Тригонометрические уравнения. Начальный уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2018Пройти пробный ОГЭ 2018

Привет! Сегодня мы с тобой изучим, как решать одну из разновидностей уравнений – тригонометрические. Услышал новое слово? И, дай догадаюсь, это новое слово «тригонометрические»? Ну, так дело не пойдёт! Если ты не знаком с этим понятием, то прежде чем продолжить чтение, настоятельно рекомендую тебе повторить хотя бы следующие разделы:

  1. Синус, косинус, тангенс и котангенс угла и числа
  2. Тригонометрическая окружность
  3. Формулы тригонометрии.

Ну что, всё усвоил? Ну да ладно, совсем всё и не потребуется, мне важно лишь, чтобы ты знал следующие вещи: что такое синус, косинус, тангенс, котангенс. Какие знаки принимает та или иная тригонометрическая функция в разных четвертях тригонометрической окружности, какие из этих функций нечётные, а какая – чётная, также совершенно необходимо знание значений тригонометрических функций в основных углах 1 четверти. Что ещё? Ну да, правила арифметики (как складывать, умножать, делить и вычитать дроби и числа) тоже никто не отменял. Как мне кажется, этого пока что будет вполне достаточно. Если это по ходу моего повествования окажется не так, то не сердись, придётся вспомнить что-нибудь ещё, не упомянутое здесь.

Итак, настало время переходить к тригонометрическим уравнениям. Что же это такое, как ты думаешь? Является ли, например, уравнение

 

тригонометрическим? Ты и сам прекрасно понимаешь, что нет! Потому что ни одной тригонометрической функции   в нём и в помине нет! А что насчёт вот такого уравнения?

 

и опять ответ отрицательный! Это так называемое уравнение смешанного типа: оно содержит как тригонометрическую составляющую, так и линейную ( ). Некоторые типы подобных уравнений мы будем с тобой решать в следующих статьях по данной тематике.

Но вернёмся к вопросу: что же такое тригонометрические уравнения?

Ответ:

Тригонометрические уравнения - это уравнения, в которых неизвестная находится строго под знаком тригонометрической функции!

Например:

 

 

  и т.д.

Однако в данной статье мы не будем решать сложные и иногда неприступные тригонометрические уравнения, а ограничимся самыми простыми уравнениями вида:

 

 

 

 

где   – некоторое постоянное число ( ) и т. д., а   – некоторая функция, зависящая от искомой переменной  , например   и т. д. Такие уравнения называются простейшими! И основная цель решения ЛЮБОГО тригонометрического уравнения – это свести его к виду простейшего!! Для этого, как правило, используют аппарат, который я описал в разделе "Формулы тригонометрии"

Так что очень важно, я бы даже сказал, жизненно необходимо научиться решать простейшие уравнения, ибо они – фундамент для решения сложных примеров. Более того, простейшие тригонометрические уравнения встречаются не менее одного и не более ЧЕТЫРЕХ раз в заданиях ЕГЭ: это может быть задача B5 (простейшее тригонометрическое уравнение – встречается время от времени), B14 (в конечном счёте сводится к решению простейшего тригонометрического уравнения – ОЧЕНЬ ЧАСТО ВСТРЕЧАЕТСЯ В ЕГЭ), B12 (задача с прикладным содержанием, которая включает в себя решение тригонометрического уравнения – встречается изредка), С1 (решение тригонометрического уравнения средней сложности – ОЧЕНЬ ЧАСТО, ПРАКТИЧЕСКИ ВСЕГДА!). Так что, как ты понимаешь, при некоторых раскладах, навык решения данного вида уравнений может добавить в твою копилку аж 5 баллов ЕГЭ из 30! Довольно весомый вклад, надо заметить!

Есть два способа решения тригонометрических уравнений – через формулы и по кругу. В принципе, я не могу сказать, что легче: держать в голове, как строится круг, или помнить 4 формулы. Тут решать тебе самому, однако я всё же предпочитаю решать данные уравнения через формулы, поэтому здесь я буду описывать именно этот метод.

Вначале мы начнём с «самых простейших» из простейших уравнений вида:

 ,

 ,

 ,

 .

Я хочу сразу оговориться вот о чем, будь внимателен:

ПЕРВЫЕ ДВА УРАВНЕНИЯ (а также их более общий случай
 ,  ) имеют смысл только тогда, когда 
 !!!!!!
В то же время уравнения вида  ,   имеют смысл уже при всех значениях  .

То есть, тебе не надо знать вообще никаких формул, чтобы спокойно ответить, что уравнения, например:
 

 

 

Корней не имеют!!! Ещё раз скажу: внимательно обдумай эти слова, они уберегут тебя от многих глупых ошибок!!

Для остальных же случаев формулы вот такие:

         
         
         
         
         

На самом деле в этой таблице данных немного больше, чем нужно. Тебе нужно лишь запомнить первые два её столбца, другие столбцы – частные случаи решения тригонометрических уравнений. Я, допустим, никогда не утруждаю себя их запоминанием, а вывожу ответ из основных формул.

Глядя на таблицу, не возникло ли у тебя пары вопросов? У меня бы возникли вот какие: что такое   и что такое, например  ? Отвечаю на все по порядку:

  1.   – Это любое целое число  . В чем уникальная особенность тригонометрических уравнений перед всеми остальными, которые ты изучал? ОНИ ИМЕЮТ БЕСКОНЕЧНОЕ КОЛИЧЕСТВО КОРНЕЙ!!! И число   и служит для обозначения этой «бесконечности». Конечно, вместо   можно писать любую другую букву, только не забывай добавить в ответе:   – что означает, что   – есть любое целое число.
  2. Теперь насчёт арксинуса и других «арок». Вообще, так записываются обратные тригонометрические функции и понимать, скажем,   надо как «угол, синус которого равен  )

     – угол, синус которого равен  
     – угол, косинус которого равен  
     – угол, тангенс которого равен  
      – угол, котангенс которого равен  

    Считаются же они непосредственно по определению:
    Например,

     
     .

То есть алгоритм их вычисления такой: смотрим на то, что стоит под «аркой» – какое там число. Второе – смотрим, какая у нас «арка» – для синуса ли, или для косинуса, тангенса… Третье – смотрим, чему равен угол (1 четверти), для которого синус или косинус или… равен числу, стоящему под аркой. Четвёртое – записываем ответ. Вот простой пример:

 

  1. Под аркой число  
  2. Арка для функции косинус!
  3. Косинус какого угла равен  ?
  4. Угла   (или   градусов!)
  5. Тогда  

Сам посчитай:

  •  
  •  

Ответы:   и  .

Всё ли я сказал про арки? Почти что да! Остался вот какой момент. Что делать, если арка берётся от отрицательного числа? Лезть в таблицу – как бы не так! Для арок выполняются следующие формулы:

  1.  
  2.  
    И внимание!!!
  3.  
  4.  

Чтобы запомнить, ориентируемся на обычные тригонометрические функции: грубо говоря, синус и тангенс мы смотрим на тригонометрической окружности по вертикальной оси, а косинус и котангенс – по горизонтальной. Соответственно, для арксинуса и арктангенса выбираем две четверти по вертикали: первую и четвёртую(минусик выносится из аргумента и ставится перед функцией), а для арккосинуса и арккотангенса – по горизонтали: первую и вторую. В первой и второй четвертях аргумент уже не может быть отрицательным, поэтому и получаются формулы не совсем похожими.

Ну всё, теперь мы можем приступать к решению простейших уравнений!

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
  9.  
  10.  
  11.  

Ну что, давай решать вместе!

1.  
Запишу по определению:
 
Всё готово, осталось только упростить, посчитав значение арксинуса. Синус какого угла равен  ? Правильно, синус угла  !

Тогда запишу ответ:

 
Вот и всё, элементарно, правда?

2.  
Снова по определению:
 
Так оставлять нельзя! Вначале вынесу «минус» из арксинуса!
 
Что по сути означает этот минус? Это означает умножение на минус единицу!!!
 
По правилам умножения степеней соберу две «минус единицы в одну запись»!
 
Осталось посчитать арксинус: Синус какого угла равен  ? Правильно, синус угла  !

Тогда запишу ответ:

 

Можешь запомнить на будущее: что если ты решаешь тригонометрическое уравнение с отрицательной правой частью, то ты решаешь его, не глядя на эту «отрицательность», просто «загоняя» её в степень минус единицы!

3.  
Пример-ловушка! Невнимательный ученик бы записал ответ в лоб:
 
Или того хуже:
 
Так как  
Но ты же внимательно читал мои пространные рассуждения, не так ли? И ты ведь не напишешь такую чушь? И ты понял, в чем здесь подвох? А подвох вот в чем:
 
А мы помним, что если правая часть тригонометрического уравнения больше   (или меньше  ), то такое уравнение решений не имеет в принципе!! Второе рассуждение тем более ересь:   надо понимать как: угол, синус которого равен  . А ну-ка попытайся в таблице найти такой угол, синус которого равен  ?! Не нашёл? То-то же!

В общем, из того, что   никак не следует, что и  !! Из этого только следует, что  !

4.  
По определению:
 
Или вынесем минус (как в примере 2):
 
На этом стоп! Такого числа как   нет в таблице значений тригонометрических функций, поэтому оставим всё как есть:

Ответ:  

5.  
И снова по определению (теперь для уравнения другого вида)
 
Чему равен угол, косинус которого равен  ? Этот угол равен  !
 
Тогда нет смысла прибавлять или вычитать ноль, всё равно это ноль.
 

Получили формулу, которая есть в таблице решений тригонометрических уравнений!

6.  
По определению:

 

Прежде всего вынесем «минус» по правилам для арккосинуса:

 

Вот так и никак иначе выносится минус, запомни это!
Теперь арккосинус. Не во всех таблицах есть значение  , но во всех есть  !!! А теперь, внимание, ловкость рук и никакого мошенничества!

 
 

Я не зря выделил это замечание таким крупным шрифтом, запомни это тождество хорошенько! Оно спасёт тебя в очень многих случаях!!
Итак, чему же равен угол, косинус которого равен  (или одно и то же   ) ? Верно, это угол  .
Тогда

 
 
 

Ответ:  

7.  
Ещё один пример-обманка! Хотя данное уравнение решения имеет, ибо:
 
Тогда по определению:
 
Но из этого никак не следует, что  !!!!!! Запомни, арккосинус – это угол, его аргумент (начинка) – это число, а выход – угол!!! Ты когда-нибудь встречал в своей практике такой странный угол как  ?! Вот и я нет. Поэтому оставим как есть!

Ответ:  

8.  
Всё просто:   и решений данное уравнение не имеет.

9.  
Запишем по определению:
 
  – не табличное значение, поэтому ответ сохраняем неизменным. Обрати внимание, что в отличие от уравнений с синусом и косинусом, здесь мне не уже важно, какое у меня число стоит в правой части уравнения.

10.  
Снова по определению:
 
Без проблем выносим минус из арккотангенса:
 
Вычисляем: котангенс какого угла равен  ? Это угол  . Записываем ответ:

Ответ:  .

11.  
По формуле:
 .
Котангенс какого угла равен  ? Это угол  .

Ответ:  .

Ну как, материал не кажется тебе слишком сложным? Я надеюсь, что нет. Теперь давай порешаем для закрепления чуть более сложные задачки:

  1. Най­ди­те корни урав­не­ния:  .
    В от­ве­те за­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный ко­рень.
  2. Най­ди­те корни урав­не­ния: .
    В ответ за­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный ко­рень.
  3. Ре­ши­те урав­не­ние  .
    В от­ве­те на­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный ко­рень.

Решение:

1. Логика простая: будем поступать так, как поступали раньше не взирая на то, что теперь у тригонометрических функций стал более сложный аргумент!
Если бы мы решали уравнение вида
 
То мы бы записали вот такой ответ:
 
Или (так как  )
 
Но теперь в роли   у нас выступаем вот такое выражение:  
Тогда можно записать:
 
Наша с тобою цель – сделать так, чтобы слева стоял просто  , без всяких «примесей»! Давай постепенно от них избавляться:
Вначале уберём знаменатель при  : для этого домножим наше равенство на  :
 
 
 
Теперь избавимся от  , разделив на него обе части:
 
 
Теперь избавимся от восьмёрки:
 
 
Полученное выражение можно расписать как 2 серии решений (по аналогии с квадратным уравнением, где мы либо прибавляем, либо вычитаем дискриминант)
  или  
Нам нужно найти наибольший отрицательный корень! Ясно, что надо перебирать  . Рассмотрим вначале первую серию:
 
Ясно, что если мы будем брать   то в результате мы будем получать положительные числа, а они нас не интересуют. Значит   нужно брать отрицательным. Пусть  . Тогда:
 
При   корень будет уже:
 
А нам нужно найти наибольший отрицательный!! Значит идти в отрицательную сторону здесь уже не имеет смысла. И наибольший отрицательный корень для этой серии будет равен  .
Теперь рассматриваем вторую серию:
 
И опять подставляем:  , тогда:
  - не интересует!
Тогда увеличивать   больше не имеет смысла! Будем уменьшать! Пусть  , тогда:
  - подходит!
Пусть  . Тогда
 
Тогда   - наибольший отрицательный корень!

Ответ:  

2.  
Опять решаем, не взирая на сложный аргумент косинуса:
 
 
Теперь снова выражаем   слева:
  (умножаем обе стороны на  )
 
  (делим обе стороны на  )
 
Всё, что осталось – это перенести   вправо, изменив её знак с минуса на плюс.
 
У нас опять получается 2 серии корней, одна с  , а другая с  .
  или  
Нам нужно найти наибольший отрицательный корень. Рассмотрим первую серию:
 
Ясно, что первый отрицательный корень мы получим при  , он будет равен   и будет наибольшим отрицательным корнем в 1 серии. Для второй серии
 
Первый отрицательный корень будет получен также при   и будет равен  . Так как  , то   – наибольший отрицательный корень уравнения.

Ответ:  .

3.  
Решаем, не взирая на сложный аргумент тангенса:
 
 
 
Как и раньше, выражаем   в левой части:
 
 
 
 
Ну вот и замечательно, здесь вообще всего одна серия корней! Опять найдём наибольший отрицательный. Ясно, что он получается, если положить  . И корень этот равен  .

Ответ:  .

Вот, вроде бы ничего сложного, не так ли? Теперь попробуй самостоятельно решить следующие задачки:

  1. Ре­ши­те урав­не­ние  .
    В от­ве­те на­пи­ши­те наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный ко­рень.
  2. Ре­ши­те урав­не­ние  .
    В от­ве­те на­пи­ши­те наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный ко­рень.
  3. Ре­ши­те урав­не­ние  .
    В от­ве­те на­пи­ши­те наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный ко­рень.

Готов? Проверяем. Я не буду подробно описывать весь алгоритм решения, мне кажется, ему и так уделено достаточно внимания выше.

  1.  
     
     
    Выразим  :
     
     
    Наименьший положительный корень получится, если положить  , так как  , то  

    Ответ:  

  2.  
     
     
     
     
     
    Наименьший положительный корень получится при  . Он будет равен  .

    Ответ:  .

  3.  
     
     
     
     
     
     
     
    При   получаем  , при   имеем  .

    Ответ:  .

Ну что, всё правильно? Ох уж эти гадкие синусы, с ними всегда какие-то беды! Ну что же, теперь ты умеешь решать простейшие тригонометрические уравнения. Эти знания помогут тебе решать многие задачи, с которыми ты столкнёшься в экзамене. Если же ты претендуешь на оценку «5», то тебе просто необходимо перейти к чтению статьи для среднего уровня, которая будет посвящена решению более сложных тригонометрических уравнений (задание С1).

Комментарии

Александра
16 октября 2017

arcctq(-x) =pi -arcctqx

ответить

Александр (админ)
17 октября 2017

Александра, спасибо. Алексей Шевчук, скоро рассмотрит ваш комментарий.

ответить

Алексей Шевчук
21 октября 2017

Саша, спасибо, исправил.

ответить

Danil
22 ноября 2017

Извините,а как решить уравнение вида: Sin(-x/4)=корень из2/2

ответить

Александр (админ)
22 ноября 2017

Danil, мы здесь не решаем уравнения. Извини. Может быть кто-нибудь из пользователей подскажет? )

ответить

MFSA
10 декабря 2017

-x/4 = π/2 ± π/4 + 2*pi*k, k ∈ Z -x = 4*(π/2 ± π/4 + 2*pi*k) -x = 2*π ± π + 8*pi*k x = -2*π ∓ π - 8*pi*k Вроде бы, так.

ответить

Татьяна
17 декабря 2017

А вот как решить такое уравнение arccos(2x+1)=-pi/3

ответить

Оля
22 января 2018

Материал-супер! Спасибо!

ответить

Александр (админ)
23 января 2018

Оля, мы очень рады, что тебе понравилось! :) Рассказывай о нас одноклассникам.

ответить

Эвелина
23 января 2018

Большое спасибо!

ответить

Александр (админ)
23 января 2018

Эвелина, всегда рады! Заходи еще, приводи друзей! :)

ответить

Вероника
23 января 2018

Спасибо, все понятно!

ответить

Александр (админ)
23 января 2018

Отлично, Вероника! Спасибо.

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть