Коротко о главном Начальный уровень

Площади круга и его частей. Коротко о главном.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2017 Пройти пробный ОГЭ 2017

Основные формулы:

  • Площадь круга:
     
  • Площадь сектора:
     , где:   - величина угла сектора в радианах.
  • Площадь сегмента:
     

Правило нахождения нестандартной части круга:

  • непонятную фигуру нужно разделить на несколько стандартных (сектор, сегмент, треугольник и т.д.), потом посчитать площадь каждой стандартной фигуры и сложить все площади.

Круг

площадь круга  ,
  - радиус,
  - число  

Производит впечатление? Представляешь, сколько времени математики думали, пока не додумались, что

Радиус круга площадь круга радиуса   ровно (!) в   раз больше площади квадрата со стороной  .

Ну вот, а теперь площадь части круга.

Сектор

Смотри на картинку, это такая «хорошая» часть круга.

площадь сектор круга  , где:
  - величина угла сектора в радианах (т.е. в числах     и т.д.)

Подробнее о радианах смотри в теме «Окружность. Вписанный угол».

Сегмент

А это «плохая» часть круга – опять смотри на картинку:

площадь сегмента круга  

И даже не старайся запомнить ничего другого, хотя, конечно, можно написать сразу формулу

 ,

но это и есть  

Площадь других частей круга

Иногда бывает, что нужно посчитать площадь какой-нибудь странной части круга. Эта часть может не быть ни сектором, ни сегментом. Как тогда быть?

Давай рассмотрим два примера.

Пример 1

Окружности радиусов   и   пересекаются по хорде, равной  .

Найти площадь общей части кругов.

Площадь общей части кругов

Решение

Обрати внимание, что общая часть кругов состоит из двух сегментов: красного и голубого.

Найдем площадь голубого сегмента.

Для этого нужно посмотреть на окружность с центром  .

  - правильный  .

Значит,

 

(это по формуле   ).

Если не помнишь, как считается площадь правильного треугольника, загляни в тему «Равносторонний треугольник».

Итак,  

 

Равносторонний треугольник  
 
 

А вот найти   уже сложнее. Придется применять теорему косинусов!

 

 

 

Подставляем:

 

И теперь

 

Пример 2

На стороне   треугольника   как на диаметре построена окружность.

Найти площадь общей части треугольника и круга, если  ,  ,  .

задача на площадь круга и частей треугольника

Решение

Проведем  .

Опять наша непонятная фигура разделилась на две стандартные:

Сектор   и  .

 , значит  

(смотри тему «Окружность. Вписанный угол»)

 

Нужно найти  

Треугольник AOD  
 

И значит,

 .

Это и есть ответ.

Что же общего в этих двух примерах, и есть ли общее правило?

Есть! И оно гласит:

Непонятную фигуру нужно разделить на несколько стандартных, таких как сектор, сегмент, треугольник и т.д., потом посчитать площадь каждой стандартной фигуры и сложить все площади.

Комментарии

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем для тебя ВСЕ скрытые примеры учебника до конца учебного года.

Всего 299 руб...

Но твоя помощь бесценна! :)  

Спасибо!

Я хочу помочь YouClever!

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть