Область допустимых значений - ОДЗ. (2020)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Что такое ОДЗ?

Это область допустимых значений, то есть это все значения переменной, при которых выражение имеет смысл.

Например, если перед тобой уравнение  , то ни  , ни   не могут быть отрицательными:

 

Часто в задачах бывает очень важно учесть ОДЗ. То есть некоторые из решений на самом деле решениями не являются.

Давай разберем пример, наглядно показывающий что такое ОДЗ:

Решим уравнение  .

Все очень просто, если ты уже освоил тему «Иррациональные уравнения». Возводим левую и правую части уравнения в квадрат:

 .

Теперь решаем квадратное уравнение. Я воспользуюсь теоремой Виета (если забыл что это такое - посмотри тему «Квадратные уравнения»). Получаем корни:

 

Вроде все? А давай-ка теперь сделаем проверку – подставим полученные значения в начальное уравнение:

  – все верно.

  – неверно! А все почему?

Да потому, что мы не учли ОДЗ: ведь по определению квадратный корень из любого числа не может быть отрицательным. Значит, глядя на уравнение   мы должны сразу же написать:

 

Если помнишь тему «Иррациональные уравнения», ты сразу скажешь, что второе условие в этой системе писать необязательно. И правда, мы ведь потом возведем все в квадрат, и получится, что  , а значит – автоматически неотрицательно. Итак, с помощью этих рассуждений приходим к такой области допустимых значений:

 .

Тогда сразу становится ясно, что корень   не подходит. И остается единственный ответ  .

Функции, для которых важна ОДЗ

Всего мы изучаем несколько разных функций, для которых важна ОДЗ. Вот они:

Тип функции ОДЗ
Обратная зависимость  .
Степенная функция (корень)  
Показательная функция  
Логарифмическая функция  
Тригонометрическая функция

 

 

\[y = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x:{\rm{ }}x \ne \frac{\pi }{2} + \pi n,{\rm{ }}n \in \mathbb{Z};\]

\[y = {\mathop{\rm ctg}\nolimits} x:{\rm{ }}x \ne \pi n,{\rm{ }}n \in \mathbb{Z}{\rm{.}}\]

Рассмотрим примеры с каждой из этих функций:

1. ОДЗ обратной зависимости

 .

Замечаем, что в знаменателе правой части формула сокращенного умножения:

 .

ОДЗ:  

Теперь можно спокойно избавляться от одинаковых знаменателей:

 

Согласно ОДЗ второй корень не подходит.

Ответ:  .

2. ОДЗ степенной функции

 .

Такой пример мы уже рассматривали, поэтому реши его самостоятельно.

Ответ:  .

3. ОДЗ показательной функции

 

Не пугайся, тут все просто:

ОДЗ:  

Обе части уравнения строго положительны, поэтому делим все на правую часть:

 

Теперь возможны два варианта: либо основание степени равно  , либо показатель равен  :

 

(квадратное уравнение реши сам)

Теперь вспомним ОДЗ: корень   – «сторонний».

Ответ:  .

4. ОДЗ логарифмической функции

 .

ОДЗ:  

 

С учетом ОДЗ нужно отбросить отрицательный корень:

Ответ:  .

5. ОДЗ тригонометрической функции

\[\frac{{{{\sin }^2}x}}{{\cos x}} = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x\]

ОДЗ:  .

Для наглядности изображу область допустимых значений на единичной окружности в виде выколотых точек:

Что такое ОДЗ тригонометрической функции

\[\frac{{{{\sin }^2}x}}{{\cos x}} = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x \Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} \cdot \sin x = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x \Leftrightarrow {\mathop{\rm tg}\nolimits} x \cdot \sin x = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x \Leftrightarrow {\mathop{\rm tg}\nolimits} x\left( {\sin x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \]

\[\left[ \begin{array}{l}{\mathop{\rm tg}\nolimits} x = 0\\\sin x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pi n,{\rm{ }}n \in \mathbb{Z}\\x = \frac{\pi }{2} + 2 \pi k,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\]

Очевидно, что вторая группа корней не подходит по ОДЗ.

ОБЛАСТЬ ДОПУСТИМЫХ ЗНАЧЕНИЙ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

ОДЗ - это область допустимых значений, то есть это все значения переменной, при которых выражение имеет смысл.

Функции, для которых важна ОДЗ:

Тип функции ОДЗ
Обратная зависимость  .
Корень  
Показательная функция  
Логарифмическая функция  
Тригонометрические функции

 

 

\[y = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x:{\rm{ }}x \ne \frac{\pi }{2} + \pi n,{\rm{ }}n \in \mathbb{Z};\]

\[y = {\mathop{\rm ctg}\nolimits} x:{\rm{ }}x \ne \pi n,{\rm{ }}n \in \mathbb{Z}{\rm{.}}\]

Ответ:  .

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER

Получить доступ к учебнику YouClever без ограничений можно кликнув по этой ссылке:

 ПОЛУЧИТЬ ДОСТУП К УЧЕБНИКУ YOUCLEVER!

 

 

 

Комментарии

Артемий
08 января 2019

Может я ошибаюсь конечно, но под тригоном. окружностью написано что sinx=1 => x=π/2+πk, но это будет x=π/2+2πk. Разве нет? А если так, то и ответ будет другой. sinx=1 - особый случай или как он там называется.

ответить

Алексей Шевчук
11 января 2019

Артемий, спасибо, исправил.

ответить

Рашид
31 января 2019

X^(x^2-2x) = X^3 Один из корней получился у вас -1, но вы его отбросили из-за того, что он под одз не подходит. Если честно я не понимаю, откуда тут одз x>0, тут нет никаких ограничений на корни и в доказательство этому при подстановке x=-1 мы получим равенство

ответить

Алексей Шевчук
07 февраля 2019

Рашид, поскольку в школьной математике рассматриваются только действительные числа, основание показательной функции обязано быть неотрицательным; но при этом основание, равное нулю, при всех отрицательных показателях приводит к делению на ноль, при положительных показателях даёт константу (y=0), а если показатель тоже равен нулю, мы получаем и вовсе неопределённость (0 в степени 0). Поэтому было решено исключить 0 в качестве основания из определения показательной функции. Поэтому основание больше нуля. Можно объяснить ещё так: любую показательную функцию можно прологарифмировать (то есть "дописать слева" логарифм с основанием, равным основанию самой функции), но основание логарифма должно быть положительным.

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Привет!

2/3 статьи, а также разбор задач доступны только ученикам YouClever.

Если вы хотите им стать, пройдите по ссылке и ознакомьтесь с условиями.

Или оставьте Email и получите доступ к 5-ти статьям учебника бесплатно.

Удачи,
Александр Кель

Оставить Email

Имя

E-mail

Кто Вы?

Класс

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем тебе доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб,

... или ко всем скрытым задачам во всех 99 статьях учебника - 899 руб.

Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

Хочу помочь YouClever - 299 руб
Хочу помочь YouClever - 899 руб.

Я уже зарегистрирован / оплатил

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть