ОДЗ. Область допустимых значений
ОДЗ – это область допустимых значений, то есть это все значения переменной, при которых выражение имеет смысл.
Например, если перед тобой уравнение \( \displaystyle \sqrt{x}=y\), то ни \( \displaystyle x\), ни \( \displaystyle y\) не могут быть отрицательными:
\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x\ge 0;\\y\ge 0.\end{array} \right.\)
Часто в задачах бывает очень важно учесть ОДЗ и «вычеркнуть» те решения, которые на самом деле решениями не являются.
Иначе ты сделаешь глупую, очень глупую ошибку и не получишь то, что заслужил на ЕГЭ!
Читай эту статью и ты будешь знать об ОДЗ все!
ОДЗ — коротко о главном
ОДЗ – это область допустимых значений, то есть это все значения переменной, при которых выражение имеет смысл.
Функции, для которых важна ОДЗ:
| Тип функции | ОДЗ |
|---|---|
| Обратная зависимость | \( \displaystyle y=\frac{a}{x}:\text{ }x\ne 0\). |
| Корень | \( \displaystyle \sqrt{x}=y:\text{ }\left\{ \begin{array}{l}x\ge 0;\\y\ge 0.\end{array} \right.\) |
| Показательная функция | \( \displaystyle {{y}^{x}}=z:\text{ }\left\{ \begin{array}{l}y>0;\\z>0.\end{array} \right.\) |
| Логарифмическая функция | \( \displaystyle {{\log }_{x}}y=a:\text{ }\left\{ \begin{array}{l}x>0;\\x\ne 1;\\y>0.\end{array} \right.\) |
| Тригонометрические функции | \( \displaystyle -1\le \sin x\le 1;\)\( \displaystyle -1\le \cos x\le 1;\)\[y = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x:{\rm{ }}x \ne \frac{\pi }{2} + \pi n,{\rm{ }}n \in \mathbb{Z};\]\[y = {\mathop{\rm ctg}\nolimits} x:{\rm{ }}x \ne \pi n,{\rm{ }}n \in \mathbb{Z}{\rm{.}}\] |
ОДЗ (Область допустимых значений) — подробнее
Давай разберем пример, наглядно показывающий, что такое ОДЗ:
Решим уравнение \( \displaystyle \sqrt{2x+3}=x\).
Все очень просто, если ты уже освоил тему «Иррациональные уравнения».
Возводим левую и правую части уравнения в квадрат:
\( \displaystyle 2x+3={{x}^{2}}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }{{x}^{2}}-2{x}-3=0\).
Теперь решаем квадратное уравнение. Я воспользуюсь теоремой Виета (если забыл, что это такое, – посмотри тему «Квадратные уравнения»).
Получаем корни:
\( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}x=3\\x=-1\end{array} \right.\)
Вроде все? А давай-ка теперь сделаем проверку – подставим полученные значения в начальное уравнение:
\( \displaystyle x=3:\text{ }\sqrt{2\cdot 3+3}=3\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\sqrt{9}=3\) – все верно.
\( \displaystyle x=-1:\text{ }\sqrt{2\cdot \left( -1 \right)+3}=-1\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\sqrt{1}=-1\) – неверно! А все почему?
Да потому, что мы не учли ОДЗ!
По определению квадратный корень из любого числа не может быть отрицательным.
Значит, глядя на уравнение \( \displaystyle \sqrt{2x+3}=x\) мы должны сразу же написать:
\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x\ge 0;\\2x+3\ge 0.\end{array} \right.\)
Если помнишь тему «Иррациональные уравнения», ты сразу скажешь, что второе условие в этой системе писать необязательно. И правда, мы ведь потом возведем все в квадрат, и получится, что \( \displaystyle 2x+3={{x}^{2}}\), а значит – автоматически неотрицательно.
Итак, с помощью этих рассуждений приходим к такой области допустимых значений:
\( \displaystyle x\ge 0\).
Тогда сразу становится ясно, что корень \( \displaystyle x=-1\) не подходит. И остается единственный ответ \( \displaystyle x=3\).
Всего мы изучаем несколько разных функций, для которых важна ОДЗ. Вот они со своими ОДЗ в удобной табличке.
Функции, для которых важна ОДЗ
| Тип функции | ОДЗ |
|---|---|
| Обратная зависимость | \( \displaystyle y=\frac{a}{x}:\text{ }x\ne 0\). |
| Корень | \( \displaystyle \sqrt{x}=y:\text{ }\left\{ \begin{array}{l}x\ge 0;\\y\ge 0.\end{array} \right.\) |
| Показательная функция | \( \displaystyle {{y}^{x}}=z:\text{ }\left\{ \begin{array}{l}y>0;\\z>0.\end{array} \right.\) |
| Логарифмическая функция | \( \displaystyle {{\log }_{x}}y=a:\text{ }\left\{ \begin{array}{l}x>0;\\x\ne 1;\\y>0.\end{array} \right.\) |
| Тригонометрические функции | \( \displaystyle -1\le \sin x\le 1;\)\( \displaystyle -1\le \cos x\le 1;\)\[y = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x:{\rm{ }}x \ne \frac{\pi }{2} + \pi n,{\rm{ }}n \in \mathbb{Z};\]\[y = {\mathop{\rm ctg}\nolimits} x:{\rm{ }}x \ne \pi n,{\rm{ }}n \in \mathbb{Z}{\rm{.}}\] |
Рассмотрим примеры с каждой из этих функций:
ОДЗ обратной зависимости
\( \displaystyle \frac{{{x}^{2}}}{{{\left( {x}-1 \right)}^{2}}}=\frac{x}{{{x}^{2}}-2x+1}\).
Замечаем, что в знаменателе правой части формула сокращенного умножения:
\( \displaystyle \frac{{{x}^{2}}}{{{\left( {x}-1 \right)}^{2}}}=\frac{x}{{{\left( {x}-1 \right)}^{2}}}\).
ОДЗ: \( \displaystyle {x}-1\ne 0\text{ }\Rightarrow \text{ }x\ne 1.\)
Теперь можно спокойно избавляться от одинаковых знаменателей:
\( \displaystyle {{x}^{2}}=x\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x\left( {x}-1 \right)=0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}x=0\\x=1\end{array} \right.\)
Согласно ОДЗ второй корень не подходит.
Ответ: \( \displaystyle 0\).
ОДЗ степенной функции
\( \displaystyle \sqrt{2-x}=x\).
Такой пример мы уже рассматривали, поэтому реши его самостоятельно.
Ответ: \( \displaystyle 1\).
ОДЗ показательной функции
\( \displaystyle {{x}^{{{x}^{2}}-2x}}={{x}^{3}}\)
Не пугайся, тут все просто:
ОДЗ: \( \displaystyle x>0\)
Обе части уравнения строго положительны, поэтому делим все на правую часть:
\( \displaystyle \frac{{{x}^{{{x}^{2}}-2x}}}{{{x}^{3}}}=1\text{ }\Leftrightarrow \text{ }{{x}^{{{x}^{2}}-2{x}-3}}=1\)
Теперь возможны два варианта: либо основание степени равно \( \displaystyle 1\), либо показатель равен \( \displaystyle 0\):
\( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}x=1\\{{x}^{2}}-2{x}-3=0\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}x=1\\x=3\\x=-1\end{array} \right.\)
(квадратное уравнение реши сам)
Теперь вспомним ОДЗ: корень \( \displaystyle x=-1\) – «сторонний».
Ответ: \( \displaystyle 1;\text{ }3\).
ОДЗ логарифмической функции
\( \displaystyle {{\log }_{x}}\left( x+2 \right)=2\).
ОДЗ: \( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x+2>0\\x>0\\x\ne 1\end{array} \right.\text{ }\Rightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}x>0\\x\ne 1.\end{array} \right.\)
\( \displaystyle {{\log }_{x}}\left( x+2 \right)=2\text{ }\Leftrightarrow \text{ }{{x}^{2}}=x+2\text{ }\Leftrightarrow \text{ }{{x}^{2}}-{x}-2=0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}x=-1\\x=2\end{array} \right.\)
С учетом ОДЗ нужно отбросить отрицательный корень:
Ответ: \( \displaystyle 2\).
ОДЗ тригонометрической функции
\( \displaystyle \frac{{{{\sin }^2}x}}{{\cos x}} = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x\)
ОДЗ: \( \displaystyle x\ne \frac{\pi }{2}+\pi n,\text{ }n\in \mathbb{Z}\).
Для наглядности изображу область допустимых значений на единичной окружности в виде выколотых точек:
\(\displaystyle \frac{{{{\sin }^2}x}}{{\cos x}} = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x \Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} \cdot \sin x = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x \Leftrightarrow {\mathop{\rm tg}\nolimits} x \cdot \sin x = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x \Leftrightarrow {\mathop{\rm tg}\nolimits} x\left( {\sin x — 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \)
\(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}{\mathop{\rm tg}\nolimits} x = 0\\\sin x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pi n,{\rm{ }}n \in \mathbb{Z}\\x = \frac{\pi }{2} + 2 \pi k,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)
Очевидно, что вторая группа корней не подходит по ОДЗ.
Ответ: \( \displaystyle x=\pi n,\text{ }n\in \mathbb{Z}\).
Сдай ЕГЭ на 90+ с автором этого учебника
Алексей Шевчук — учитель с 20-летним стажем
математика, информатика, физика
Запишитесь на занятия:
+7 (905) 541-39-06
alexei.shevchuk@youclever.org
.
Очень понятно объясняете, спасибо!
Мария, спасибо!:)