Все, что нужно знать о призме для успешной сдачи ЕГЭ по математике (2020)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

 

Привет!

Сейчас я расскажу тебе ВСЕ о призме. Без воды. Только то, что нужно.

Помни о своей цели! Тебе нужно подготовиться к ЕГЭ по математике так чтобы поступить в ВУЗ мечты!

Это самый лучший материал в инете.

Не веришь?

Посмотри отзывы внизу статьи и ты все поймешь... И, кстати, можешь оставить свои.

Ладно, хватит болтать - к делу!

СОДЕРЖАНИЕ СТАТЬИ

 

 

Определение призмы

  • Призма — многогранник, две грани которого (основания) — равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани — параллелограммы.

Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.

Виды призм

  • Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.
  • Прямая призма — это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Другие призмы называются наклонными.
  • Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники.

 

Объем и площадь призмы

Главная формула объема призмы:

 ,

где   — площадь основания,

  — высота.

 

Необычная формула объема призмы:


 ,

где   - площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,

  - длина бокового ребра.

Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.


 

А теперь подробнее....

Что такое призма

Давай ответим сперва картинками:

Призмы

Смотри: у призмы сверху и снизу два одинаковых многоугольника – они называются основаниями. Остальные грани называются боковыми.

Плоскости оснований параллельный. Боковые грани – параллелограммы.

Рисуем ещё раз:

Призма. Основание и грани.

 

А теперь: рёбра.

Смотри: бывают рёбра основания и боковые рёбра.

Призма. Ребра.

Важно знать, что:

Все боковые рёбра призмы равны и параллельны.

 

  • Если в основании призмы лежит треугольник, то призма называется треугольной, если четырёхугольник, то – четырёхугольной и так далее.
  • Бывают и десятиугольные, и двадцатиугольные призмы, но , к счастью, не в твоих задачах.
  • А у тебя будут встречаться чаще всего треугольные, четырёхугольные и шестиугольные призмы.

 

Высота призмы

Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.

 

 

Призма. Высота.

 

И ясно, что та же самая высота получится, если опустить перпендикуляр из любой точки на верхней плоскости.

Согласен?

 

Прямая призма

Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, то призма называется прямой.

Правильная призма.

У прямой призмы:

  • все боковые грани прямоугольники;
  • все сечения проходящие через боковые рёбра – прямоугольники;
  • и даже сечения, проходящие только через одно боковое ребро - прямоугольники.

 

У прямой призмы высота совпадает с боковым ребром.

 

Правильная призма

Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, а в основании лежит правильный многоугольник, то призма называется правильной.

То есть правильная призма – это прямая призма, у которой в основании правильный многоугольник.

Тебе, скорее всего, может встретиться:

1) Правильная треугольная призма – в основании правильный треугольник, боковые грани – прямоугольники.

 

Правильная треугольная призма

 

2) Правильная четырёхугольная призма – это ещё и разновидность прямоугольного параллелепипеда – в основании квадрат, боковые грани – прямоугольники.

 

Правильная четырёхугольная призма

 

3) Правильная шестиугольная призма – в основании правильный шестиугольник, боковые грани – прямоугольники.

 

 

Правильная шестиугольная призма

Главная формула объема призмы

 

 

  –площадь основания

  – высота

Объем призмы

Эта формула верна для любой призмы, но если призма прямая, то   «превращается» в боковое ребро. И тогда

 

– то же самое, что

 

Объем призмы 2

 

Необычная формула объёма призмы

Представь себе, есть ещё одна, «перевёрнутая» формула для объёма призмы .

 

 

 

  - площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,

  - длина бокового ребра.

Объем призмы 3

Используется ли эта формула в задачах? Честно говоря, довольно редко, так что можешь ограничиться знанием основной формулы объёма.

Давай теперь для упражнения посчитаем объём самых популярных призм.

 

Объем правильной треугольной призмы

Пусть дано, что сторона основания равна  , а боковое ребро равно  .

Правильная треугольная призма

Найдём объём:

 

 

 

 

Вспомним, как находить площадь правильного треугольника

Площадь правильного треугольника

 

 

 

Подставляем в формулу объёма:

 .

Объем правильной четырёхугольной призмы

Опять дано: сторона основания равна  , боковое ребро равно  .

Правильная четырёхугольная призма

 

 

 

 

Ну, площадь квадрата долго искать не надо:

 

Значит,  .

Объем правильной шестиугольной призмы

 

Правильная шестиугольная призма

 

Что же такое  ? Как найти?

Смотри: шестиугольник   состоит из шести одинаковых правильных треугольников.

Шестиугольник

Значит:  

Ну и теперь  .

 

 

 

Площадь поверхности призмы

Площадь боковой поверхности призмы – сумма площадей всех боковых граней.

 

Есть ли общая формула?

 

Нет, в общем случае нет. Просто нужно искать площади боковых граней и суммировать их.

Призма 2

Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.

 

Поверхность призмы

Формулу можно написать для прямой призмы:

Но всё-таки гораздо проще в каждом конкретном случае сложить все площади, чем запоминать дополнительные формулы.

 

 , где   - периметр основания.

Призма. Периметр основания.

 .

Для примера посчитаем полную поверхность правильной шестиугольной призмы.

Пусть сторона основания равна  , а боковое ребро равно  .

Сторона и боковое ребро призмы.

 

 

Все боковые грани – прямоугольники. Значит  .

  - это уже выводили при подсчёте объёма.

Итак, получаем:

 .

 

ПРИЗМА. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

1. Определение

  • Призма — многогранник, две грани которого (основания) — равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани — параллелограммы.

Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.

2. Виды призм:

  • Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.
  • Прямая призма — это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Другие призмы называются наклонными.
  • Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники.

3. Объем и площадь призмы:

  • Главная формула объема призмы:
     ,
    где   — площадь основания,
      — высота.
  • Необычная формула объема призмы:
     ,
    где   - площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,
      - длина бокового ребра.
  • Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.
     .

 

Теперь я хочу услышать тебя!

Я постаралась сжато, без воды рассказать о том, что такое призма.

Что тебе понравилось? Что не понравилось?

Может быть ты нашел ошибку?

Или знаешь другой хороший материал на эту тему? 

Напиши внизу, в комментариях.

P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ :)

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для перехода в 10-й класс или поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.  

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.  

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Я рекомендую использовать для этих целей наш учебник "YouClever" (который ты сейчас читаешь) и решебник и программу подготовки "100gia".

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Удачи!

Комментарии

Илья
26 ноября 2017

Огромное вам спасибо за созданный сайт,он очень удобен и информативен.Мне сложно представить какое количество времени было потрачено на "переработку" материала в понятном и доступном виде.Теперь есть источник чистых знаний,без лишней "воды",который не только помогает узнать новое,но и систематизировать информацию в голове .Жаль,что я не нашел сайт раньше.Вы лучшие!

ответить

Александр (админ)
26 ноября 2017

Спасибо, Илья! Всегда рады помочь! :)

ответить

Александр
02 декабря 2017

Всё хорошо .Только нет чему равна сумма плоских углов при одной вершине правильной треугольной призмы

ответить

Александр (админ)
02 декабря 2017

Спасибо, Александр за замечание. Постараемся учесть.

ответить

Дмитрий
21 февраля 2018

Сайт отличный!Все подробно описано.Никогда не понимал эту тему,но благодаря создателям этого сайта я наконец понял эту тему.Спасибо вам за ваши труды!!!Очень вам благодарен.

ответить

Александр (админ)
21 февраля 2018

Спасибо, Дмитрий. В этом - наша цель. У нас могут быть (и есть! ) ошибки и мы их исправляем, но мы стараемся, чтобы вы поняли суть, чтобы вы научились понимать и размышлять.... Зовите друзей на наш сайт. Хорошая работа не должна пропасть :)

ответить

Regina
29 марта 2018

Аааааааа,это просто лучшее. Никогда не разбиралась в геометрии...Готовясь к зачету искала все сайты на эту тему. Нашла вас. Ввы все объяснили просто и доступно. Спаибо большое

ответить

Александр (админ)
29 марта 2018

Регина, знала бы ты, как нам приятно такое читать! ) Удачи на экзаменах.

ответить

Emilee
02 апреля 2018

рахмат

ответить

Александр (админ)
02 апреля 2018

илтимос, луфтан, рәхим итеге, берни түгел, зинһар

ответить

Настя
21 мая 2018

Красивый сайт, ничего глаза не режет, смотреть и читать приятно

ответить

Александр (админ)
21 мая 2018

Спасибо большое, Настя! Заходи к нам еще! :)

ответить

gg
22 июля 2018

формулы не везде видно, например вместо них фигни типа этих $\text{V}={{\text{S}}_{\text{основания}}}\cdot \text{H}={{\text{S}}_{\text{ABC}}}\cdot \text{b}$

ответить

Александр (админ)
22 июля 2018

Да, я понимаю о чем идет речь. "Фигни типа этих" возникают если у вас не обновлена страница. Нужно обновить страницу или, если не поможет, почистить кэш, то есть нажать ctrl + F5.

ответить

Михаил
17 ноября 2018

Нету площади неправильной призмы. А так всё хорошо!

ответить

Александр (админ)
17 ноября 2018

Спасибо, Михаил.

ответить

Женя
27 февраля 2019

можете указать свои инициалы? мне это для проекта надо)

ответить

Александр (админ)
27 февраля 2019

Женя, а вам чьи инициалы нужны? Автор этого текста (и вообще всех текство по геометрии) - Баштова Елена Евгеньевна. Тектсы по алгебре писал Шевчук Алексей Сергеевич и Федор Иванов. Меня зовут Кель Александр Михайлович. Но я тексты не писал. Я - создал и поддержываю эти проекты: YouClever.org и 100gia.ru

ответить

Анна
29 апреля 2019

Преподнесено очень понятным языком, с наглядными картинками, спасибо) Хотелось бы хоть пример одно й задачи и решение чтобы было открыто бесплатно, чтобы понять на сколько хорошо поясняете, но я думаю все ок.

ответить

Александр (админ)
29 апреля 2019

Анна, спасибо за отзыв. Найду источник финансирования, сделаю все бесплатным как это было год назад. А пока так...

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Добрый день!

Закрытые части учебника YouClever предназначены только для учеников YouClever.

Если вы хотите им стать, приобретите один из курсов здесь.

Или оставьте Email и я пришлю в качестве бесплатного бонуса доступ к разделу учебника «Базовые темы алгебры».

В дополнение к этому я создам вам аккаунт ученика на нашем сайте 100gia, где вы сможете бесплатно пройти пробный ОГЭ или ЕГЭ и воспользоваться другими бесплатными сервисами сайта 100gia.

Для справки: Раздел «Базовые темы алгебры» состоит из следующих 15 статьей:

  1. НОК и НОД, признаки делимости и методы группировки;
  2. Степень и ее свойства;
  3. 7 волшебных формул сокращенного умножения;
  4. 5 способов разложения многочлена на множители;
  5. Дроби. Рациональные числа. Операции с дробями;
  6. Все о десятичных дробях;
  7. Задачи на проценты. Как найти процент от числа;
  8. Преобразование выражений. Подробная теория;
  9. Сравнение чисел;
  10. Квадратный корень;
  11. Корень и его свойства. Подробная теория с примерами;
  12. Свойства логарифмов и примеры их решений;
  13. Замена переменных;
  14. Модуль числа;
  15. ОДЗ - область допустимых значений.

Все они станут доступными без ограничений после регистрации.

Оставьте Email и получите ваши бонусы!
Удачи,
Александр Кель

Оставить Email

Имя

E-mail

Кто Вы?

Класс

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем тебе доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб,

... или ко всем скрытым задачам во всех 99 статьях учебника - 899 руб.

Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

Хочу помочь YouClever - 299 руб
Хочу помочь YouClever - 899 руб.

Я уже зарегистрирован / оплатил

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть