Область допустимых значений - ОДЗ. (2019)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Что такое ОДЗ?

Это область допустимых значений, то есть это все значения переменной, при которых выражение имеет смысл.

Например, если перед тобой уравнение  , то ни  , ни   не могут быть отрицательными:

 

Часто в задачах бывает очень важно учесть ОДЗ. То есть некоторые из решений на самом деле решениями не являются.

Давай разберем пример, наглядно показывающий что такое ОДЗ:

Решим уравнение  .

Все очень просто, если ты уже освоил тему «Иррациональные уравнения». Возводим левую и правую части уравнения в квадрат:

 .

Теперь решаем квадратное уравнение. Я воспользуюсь теоремой Виета (если забыл что это такое - посмотри тему «Квадратные уравнения»). Получаем корни:

 

Вроде все? А давай-ка теперь сделаем проверку – подставим полученные значения в начальное уравнение:

  – все верно.

  – неверно! А все почему?

Да потому, что мы не учли ОДЗ: ведь по определению квадратный корень из любого числа не может быть отрицательным. Значит, глядя на уравнение   мы должны сразу же написать:

 

Если помнишь тему «Иррациональные уравнения», ты сразу скажешь, что второе условие в этой системе писать необязательно. И правда, мы ведь потом возведем все в квадрат, и получится, что  , а значит – автоматически неотрицательно. Итак, с помощью этих рассуждений приходим к такой области допустимых значений:

 .

Тогда сразу становится ясно, что корень   не подходит. И остается единственный ответ  .

Функции, для которых важна ОДЗ

Всего мы изучаем несколько разных функций, для которых важна ОДЗ. Вот они:

Тип функции ОДЗ
Обратная зависимость  .
Степенная функция (корень)  
Показательная функция  
Логарифмическая функция  
Тригонометрическая функция

 

 

\[y = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x:{\rm{ }}x \ne \frac{\pi }{2} + \pi n,{\rm{ }}n \in \mathbb{Z};\]

\[y = {\mathop{\rm ctg}\nolimits} x:{\rm{ }}x \ne \pi n,{\rm{ }}n \in \mathbb{Z}{\rm{.}}\]

Рассмотрим примеры с каждой из этих функций:

1. ОДЗ обратной зависимости

 .

Замечаем, что в знаменателе правой части формула сокращенного умножения:

 .

ОДЗ:  

Теперь можно спокойно избавляться от одинаковых знаменателей:

 

Согласно ОДЗ второй корень не подходит.

Ответ:  .

2. ОДЗ степенной функции

 .

Такой пример мы уже рассматривали, поэтому реши его самостоятельно.

Ответ:  .

3. ОДЗ показательной функции

 

Не пугайся, тут все просто:

ОДЗ:  

Обе части уравнения строго положительны, поэтому делим все на правую часть:

 

Теперь возможны два варианта: либо основание степени равно  , либо показатель равен  :

 

(квадратное уравнение реши сам)

Теперь вспомним ОДЗ: корень   – «сторонний».

Ответ:  .

4. ОДЗ логарифмической функции

 .

ОДЗ:  

 

С учетом ОДЗ нужно отбросить отрицательный корень:

Ответ:  .

5. ОДЗ тригонометрической функции

\[\frac{{{{\sin }^2}x}}{{\cos x}} = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x\]

ОДЗ:  .

Для наглядности изображу область допустимых значений на единичной окружности в виде выколотых точек:

Что такое ОДЗ тригонометрической функции

\[\frac{{{{\sin }^2}x}}{{\cos x}} = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x \Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} \cdot \sin x = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x \Leftrightarrow {\mathop{\rm tg}\nolimits} x \cdot \sin x = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x \Leftrightarrow {\mathop{\rm tg}\nolimits} x\left( {\sin x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \]

\[\left[ \begin{array}{l}{\mathop{\rm tg}\nolimits} x = 0\\\sin x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pi n,{\rm{ }}n \in \mathbb{Z}\\x = \frac{\pi }{2} + 2 \pi k,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\]

Очевидно, что вторая группа корней не подходит по ОДЗ.

ОБЛАСТЬ ДОПУСТИМЫХ ЗНАЧЕНИЙ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

ОДЗ - это область допустимых значений, то есть это все значения переменной, при которых выражение имеет смысл.

Функции, для которых важна ОДЗ:

Тип функции ОДЗ
Обратная зависимость  .
Корень  
Показательная функция  
Логарифмическая функция  
Тригонометрические функции

 

 

\[y = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x:{\rm{ }}x \ne \frac{\pi }{2} + \pi n,{\rm{ }}n \in \mathbb{Z};\]

\[y = {\mathop{\rm ctg}\nolimits} x:{\rm{ }}x \ne \pi n,{\rm{ }}n \in \mathbb{Z}{\rm{.}}\]

Ответ:  .

P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ :)

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.  

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.  

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

  1. Открой  доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - Купить статью - 299 руб
  2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 499 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Удачи!

Комментарии

Артемий
08 января 2019

Может я ошибаюсь конечно, но под тригоном. окружностью написано что sinx=1 => x=π/2+πk, но это будет x=π/2+2πk. Разве нет? А если так, то и ответ будет другой. sinx=1 - особый случай или как он там называется.

ответить

Алексей Шевчук
11 января 2019

Артемий, спасибо, исправил.

ответить

Рашид
31 января 2019

X^(x^2-2x) = X^3 Один из корней получился у вас -1, но вы его отбросили из-за того, что он под одз не подходит. Если честно я не понимаю, откуда тут одз x>0, тут нет никаких ограничений на корни и в доказательство этому при подстановке x=-1 мы получим равенство

ответить

Алексей Шевчук
07 февраля 2019

Рашид, поскольку в школьной математике рассматриваются только действительные числа, основание показательной функции обязано быть неотрицательным; но при этом основание, равное нулю, при всех отрицательных показателях приводит к делению на ноль, при положительных показателях даёт константу (y=0), а если показатель тоже равен нулю, мы получаем и вовсе неопределённость (0 в степени 0). Поэтому было решено исключить 0 в качестве основания из определения показательной функции. Поэтому основание больше нуля. Можно объяснить ещё так: любую показательную функцию можно прологарифмировать (то есть "дописать слева" логарифм с основанием, равным основанию самой функции), но основание логарифма должно быть положительным.

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем тебе доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб,

... или ко всем скрытым задачам во всех 99 статьях учебника - 499 руб.

Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

Хочу помочь YouClever - 299 руб
Хочу помочь YouClever - 499 руб.

Я уже зарегистрирован / оплатил

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть