Площадь круга и его частей. Визуальный гид (2019)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Круг

площадь круга  ,
  - радиус,
  - число  

Производит впечатление? Представляешь, сколько времени математики думали, пока не додумались, что

Радиус круга площадь круга радиуса   ровно (!) в   раз больше площади квадрата со стороной  .

Ну вот, а теперь площадь части круга.

Сектор

Смотри на картинку, это такая «хорошая» часть круга.

площадь сектор круга  , где:
  - величина угла сектора в радианах (т.е. в числах     и т.д.)

Подробнее о радианах смотри в теме «Окружность. Вписанный угол».

Сегмент

А это «плохая» часть круга – опять смотри на картинку:

площадь сегмента круга  

И даже не старайся запомнить ничего другого, хотя, конечно, можно написать сразу формулу

 ,

но это и есть  

Площадь других частей круга

Иногда бывает, что нужно посчитать площадь какой-нибудь странной части круга. Эта часть может не быть ни сектором, ни сегментом. Как тогда быть?

Давай рассмотрим два примера.

Пример 1

Окружности радиусов   и   пересекаются по хорде, равной  .

Найти площадь общей части кругов.

Площадь общей части кругов

Решение

Обрати внимание, что общая часть кругов состоит из двух сегментов: красного и голубого.

Найдем площадь голубого сегмента.

Для этого нужно посмотреть на окружность с центром  .

  - правильный  .

Значит,

 

(это по формуле   ).

Если не помнишь, как считается площадь правильного треугольника, загляни в тему «Равносторонний треугольник».

Итак,  

 

Равносторонний треугольник  
 
 

А вот найти   уже сложнее. Придется применять теорему косинусов!

 

 

 

Подставляем:

 

И теперь

 

Пример 2

На стороне   треугольника   как на диаметре построена окружность.

Найти площадь общей части треугольника и круга, если  ,  ,  .

задача на площадь круга и частей треугольника

Решение

Проведем  .

Опять наша непонятная фигура разделилась на две стандартные:

Сектор   и  .

 , значит  

(смотри тему «Окружность. Вписанный угол»)

 

Нужно найти  

Треугольник AOD  
 

И значит,

 .

Это и есть ответ.

Что же общего в этих двух примерах, и есть ли общее правило?

Есть! И оно гласит:

Непонятную фигуру нужно разделить на несколько стандартных, таких как сектор, сегмент, треугольник и т.д., потом посчитать площадь каждой стандартной фигуры и сложить все площади.

 

ПЛОЩАДЬ КРУГА И ЕГО ЧАСТЕЙ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Основные формулы:

  • Площадь круга:
     
  • Площадь сектора:
     , где:   - величина угла сектора в радианах.
  • Площадь сегмента:
     

Правило нахождения нестандартной части круга:

  • непонятную фигуру нужно разделить на несколько стандартных (сектор, сегмент, треугольник и т.д.), потом посчитать площадь каждой стандартной фигуры и сложить все площади.

P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ :)

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.  

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.  

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

  1. Открой  доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - Купить статью - 299 руб
  2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 899 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Удачи!

Комментарии

Сережа
07 апреля 2019

Как рассчитать площадь треугольника с криволинейной (выпуклой.дугой)гипотенузой? Размеры катетов и дуги известны.

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем тебе доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб,

... или ко всем скрытым задачам во всех 99 статьях учебника - 899 руб.

Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

Хочу помочь YouClever - 299 руб
Хочу помочь YouClever - 899 руб.

Я уже зарегистрирован / оплатил

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть