Площадь круга и его частей. Визуальный гид (2020)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Круг

площадь круга  ,
  - радиус,
  - число  

Производит впечатление? Представляешь, сколько времени математики думали, пока не додумались, что

Радиус круга площадь круга радиуса   ровно (!) в   раз больше площади квадрата со стороной  .

Ну вот, а теперь площадь части круга.

Сектор

Смотри на картинку, это такая «хорошая» часть круга.

площадь сектор круга  , где:
  - величина угла сектора в радианах (т.е. в числах     и т.д.)

Подробнее о радианах смотри в теме «Окружность. Вписанный угол».

Сегмент

А это «плохая» часть круга – опять смотри на картинку:

площадь сегмента круга  

И даже не старайся запомнить ничего другого, хотя, конечно, можно написать сразу формулу

 ,

но это и есть  

Площадь других частей круга

Иногда бывает, что нужно посчитать площадь какой-нибудь странной части круга. Эта часть может не быть ни сектором, ни сегментом. Как тогда быть?

Давай рассмотрим два примера.

Пример 1

Окружности радиусов   и   пересекаются по хорде, равной  .

Найти площадь общей части кругов.

Площадь общей части кругов

Решение

Обрати внимание, что общая часть кругов состоит из двух сегментов: красного и голубого.

Найдем площадь голубого сегмента.

Для этого нужно посмотреть на окружность с центром  .

  - правильный  .

Значит,

 

(это по формуле   ).

Если не помнишь, как считается площадь правильного треугольника, загляни в тему «Равносторонний треугольник».

Итак,  

 

Равносторонний треугольник  
 
 

А вот найти   уже сложнее. Придется применять теорему косинусов!

 

 

 

Подставляем:

 

И теперь

 

Пример 2

На стороне   треугольника   как на диаметре построена окружность.

Найти площадь общей части треугольника и круга, если  ,  ,  .

задача на площадь круга и частей треугольника

Решение

Проведем  .

Опять наша непонятная фигура разделилась на две стандартные:

Сектор   и  .

 , значит  

(смотри тему «Окружность. Вписанный угол»)

 

Нужно найти  

Треугольник AOD  
 

И значит,

 .

Это и есть ответ.

Что же общего в этих двух примерах, и есть ли общее правило?

Есть! И оно гласит:

Непонятную фигуру нужно разделить на несколько стандартных, таких как сектор, сегмент, треугольник и т.д., потом посчитать площадь каждой стандартной фигуры и сложить все площади.

 

ПЛОЩАДЬ КРУГА И ЕГО ЧАСТЕЙ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Основные формулы:

  • Площадь круга:
     
  • Площадь сектора:
     , где:   - величина угла сектора в радианах.
  • Площадь сегмента:
     

Правило нахождения нестандартной части круга:

  • непонятную фигуру нужно разделить на несколько стандартных (сектор, сегмент, треугольник и т.д.), потом посчитать площадь каждой стандартной фигуры и сложить все площади.

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER

Получить доступ к учебнику YouClever без ограничений можно кликнув по этой ссылке:

 ПОЛУЧИТЬ ДОСТУП К УЧЕБНИКУ YOUCLEVER!

 

 

 

Комментарии

Сережа
07 апреля 2019

Как рассчитать площадь треугольника с криволинейной (выпуклой.дугой)гипотенузой? Размеры катетов и дуги известны.

ответить

Алексей Шевчук
04 сентября 2019

Сережа, проведи прямую гипотенузу, таким образом ты разобьёшь фигуру на 2 части. Вычисли площадь каждой из них, потом сложи.

ответить

Александр
30 августа 2019

"π - число ≈ 3,1428". Ребята, поправьте.

ответить

Алексей Шевчук
04 сентября 2019

Спасибо, Александр

ответить

Роберт
23 ноября 2019

Как найти площадь усеченной полу окружности?

ответить

Алексей Шевчук
24 ноября 2019

Роберт, разрежьте её на два сектора и треугольник, посчитайте площадь каждой части, потом сложите.

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Привет!

2/3 статьи, а также разбор задач доступны только ученикам YouClever.

Если вы хотите им стать, пройдите по ссылке и ознакомьтесь с условиями.

Или оставьте Email и получите доступ к 5-ти статьям учебника бесплатно.

Удачи,
Александр Кель

Оставить Email

Имя

E-mail

Кто Вы?

Класс

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем тебе доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб,

... или ко всем скрытым задачам во всех 99 статьях учебника - 899 руб.

Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

Хочу помочь YouClever - 299 руб
Хочу помочь YouClever - 899 руб.

Я уже зарегистрирован / оплатил

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть