Квадратичная функция. Визуальный гид (2019)
Для начала скажи мне, что такое функция?
Не знаешь? Тогда сперва прочитай тему «Функции» – она несложная, но очень важная.
Итак, ты усвоил что такое функция. Повторим: функция – это правило, по которому каждому элементу одного множества (аргументу) ставится в соответствие некоторый (единственный!) элемент другого множества (множества значений функции). То есть, если у тебя есть функция
Кстати, а с линейной функцией ты уже дружишь? Про нее все написано в теме «Линейная функция» – там ты поймешь, что в функциях ничего страшного нет и научишься понимать и использовать коэффициенты (это циферки перед буквой
И еще, надеюсь, ты умеешь решать квадратные уравнения? Освежить память можно, почитав тему «Квадратные уравнения».
Итак, приступим!
Квадратичная функция. Понятие
Квадратичная функция - это функция вида
Другими словами, квадратичная функция – это зависимость, содержащая аргумент в квадрате. Отсюда и ее название.
Как уже говорилось в теме «Функции», важнейшими понятиями, связанными с любой функцией, являются ее область определения
Какими могут быть значения аргумента квадратичной функции
Значит, область определения – все действительные числа:
А теперь множество значений. Все ли значения может принимать функция?
Достаточно рассмотреть самую простую квадратичную функцию
В каждом отдельном случае область значений будет разная, но всегда – ограниченная.
Квадратичная функция. График
Наверняка ты слышал, что график квадратичной функции называется параболой. Как она выглядит? Сейчас нарисуем.
Построение графика квадратичной функции:
Начнем с простейшей квадратичной функции –
Составим таблицу значений:
x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
y | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
Нарисуем эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией:
Именно так и выглядит парабола. Самая нижняя ее точка называется вершиной, а части спарва и слева от вершины называем ветвями параболы. Как видим, ветви симметричны относительно вертикали, проходящей через вершину.
Рассмотрим теперь другую функцию:
x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
y | 5 | 0 | -3 | -4 | -3 | 0 | 5 |
Сравним два рисунка. Видно, что это как будто одна и та же парабола, просто расположенная в разных местах. Во второй параболе вершина переместилась в точку
Коэффициенты квадратичной функции
Давай разберем, на что влияют коэффициенты квадратичной функции.
Начнем со старшего коэффициента.
Будем рассматривать функции вида
Построим на одном рисунке графики нескольких функций: при
![]() |
Что ты видишь? Чем они отличаются? Какую закономерность можно заметить? |
Во-первых, это невозможно не заметить, если
Так, хорошо. Значит, если парабола пересекает ось
А что такое вершина параболы?
Вершина параболы
Корень уравнения в этом случае указывает на вершину параболы. Если вспомнить формулу корня квадратного уравнения при
Это тоже бывает очень полезно.
Итак, всего возможны шесть разных вариантов расположения параболы. Вот они все на одном рисунке:
А теперь порешаем задачки.
Квадратичная функция. Примеры решения задач
1. График какой из функций избражен на рисунке?
a)
b)
c)
d)
2. Найдите сумму корней квадратного уравнения
3. Найдите произведение корней квадратного уравнения
4. По графику функции
Решения:
1. Первое: куда «смотрят» ветви параболы? Вниз. А что это значит? Правильно,
Дальше посмотрим на точку пересечения с осью
Ну что же,
Итак, наша парабола задается формулой:
2. Проще простого: корни – это точки пересечения параболы с осью
3. То же самое:
4. Хм… Ну, коэффициент с мы бы нашли, да только по оси
Кстати, чему равен старший коэффициент?
Он равен
а произведение – свободному члену:
Ну вот и решили:
Ответ:
КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
Квадратичная функция - функция вида
![]() |
|
Квадратичная функция вида:
![]() |
|
Варианты расположения параболы в зависимости от коэффициента
Для построения параболы необходимо:
1) Найти координаты вершины
2) Построить ось симметрии, проанализировать куда направлены ветви параболы
3) Найти точки пересечения параболы с осью
4) Найти точку пересечения с осью
А теперь я хочу услышать тебя...
Ну вот ты и усвоил, что такое квадратичная функция, какой у нее график, и как пользоваться графиком при решении задач.
А в теме «Построение графика квадратичной функции» ты научишься сам быстро строить любые параболы без таблицы (не по точкам, а как это делают взрослые, серьезные люди).
Насколько трудной была для тебя эта тема?
Все ли ты понял?
Есть ли у тебя вопросы или предложения?
Напиши внизу в комментариях. Мы читаем все.
1-я таблица не соответствует графику
ответить