ОДЗ

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2017 Пройти пробный ОГЭ 2017

ОДЗ - это область допустимых значений, то есть это все значения переменной, при которых выражение имеет смысл.

Функции, для которых важна ОДЗ:

Тип функции ОДЗ
Обратная зависимость  .
Корень  
Показательная функция  
Логарифмическая функция  
Тригонометрические функции

 

 

\[y = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x:{\rm{ }}x \ne \frac{\pi }{2} + \pi n,{\rm{ }}n \in \mathbb{Z};\]

\[y = {\mathop{\rm ctg}\nolimits} x:{\rm{ }}x \ne \pi n,{\rm{ }}n \in \mathbb{Z}{\rm{.}}\]

Что такое ОДЗ?

Это область допустимых значений, то есть это все значения переменной, при которых выражение имеет смысл.

Например, если перед тобой уравнение  , то ни  , ни   не могут быть отрицательными:

 

Часто в задачах бывает очень важно учесть ОДЗ. То есть некоторые из решений на самом деле решениями не являются.

Давай разберем пример, наглядно показывающий что такое ОДЗ:

Решим уравнение  .

Все очень просто, если ты уже освоил тему «Иррациональные уравнения». Возводим левую и правую части уравнения в квадрат:

 .

Теперь решаем квадратное уравнение. Я воспользуюсь теоремой Виета (если забыл что это такое - посмотри тему «Квадратные уравнения»). Получаем корни:

 

Вроде все? А давай-ка теперь сделаем проверку – подставим полученные значения в начальное уравнение:

  – все верно.

  – неверно! А все почему?

Да потому, что мы не учли ОДЗ: ведь по определению квадратный корень из любого числа не может быть отрицательным. Значит, глядя на уравнение   мы должны сразу же написать:

 

Если помнишь тему «Иррациональные уравнения», ты сразу скажешь, что второе условие в этой системе писать необязательно. И правда, мы ведь потом возведем все в квадрат, и получится, что  , а значит – автоматически неотрицательно. Итак, с помощью этих рассуждений приходим к такой области допустимых значений:

 .

Тогда сразу становится ясно, что корень   не подходит. И остается единственный ответ  .

Функции, для которых важна ОДЗ

Всего мы изучаем несколько разных функций, для которых важна ОДЗ. Вот они:

Тип функции ОДЗ
Обратная зависимость  .
Степенная функция (корень)  
Показательная функция  
Логарифмическая функция  
Тригонометрическая функция

 

 

\[y = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x:{\rm{ }}x \ne \frac{\pi }{2} + \pi n,{\rm{ }}n \in \mathbb{Z};\]

\[y = {\mathop{\rm ctg}\nolimits} x:{\rm{ }}x \ne \pi n,{\rm{ }}n \in \mathbb{Z}{\rm{.}}\]

Рассмотрим примеры с каждой из этих функций:

1. ОДЗ обратной зависимости

 .

Замечаем, что в знаменателе правой части формула сокращенного умножения:

 .

ОДЗ:  

Теперь можно спокойно избавляться от одинаковых знаменателей:

 

Согласно ОДЗ второй корень не подходит.

Ответ:  .

2. ОДЗ степенной функции

 .

Такой пример мы уже рассматривали, поэтому реши его самостоятельно.

Ответ:  .

3. ОДЗ показательной функции

 

Не пугайся, тут все просто:

ОДЗ:  

Обе части уравнения строго положительны, поэтому делим все на правую часть:

 

Теперь возможны два варианта: либо основание степени равно  , либо показатель равен  :

 

(квадратное уравнение реши сам)

Теперь вспомним ОДЗ: корень   – «сторонний».

Ответ:  .

4. ОДЗ логарифмической функции

 .

ОДЗ:  

 

С учетом ОДЗ нужно отбросить отрицательный корень:

Ответ:  .

5. ОДЗ тригонометрической функции

\[\frac{{{{\sin }^2}x}}{{\cos x}} = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x\]

ОДЗ:  .

Для наглядности изображу область допустимых значений на единичной окружности в виде выколотых точек:

Что такое ОДЗ тригонометрической функции

\[\frac{{{{\sin }^2}x}}{{\cos x}} = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x \Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} \cdot \sin x = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x \Leftrightarrow {\mathop{\rm tg}\nolimits} x \cdot \sin x = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x \Leftrightarrow {\mathop{\rm tg}\nolimits} x\left( {\sin x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \]

\[\left[ \begin{array}{l}{\mathop{\rm tg}\nolimits} x = 0\\\sin x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pi n,{\rm{ }}n \in \mathbb{Z}\\x = \frac{\pi }{2} + \pi k,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\]

Очевидно, что вторая группа корней не подходит по ОДЗ.

Ответ:  .

Комментарии

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги сделать так, чтобы его не закрыли... 

... а мы откроем для тебя ВСЕ скрытые примеры учебника.

Всего 199 руб...

Но твоя помощь бесценна! :)  

Спасибо!

Я хочу помочь YouClever!

Закрыть