Квадратные неравенства. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Квадратичная функция

Прежде чем говорить о теме «квадратные неравенства», вспомним что такое квадратичная функция и что из себя представляет ее график.

Квадратичная функция – это функция вида \(f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c=0\), \(a\ne 0\)

Другими словами, это многочлен второй степени.

График квадратичной функции – парабола (помнишь, что это такое?). Ее ветви направлены вверх, если \(a>0\), и вниз, если \(a<0\):

квадратные неравенства рис. 1

Точки пересечения параболы с осью \(x\) называются нулями функции, они же являются корнями соответсвующего квадратного уравнения:

\(f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c=0\)  (1)

Если уравнение не имеет корней (например, дискриминант отрицательный), значит, парабола не пересекает ось \(Ox\), и следовательно полностью лежит либо выше этой оси, либо ниже нее. В первом случае (при \(a>0\)) функция принимает только положительные значения при всех \(\displaystyle x\), а во втором (\(a<0\)) – только отрицательные:

квадратные неравенства рис. 2

В случае, когда у уравнения (\(1\)) ровно один корень (например, если дискриминант равен нулю), это значит, что график касается оси \(Ox\):

квадратные неравенства рис. 3

Тогда, аналогично предыдущему случаю, при \(a>0\) функция неотрицательна (\(f\left( x \right)\ge 0\)) при всех \(\displaystyle x\), а при \(a<0\) – неположительна (\(f\left( x \right)\le 0\)).

Ну и, самый распространенный случай – когда уравнение имеет два корня. В этом случае функция где-то положительна, а где-то отрицательна. Причем, по разные стороны любого корня знаки функции всегда будут разными:

квадратные неравенства рис. 4

Поэтому, для того чтобы определить знак выражения, первым делом надо найти корни уравнения (1).

Квадратные неравенства

Квадратные неравенства – это неравенства, состоящие из одной квадратичной функции, то есть, неравенства вида:

\(a{{x}^{2}}+bx+c\text{ }\vee \text{ }0\); \(a\ne 0\)

где знак \(\vee \) означает любой из знаков \(>,\text{ }<,\text{ }\ge ,\text{ }\le \).

Так вот, мы ведь недавно уже научились определять, где квадратичная функция больше нуля, а где – меньше:

  • Если требуется найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен больше нуля, то это числовой промежуток, где парабола лежит выше оси \(Ox\).
  • Если требуется найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен меньше нуля, то это числовой промежуток, где парабола лежит ниже оси \(Ox\).

Если квадратное неравенство нестрогое, то корни входят в числовой промежуток, если строгое — не входят.

Если корень только один, – ничего страшного, будет везде один и тот же знак. Если корней нет, все зависит только от коэффициента \(a\): если \(a>0\), то все выражение больше \(0\), и наоборот.

Итак, общий алгоритм.

Алгоритм Пример: \({{x}^{2}}+2{x}-3\ge 0\)
1) Запишем соответствующее неравенству квадратное уравнение (просто меняем знак неравенства на знак равенства «\(=\)»). \({{x}^{2}}+2{x}-3=0\)
2) Найдем корни этого уравнения. \({{x}_{1}}=-3;\text{  }{{x}_{2}}=1\)
3) Отметим корни на оси \(Ox\) и схематично покажем ориентацию ветвей параболы («вверх» или «вниз») квадратные неравенства рис. 5
4) Расставим на оси знаки, соответствующие знаку квадратичной функции: там где парабола выше оси, ставим «\(+\)», а там где ниже – «\(-\)». квадратные неравенства рис. 6
5) Выписываем интервал(ы), соответствующий «\(+\)» или «\(-\)», в зависимости от знака неравенства. Если неравенство нестрогое, корни входят в интервал, если строгое — не входят. \(x\in \left( -\infty ;-3 \right]\cup \left[ 1;+\infty  \right)\)

Примеры (реши сам):

  1. \(-3{{x}^{2}}+2x+5\le 0\)
  2. \(25{{x}^{2}}-30x+9>0\)
  3. \(2{{x}^{2}}+4x+3<0\)
  4. \({{x}^{2}}\ge 9\)

Ответы:

1) \(-3{{x}^{2}}+2x+5\le 0\)

\(D=4-4\cdot \left( -3 \right)\cdot 5=64={{8}^{2}}\)

\({{x}_{1}}=\frac{-5+8}{-6}=-1;\text{  }{{x}_{2}}=\frac{-2-8}{-6}=\frac{5}{3}\)

квадратные неравенства рис. 7

\(x\in \left( -\infty ;1 \right]\cup \left[ \frac{5}{3};+\infty  \right)\)

2) \(25{{x}^{2}}-30x+9>0\)

\(D={{\left( -30 \right)}^{2}}-4\cdot 25\cdot 9=0\)

\({{x}_{1,2}}=\frac{30}{50}=\frac{3}{5}=0,6\)

квадратные неравенства рис. 8

\(x\in \left( -\infty ;0,6 \right)\cup \left( 0,6;+\infty  \right)\)

3) \(2{{x}^{2}}+4x+3<0\)

\(D={{4}^{2}}-4\cdot 2\cdot 3=-8<0\)

Корней нет, поэтому все выражение в левой части принимает знак коэффициента перед \({{x}^{2}}\): \(2>0\text{  }\Rightarrow \text{  }2{{x}^{2}}+4x+3>0\) при всех \(x\). А значит, решений нет.

4) \({{x}^{2}}\le 9\text{  }\Leftrightarrow \text{  }{{x}^{2}}-9\le 0\)

Если кваратичная функция в левой части «неполная» – тем проще находить корни:

\({{x}_{1}}=-3;\text{  }{{x}_{2}}=3\).

квадратные неравенства рис. 9

\(x\in \left[ -3;3 \right]\)

Проверь себя — реши квадратные неравенства.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий