Описанная окружность (ЕГЭ 2022)

Доказательство теоремы

Теорема. Вокруг всякого треугольника можно описать окружность, при том единственным образом.

Центр этой окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Смотри, вот так:

Давай наберёмся мужества и докажем эту теорему.

Если ты читал уже тему «Биссектриса» разбирался в том, почему же три биссектрисы пересекаются в одной точке, то тебе будет легче, но и если не читал – не переживай: сейчас во всём разберёмся.

Доказательство будем проводить, используя понятие геометрического места точек (ГМТ).

Геометрическое место точек, обладающих свойством «\( \displaystyle X\)» — такое множество точек, что все они обладают свойством «\( \displaystyle X\)» и никакие другие точки этим свойством не обладают.

Ну вот, например, является ли множество мячей – «геометрическим местом» круглых предметов? Нет, конечно, потому что бывают круглые …арбузы.

А является ли множество людей, «геометрическим местом», умеющих говорить? Тоже нет, потому что есть младенцы, которые говорить не умеют.

В жизни вообще сложно найти пример настоящего «геометрического места точек». В геометрии проще. Вот, к примеру, как раз то, что нам нужно:

Серединный перпендикуляр к отрезку является геометрическим местом точек, равноудалённых от концов отрезка.

Тут множество – это серединный перпендикуляр, а свойство «\( \displaystyle X\)» — это «быть равноудаленной (точкой) от концов отрезка».

Проверим? Итак, нужно удостовериться в двух вещах:

• Всякая точка на серединном перпендикуляре находится на одинаковом расстоянии от концов отрезка
• Всякая точка, которая равноудалена от концов отрезка – находится на серединном перпендикуляре к ему

Приступим:

Проверим 1. Пусть точка \( \displaystyle M\) лежит на серединном перпендикуляре к отрезку \( \displaystyle AB\).

Соединим \( \displaystyle M\) с \( \displaystyle A\) и с \( \displaystyle B\).Тогда линия \( \displaystyle MK\) является медианой и высотой в \( \displaystyle \Delta AMB\).

Значит, \( \displaystyle \Delta AMB\) – равнобедренный, \( \displaystyle MA=MB\) – убедились, что любая точка \( \displaystyle M\), лежащая на серединном перпендикуляре, одинаково удалена от точек \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle B\).

Теперь 2. Почти точно так же, но в другую сторону. Пусть точка \( \displaystyle M\) равноудалена от точек \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle B\), то есть \( \displaystyle MA=MB\).

Возьмём \( \displaystyle K\) – середину \( \displaystyle AB\) и соединим \( \displaystyle M\) и \( \displaystyle K\). Получилась медиана \( \displaystyle MK\). Но \( \displaystyle \Delta AMB\) – равнобедренный по условию \( \displaystyle (MA=MB)\Rightarrow MK\) не только медиана, но и высота, то есть – серединный перпендикуляр. Значит, точка \( \displaystyle M\) — точно лежит на серединном перпендикуляре.

Всё! Полностью проверили тот факт, что серединный перпендикуляр к отрезку является геометрическим местом точек, равноудаленных от концов отрезка.

Это все хорошо, но не забыли ли мы об описанной окружности? Вовсе нет, мы как раз подготовили себе «плацдарм для нападения».

Рассмотрим треугольник \( \displaystyle ABC\). Проведём два серединных перпендикуляра \( \displaystyle {{a}_{1}}\) и \( \displaystyle {{a}_{2}}\), скажем, к отрезкам \( \displaystyle AB\) и \( \displaystyle BC\). Они пересекутся в какой-то точке, которую мы назовем \( \displaystyle O\).

А теперь, внимание!

Точка \( \displaystyle O\) лежит на серединном перпендикуляре \( \displaystyle {{a}_{1}}\Rightarrow OA=OB\);
точка \( \displaystyle O\) лежит на серединном перпендикуляре \( \displaystyle {{a}_{2}}\Rightarrow OB=OC\).
И значит, \( \displaystyle OA=OB=OC\) и \( \displaystyle OA=OC\).

Отсюда следует сразу несколько вещей: