Квадратные неравенства. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Квадратичная функция

Прежде чем говорить о теме «квадратные неравенства», вспомним что такое квадратичная функция и что из себя представляет ее график.

Квадратичная функция – это функция вида $latex f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c=0$, $latex a\ne 0$

Другими словами, это многочлен второй степени.

График квадратичной функции – парабола (помнишь, что это такое?). Ее ветви направлены вверх, если $latex a>0$, и вниз, если $latex a<0$:

квадратные неравенства рис. 1

Точки пересечения параболы с осью $latex x$ называются нулями функции, они же являются корнями соответсвующего квадратного уравнения:

$latex f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c=0$  (1)

Если уравнение не имеет корней (например, дискриминант отрицательный), значит, парабола не пересекает ось $latex Ox$, и следовательно полностью лежит либо выше этой оси, либо ниже нее. В первом случае (при $latex a>0$) функция принимает только положительные значения при всех $latex \displaystyle x$, а во втором ($latex a<0$) – только отрицательные:

квадратные неравенства рис. 2

В случае, когда у уравнения ($latex 1$) ровно один корень (например, если дискриминант равен нулю), это значит, что график касается оси $latex Ox$:

квадратные неравенства рис. 3

Тогда, аналогично предыдущему случаю, при $latex a>0$ функция неотрицательна ($latex f\left( x \right)\ge 0$) при всех $latex \displaystyle x$, а при $latex a<0$ – неположительна ($latex f\left( x \right)\le 0$).

Ну и, самый распространенный случай – когда уравнение имеет два корня. В этом случае функция где-то положительна, а где-то отрицательна. Причем, по разные стороны любого корня знаки функции всегда будут разными:

квадратные неравенства рис. 4

Поэтому, для того чтобы определить знак выражения, первым делом надо найти корни уравнения (1).

Квадратные неравенства

Квадратные неравенства – это неравенства, состоящие из одной квадратичной функции, то есть, неравенства вида:

$latex a{{x}^{2}}+bx+c\text{ }\vee \text{ }0$; $latex a\ne 0$

где знак $latex \vee $ означает любой из знаков $latex >,\text{ }<,\text{ }\ge ,\text{ }\le $.

Так вот, мы ведь недавно уже научились определять, где квадратичная функция больше нуля, а где – меньше:

  • Если требуется найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен больше нуля, то это числовой промежуток, где парабола лежит выше оси $latex Ox$.
  • Если требуется найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен меньше нуля, то это числовой промежуток, где парабола лежит ниже оси $latex Ox$.

Если квадратное неравенство нестрогое, то корни входят в числовой промежуток, если строгое — не входят.

Если корень только один, – ничего страшного, будет везде один и тот же знак. Если корней нет, все зависит только от коэффициента $latex a$: если $latex a>0$, то все выражение больше $latex 0$, и наоборот.

Итак, общий алгоритм.

Алгоритм Пример: $latex {{x}^{2}}+2{x}-3\ge 0$
1) Запишем соответствующее неравенству квадратное уравнение (просто меняем знак неравенства на знак равенства «$latex =$»). $latex {{x}^{2}}+2{x}-3=0$
2) Найдем корни этого уравнения. $latex {{x}_{1}}=-3;\text{  }{{x}_{2}}=1$
3) Отметим корни на оси $latex Ox$ и схематично покажем ориентацию ветвей параболы («вверх» или «вниз») квадратные неравенства рис. 5
4) Расставим на оси знаки, соответствующие знаку квадратичной функции: там где парабола выше оси, ставим «$latex +$», а там где ниже – «$latex -$». квадратные неравенства рис. 6
5) Выписываем интервал(ы), соответствующий «$latex +$» или «$latex -$», в зависимости от знака неравенства. Если неравенство нестрогое, корни входят в интервал, если строгое — не входят. $latex x\in \left( -\infty ;-3 \right]\cup \left[ 1;+\infty  \right)$

Примеры (реши сам):

  1. $latex -3{{x}^{2}}+2x+5\le 0$
  2. $latex 25{{x}^{2}}-30x+9>0$
  3. $latex 2{{x}^{2}}+4x+3<0$
  4. $latex {{x}^{2}}\ge 9$

Ответы:

1) $latex -3{{x}^{2}}+2x+5\le 0$

$latex D=4-4\cdot \left( -3 \right)\cdot 5=64={{8}^{2}}$

$latex {{x}_{1}}=\frac{-5+8}{-6}=-1;\text{  }{{x}_{2}}=\frac{-2-8}{-6}=\frac{5}{3}$

квадратные неравенства рис. 7

$latex x\in \left( -\infty ;1 \right]\cup \left[ \frac{5}{3};+\infty  \right)$

2) $latex 25{{x}^{2}}-30x+9>0$

$latex D={{\left( -30 \right)}^{2}}-4\cdot 25\cdot 9=0$

$latex {{x}_{1,2}}=\frac{30}{50}=\frac{3}{5}=0,6$

квадратные неравенства рис. 8

$latex x\in \left( -\infty ;0,6 \right)\cup \left( 0,6;+\infty  \right)$

3) $latex 2{{x}^{2}}+4x+3<0$

$latex D={{4}^{2}}-4\cdot 2\cdot 3=-8<0$

Корней нет, поэтому все выражение в левой части принимает знак коэффициента перед $latex {{x}^{2}}$: $latex 2>0\text{  }\Rightarrow \text{  }2{{x}^{2}}+4x+3>0$ при всех $latex x$. А значит, решений нет.

4) $latex {{x}^{2}}\le 9\text{  }\Leftrightarrow \text{  }{{x}^{2}}-9\le 0$

Если кваратичная функция в левой части «неполная» – тем проще находить корни:

$latex {{x}_{1}}=-3;\text{  }{{x}_{2}}=3$.

квадратные неравенства рис. 9

$latex x\in \left[ -3;3 \right]$

Проверь себя — реши квадратные неравенства.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий