Описанная окружность. Начальный уровень.
Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?
Пройти пробный ЕГЭ 2017 Пройти пробный ОГЭ 2017Первый вопрос, который может возникнуть: описанная – вокруг чего?
Ну, вообще-то иногда бывает и вокруг чего угодно, а мы будем рассуждать об окружности, описанной вокруг (иногда ещё говорят «около») треугольника. Что же это такое?
| Описанная окружность – такая окружность, что проходит через все три вершины треугольника, около которого она описана. |
Вот так:
И вот, представь себе, имеет место удивительный факт:
| Вокруг всякого треугольника можно описать окружность. |
Почему этот факт удивительный?
Но ведь треугольники – то бывают разные!
И для всякого найдётся окружность, которая пройдёт через все три вершины, то есть описанная окружность.
Доказательство этого удивительного факта можешь найти в следующих уровнях теории, а здесь заметим только, что если взять, к примеру, четырехугольник, то уже вовсе не для всякого найдётся окружность, проходящая через четыре вершины. Вот, скажем, параллелограмм – отличный четырехугольник, а окружности, проходящей через все его четыре вершины – нет!
А есть только для прямоугольника:
Ну вот, а треугольник всякий и всегда имеет собственную описанную окружность! И даже всегда довольно просто найти центр этой окружности.
| Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам этого треугольника. |
Знаешь ли ты, что такое серединный перпендикуляр?
 |
Это прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная ему.Прямая |
А теперь посмотрим, что получится, если мы рассмотрим целых три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника.
Вот оказывается (и это как раз и нужно доказывать, хотя мы и не будем), что все три перпендикуляра пересекутся в одной точке. Смотри на рисунок – все три серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке
 |
Это и есть центр описанной около (вокруг) треугольника |
Как ты думаешь, всегда ли центр описанной окружности лежит внутри треугольника? Представь себе – вовсе не всегда!
Если треугольник тупоугольный, то центр его описанной окружности лежит снаружи!
Вот так:
А вот если остроугольный, то – внутри:
Что же делать с прямоугольным треугольником?
| В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы. |
 |
Правда, здорово?Если треугольник – прямоугольный, то не надо строить аж три перпендикуляра, а можно просто найти середину гипотенузы – и центр описанной окружности готов! |
Да ещё с дополнительным бонусом:
| в прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы |
Раз уж заговорили о радиусе описанной окружности: чему он равен для произвольного треугольника? И есть ответ на этот вопрос: так называемая теорема синусов.
А именно:
| В произвольном треугольнике: |
Ну и, конечно,
Так что ты теперь всегда сможешь найти и центр , и радиус окружности, описанной вокруг треугольника.То есть чтобы найти радиус описанной окружности, нужно знать одну (!) сторону и один (!) противолежащий ей угол. Хорошая формула? По-моему, просто отличная!
