Описанная окружность (ЕГЭ 2022)
Первый вопрос, который может возникнуть: описанная – вокруг чего?
Ну, вообще-то иногда бывает и вокруг чего угодно, а мы будем рассуждать об окружности, описанной вокруг (иногда ещё говорят «около») треугольника.
Что же это такое?
Давай разберемся!
Описанная окружность — коротко о главном
Определение
Окружность, описанная около треугольника – это окружность, которая проходит через все три вершины этого треугольника.
![opisannaya okruzhnost treugolnik](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
Центр описанной окружности
Вокруг всякого треугольника можно описать окружность, при том единственным образом.
Центр этой окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
![opisannaya okruzhnost vokrug okolo treugolnika](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
Радиус описанной окружности
\( \displaystyle \frac{a}{\sin \angle A}=\frac{b}{\sin \angle B}=\frac{c}{\sin \angle C}=2R\)![radius opisannoj okruzhnosti 2](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
Обрати внимание: теорема синусов сообщает, что для того чтобы найти радиус описанной окружности, нужна одна сторона (любая!) и противолежащий ей угол.
Расположение центра описанной окружности
В остроугольном треугольнике центр описанной окружности всегда лежит внутри треугольника
![opisannaya okruzhnost tsentr treugolnik 3](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
В тупоугольном треугольнике центр описанной окружности всегда лежит вне треугольника
![opisannaya okruzhnost tsentr treugolnik 4](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, а радиус равен половине гипотенузы.
![opisannaya okruzhnost tsentr treugolnik 5](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
Описанная окружность — подробнее
Определение
Описанная окружность – такая окружность, что проходит через все три вершины треугольника, около которого она описана.
![opisannaya okruzhnost treugolnik](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
Свойства и центр описанной кружности
И вот, представь себе, имеет место удивительный факт:
Вокруг всякого треугольника можно описать окружность.
Почему этот факт удивительный?
Потому что треугольники ведь бывают разные!
![treugolniki raznye](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
И для всякого найдётся окружность, которая пройдёт через все три вершины, то есть описанная окружность.
Доказательство этого удивительного факта мы приведем чуть позже, а здесь заметим только, что если взять, к примеру, четырехугольник, то уже вовсе не для всякого найдётся окружность, проходящая через четыре вершины.
Вот, скажем, параллелограмм – отличный четырехугольник, а окружности, проходящей через все его четыре вершины – нет!
![opisannaya okruzhnost chetyrehugolnik](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
А есть только для прямоугольника:
![opisannaya okruzhnost pryamougolnik](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
Подробнее об этом смотри в статье о вписанных четырехугольниках!
Ну вот, а треугольник всякий и всегда имеет собственную описанную окружность! И даже всегда довольно просто найти центр этой окружности.
Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам этого треугольника.
Знаешь ли ты, что такое серединный перпендикуляр?
Серединный перпендикуляр — это прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная ему.
Прямая \( \displaystyle a\) – это серединный перпендикуляр к отрезку \( \displaystyle AB\).
![seredinnyj perpendikulyar](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
А теперь посмотрим, что получится, если мы рассмотрим целых три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника.
Вот оказывается (и это как раз и нужно доказывать, хотя мы и не будем), что все три перпендикуляра пересекутся в одной точке. Смотри на рисунок – все три серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке \( \displaystyle O\).
Это и есть центр описанной около (вокруг) треугольника \( \displaystyle ABC\) окружности.
![tsentr opisannoj okruzhnosti 1](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
Как ты думаешь, всегда ли центр описанной окружности лежит внутри треугольника? Представь себе – вовсе не всегда!
Если треугольник тупоугольный, то центр его описанной окружности лежит снаружи!
Вот так:
![tsentr opisannoj okruzhnosti 2](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
А вот если остроугольный, то внутри:
![tsentr opisannoj okruzhnosti 3](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
Что же делать с прямоугольным треугольником?
В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.
Здорово, правда?
Если треугольник – прямоугольный, то не надо строить аж три перпендикуляра, а можно просто найти середину гипотенузы – и центр описанной окружности готов!
![tsentr opisannoj okruzhnosti 4](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
Да ещё с дополнительным бонусом:
В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.
Раз уж заговорили о радиусе описанной окружности: чему он равен для произвольного треугольника? И есть ответ на этот вопрос: так называемая теорема синусов.
А именно:
![radius opisannoj okruzhnosti](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
В произвольном треугольнике:
\( \Large \displaystyle \frac{a}{\sin \angle A}=2R\)
Ну и, конечно,
\( \displaystyle \begin{array}{l}\frac{b}{\sin \angle B}=2R\\\frac{c}{\sin \angle C}=2R\end{array}\)
Так что ты теперь всегда сможешь найти и центр , и радиус окружности, описанной вокруг треугольника.
То есть чтобы найти радиус описанной окружности, нужно знать одну (!) сторону и один (!) противолежащий ей угол.
Хорошая формула? По-моему, просто отличная!
Доказательство теоремы
Теорема. Вокруг всякого треугольника можно описать окружность, при том единственным образом.
Центр этой окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Смотри, вот так:
![opisannaya okruzhnost vokrug okolo treugolnika](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
Давай наберёмся мужества и докажем эту теорему.
Если ты читал уже тему «Биссектриса» разбирался в том, почему же три биссектрисы пересекаются в одной точке, то тебе будет легче, но и если не читал – не переживай: сейчас во всём разберёмся.
Доказательство будем проводить, используя понятие геометрического места точек (ГМТ).
Геометрическое место точек, обладающих свойством «\( \displaystyle X\)» — такое множество точек, что все они обладают свойством «\( \displaystyle X\)» и никакие другие точки этим свойством не обладают.
Ну вот, например, является ли множество мячей – «геометрическим местом» круглых предметов? Нет, конечно, потому что бывают круглые …арбузы.
А является ли множество людей, «геометрическим местом», умеющих говорить? Тоже нет, потому что есть младенцы, которые говорить не умеют.
В жизни вообще сложно найти пример настоящего «геометрического места точек». В геометрии проще. Вот, к примеру, как раз то, что нам нужно:
Серединный перпендикуляр к отрезку является геометрическим местом точек, равноудалённых от концов отрезка.
Тут множество – это серединный перпендикуляр, а свойство «\( \displaystyle X\)» — это «быть равноудаленной (точкой) от концов отрезка».
Проверим? Итак, нужно удостовериться в двух вещах:
- Всякая точка на серединном перпендикуляре находится на одинаковом расстоянии от концов отрезка
- Всякая точка, которая равноудалена от концов отрезка – находится на серединном перпендикуляре к ему
Приступим:
Проверим 1. Пусть точка \( \displaystyle M\) лежит на серединном перпендикуляре к отрезку \( \displaystyle AB\).
![treugolnik seredinnyj perpendikulyar](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
Соединим \( \displaystyle M\) с \( \displaystyle A\) и с \( \displaystyle B\).Тогда линия \( \displaystyle MK\) является медианой и высотой в \( \displaystyle \Delta AMB\).
Значит, \( \displaystyle \Delta AMB\) – равнобедренный, \( \displaystyle MA=MB\) – убедились, что любая точка \( \displaystyle M\), лежащая на серединном перпендикуляре, одинаково удалена от точек \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle B\).
Теперь 2. Почти точно так же, но в другую сторону. Пусть точка \( \displaystyle M\) равноудалена от точек \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle B\), то есть \( \displaystyle MA=MB\).
![treugolniki](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
Возьмём \( \displaystyle K\) – середину \( \displaystyle AB\) и соединим \( \displaystyle M\) и \( \displaystyle K\). Получилась медиана \( \displaystyle MK\). Но \( \displaystyle \Delta AMB\) – равнобедренный по условию \( \displaystyle (MA=MB)\Rightarrow MK\) не только медиана, но и высота, то есть – серединный перпендикуляр. Значит, точка \( \displaystyle M\) — точно лежит на серединном перпендикуляре.
Всё! Полностью проверили тот факт, что серединный перпендикуляр к отрезку является геометрическим местом точек, равноудаленных от концов отрезка.
Это все хорошо, но не забыли ли мы об описанной окружности? Вовсе нет, мы как раз подготовили себе «плацдарм для нападения».
![opisannaya okruzhnost tsentr treugolnik](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
Рассмотрим треугольник \( \displaystyle ABC\). Проведём два серединных перпендикуляра \( \displaystyle {{a}_{1}}\) и \( \displaystyle {{a}_{2}}\), скажем, к отрезкам \( \displaystyle AB\) и \( \displaystyle BC\). Они пересекутся в какой-то точке, которую мы назовем \( \displaystyle O\).
А теперь, внимание!
Точка \( \displaystyle O\) лежит на серединном перпендикуляре \( \displaystyle {{a}_{1}}\Rightarrow OA=OB\);
точка \( \displaystyle O\) лежит на серединном перпендикуляре \( \displaystyle {{a}_{2}}\Rightarrow OB=OC\).
И значит, \( \displaystyle OA=OB=OC\) и \( \displaystyle OA=OC\).
Отсюда следует сразу несколько вещей:
Радиус описанной окружности
А если в задаче стоит вопрос «найдите радиус описанной окружности»? Или наоборот, радиус дан, а требуется найти что – то другое? Есть ли формула, связывающая радиус описанной окружность с другими элементами треугольника?
Есть, конечно! И эта формула называется «Теорема синусов» (доказательство смотри именно в этой теме).
\( \displaystyle \frac{a}{\sin \angle A}=\frac{b}{\sin \angle B}=\frac{c}{\sin \angle C}=2R\)![opisannaya okruzhnost treugolnik radius](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
То есть:
\( \large\displaystyle \frac{\text{a}}{\sin \angle \text{A}}=2\text{R}\) и\( \large\displaystyle \frac{\text{b}}{\sin \angle \text{B}}=2\text{R}\) и\( \large\displaystyle \frac{\text{c}}{\sin \angle \text{C}}=2\text{R}\).
Обрати внимание: теорема синусов сообщает, что для того чтобы найти радиус описанной окружности, тебе нужна одна сторона (любая!) и противолежащий ей угол.
И всё!
Расположение центра описанной окружности
А теперь вопрос: может ли центр описанной окружности лежать снаружи треугольника.
Ответ: ещё как может. Более того, так всегда бывает в тупоугольном треугольнике.
И вообще:
В остроугольном треугольнике центр описанной окружности всегда лежит внутри треугольника.
![opisannaya okruzhnost tsentr treugolnik 3](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
В тупоугольном треугольнике центр описанной окружности всегда лежит вне треугольника.
![opisannaya okruzhnost tsentr treugolnik 4](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, а радиус равен половине гипотенузы.
![opisannaya okruzhnost tsentr treugolnik 5](https://youclever.org/wp-content/plugins/gumlet/assets/images/pixel.png)
Бонусы: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике
ЕГЭ 6. Описанная окружность. Многоугольники
Вы этом видео вы узнаете, что такое описанная окружность, где находится её центр, и другие свойства.
Около каких фигур можно, а вокруг каких нельзя описать окружность.
Также мы узнаем, что такое правильные многоугольники, и какие у них свойства; как они связаны с описанной окружностью.
Научимся решать задачи из ЕГЭ на описанную окружность и правильные многоугольники.
ЕГЭ 6. Вписанная окружность
В этом видео мы узнаем, что такое вписанная окружность, где находится её центр, и другие свойства.
В какие фигуры можно, а в какие нельзя вписать окружность. Научимся решать задачи на вписанную окружность.
Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+
Сдай ЕГЭ на 90+ с автором этого учебника
Алексей Шевчук — учитель с 20-летним стажем
математика, информатика, физика
Запишитесь на занятия:
+7 (905) 541-39-06
alexei.shevchuk@youclever.org
Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:
ElPrg
29 октября 2019
Очень полноценно! Спасибо!
Александр (админ)
29 октября 2019
Спасибо и вам, ElPrg (что бы это имя ни значило 🙂
Ольга
28 ноября 2019
Спасибо! Очень понятно и доходчиво изложили материал. Есть еще на свете смысловики!!!
Александр (админ)
28 ноября 2019
Как хорошо вы нас называли! «Смысловики!». Спасибо.
Александр
19 декабря 2019
Доступно и понятно! Спасибо автору!
Александр (админ)
19 декабря 2019
Спасибо, тезка!