вперёд, так и назад. Обозначим точку отправления  .
Модуль числа
Итак, ты делаешь   шага вперёд и оказываешься в точке с координатой  .
Модуль числа 2
Это означает, что ты удалился от места, где стоял на   шага (  единичных отрезка). То есть, расстояние от начала движения до точки, где ты в итоге оказался, равно  .
Но ведь ты же можешь двигаться и назад!
Если от отправной точки с координатой   сделать   шага в обратную сторону, то окажешься в точке с координатой  .
Модуль числа 3
Какое расстояние было пройдено в первом и во втором случае? Конечно же, расстояние, пройденное в первом и во втором случае, будет одинаковым и равным трем, ведь обе точки (  и  ), в которых ты оказался одинаково удалены от точки, из которой было начато движение ( ).
Модуль числа 4
Таким образом, мы приблизились к понятию модуля. Получается, что модуль показывает расстояние от любой точки на координатном отрезке до точки начала координат.
Так, модулем числа   будет  . Модуль числа   также равен  , потому что расстояние не может быть отрицательным!

Модуль – это абсолютная величина

Обозначается модуль просто:

  (  - любое число).

Итак, найдём модуль числа   и  :

 
 

Основные свойства модуля

Вот мы и приблизились к первому свойству модуля: модуль не может быть выражен отрицательным числом.

 

То есть, если   – число положительное, то его модуль будет равен этому же числу.

если   то  .

Если   – отрицательное число, то его модуль равен противоположному числу:

если   то  

А если  ? Ну, конечно! Его модуль также равен  :

если  , то  , или  .

Из этого следует, что модули противоположных чисел равны, то есть:
 
 

А теперь потренируйся:

 
 
 
 
 

Ответы:9;3;16;8;17.

Довольно легко, правда?
А если перед тобой вот такое число:
 

Как быть здесь? Как раскрыть модуль в этом случае? Действуем по тому же сценарию. Сначала определяем знак выражения под знаком модуля, а потом раскрываем модуль:

  • если значение выражения больше нуля, то просто выносим его из-под знака модуля,
  • если же выражение меньше нуля, то выносим его из-под знака модуля, меняя при этом знак, как делали это ранее в примерах.

Ну что, попробуем? Оценим  :

  (Забыл, что такое корень? Бегом повторять!)
Если  , то какой знак имеет  ? Ну конечно,  ! А, значит, знак модуля раскрываем, меняя знак у выражения:
 

Разобрался? Тогда попробуй сам:

 

 

 

 

Ответы:

 

Какими же ещё свойствами обладает модуль?
Во-первых, если нам нужно перемножить числа внутри знака модуля, мы спокойно можем перемножить модули этих чисел. То есть:
 
Выражаясь математическим языком, модуль произведения чисел равен произведению модулей этих чисел.

Например:

 

 

А что, если нам нужно разделить два числа (выражения) под знаком модуля? Да то же, что и с умножением! Разобьем на два отдельных числа (выражения) под знаком модуля:
  при условии, что   (так как на ноль делить нельзя).

Стоит запомнить ещё одно свойство модуля: модуль суммы чисел всегда меньше или равен сумме модулей этих чисел:

 

Почему так? Всё очень просто! Как мы помним, модуль всегда положителен. Но под знаком модуля может находиться любое число: как положительное, так и отрицательное. Допустим, что числа   и   оба положительные. Тогда левое выражение будет равно правому выражению. Рассмотрим на примере:

   

Выражения также равны, если оба числа отрицательны:

    

Если же под знаком модуля одно число отрицательное, а другое положительно, левое выражение всегда окажется меньше правого:

   

или

   

 

Вроде с этим свойством все ясно, рассмотрим еще парочку полезных свойств модуля.
Что если перед нами такое выражение:

 

Что мы можем сделать с этим выражением? Значение x нам неизвестно, но зато мы уже знаем, что  , а значит  . Число   больше нуля, а значит можно просто записать:

 

Вот мы и пришли к другому свойству, которое в общем виде можно представить так:

  при  

А чему равно такое выражение:

 

Итак, нам необходимо определить знак под модулем. А надо ли здесь определять знак? Конечно, нет, если помнишь, что любое число в квадрате всегда больше нуля! Если не помнишь, смотри тему степень и ее свойства. И что же получается? А вот что:

 

Здорово, да? Довольно удобно. А теперь конкретный пример для закрепления:

 

 

Ну, и почему сомнения? Действуем смело!

 

Во всем разобрался? Тогда вперед тренироваться на примерах!

1. Найдите значение выражения  , если  .

2. У каких чисел модуль равен  ?

3. Найдите значение выражений:

а)  

б)  

в)  

г)  .

Если не все пока ясно и есть затруднения в решениях, то давай разбираться:

Решение 1:

Итак, подставим значения   и   в выражение   Получим:

 

Решение 2:

Как мы помним, противоположные числа по модулю равны. Значит, значение модуля, равное   имеют два числа:   и  .

Решение 3:

а)  
б)  
в)  
г)  

Все уловил? Тогда пора перейти к более сложному!

Попробуем упростить выражение  

Решение:

Итак, мы помним, что значение модуля не может быть меньше нуля. Если под знаком модуля число положительное, то мы просто можем отбросить знак: модуль числа будет равен этому числу. Но если под знаком модуля отрицательное число, то значение модуля равно противоположному числу (то есть числу, взятому со знаком «–»).
Для того, чтобы найти модуль любого выражения, для начала нужно выяснить, положительное ли значение оно принимает, или отрицательное.

 . Получается, значение первого выражения под модулем  .

 , следовательно, выражение под знаком модуля отрицательно. Второе выражение под знаком модуля всегда положительно, так как мы складываем два положительных числа.

Итак, значение первого выражения под знаком модуля отрицательно, второго – положительно:
Модуль числа 5
Это значит, раскрывая знак модуля первого выражения, мы должны взять это выражение со знаком «–». Вот так:

 

Во втором случае просто отбросим знак модуля:

 

Упростим данное выражение целиком:

 

МОДУЛЬ ЧИСЛА. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Модуль (абсолютная величина) числа   - это само число  , если  , и число  , если  :

 

Свойства модуля:

  1. Модуль числа есть число неотрицательное:  ;
  2. Модули противоположных чисел равны:  ;
  3. Модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей:  ;
  4. Модуль частного двух чисел равен частному их модулей:  ;
  5. Модуль суммы чисел всегда меньше или равен сумме модулей этих чисел: ;
  6. Постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля:   при  ;
  7. Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа:  .

P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ :)

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.  

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.  

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

  1. Открой  доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - Купить статью - 299 руб
  2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 899 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Удачи!

Комментарии

Виктория
27 мая 2018

Спасибо!

ответить

Александр (админ)
27 мая 2018

Пожалуйста, Виктория!

ответить

Мария
13 ноября 2018

огромное спасибо, многое вспомнила

ответить

александр (админ)
13 ноября 2018

Пожалуйста, Мария!

ответить

Денис
17 февраля 2019

Спасибо большое за эту статью, многое вспомнил))

ответить

Александр (админ)
17 февраля 2019

Денис! Рады слышать! И тебе спасибо! )

ответить

Анастасия
13 мая 2019

Спасибо большое! Очень понятно рассмотрен материал!

ответить

Александр (админ)
13 мая 2019

Пожалуйста, Анастасия! Удачи на экзаменах!

ответить

Иван
25 мая 2019

В самом начале рассматриваются не все случаи выражения ∣​​√5 - 3∣ + ∣√5 + 1∣. Пропущен случай, когда √5 < 0, в этом случае выражение будет иметь вид 2√5 - 2 или 2(√5 - 1), а не 4. ​

ответить

Алексей Шевчук
29 мая 2019

Иван, √5 не может быть меньше нуля, это ведь вполне конкретное число (равное приблизительно 2,24, поэтому мы и пишем, что √5 - 3<0, а √5 + 1>0). И вообще, квадратный корень по определению не может быть отрицательным, какое бы число под ним не стояло.

ответить

Владимир
01 июля 2019

В решении выражения ∣√3−2∣+∣√3+5∣ есть описка. У Вас написано "3.≈1,7", хотя нужно "√3≈1,7" ​​

ответить

Алексей Шевчук
04 июля 2019

Спасибо, Владимир, исправил.

ответить

МАРИЯ
31 июля 2019

Огромное спасибо, очень помогло!

ответить

Александр (админ)
31 июля 2019

Приятно слышать, Мария! Успехов!

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Добрый день!

Закрытые части учебника - только для учеников YouClever.

Оставьте Email и я расскажу вам как им стать и пришлю в качестве бесплатного бонуса доступ к разделу учебника «Базовые темы» (стоимость раздела - 497 руб).

Значимость этого раздела для ЕГЭ - 14 из 100! Он состоит из 15 тем:

  1. НОК и НОД, признаки делимости и методы группировки;
  2. Степень и ее свойства;
  3. 7 волшебных формул сокращенного умножения;
  4. 5 способов разложения многочлена на множители;
  5. Дроби. Рациональные числа. Операции с дробями;
  6. Все о десятичных дробях;
  7. Задачи на проценты. Как найти процент от числа;
  8. Преобразование выражений. Подробная теория;
  9. Сравнение чисел;
  10. Квадратный корень;
  11. Корень и его свойства. Подробная теория с примерами;
  12. Свойства логарифмов и примеры их решений;
  13. Замена переменных;
  14. Модуль числа;
  15. ОДЗ - область допустимых значений.

Оставить Email

Имя

E-mail

Кто Вы?

Класс

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем тебе доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб,

... или ко всем скрытым задачам во всех 99 статьях учебника - 899 руб.

Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

Хочу помочь YouClever - 299 руб
Хочу помочь YouClever - 899 руб.

Я уже зарегистрирован / оплатил

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть