Тригонометрические уравнения. Средний уровень.

Тригонометрическое уравнение - это уравнение, в котором неизвестная находится строго под знаком тригонометрической функции.

Существует два способа решения тригонометрических уравнений:

Первый способ - с использованием формул.

         
         
         
         
         

Второй способ - через тригонометрическую окружность.

Тригонометрическая окружность позволяет измерять углы, находить их синусы, косинусы и прочее.

Привет самый умный и самый лучший ученик во вселенной!

Сегодня мы с тобой изучим, как решать одну из разновидностей уравнений – тригонометрические.

Услышал новое слово? И, дай догадаюсь, это новое слово «тригонометрические»?

Ну, не беда! Если ты не знаком с этим понятием, повтори следующие разделы и ты будешь знать про них все что нужно!

  1. Синус, косинус, тангенс и котангенс угла и числа
  2. Тригонометрическая окружность
  3. Формулы тригонометрии.

Ну что, всё усвоил?

Ну да ладно, совсем всё и не потребуется, мне важно лишь, чтобы ты знал следующие вещи:

- что такое синус, косинус, тангенс, котангенс.

- какие знаки принимает та или иная тригонометрическая функция в разных четвертях тригонометрической окружности,

- какие из этих функций нечётные, а какая – чётная,

- также совершенно необходимо знание значений тригонометрических функций в основных углах 1 четверти.

Что ещё?

Ну да, правила арифметики (как складывать, умножать, делить и вычитать дроби и числа) тоже никто не отменял.

Этого будет вполне достаточно. Если это по ходу моего повествования окажется не так, то не сердись, придётся вспомнить что-нибудь ещё, не упомянутое здесь.

Итак, настало время переходить к тригонометрическим уравнениям.

Что же это такое, как ты думаешь? Является ли, например, уравнение

 

тригонометрическим?

Ты и сам прекрасно понимаешь, что нет! Потому что ни одной тригонометрической функции   в нём и в помине нет!

А что насчёт вот такого уравнения?

 

и опять ответ отрицательный! Это так называемое уравнение смешанного типа: оно содержит как тригонометрическую составляющую, так и линейную ( ). Некоторые типы подобных уравнений мы будем с тобой решать в следующих статьях по данной тематике.

Но вернёмся к вопросу: что же такое тригонометрические уравнения?

Ответ:

Тригонометрические уравнения - это уравнения, в которых неизвестная находится строго под знаком тригонометрической функции!

Например:

 

 

  и т.д.

Однако в данной статье мы не будем решать сложные и иногда неприступные тригонометрические уравнения, а ограничимся самыми простыми уравнениями вида:

 

 

 

 

где   – некоторое постоянное число ( ) и т. д., а   – некоторая функция, зависящая от искомой переменной  , например   и т. д.

Такие уравнения называются простейшими! И основная цель решения ЛЮБОГО тригонометрического уравнения – это свести его к виду простейшего!!

Для этого, как правило, используют аппарат, который я описал в разделе "Формулы тригонометрии"

Так что очень важно, я бы даже сказал, жизненно необходимо научиться решать простейшие уравнения, ибо они – фундамент для решения сложных примеров.

Более того, простейшие тригонометрические уравнения могут встретиться ДО ЧЕТЫРЕХ РАЗ в заданиях ЕГЭ:

- это может быть задача B5 (простейшее тригонометрическое уравнение – встречается время от времени),

- B14 (в конечном счёте сводится к решению простейшего тригонометрического уравнения – ОЧЕНЬ ЧАСТО ВСТРЕЧАЕТСЯ В ЕГЭ),

- B12 (задача с прикладным содержанием, которая включает в себя решение тригонометрического уравнения – встречается изредка),

- С1 (решение тригонометрического уравнения средней сложности – ОЧЕНЬ ЧАСТО, ПРАКТИЧЕСКИ ВСЕГДА!).

Так что, как ты понимаешь, при некоторых раскладах, навык решения данного вида уравнений может добавить в твою копилку аж 5 БАЛЛОВ ЕГЭ из 30!

Круто, да? 

Есть два способа решения тригонометрических уравнений – через формулы и по кругу.

В принципе, я не могу сказать, что легче: держать в голове, как строится круг, или помнить 4 формулы. Тут решать тебе самому, однако я всё же предпочитаю решать данные уравнения через формулы, поэтому здесь я буду описывать именно этот метод.

Вначале мы начнём с «самых простейших» из простейших уравнений вида:

 ,

 ,

 ,

 .

Я хочу сразу оговориться вот о чем, будь внимателен:

ПЕРВЫЕ ДВА УРАВНЕНИЯ (а также их более общий случай


 ,  ) имеют смысл только тогда, когда 


 !!!!!!


В то же время уравнения вида  ,   имеют смысл уже при всех значениях  .

 

То есть, тебе не надо знать вообще никаких формул, чтобы спокойно ответить, что уравнения, например:

 

 

 

Корней не имеют!!!

Ещё раз скажу: внимательно обдумай эти слова, они уберегут тебя от многих глупых ошибок!!

Для остальных же случаев формулы вот такие:

         
         
         
         
         

На самом деле в этой таблице данных немного больше, чем нужно. Тебе нужно лишь запомнить первые два её столбца, другие столбцы – частные случаи решения тригонометрических уравнений. Я, допустим, никогда не утруждаю себя их запоминанием, а вывожу ответ из основных формул.

Глядя на таблицу, не возникло ли у тебя пары вопросов?

У меня бы возникли вот какие: что такое   и что такое, например  ?

Отвечаю на все по порядку:

  1.   – Это любое целое число  . В чем уникальная особенность тригонометрических уравнений перед всеми остальными, которые ты изучал? ОНИ ИМЕЮТ БЕСКОНЕЧНОЕ КОЛИЧЕСТВО КОРНЕЙ!!! И число   и служит для обозначения этой «бесконечности». Конечно, вместо   можно писать любую другую букву, только не забывай добавить в ответе:   – что означает, что   – есть любое целое число.
  2. Теперь насчёт арксинуса и других «арок». Вообще, так записываются обратные тригонометрические функции и понимать, скажем,   надо как «угол, синус которого равен  )

     – угол, синус которого равен  
     – угол, косинус которого равен  
     – угол, тангенс которого равен  
      – угол, котангенс которого равен  

    Считаются же они непосредственно по определению:
    Например,

     
     .

То есть алгоритм их вычисления такой: смотрим на то, что стоит под «аркой» – какое там число.

Второе – смотрим, какая у нас «арка» – для синуса ли, или для косинуса, тангенса…

Третье – смотрим, чему равен угол (1 четверти), для которого синус или косинус или… равен числу, стоящему под аркой.

Четвёртое – записываем ответ.

Вот простой пример:

 

  1. Под аркой число  
  2. Арка для функции косинус!
  3. Косинус какого угла равен  ?
  4. Угла   (или   градусов!)
  5. Тогда  

Сам посчитай:

  •  
  •  

Ответы:   и  .

Всё ли я сказал про арки? Почти что да! Остался вот какой момент. Что делать, если арка берётся от отрицательного числа?

Лезть в таблицу – как бы не так! Для арок выполняются следующие формулы:

  1.  
  2.  
    И внимание!!!
  3.  
  4.  

Чтобы запомнить, ориентируемся на обычные тригонометрические функции: грубо говоря, синус и тангенс мы смотрим на тригонометрической окружности по вертикальной оси, а косинус и котангенс – по горизонтальной.

Соответственно, для арксинуса и арктангенса выбираем две четверти по вертикали: первую и четвёртую(минусик выносится из аргумента и ставится перед функцией), а для арккосинуса и арккотангенса – по горизонтали: первую и вторую.

В первой и второй четвертях аргумент уже не может быть отрицательным, поэтому и получаются формулы не совсем похожими.

Ну всё, теперь мы можем приступать к решению простейших уравнений!

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
  9.  
  10.  
  11.  

Ну что, давай решать вместе!

1.  

 

 
Запишу по определению:


 

 

 
Всё готово, осталось только упростить, посчитав значение арксинуса. Синус какого угла равен  ? Правильно, синус угла  !

Тогда запишу ответ:

 

 

 
Вот и всё, элементарно, правда?

 

2.  

Снова по определению:


 

 

 
Так оставлять нельзя! Вначале вынесу «минус» из арксинуса!


 

 

 
Что по сути означает этот минус? Это означает умножение на минус единицу!!!


 

 

 
По правилам умножения степеней соберу две «минус единицы в одну запись»!


 
Осталось посчитать арксинус: Синус какого угла равен  ? Правильно, синус угла  !

Тогда запишу ответ:

 

Можешь запомнить на будущее: что если ты решаешь тригонометрическое уравнение с отрицательной правой частью, то ты решаешь его, не глядя на эту «отрицательность», просто «загоняя» её в степень минус единицы!

3.  

 

 
Пример-ловушка! Невнимательный ученик бы записал ответ в лоб:


 

 

 
Или того хуже:


 

 

 
Так как  

 

 
Но ты же внимательно читал мои пространные рассуждения, не так ли? И ты ведь не напишешь такую чушь? И ты понял, в чем здесь подвох? А подвох вот в чем:


 

 

 
А мы помним, что если правая часть тригонометрического уравнения больше   (или меньше  ), то такое уравнение решений не имеет в принципе!!

Второе рассуждение тем более ересь:   надо понимать как: угол, синус которого равен  .

А ну-ка попытайся в таблице найти такой угол, синус которого равен  ?! Не нашёл? То-то же!

В общем, из того, что   никак не следует, что и  !!

Из этого только следует, что  !

 

4.  

 

 
По определению:


 

 

 
Или вынесем минус (как в примере 2):


 

 

 
На этом стоп! Такого числа как   нет в таблице значений тригонометрических функций, поэтому оставим всё как есть:

Ответ:  

 

5.  

 

 
И снова по определению (теперь для уравнения другого вида)


 

 

 
Чему равен угол, косинус которого равен  ? Этот угол равен  !


 

 

 
Тогда нет смысла прибавлять или вычитать ноль, всё равно это ноль.


 

Получили формулу, которая есть в таблице решений тригонометрических уравнений!

6.  

 

 
По определению:

 

Прежде всего вынесем «минус» по правилам для арккосинуса:

 

Вот так и никак иначе выносится минус, запомни это!


Теперь арккосинус.

Не во всех таблицах есть значение  , но во всех есть  !!!

А теперь, внимание, ловкость рук и никакого мошенничества!

 
 

Я не зря выделил это замечание таким крупным шрифтом, запомни это тождество хорошенько! Оно спасёт тебя в очень многих случаях!!


Итак, чему же равен угол, косинус которого равен  (или одно и то же   ) ? Верно, это угол  .


Тогда:

 
 
 

Ответ:  

7.  

 

 
Ещё один пример-обманка! Хотя данное уравнение решения имеет, ибо:


 

 

 
Тогда по определению:


 

 

 
Но из этого никак не следует, что  !!!!!!

Запомни, арккосинус – это угол, его аргумент (начинка) – это число, а выход – угол!!!

Ты когда-нибудь встречал в своей практике такой странный угол как  ?! Вот и я нет. Поэтому оставим как есть!

Ответ:  

 

8.  

 

 
Всё просто:   и решений данное уравнение не имеет.

9.  

 

 
Запишем по определению:


 

 

 
  – не табличное значение, поэтому ответ сохраняем неизменным.

Обрати внимание, что в отличие от уравнений с синусом и косинусом, здесь мне не уже важно, какое у меня число стоит в правой части уравнения.

10.  

 

 
Снова по определению:


 

Без проблем выносим минус из арккотангенса:


 

Вычисляем: котангенс какого угла равен  ? Это угол  . Записываем ответ:

Ответ:  .

 

11.  

 

 
По формуле:


 .


Котангенс какого угла равен  ? Это угол  .

Ответ:  .

Ну как, материал не кажется тебе слишком сложным? Я надеюсь, что нет. Теперь давай порешаем для закрепления чуть более сложные задачки:

  1. Най­ди­те корни урав­не­ния:  .
    В от­ве­те за­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный ко­рень.
  2. Най­ди­те корни урав­не­ния: .
    В ответ за­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный ко­рень.
  3. Ре­ши­те урав­не­ние  .
    В от­ве­те на­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный ко­рень.

Решение:

1. Най­ди­те корни урав­не­ния:  \displaystyle cos\frac{8\pi x}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2} .

Логика простая: будем поступать так, как поступали раньше не взирая на то, что теперь у тригонометрических функций стал более сложный аргумент!

Если бы мы решали уравнение вида:

 

 

 

 
То мы бы записали вот такой ответ:

 

 

 

 
Или (так как  )
 

Но теперь в роли   у нас выступаем вот такое выражение:  

Тогда можно записать:

\displaystyle \frac{8\pi x}{6}=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi n

 
Наша с тобою цель – сделать так, чтобы слева стоял просто  , без всяких «примесей»!

Давай постепенно от них избавляться!


Вначале уберём знаменатель при  : для этого домножим наше равенство на  :


 
 
 

 

 
Теперь избавимся от  , разделив на него обе части:


 
 

 

 

 
Теперь избавимся от восьмёрки:


 
 

 

 

 
Полученное выражение можно расписать как 2 серии решений (по аналогии с квадратным уравнением, где мы либо прибавляем, либо вычитаем дискриминант)


  или  

 

 

 
Нам нужно найти наибольший отрицательный корень! Ясно, что надо перебирать  . Рассмотрим вначале первую серию:


 

 

 

 
Ясно, что если мы будем брать   то в результате мы будем получать положительные числа, а они нас не интересуют.

Значит   нужно брать отрицательным. Пусть  . Тогда:


 

 

 

 
При   корень будет уже:


 

 

 

 
А нам нужно найти наибольший отрицательный!! Значит идти в отрицательную сторону здесь уже не имеет смысла. И наибольший отрицательный корень для этой серии будет равен  .

Теперь рассматриваем вторую серию:


 

 

 
И опять подставляем:  , тогда:


  - не интересует!


Тогда увеличивать   больше не имеет смысла! Будем уменьшать! Пусть  , тогда:


  - подходит!


Пусть  . Тогда


 

 

 

 
Тогда   - наибольший отрицательный корень!

Ответ:  

 

 

 

2.  

 

 

 

 
Опять решаем, не взирая на сложный аргумент косинуса:

 

 
 

 

Теперь снова выражаем   слева:

  (умножаем обе стороны на  )
 
  (делим обе стороны на  )
 

 

 

 
Всё, что осталось – это перенести   вправо, изменив её знак с минуса на плюс.
 

 

 

 
У нас опять получается 2 серии корней, одна с  , а другая с  .
  или  

 

 

 
Нам нужно найти наибольший отрицательный корень. Рассмотрим первую серию:


 

 

 

 
Ясно, что первый отрицательный корень мы получим при  , он будет равен   и будет наибольшим отрицательным корнем в 1 серии.

Для второй серии


 

 

Первый отрицательный корень будет получен также при   и будет равен  . Так как  , то   – наибольший отрицательный корень уравнения.

Ответ:  .

 

 

3.  

 

 

 

 
Решаем, не взирая на сложный аргумент тангенса.


 
 
 

 

 

Как и раньше, выражаем   в левой части:

 
 
 
 

 

 

 
Ну вот и замечательно, здесь вообще всего одна серия корней! Опять найдём наибольший отрицательный.

Ясно, что он получается, если положить  . И корень этот равен  .

Ответ:   \displaystyle -1 .

 

Вот, вроде бы ничего сложного, не так ли? Теперь попробуй самостоятельно решить следующие задачки:

  1. Ре­ши­те урав­не­ние  .
    В от­ве­те на­пи­ши­те наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный ко­рень.
  2. Ре­ши­те урав­не­ние  .
    В от­ве­те на­пи­ши­те наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный ко­рень.
  3. Ре­ши­те урав­не­ние  .
    В от­ве­те на­пи­ши­те наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный ко­рень.

Готов? Проверяем. Я не буду подробно описывать весь алгоритм решения, мне кажется, ему и так уделено достаточно внимания выше.Ну что, всё правильно? Ох уж эти гадкие синусы, с ними всегда какие-то беды! Ну что же, теперь ты умеешь решать простейшие тригонометрические уравнения.

 

  1.  
     
     
    Выразим  :
     
     
    Наименьший положительный корень получится, если положить  , так как  , то  

    Ответ:  

  2.  
     
     
     
     
     
    Наименьший положительный корень получится при  . Он будет равен  .

    Ответ:  .

  3.  
     
     
     
     
     
     
     
    При   получаем  , при   имеем  .

    Ответ:  .

 

 

Эти знания помогут тебе решать многие задачи, с которыми ты столкнёшься в экзамене.

Если же ты претендуешь на оценку «5», то тебе просто необходимо перейти к чтению статьи для среднего уровня, которая будет посвящена решению более сложных тригонометрических уравнений (задание С1).

В этой статье я опишу решение тригонометрических уравнений более сложного типа и как производить отбор их корней. Здесь я буду опираться на следующие темы:

  1. Тригонометрические уравнения для начального уровня.
  2. Формулы тригонометрии

Рекомендую тебе прежде ознакомиться с содержанием этих двух статей, прежде чем приступать к чтению и разбору этого чтиво. Итак, все готово? Прекрасно. Тогда вперед. Более сложные тригонометрические уравнения – это основа задач С1. В них требуется как решить само уравнение в общем виде, так и найти корни этого уравнения, принадлежащие некоторому заданному промежутку.

Решение тригонометрических уравнений сводится к двум подзадачам:

  1. Решение уравнения
  2. Отбор корней

Следует отметить, что второе требуется не всегда, но все же в большинстве примеров требуется производить отбор. А если же он не требуется, то тебе скорее можно посочувствовать – это значит, что уравнение достаточно сложное само по себе.

Мой опыт разбора задач С1 показывает, что они как правило делятся на вот такие категории:

  1. Уравнения, сводящиеся к разложению на множители.
  2. Уравнения, сводящиеся к виду  .
  3. Уравнения, решаемые заменой переменной.
  4. Уравнения, требующие дополнительного отбора корней из-за иррациональности или знаменателя.

Говоря по-простому: если тебе попалось одно из уравнений первых трех типов, то считай, что тебе повезло. Для них как правило дополнительно нужно подобрать корни, принадлежащие некоторому промежутку. Если же тебе попалось уравнение 4 типа, то тебе повезло меньше: с ним нужно повозиться подольше и повнимательнее, зато довольно часто в нем не требуется дополнительно отбирать корни. Тем не менее данный тип уравнений я буду разбирать в следующей статье, а эту посвящу решению уравнений первых трех типов.

Уравнения, сводящиеся к разложению на множители

Самое важное, что тебе нужно помнить, чтобы решать уравнения этого типа это

  1. Формулы приведения
  2. Синус, косинус двойного угла

Как показывает практика, как правило, этих знаний достаточно. Давай обратимся к примерам:

Пример 1.

  • Ре­ши­те урав­не­ние  
  • Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку  

Здесь, как я и обещал, работают формулы приведения:

 

Тогда мое уравнение примет вот такой вид:

 

Что дальше? А дальше обещанный мною второй пункт программы – синус двойного угла:

 

Тогда мое уравнение примет следующую форму:

 

Недальновидный ученик мог бы сказать: а теперь я сокращу обе части на  , получаю простейшее уравнение   и радуюсь жизни! И будет горько заблуждаться!

ЗАПОМНИ: НИКОГДА НЕЛЬЗЯ СОКРАЩАТЬ ОБЕ ЧАСТИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ НА ФУНКЦИЮ, СОДЕРЖАЩУЮ НЕИЗВЕСТНУЮ! ТАКИМ ОБРАЗОМ, ТЫ ТЕРЯЕШЬ КОРНИ!

Так что же делать? Да все просто, переносить все в одну сторону и выносить общий множитель:

 

 

Ну вот, на множители разложили, ура! Теперь решаем:

  или  

Первое уравнение имеет корни:

 .

А второе:

 

На этом первая часть задачи решена. Теперь нужно отобрать корни:

Промежуток вот такой:  

Или его еще можно записать вот так:  

Ну что, давай отбирать корни:

Вначале поработаем с первой серией (да и проще она, что уж говорить!)

 .

Так как наш промежуток – целиком отрицательный, то нет нужды брать неотрицательные  , все равно они дадут неотрицательные корни.
Возьмем  , тогда   – многовато, не попадает.
Пусть  , тогда   – снова не попал.
Еще одна попытка -  , тогда   – есть, попал! Первый корень найден!
Стреляю еще раз:  , тогда   – еще раз попал!
Ну и еще разок:  :   - это уже перелет.
Так что из первой серии промежутку   принадлежат 2 корня:  .

Работаем со второй серией (возводим   в степень по правилу):

 

 

  – недолет!

  – снова недолет!

  – опять недолет!

  – попал!

  – перелет!

Таким образом, моему промежутку принадлежат вот такие корни:

 .

Вот по такому алгоритму мы и будем решать все другие примеры. Давай вместе потренируемся еще на одном примере.

Пример 2.

  • Решите уравнение  
  • Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку  .

Решение:

Опять пресловутые формулы приведения:

 

 

Опять не вздумай сокращать!

 

 

Откуда

  или  

Первое уравнение имеет корни:

 

А второе:

 

Теперь снова поиск корней. Начну со второй серии, мне про нее уже все известно из предыдущего примера! Посмотри и убедись, что корни, принадлежащие промежутку   следующие:

 

Теперь вторая серия, она попроще:

 

Если   – подходит

Если   – тоже годится

Если   – уже перелет.

Тогда корни будут следующие:

 

Ну что, техника тебе ясна? Решение тригонометрических уравнений уже не кажется таким сложным? Тогда быстренько прорешай следующие задачки самостоятельно, а потом мы с тобой будем решать другие примеры:

  1. Решите уравнение  
    Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие промежутку  .
  2. Ре­ши­те урав­не­ние  
    Ука­жи­те корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку  
  3. Ре­ши­те урав­не­ние  
    Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку  .

Ну что, все сделал внимательно и аккуратно? Давай проверять:

Пример 1.

 

И снова формула приведения:

 

 

 

 

 

  или  

 

Первая серия корней:

 .

Вторая серия корней:

 

Начинаем отбор для промежутка  

     
     
     
    - перелет   - перелет

Ответ:  ,  ,  .

Пример 2.

 

Довольно хитрая группировка на множители (применю формулу синуса двойного угла):

 

 

 

 

тогда   или  

  или  

  или  

Это общее решение. Теперь надо отбирать корни. Беда в том, что мы не можем сказать точное значение угла, косинус которого равен одной четверти. Поэтому я не могу просто так избавиться от арккосинуса – вот такая досада!

Что я могу сделать, так это прикинуть, что так как  , то  .

 

Составим таблицу: промежуток:  

     
    - недолет  
Для  :   - недолет
Для    - попал
    - пока еще недолет  
Для  :   - перелет
Для    - перелет
    - еще недолет Перелет!
    - уже перелет

Ну что же, путем мучительных поисков мы пришли к неутешительному выводу о том, что наше уравнение имеет один корень на указанном промежутке:  

Пример 3.

 

Уравнение пугающего вида. Однако решается довольно просто путем применения формулы синуса двойного угла:

 

Сократим на 2:

 

Сгруппируем первое слагаемое со вторым и третье с четвертым и вынесем общие множители:

 

 

  или  

Ясно, что первое уравнение корней не имеет, а теперь рассмотрим второе:

 

Вообще я собирался чуть позже остановиться на решении таких уравнений, но раз уж подвернулось, то делать нечего, надо решать...

Уравнения вида:    - числа

Данное уравнение решается делением обеих частей на  :

 
 
 
 

Таким образом, наше уравнение имеет единственную серию корней:

 

Нужно найти те из них, которые принадлежат промежутку:  .

Опять построим табличку, как я делал и ранее:

   
   
    - попал!
    - перелет!

Ответ:  .

Уравнения, сводящиеся к виду  

Ну вот, теперь самое время переходить ко второй порции уравнений, тем более, что я уже и так проболтался в чем состоит решение тригонометрических уравнений нового типа. Но не лишним будет повторить, что уравнение вида

 

Решается делением обеих частей на косинус:

 

 

 

Таким образом, решить уравнение вида

 

Все равно, что решить

 

Мы только что рассмотрели, как это происходит на практике. Однако давай решим еще и вот такие примеры:

  1. Ре­ши­те урав­не­ние  
    Ука­жи­те корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку  .
  2. Ре­ши­те урав­не­ние  
    Ука­жи­те корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку  .

Пример 1.

Первое – ну совсем простое. Перенесем   вправо и применим формулу косинуса двойного угла:

 

 

Ага! Уравнение вида:  . Делю обе части на  

 

 

 

Делаем отсев корней:

Промежуток:  

   
    - попал
    - попал
    - перелет!

Ответ:  

Пример 2.

Все тоже довольно тривиально: раскроем скобки справа:

 

Основное тригонометрическое тождество:

 

Синус двойного угла:

 

Окончательно получим:

 

Или

 .

 

Отсев корней: промежуток  .

   
    - попал
    - попал
    - перелет!

Ответ:  .

Ну как тебе техника, не слишком сложна? Я надеюсь, что нет. Сразу можно оговориться: в чистом виде уравнения, которые тут же сводятся к уравнению относительно тангенса, встречаются довольно редко. Как правило, этот переход (деление на косинус) является лишь частью более сложной задачи. Вот тебе пример, чтобы ты мог поупражняться:

  • Ре­ши­те урав­не­ние  
  • Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку  .

Давай сверяться:

Уравнение решается сразу же, достаточно поделить обе части на  :

 

 

 

 

 

Отсев корней:

   
    - маленький недолет на  
    - попал!
    - снова в яблочко!
    - и снова удача на нашей стороне!
    - на сей раз уже перелет!

Ответ:  .

Так или иначе, нам еще предстоит встретиться с уравнениями того вида, которые мы только что разобрали. Однако нам еще рано закругляться: остался еще один «пласт» уравнений, которые мы не разобрали. Итак:

Решение тригонометрических уравнений заменой переменной

Здесь все прозрачно: смотрим пристально на уравнение, максимально его упрощаем, делаем замену, решаем, делаем обратную замену! На словах все очень легко. Давай посмотрим на деле:

Пример.

  • Решить уравнение:  .
  • Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку  .

Ну что же, здесь замена сама напрашивается к нам в руки!

 

Тогда наше уравнение превратится вот в такое:

 

 

 

Тогда  

Отсюда  ,  .

Первое уравнение имеет корни:

 

А второе вот такие:

 

Теперь найдем корни, принадлежащие промежутку  

     
  Для    - подходит!
Для    - выскочил за интервал
Для    - подходит!
Для    - снова выскочил за интервал!
  Выскочил за интервал Выскочил за интервал

Ответ:  .

Давай вместе разберем чуть более сложный пример:

  • Ре­ши­те урав­не­ние  
  • Ука­жи­те корни дан­но­го урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку  .

Здесь замена сразу не видна, более того, она не очень очевидна. Давай вначале подумаем: а что мы можем сделать?

Можем, например, представить

 

А заодно и

 

Тогда мое уравнение примет вид:

 

 

 

А теперь внимание, фокус:

Давай разделим обе части уравнения на  :

 

 

Внезапно мы с тобой получили квадратное уравнение относительно  ! Сделаем замену  , тогда получим:

 

Уравнение имеет следующие корни:

 

Отсюда:

 .

 

Или

 .

 

Неприятная вторая серия корней, но ничего не поделаешь! Производим отбор корней на промежутке  .

Нам также нужно учитывать, что

Так как   и   , то

 

     
    - маловато   - маловато
    - подойдет   - подойдет
    - перебор    - перебор

Ответ:  

Для закрепления, прежде чем ты сам будешь решать задачи, вот тебе еще упражнение:

  • Ре­ши­те урав­не­ние  
  • Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку  .

Здесь нужно держать ухо востро: у нас появились знаменатели, которые могут быть нулевыми! Поэтому надо быть особо внимательными к корням!

Прежде всего, мне нужно преобразовать уравнение так, чтобы я мог сделать подходящую замену. Я не могу придумать сейчас ничего лучше, чем переписать тангенс через синус и косинус:

 

 

Теперь я перейду от косинуса к синусу по основному тригонометрическому тождеству:

 

И, наконец, приведу все к общему знаменателю:

 

 

 

Теперь я могу перейти к уравнению:

 

Но при   (то есть при  ).

Теперь все готово для замены:  

 

 

Тогда   или  

Однако обрати внимание, что если  , то при этом  !

Кто от этого страдает? Беда с тангенсом, он не определен, когда косинус равен нулю (происходит деление на ноль).

Таким образом, корни уравнения следующие:

 

Теперь производим отсев корней на промежутке  :

   
    - подходит
    - перебор

Таким образом, наше уравнение имеет единственный корень на промежутке   , и он равен  .

Видишь: появление знаменателя (также, как и тангенса, приводит к определенным затруднениям с корнями! Тут нужно быть более внимательным!).

Ну что же, мы с тобой почти закончили разбор тригонометрических уравнений, осталось совсем немного – самостоятельно решить две задачи. Вот они.

  1. Решите уравнение  
    Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку  .
  2. Ре­ши­те урав­не­ние  
    Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку  .

Решил? Не очень сложно? Давай сверяться:

  1. Работаем по формулам приведения:
     
    Подставляем в уравнение:
     
    Перепишем все через косинусы, чтобы удобнее было делать замену:
     
     
     
    Теперь легко сделать замену:
     
     
     
    Ясно, что   - посторонний корень, так как уравнение   решений не имеет. Тогда:
     
     
    Ищем нужные нам корни на промежутке  
       
      Для    - подходит
    Для  :   - подходит
      Для    - выскочил
    Для    - тем более выскочил

    Ответ:  .

  2.  
    Здесь замена видна сразу:  
     
     
    Тогда   или  
     
    или
     
    Отбор корней на промежутке  :
         
        - подходит!   - подходит!
        - подходит!   - подходит!
        - много!   - тоже много!

    Ответ:  

Ну вот, теперь все! Но решение тригонометрических уравнений на этом не заканчивается, за бортом у нас остались самые сложные случаи: когда в уравнениях присутствует иррациональность или разного рода «сложные знаменатели». Как решать подобные задания мы рассмотрим в статье для продвинутого уровня.

В дополнение к рассмотренным в предыдущих двух статьях тригонометрическим уравнениям, рассмотрим еще один класс уравнений, которые требуют еще более внимательного анализа. Данные тригонометрические примеры содержат либо иррациональность, либо знаменатель, что делает их анализ более сложным. Тем не менее ты вполне можешь столкнуться с данными уравнениями в части С экзаменационной работы. Однако нет худа без добра: для таких уравнений уже, как правило, не ставится вопрос о том, какие из его корней принадлежат заданному промежутку. Давай не будем ходить вокруг да около, а сразу тригонометрические примеры.

Пример 1.

Решить уравнение   и найти те корни, которые принадлежат отрезку  .

Решение:

У нас появляется знаменатель, который не должен быть равен нулю! Тогда решить данное уравнение – это все равно, что решить систему

 

Решим каждое из уравнений:

 

 

  или  

  или  

А теперь второе:

 

 

или   

Теперь давай посмотрим на серию:

 

Ясно, что нам не подходит вариант  , так как при этом у нас обнуляется знаменатель (см. на формулу корней второго уравнения)

Если же   – то все в порядке, и знаменатель не равен нулю! Тогда корни уравнения следующие:  ,  .

Теперь производим отбор корней, принадлежащих промежутку  .

     
    - не подходит   - подходит
    - подходит   - подходит
  перебор перебор

Тогда корни следующие:  

Видишь, даже появление небольшой помехи в виде знаменателя существенно отразилось на решении уравнения: мы отбросили серию корней, нулящих знаменатель. Еще сложнее может обстоять дело, если тебе попадутся тригонометрические примеры имеющие иррациональность.

Пример 2.

Решите уравнение:  

Решение:

Ну хотя бы не надо отбирать корни и то хорошо! Давай вначале решим уравнение, не взирая на иррациональность:

 

 

 

 

И что, это все? Нет, увы, так было бы слишком просто! Надо помнить, что под корнем могут стоять только неотрицательные числа. Тогда:

 

Решение этого неравенства:

 

Теперь осталось выяснить, не попала ли ненароком часть корней первого уравнения туда, где не выполяется неравенство  .

Для этого можно опять воспользоваться таблицей:

     
   :  , но   Нет!
    Да!
    Да!

Таким образом, у меня «выпал» один из корней! Он получается, если положить  . Тогда ответ можно записать в следующем виде:

Ответ:  

Видишь, корень требует еще более пристального внимания! Усложняем: пусть теперь у меня под корнем стоит тригонометрическая функция.

Пример 3.

 

Как и раньше: вначале решим каждое отдельно, а потом подумаем, что же мы наделали.

 

 

Теперь второе уравнение:

 

 

 

Теперь самое сложное – выяснить, не получаются ли отрицательные значения под арифметическим корнем, если мы подставим туда корни из первого уравнения:

 

Число   надо понимать как   радианы. Так как   радиана – это примерно   градусов, то   радианы – порядка   градусов. Это угол второй четверти. Косинус второй четверти имеет какой знак? Минус. А синус? Плюс. Так что можно сказать про выражение:

 

Оно меньше нуля!

 

А значит   – не является корнем уравнения.

Теперь черед  .

 

Сравним это число с нулем.

 

 

 

Котангенс – функция убывающая в 1 четверти (чем меньше аргумент, тем больше котангенс).   радианы – это примерно   градусов. В то же время

  так как  , то  , а значит и
 ,

Ответ:  .

Может ли быть еще сложнее? Пожалуйста! Будет труднее, если под корнем по-прежнему тригонометрическая функция, а вторая часть уравнения – снова тригонометрическая функция.

Чем больше тригонометрических примеров, тем лучше, смотри дальше:

Пример 4.

 

 

 

 

  – корень   не годится, ввиду ограниченности косинуса

 

 

Теперь второе:

 

 

 

В то же время по определению корня:

 

 

Надо вспомнить единичную окружность: а именно те четверти, где синус меньше нуля. Какие это четверти? Третья и четвертая. Тогда нас будут интересовать те решения первого уравнения, которые лежат в третьей или четвертой четверти.

 

  или  

Первая серия дает корни, лежащие на пересечении третьей и четвертой четверти. Вторая же серия – ей диаметрально противоположная – и порождает корни, лежащие на границе первой и второй четверти. Поэтому эта серия нам не подходит.

Ответ:   

И опять тригонометрические примеры с «трудной иррациональностью». Мало того, что у нас снова под корнем тригонометрическая функция, так теперь она еще и в знаменателе!

Пример 5.

 

Ну, ничего не поделаешь – поступаем как и раньше.

 

 

 

 

 

 

  или  

  или  

Теперь работаем со знаменателем:

 

Я не хочу решать тригонометрическое неравенство, а потому поступлю хитро: возьму и подставлю в неравенство мои серии корней:

 

Если   – четное,   то имеем:

 

 

так как  , то все углы вида   лежат в четвертой четверти. И снова сакральный вопрос: каков знак синуса в четвертой четверти? Отрицательный. Тогда неравенство

 

неверно!

Если же  -нечетное  , то:

 

 

 

В какой четверти лежит угол   ? Это угол второй четверти. Тогда все углы   – снова углы второй четверти. Синус там положительный. Как раз то, что надо! Значит, серия:

  – подходит!

Точно так же разбираемся со второй серией корней:

 .

Подставляем в наше неравенство:

 

Если   – четное  , то

 

 

  – углы первой четверти. Синус там положительный, значит серия   подходит. Теперь если   – нечетное  , то:

 

тоже подходит!

Ну вот, теперь записываем ответ!

Ответ:  

Ну вот, это был, пожалуй, наиболее трудоемкий случай. Теперь я предлагаю тебе задачи для самостоятельного решения.

Тренировка

  1.  
  2. Решите   и найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку  .
  3.  

Решения:

  1.  
    Первое уравнение:  
      или  
    ОДЗ корня:
     
     
    Второе уравнение:
     
     
    Отбор корней, которые принадлежат промежутку  
        Принадлежит?
        да
        нет
        нет

    Ответ:  

  2.  
     
     
      или  
      или  
    Но  
     
     
    Рассмотрим:  . Если   – четное, то
      – не подходит!
    Если   – нечетное,  :   – подходит!
    Значит, наше уравнение имеет такие серии корней:
      или  
    Отбор корней на промежутке  :
         
        - не подходит   - подходит
        - подходит   - много
        - подходит много

    Ответ:  ,  ,  .

  3.  
     
     
     или  
    Так как  , то при   тангенс не определен. Тут же отбрасываем эту серию корней!
     
     
     
    Вторая часть:
     
     
    В то же время по ОДЗ требуется, чтобы
     
    Проверяем найденные в первом уравнении корни:
     
    Если знак  :
     
      – углы первой четверти, где тангенс положительный. Не подходит!
    Если знак  :
     
      – угол четвертой четверти. Там тангенс отрицательный. Подходит. Записываем ответ:

Ответ:   .

Мы вместе разобрали в этой статье сложные тригонометрические примеры, но тебе стоит прорешать уравнения самому.

Комментарии

Асет
20 февраля 2018

спасибо, большое Вам!

ответить

Александр
20 февраля 2018

Пожалуйста, Асет! Делитесь текстами с друзьями. Удачи на экзамене!

ответить

Лариса
01 марта 2018

спасибо огромное .Как решать ,если Х находится в промежутке от 2 до 4 ?

ответить

Данил
13 марта 2018

В первом примере для самостоятельного решения 2–√sin(3π2−x)⋅sinx=cosx , получается что Sinx = - 1/корень из двух, почему arcSin 1/корень 2 = пи/4, если пи/4 = 2/корень из 2?

ответить

Sveta
04 мая 2018

Помогите пожалуйста ,Cos(x)-sin(x)cos(4x)=2^1/2

ответить

случайный удивленный
08 мая 2018

в примере, чтоб я мог поупражняться: tg2x=−​3/√​3 2x=−π/6+πn как так? 3 делить на корень из трех получается корень из трех же. и арктангенс пи на 3 будет

ответить

Саада
14 мая 2018

sin^a-3cos^a/2sina×cosa+4cos^2 помогите

ответить

NeO
07 июля 2018

на первом примере sin(п/2+x)= -cosx будет потому что cos минус на II

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем для тебя ВСЕ скрытые примеры учебника до конца учебного года.

Всего 299 руб...

Но твоя помощь бесценна! :)  

Спасибо!

Я хочу помочь YouClever!

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть