Уравнение касательной к графику функции

Геометрический смысл производной

Если плохо разбираешься в производной, то вот тебе полноценный гид по ней, с текстом, примерами и вебинарами: «Производная функции – геометрический смысл и правила дифференцирования»!

Рассмотрим график какой-то функции \( y=f\left( x \right)\):

Выберем на линии графика некую точку \( A\). Пусть ее абсцисса \( {{x}_{0}}\), тогда ордината равна \( f\left( {{x}_{0}} \right)\).

Затем выберем близкую к точке \( A\) точку \( B\) с абсциссой \( {{x}_{0}}+\Delta x\); ее ордината – это \( f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)\):

Проведем прямую через эти точки. Она называется секущей (прямо как в геометрии).

Обозначим угол наклона прямой к оси \( Ox\) как \( \alpha \).

Как и в тригонометрии, этот угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки.

Какие значения может принимать угол \( \alpha \)?

Как ни наклоняй эту прямую, все равно одна половина будет торчать вверх. Поэтому максимально возможный угол – \( 180{}^\circ \), а минимально возможный – \( 0{}^\circ \).

Значит, \( \alpha \in \left[ 0{}^\circ ;180{}^\circ \right)\). Угол \( 180{}^\circ \) не включается, поскольку положение прямой в этом случае в точности совпадает с \( 0{}^\circ \), а логичнее выбирать меньший угол.

Возьмем на рисунке такую точку \( C\), чтобы прямая \( AC\) была параллельна оси абсцисс, а \( BC\) – ординат:

По рисунку видно, что \( AC=\Delta x\), а \( BC=\Delta f\).

Тогда отношение приращений:

\( \frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{BC}{AC}={tg}\alpha \)

(так как \( \angle C=90{}^\circ \), то \( \triangle ABC\) – прямоугольный).

Давай теперь уменьшать \( \Delta x\).

Тогда точка \( B\) будет приближаться к точке \( A\). Когда \( \Delta x\) станет бесконечно малым \( \left( \Delta x\to 0 \right)\), отношение \( \frac{\Delta f}{\Delta x}\) станет равно производной функции в точке \( {{x}_{0}}\).

Что же при этом станет с секущей?

Точка \( B\) будет бесконечно близка к точке \( A\), так что их можно будет считать одной и той же точкой.

Но прямая, имеющая с кривой только одну общую точку – это ни что иное, как касательная (в данном случае это условие выполняется только на небольшом участке – вблизи точки \( A\), но этого достаточно).

Говорят, что при этом секущая занимает предельное положение.

Угол наклона секущей к оси \( \displaystyle Ox\) назовем \( \varphi \). Тогда получится, что производная

\( {f}’\left( {{x}_{0}} \right)\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{=}}\,\frac{\Delta f}{\Delta x}=\ {tg}\varphi \),

то есть

Производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в данной точке

Поскольку касательная – это прямая, давай теперь вспомним уравнение прямой:

\( y=kx+b\).

За что отвечает коэффициент \( \displaystyle k\)? За наклон прямой. Он так и называется: угловой коэффициент.

Что это значит? А то, что равен он тангенсу угла между прямой и осью \( \displaystyle Ox\)!

То есть вот что получается:

\( {f}’\left( {{x}_{0}} \right)=\ {tg}\varphi =k\).

Но мы получили это правило, рассматривая возрастающую функцию. А что изменится, если функция будет убывающей?

Посмотрим: Теперь углы \( \alpha \) и \( \displaystyle \varphi \) тупые. А приращение функции \( \Delta f\) – отрицательное.

Снова рассмотрим \( \triangle ABC\): \( \angle B=180{}^\circ -\alpha \text{ }\Rightarrow \text{ }\ {tg}\angle B=-\ {tg}\alpha \).

С другой стороны, \( \ {tg}\angle B=\frac{AC}{BC}=\frac{-\Delta f}{\Delta x}\).

Получаем: \( \frac{-\Delta f}{\Delta x}=-\ {tg}\alpha \text{ }\Rightarrow \text{ }\frac{\Delta f}{\Delta x}=\ {tg}\alpha \), то есть все, как и в прошлый раз.

Снова устремим точку \( \displaystyle B\) к точке \( \displaystyle A\), и секущая \( \displaystyle AB\) примет предельное положение, то есть превратится в касательную к графику функции в точке \( \displaystyle A\).

Итак, сформулируем окончательно полученное правило:

Производная функции в данной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке, или (что то же самое) угловому коэффициенту этой касательной:

\( {f}’\left( {{x}_{0}} \right)=\ {tg}\varphi =k\)

Это и есть геометрический смысл производной.

Окей, все это интересно, но зачем оно нам? Вот пример:

На рисунке изображен график функции \( \displaystyle y=\mathsf{f}\left( x \right)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \( {{x}_{0}}\).

Найдите значение производной функции \( \displaystyle \mathsf{f}\left( x \right)\) в точке \( {{x}_{0}}\).

Решение.

Как мы недавно выяснили, значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс: 

\( \displaystyle f’\left( x \right)=k=\ {tg}\varphi\).

Значит, для нахождения значения производной нам нужно найти тангенс угла наклона касательной.

На рисунке у нас отмечено две точки, лежащие на касательной, координаты которых нам известны. Так давай достроим прямоугольный треугольник, проходящий через эти точки, и найдем тангенс угла наклона касательной!

Угол наклона касательной к оси \( \displaystyle Ox\) – это \( \displaystyle \angle BAC\). Найдем тангенс этого угла:

\( \displaystyle \ {tg}\angle BAC=\frac{BC}{AC}=\frac{6}{5}=1,2\).

Таким образом, производная функции \( \displaystyle \mathsf{f}\left( x \right)\) в точке \( {{x}_{0}}\) равна \( \displaystyle 1,2\).

Ответ: \( \displaystyle 1,2\).

Теперь попробуй сам.

Еще статью на геометрический смысл производной ты найдешь здесь: «Геометрический смысл производной«.

И посмотри так же вебинар на эту тему (ниже в разделе «Бонус: Вебинар из нашего курса по подготовке к ЕГЭ по математике»)