24 июля

1 comments

Описанная окружность. Визуальный гид (ЕГЭ – 2021)

Первый вопрос, который может возникнуть: описанная – вокруг чего?

Ну, вообще-то иногда бывает и вокруг чего угодно, а мы будем рассуждать об окружности, описанной вокруг (иногда ещё говорят «около») треугольника.

Что же это такое?

Читай статью и все поймешь!

НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Определение

Описанная окружность – такая окружность, что проходит через все три вершины треугольника, около которого она описана.

Вот так:

Свойства и центр описанной кружности

И вот, представь себе, имеет место удивительный факт:

Вокруг всякого треугольника можно описать окружность.

Почему этот факт удивительный?

Но ведь треугольники-то бывают разные!

И для всякого найдётся окружность, которая пройдёт через все три вершины, то есть описанная окружность.

Доказательство этого удивительного факта можешь найти в следующих уровнях теории, а здесь заметим только, что если взять, к примеру, четырехугольник, то уже вовсе не для всякого найдётся окружность, проходящая через четыре вершины.

Вот, скажем, параллелограмм – отличный четырехугольник, а окружности, проходящей через все его четыре вершины – нет!

А есть только для прямоугольника:

Подробнее об этом смотри в статье о вписанных четырехугольниках!

Ну вот, а треугольник всякий и всегда имеет собственную описанную окружность! И даже всегда довольно просто найти центр этой окружности.

Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам этого треугольника.

Знаешь ли ты, что такое серединный перпендикуляр?

Это прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная ему.

Прямая \( \displaystyle a\) – это серединный перпендикуляр к отрезку \( \displaystyle AB\).

А теперь посмотрим, что получится, если мы рассмотрим целых три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника.

Вот оказывается (и это как раз и нужно доказывать, хотя мы и не будем), что все три перпендикуляра пересекутся в одной точке. Смотри на рисунок – все три серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке \( \displaystyle O\).

Это и есть центр описанной около (вокруг) треугольника \( \displaystyle ABC\) окружности.

Как ты думаешь, всегда ли центр описанной окружности лежит внутри треугольника? Представь себе – вовсе не всегда!

Если треугольник тупоугольный, то центр его описанной окружности лежит снаружи!

Вот так:

А вот если остроугольный, то внутри:

Что же делать с прямоугольным треугольником?

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.

Здорово, правда? Если треугольник – прямоугольный, то не надо строить аж три перпендикуляра, а можно просто найти середину гипотенузы – и центр описанной окружности готов!

Да ещё с дополнительным бонусом:

в прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы

Раз уж заговорили о радиусе описанной окружности: чему он равен для произвольного треугольника? И есть ответ на этот вопрос: так называемая теорема синусов.

А именно:

В произвольном треугольнике:
\( \Large \displaystyle \frac{a}{\sin \angle A}=2R\)

Ну и, конечно,

\( \displaystyle \begin{array}{l}\frac{b}{\sin \angle B}=2R\\\frac{c}{\sin \angle C}=2R\end{array}\)

Так что ты теперь всегда сможешь найти и центр , и радиус окружности, описанной вокруг треугольника.То есть чтобы найти радиус описанной окружности, нужно знать одну (!) сторону и один (!) противолежащий ей угол. Хорошая формула? По-моему, просто отличная!

СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

В этой части мы обсудим окружность, описанную вокруг (часто говорят «около») треугольника. Прежде всего дадим определение.

Окружность, описанная около треугольника, – такая окружность, что происходит через все три вершины этого треугольника.

Существование и центр описанной окружности

Тут возникает вопрос: а для всякого ли треугольника существует такая окружность? Вот оказывается, что да, для всякого. И более того, мы сейчас сформулируем теорему, которая ещё и отвечает на вопрос, где же находится центр описанной окружности.

Теорема. Вокруг всякого треугольника можно описать окружность, при том единственным образом.

Центр этой окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Смотри, вот так:

Давай наберёмся мужества и докажем эту теорему. Если ты читал уже тему «Биссектриса» разбирался в том, почему же три биссектрисы пересекаются в одной точке, то тебе будет легче, но и если не читал – не переживай: сейчас во всём разберёмся.

Доказательство будем проводить, используя понятие геометрического места точек (ГМТ).

Геометрическое место точек, обладающих свойством «\( \displaystyle X\)» - такое множество точек, что все они обладают свойством «\( \displaystyle X\)» и никакие другие точки этим свойством не обладают.

Ну вот, например, является ли множество мячей – «геометрическим местом» круглых предметов? Нет, конечно, потому что бывают круглые …арбузы. А является ли множество людей, «геометрическим местом», умеющих говорить? Тоже нет, потому что есть младенцы, которые говорить не умеют. В жизни вообще сложно найти пример настоящего «геометрического места точек». В геометрии проще. Вот, к примеру, как раз то, что нам нужно:

Серединный перпендикуляр к отрезку является геометрическим местом точек, равноудалённых от концов отрезка.

Тут множество – это серединный перпендикуляр, а свойство «\( \displaystyle X\)» - это «быть равноудаленной (точкой) от концов отрезка».

Проверим? Итак, нужно удостовериться в двух вещах:

  1. 1
    Всякая точка на серединном перпендикуляре находится на одинаковом расстоянии от концов отрезка
  2. 2
    Всякая точка, которая равноудалена от концов отрезка – находится на серединном перпендикуляре к ему

Проверим 1. Пусть точка \( \displaystyle M\) лежит на серединном перпендикуляре к отрезку \( \displaystyle AB\).

Соединим \( \displaystyle M\) с \( \displaystyle A\) и с \( \displaystyle B\).Тогда линия \( \displaystyle MK\) является медианой и высотой в \( \displaystyle \Delta AMB\). Значит, \( \displaystyle \Delta AMB\) – равнобедренный, \( \displaystyle MA=MB\) – убедились, что любая точка \( \displaystyle M\), лежащая на серединном перпендикуляре, одинаково удалена от точек \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle B\).

Теперь 2. Почти точно так же, но в другую сторону. Пусть точка \( \displaystyle M\) равноудалена от точек \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle B\), то есть \( \displaystyle MA=MB\).

Возьмём \( \displaystyle K\) – середину \( \displaystyle AB\) и соединим \( \displaystyle M\) и \( \displaystyle K\). Получилась медиана \( \displaystyle MK\). Но \( \displaystyle \Delta AMB\) – равнобедренный по условию \( \displaystyle (MA=MB)\Rightarrow MK\) не только медиана, но и высота, то есть – серединный перпендикуляр. Значит, точка \( \displaystyle M\) - точно лежит на серединном перпендикуляре.

Всё! Полностью проверили тот факт, что серединный перпендикуляр к отрезку является геометрическим местом точек, равноудаленных от концов отрезка.

Это все хорошо, но не забыли ли мы об описанной окружности? Вовсе нет, мы как раз подготовили себе «плацдарм для нападения».

Рассмотрим треугольник \( \displaystyle ABC\). Проведём два серединных перпендикуляра \( \displaystyle {{a}_{1}}\) и \( \displaystyle {{a}_{2}}\), скажем, к отрезкам \( \displaystyle AB\) и \( \displaystyle BC\). Они пересекутся в какой-то точке, которую мы назовем \( \displaystyle O\).

А теперь, внимание!

Точка \( \displaystyle O\) лежит на серединном перпендикуляре \( \displaystyle {{a}_{1}}\Rightarrow OA=OB\);
точка \( \displaystyle O\) лежит на серединном перпендикуляре \( \displaystyle {{a}_{2}}\Rightarrow OB=OC\).
И значит, \( \displaystyle OA=OB=OC\) и \( \displaystyle OA=OC\).

Отсюда следует сразу несколько вещей:

Во-первых, \( \displaystyle OA=OC\Rightarrow \) точка \( \displaystyle O\) обязана лежать на третьем серединном перпендикуляре, к отрезку \( \displaystyle AC\).

То есть серединный перпендикуляр \( \displaystyle {{a}_{3}}\) тоже обязан пройти через точку \( \displaystyle O\), и \( \displaystyle \Rightarrow \) все три серединных перпендикуляра пересеклись в одной точке.

Во-вторых, \( \displaystyle OA=OB=OC\Rightarrow \), если мы проведём окружность с центром в точке \( \displaystyle O\) и радиусом \( \displaystyle OA\), то эта окружность также пройдёт и через точку \( \displaystyle B\), и через точку \( \displaystyle C\), то есть будет описанной окружностью \( \displaystyle \Delta ABC\). Значит, уже есть, что пересечение трёх серединных перпендикуляров – центр описанной окружности для любого треугольника.

И последнее: о единственности. Ясно (почти), что точку \( \displaystyle O\) можно получить единственным образом, поэтому и окружность – единственная. Ну, а «почти» – оставим на твоё размышление. Вот и доказали теорему. Можно кричать «Ура!».

Радиус описанной окружности

А если в задаче стоит вопрос «найдите радиус описанной окружности»? Или наоборот, радиус дан, а требуется найти что – то другое? Есть ли формула, связывающая радиус описанной окружность с другими элементами треугольника?

Есть, конечно! И эта формула называется «Теорема синусов» (доказательство смотри именно в этой теме).

\( \displaystyle \frac{a}{\sin \angle A}=\frac{b}{\sin \angle B}=\frac{c}{\sin \angle C}=2R\)

То есть:

\( \large\displaystyle \frac{\text{a}}{\sin \angle \text{A}}=2\text{R}\) и

\( \large\displaystyle \frac{\text{b}}{\sin \angle \text{B}}=2\text{R}\) и

\( \large\displaystyle \frac{\text{c}}{\sin \angle \text{C}}=2\text{R}\).

Обрати внимание: теорема синусов сообщает, что для того чтобы найти радиус описанной окружности, тебе нужна одна сторона (любая!) и противолежащий ей угол. И всё!

Центр окружности – внутри или снаружи

А теперь вопрос: может ли центр описанной окружности лежать снаружи треугольника.
Ответ: ещё как может. Более того, так всегда бывает в тупоугольном треугольнике.

И вообще:

В остроугольном треугольнике центр описанной окружности всегда лежит внутри треугольника.

В тупоугольном треугольнике центр описанной окружности всегда лежит вне треугольника.

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, а радиус равен половине гипотенузы.

Окружность, описанная около треугольника – это окружность, которая проходит через все три вершины этого треугольника.

  • Вокруг всякого треугольника можно описать окружность.

Существование и центр описанной окружности

  • Вокруг всякого треугольника можно описать окружность, при том единственным образом.
  • Центр этой окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Радиус описанной окружности

  • \( \displaystyle \frac{a}{\sin \angle A}=\frac{b}{\sin \angle B}=\frac{c}{\sin \angle C}=2R\)

Обрати внимание: теорема синусов сообщает, что для того чтобы найти радиус описанной окружности, нужна одна сторона (любая!) и противолежащий ей угол.

Центр окружности – внутри или снаружи

  • В остроугольном треугольнике центр описанной окружности всегда лежит внутри треугольника
  • В тупоугольном треугольнике центр описанной окружности всегда лежит вне треугольника
  • В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, а радиус равен половине гипотенузы.

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

А сейчас дело для тебя...

Тебе не раз придется столкнуться с описанной окружностью при решении задач. Возможно, о ней даже не будет сказано в условии. А она есть 🙂

Теперь ты знаешь о ней многое!

А мы хотим узнать твое мнение о статье. Напиши его в комментариях ниже!

Помогла ли тебе эта статья? Чувствуешь себя увереннее?

А еще можешь задать вопросы, если они есть. И мы ответим!

Успехов!

  • Александр Кель:

    Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

    ElPrg
    29 октября 2019
    Очень полноценно! Спасибо!

    Александр (админ)
    29 октября 2019
    Спасибо и вам, ElPrg (что бы это имя ни значило 🙂

    Ольга
    28 ноября 2019
    Спасибо! Очень понятно и доходчиво изложили материал. Есть еще на свете смысловики!!!

    Александр (админ)
    28 ноября 2019
    Как хорошо вы нас называли! «Смысловики!». Спасибо.

    Александр
    19 декабря 2019
    Доступно и понятно! Спасибо автору!

    Александр (админ)
    19 декабря 2019
    Спасибо, тезка!

  • {"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
    >