Призма

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2017 Пройти пробный ОГЭ 2017

1. Определение

  • Призма — многогранник, две грани которого (основания) — равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани — параллелограммы.

Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.

2. Виды призм:

  • Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.
  • Прямая призма — это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Другие призмы называются наклонными.
  • Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники.

3. Объем и площадь призмы:

  • Главная формулаобъема призмы:
     ,
    где   — площадь основания,
      — высота.
  • Необычная формула объема призмы:
     ,
    где   - площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,
      - длина бокового ребра.
  • Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.
     

1. Что такое призма?

 

Давай ответим сперва картинками:

Призмы

Смотри: у призмы сверху и снизу два одинаковых многоугольника – они называются основаниями. Остальные грани называются боковыми. Плоскости оснований параллельный. Боковые грани – параллелограммы.

Примечание:  Не забудь, что у нас ты можешь пройти пробный ЕГЭ в онлайне... Но если тебе это не нужно, читай дальше:)

Рисуем ещё раз:

Призма. Основание и грани.

А теперь: рёбра. Смотри: бывают рёбра основания и боковые рёбра.

Призма. Ребра.

Важно знать, что:

все боковые рёбра призмы равны и параллельны.

Если в основании призмы лежит треугольник, то призма называется треугольной, если четырёхугольник, то – четырёхугольной и так далее: бывают и десятиугольные, и двадцатиугольные призмы, но , к счастью, не в твоих задачах. А у тебя будут встречаться чаще всего треугольные, четырёхугольные и шестиугольные призмы.

Кстати, если тебе нужна эта статья в формате PDF...

Скачай ее здесь!

 

2. Высота призмы

 

Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.

Призма. Высота.

И ясно даже (а тебе?), что та же самая высота получится, если опустить перпендикуляр из любой точки на верхней плоскости.

3. Прямая призма

 

Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, то призма называется прямой.

Правильная призма.

У прямой призмы:

  • все боковые грани прямоугольники;
  • все сечения проходящие через боковые рёбра – прямоугольники;
  • и даже сечения, проходящие только через одно боковое ребро - прямоугольники.
У прямой призмы высота совпадает с боковым ребром.

 

4. Правильная призма

 

Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, а в основании лежит правильный многоугольник, то призма называется правильной.

То есть правильная призма – это прямая призма, у которой в основании правильный многоугольник. Тебе, скорее всего, может встретиться:

1) Правильнаятреугольная призма – в основании правильный треугольник, боковые грани – прямоугольники.

Правильная треугольная призма

2) Правильнаячетырёхугольнаяпризма – это ещё и разновидность прямоугольного параллелепипеда – в основании квадрат, боковые грани – прямоугольники.

Правильная четырёхугольная призма

3) Правильнаяшестиугольнаяпризма – в основании правильный шестиугольник, боковые грани – прямоугольники.

Правильная шестиугольная призма

 

Объём призмы

 

Главная формула объема призмы

 

 

  –площадь основания

  – высота

Объем призмы

Эта формула верна для любой призмы, но если призма прямая, то   «превращается» в боковое ребро. И тогда

 

– то же самое, что

 

Объем призмы 2

 

Необычная формула объёма призмы

 

Представь себе, есть ещё одна, «перевёрнутая» формула для объёма призмы .

 

  - площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,

  - длина бокового ребра.

Объем призмы 3

Используется ли эта формула в задачах? Честно говоря, довольно редко, так что можешь ограничиться знанием основной формулы объёма.

Давай теперь для упражнения посчитаем объём самых популярных призм.

 

Правильная треугольная призма

 

Пусть дано, что сторона основания равна  , а боковое ребро равно  .

Правильная треугольная призма

Найдём объём:

 

Вспомним, как находить площадь правильного треугольника

Площадь правильного треугольника

 

 

 

Подставляем в формулу объёма:

 .

 

Правильная четырёхугольная призма

 

Опять дано: сторона основания равна  , боковое ребро равно  .

Правильная четырёхугольная призма

 

Ну, площадь квадрата долго искать не надо:

 

Значит,  .

 

Правильная шестиугольная призма

 

 

Правильная шестиугольная призма

Что же такое  ? Как найти?

Смотри: шестиугольник   состоит из шести одинаковых правильных треугольников.

Шестиугольник

Значит:  

Ну и теперь  .

 

Площадь поверхности призмы

 

Площадь боковой поверхности призмы – сумма площадей всех боковых граней.

 

Есть ли общая формула?

Нет, в общем случае нет. Просто нужно искать площади боковых граней и суммировать их.

Призма 2

Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.

 

Поверхность призмы

Формулу можно написать для прямой призмы:

 , где   - периметр основания.

Призма. Периметр основания.

 .

Но всё-таки гораздо проще в каждом конкретном случае сложить все площади, чем запоминать дополнительные формулы. Для примера посчитаем полную поверхность правильной шестиугольной призмы.

Пусть сторона основания равна  , а боковое ребро равно  .

Сторона и боковое ребро призмы.

 

Все боковые грани – прямоугольники. Значит  .

  - это уже выводили при подсчёте объёма.

Итак, получаем:

 .

 

 

Теперь я хочу услышать тебя внизу в комментариях!

  • Что тебе понравилось? Что не понравилось?
  • Может быть ты нашел ошибку?
  • Или знаешь другой хороший материал на эту тему? Приведи, пожалуйста, ссылку.

 

А здесь ты можешь скачать весь текст в pdf формате.

Просто кликни по картинке:

Комментарии

Илья
26 ноября 2017

Огромное вам спасибо за созданный сайт,он очень удобен и информативен.Мне сложно представить какое количество времени было потрачено на "переработку" материала в понятном и доступном виде.Теперь есть источник чистых знаний,без лишней "воды",который не только помогает узнать новое,но и систематизировать информацию в голове .Жаль,что я не нашел сайт раньше.Вы лучшие!

ответить

Александр (админ)
26 ноября 2017

Спасибо, Илья! Всегда рады помочь! :)

ответить

Александр
02 декабря 2017

Всё хорошо .Только нет чему равна сумма плоских углов при одной вершине правильной треугольной призмы

ответить

Александр (админ)
02 декабря 2017

Спасибо, Александр за замечание. Постараемся учесть.

ответить

Дмитрий
21 февраля 2018

Сайт отличный!Все подробно описано.Никогда не понимал эту тему,но благодаря создателям этого сайта я наконец понял эту тему.Спасибо вам за ваши труды!!!Очень вам благодарен.

ответить

Александр (админ)
21 февраля 2018

Спасибо, Дмитрий. В этом - наша цель. У нас могут быть (и есть! ) ошибки и мы их исправляем, но мы стараемся, чтобы вы поняли суть, чтобы вы научились понимать и размышлять.... Зовите друзей на наш сайт. Хорошая работа не должна пропасть :)

ответить

Regina
29 марта 2018

Аааааааа,это просто лучшее. Никогда не разбиралась в геометрии...Готовясь к зачету искала все сайты на эту тему. Нашла вас. Ввы все объяснили просто и доступно. Спаибо большое

ответить

Александр (админ)
29 марта 2018

Регина, знала бы ты, как нам приятно такое читать! ) Удачи на экзаменах.

ответить

Emilee
02 апреля 2018

рахмат

ответить

Александр (админ)
02 апреля 2018

илтимос, луфтан, рәхим итеге, берни түгел, зинһар

ответить

Настя
21 мая 2018

Красивый сайт, ничего глаза не режет, смотреть и читать приятно

ответить

Александр (админ)
21 мая 2018

Спасибо большое, Настя! Заходи к нам еще! :)

ответить

gg
22 июля 2018

формулы не везде видно, например вместо них фигни типа этих $\text{V}={{\text{S}}_{\text{основания}}}\cdot \text{H}={{\text{S}}_{\text{ABC}}}\cdot \text{b}$

ответить

Александр (админ)
22 июля 2018

Да, я понимаю о чем идет речь. "Фигни типа этих" возникают если у вас не обновлена страница. Нужно обновить страницу или, если не поможет, почистить кэш, то есть нажать ctrl + F5.

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги сделать так, чтобы его не закрыли... 

... а мы откроем для тебя ВСЕ скрытые примеры учебника.

Всего 199 руб...

Но твоя помощь бесценна! :)  

Спасибо!

Я хочу помочь YouClever!

Закрыть