Разложение на множители. Средний уровень.

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Пройди программу подготовки к ОГЭ Пройди программу подготовки к ЕГЭ

Разложение многочлена на множители – тождественное преобразование, превращающее сумму в произведение нескольких множителей – многочленов или одночленов.

Сейчас я проиллюстрирую тебе примеры методов разложения на множители

Разложение на множители. Примеры методов разложения:

1. Вынесение скобки. Примеры.

Помнишь, что такое распределительный закон? Это такое правило:  

Пример:

Разложить многочлен на множители  .

Решение:

 .

Еще пример:

Разложи на множители  .

Решение:

 .

Если слагаемое целиком выносится за скобки, в скобках вместо него остается единица!

 .

2. Формулы сокращенного умножения. Примеры.

Чаще всего используем формулы разность квадратов, разность кубов и сумма кубов. Помнишь эти формулы? Если нет, срочно повтори тему «Формулы сокращенного умножения»!

Пример:

Разложите на множители выражение  .

Решение:

В этом выражении несложно узнать разность кубов:

 

Пример:

Разложите на множители многочлен  .

Решение:

 

3. Метод группировки. Примеры.

Иногда можно поменять слагаемые местами таким образом, чтобы из каждой пары соседних слагаемых можно было выделить один и тот же множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку и исходный многочлен превратится в произведение.

Пример:

Разложите на множители многочлен  .

Решение:

Сгруппируем слагаемые следующим образом:
 .

В первой группе вынесем за скобку общий множитель  , а во второй −  :
 .

Теперь общий множитель   также можно вынести за скобки:
 .

4. Метод выделения полного квадрата. Примеры.

Если многочлен удастся представить в виде разности квадратов двух выражений, останется только применить формулу сокращенного умножения (разность квадратов).

Пример:

Разложите на множители многочлен  .

Решение:

\begin{array}{*{35}{l}}
{{x}^{2}}+6{x}-7=\underbrace{{{x}^{2}}+2\cdot 3\cdot x+9}_{квадрат\ суммы\ {{\left( x+3 \right)}^{2}}}-9-7={{\left( x+3 \right)}^{2}}-16= \\
=\left( x+3+4 \right)\left( x+3-4 \right)=\left( x+7 \right)\left( x-1 \right) \\
\end{array}

Пример:

Разложите на множители многочлен  .

Решение:

\begin{array}{*{35}{l}}
{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}-1=\underbrace{{{x}^{4}}-2\cdot 2\cdot {{x}^{2}}+4}_{квадрат\ разности{{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{2}}}-4-1={{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{2}}-5= \\
=\left( {{x}^{2}}-2+\sqrt{5} \right)\left( {{x}^{2}}-2-\sqrt{5} \right) \\
\end{array}

5. Разложение квадратного трехчлена на множители. Пример.

Квадратный трехчлен – многочлен вида  , где   – неизвестное,  ,    – некоторые числа, причем  .

Значения переменной  , которые обращают квадратный трехчлен в ноль, называются корнями трехчлена. Следовательно, корни трехчлена – это корни квадратного уравнения  .

Если не помнишь, как находить эти корни, читай тему «Квадратные уравнения».

Теорема. 

Если квадратное уравнение   имеет корни  , то его можно записать в виде:  .

Пример:

Разложим на множители квадратный трехчлен:  .

Сначала решим квадратное уравнение:

 

Теперь можно записать разложение данного квадратного трехчлена на множители:  .

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2017 Пройти пробный ОГЭ 2017

Комментарии

alsu
27 января 2018

что делает y в вашем квадратном трехчлене?

ответить

Алексей Шевчук
28 января 2018

Спасибо за замечание, исправил.

ответить

chulanas
04 февраля 2018

выделение полного квадрата . должно быть (x+3-4) (x+3+4) , а не (x+2+4)(x+2−4)

ответить

Алексей Шевчук
03 марта 2018

Спасибо за внимательность

ответить

Гостинец
25 февраля 2018

Вау, я всю тему поняла! Поздравьте меня, подарите подарочки!!!!!!!!!!!!!!!

ответить

Александр (админ)
25 февраля 2018

Ну ты, крута! :)) От нас лучики счастья тебе! Хочешь понять еще лучше? Объясни кому-нибудь, кто не понимает.

ответить

Александр (Адин)
25 февраля 2018

Кстати, Гостинец, понять мало! Нужно обязательно набить руку. Нужно порешать примеры на эту тему. Причем чем быстрее ты это сделаешь, тем лучше закрепиться навык и на экзамене рука не дрогнет )) Возьми учебник и решай. Обязательно! Или можешь у нас вот здесь: https://youclever.org/ege-oge-podgotovka.html. Там все есть для подготовки к экзамену.

ответить

Любава
01 марта 2018

(x ​2 ​​ −1 ​2 ​​ )(x ​2 ​​ +1)мне непонятно это во 2 методе в последнем решении

ответить

Алексей Шевчук
03 марта 2018

Любава, это формула сокращённого умножения разность квадратов. Подробнее здесь: https://youclever.org/book/formuly-sokrashhennogo-umnozheniya-1#raznost-kvadratov

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Хотите открыть все скрытые тексты в учебнике? Приобретите подписку и тексты будут открыты до даты экзамена. Стоимость подписки 499 руб

Купить подписку