Высота. Средний уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2018Пройти пробный ОГЭ 2018

Высота треугольника – линия, проведённая из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне.

Высота треугольника. Иллюстрация определения.

Обрати внимание, что, в отличие от биссектрисы и медианы, высота может находиться вне треугольника. Вот так, например:

Частный случай высоты вне треугольника.

Немного о терминологии:основанием высоты называют ту точку, в которой высота пересекает противоположную сторону (или её продолжение).

Задачи, связанные с высотой, часто решаются при помощи знаний о прямоугольном треугольнике. Но попадаются задачи и похитрее, при решении которых лучше обладать дополнительными знаниями заранее, а не выводить их «с нуля». Сейчас мы обсудим некоторые из них.

В треугольнике проведено две высоты

Две высоты в треугольнике. Иллюстрация.

Первый «неожиданный факт»:

 

Почему бы это? Да очень просто! У них общий угол   и оба – прямоугольные. Значит, подобны по двум углам.

Второй «неожиданный» факт:

 
Две высоты в треугольнике. Иллюстрация 2. Здесь тоже подобие по двум углам:   (как вертикальные) и по прямому углу.

Третий, по–настоящему неожиданный факт:

 


Две высоты в треугольнике. Иллюстрация 3.

Вот это уже интереснее, правда? Давай разбираться, почему так.

  • Во-первых, конечно, у этих треугольников есть одинаковый (и даже общий) угол  .
  • А во–вторых …ты помнишь ещё первый "неожиданный" факт? Ну, что  ? Вспоминаем и применяем!

Запишем отношения соответствующих сторон.

Две высоты в треугольнике. Отношение сторон. Иллюстрация 1. Итак,  .Следовательно,  

Перепишем по–другому:  

Отношение сторон. Иллюстрация 1. Ух, да это же – отношение сторон для треугольников   и  !

В итоге мы получили, что у треугольников   и  

  1. Угол   – общий;
  2. Отношение сторон, заключающих этот угол – одинаковы:  .

Значит, мы получили, что:

 

Но самое интересное ещё впереди!

Каков же коэффициент подобия этих треугольников? То есть чему же равно это самое отношение  ?

Рисуем:

Подобные треугольники. Иллюстрация. Где наши знания о прямоугольном треугольнике? Что такое  ? Катет, прилежащий к углу  . А что такое  ? Гипотенуза!

Значит,  .

Потрясающе, не правда ли?

Давай сформулируем ещё раз, чтобы лучше запомнить:

Две высоты в треугольнике. Отношение сторон. Иллюстрация 2.   

Ну вот, две высоты в треугольнике рассмотрены. А теперь…

В треугольнике проведены три высоты.

Как и для медиан, и для биссектрис, для высот треугольника верно следующее утверждение:

В любом треугольнике три высоты или их продолжения пересекаются в одной точке.

Доказывать это утверждение мы здесь, пожалуй, не будем.

Давай просто нарисуем, чтобы понять, как это бывает «высоты или их продолжения».

  1. Треугольник остроугольный – тогда пересекаются сами высоты Остроугольный треугольник. Три высоты - пересекаются.
  2. Треугольник тупоугольный – тогда пересекаются продолжения высот

Что же полезного мы ещё не обсудили?

Угол между высотами.

Давай узнаем, вдруг угол между высотами можно как–то выразить через углы треугольника? Давай рассмотрим остроугольный треугольник.

Остроугольный треугольник. Угол между высотами. Итак, нам хотелось бы найти  . Смотрим на  . Замечаем, что наш   – внешний угол в этом треугольнике. Значит,  .

Чему же равны   и  ?

Смотри: из   выходит, что  . Конечно, таким же образом из   получается, что  .

Теперь  .

Но что же это такое? Ведь сумма угла углов треугольника -  ! Значит,  .

Итак, что получилось?

Угол между высотами в остроугольном треугольнике равен углу между сторонами, к которым эти высоты проведены.

А как же дело обстоит в тупоугольном треугольнике? Давай смотреть…очень внимательно!

Представим, что у нас «главный» не  , а  .

Тупоугольный треугольник. Высота. Тогда оказывается, что прямые  ,   и   – высоты в  . Но   уже остроугольный (так как все высоты оказались внутри), а про остроугольный треугольник мы уже всё знаем:  . НО!  

Значит, для тупоугольного треугольника:

 .

И ещё кое–что:

Вернёмся–ка к остроугольному треугольнику. Отметим на рисунке равные углы:

Тупоугольный треугольник. Отношение. Что видим теперь? Ещё подобные треугольники!

Как от двух линий вообще могут получиться столько подобных треугольников?!

Но тем не менее…

 

Видишь, какое богатство? И всё это может быть использовано в задачах!

Ну вот, теперь ты узнал что-то новенькое про высоты треугольника. Теперь пробуй применять в задачах всё это – и соображение о том, что высота образует прямоугольный треугольник, и простые подобия прямоугольных треугольников, получающихся при пересечении двух высот, и подобие похитрее - которое с косинусом, и то, что угол между высотами равен углу между сторонами…

Главное, ты не старался просто запоминать все эти факты, а осознай, что их можно очень просто вывести. И тогда, если ты будешь точно знать, например? что две проведённые высоты приносят кучу бонусов в виде всяких подобий, то ты непременно и сам получишь все эти бонусы, а заодно – решение своей задачи!

Комментарии

Дарья Сулейманова
15 января 2018

Сидела и готовилась к зачёту по геометрии около двух часов, заходила на множество разных сайтов. И только на вашем сайте всё написано понятным языком, без заумных терминов. Спасибо!

ответить

Александр (админ)
15 января 2018

Дарья, спасибо! Всей нашей команде очень приятно это слышать. Мы, консультанты, убеждали математиков использовать "человеческий" язык. И они справились очень хорошо. В результате получилось то, что всем нравится. Мы каждый день получаем благодарности. Еще раз спасибо и удачи на зачете!

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть