Квадратичная функция. Начальный уровень.

Квадратичная функция - функция вида  , где  ,   и   ­– любые числа (коэффициенты),   – свободный член.

График квадратичной функции - парабола. Вершина параболы:  .

Квадратичная функция вида:  .

Если коэффициент  , ветви параболы направлены вниз, если   - ветви параболы направлены вверх. Чем больше значение   (по модулю), тем у́же становится парабола (ветви становятся более крутыми). И наоборот, чем меньше  , тем парабола шире.

Варианты расположения параболы в зависимости от коэффициента   и дискриминанта  .

 Для построения параболы необходимо:

1) Найти координаты вершины

2) Построить ось симметрии, проанализировать куда направлены ветви параболы

3) Найти точки пересечения параболы с осью   (нули), если они есть, решив уравнение  

4) Найти точку пересечения с осью  , решив уравнение  .

Для начала скажи мне, что такое функция?

Не знаешь? Тогда сперва прочитай тему «Функции» – она несложная, но очень важная.

Итак, ты усвоил что такое функция. Повторим: функция – это правило, по которому каждому элементу одного множества (аргументу) ставится в соответствие некоторый (единственный!) элемент другого множества (множества значений функции). То есть, если у тебя есть функция  , это значит что каждому допустимому значению переменной   (которую называют «аргументом») соответствует одно значение переменной   (называемой «функцией»). Что значит «допустимому»? Если не можешь ответить на этот вопрос, еще раз вернись к теме «Функции»! Все дело в понятии «область определения»: для некоторых функций не все аргументы одинаково полезны можно подставить в зависимость. Например, для функции   отрицательные значения аргумента   – недопустимы.

Кстати, а с линейной функцией ты уже дружишь? Про нее все написано в теме «Линейная функция» – там ты поймешь, что в функциях ничего страшного нет и научишься понимать и использовать коэффициенты (это циферки перед буквой  ).

И еще, надеюсь, ты умеешь решать квадратные уравнения? Освежить память можно, почитав тему «Квадратные уравнения».

Итак, приступим!

Квадратичная функция. Понятие

Квадратичная функция - это функция вида  , где  ,   и   ­– любые числа (они и называются коэффициентами). Число   называют старшим или первым коэффициентом такой функции,   – вторым коэффициентом, а   – свободным членом.

Другими словами, квадратичная функция – это зависимость, содержащая аргумент в квадрате. Отсюда и ее название.

Как уже говорилось в теме «Функции», важнейшими понятиями, связанными с любой функцией, являются ее область определения   и область значений .

Какими могут быть значения аргумента квадратичной функции  ? Правильно, любыми. Ведь в эту формулу можно подставить любое число (в отличии, например, от функции   – в нее нельзя подставить  ).

Значит, область определения – все действительные числа:

  или  .

А теперь множество значений. Все ли значения может принимать функция?

Достаточно рассмотреть самую простую квадратичную функцию    , чтобы убедиться в обратном: ведь какое бы число мы не возводили в квадрат, результат всегда будет больше или равен нулю. Значит, эта функция всегда не меньше нуля. А вот больше нуля она может быть сколько угодно: ведь бесконечно большой x в квадрате будет еще больше. Таким образом, можем написать для  .

В каждом отдельном случае область значений будет разная, но всегда – ограниченная.

Квадратичная функция. График

Наверняка ты слышал, что график квадратичной функции называется параболой. Как она выглядит? Сейчас нарисуем.

Построение графика квадратичной функции:

Начнем с простейшей квадратичной функции –  .

Составим таблицу значений:

x	-2	-1	0	1	2
y	4	1	0	1	4

Нарисуем эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией:

Именно так и выглядит парабола. Самая нижняя ее точка называется вершиной, а части спарва и слева от вершины называем ветвями параболы. Как видим, ветви симметричны относительно вертикали, проходящей через вершину.

Рассмотрим теперь другую функцию:  . Составим таблицу значений:

x	-2	-1	0	1	2	3	4
y	5	0	-3	-4	-3	0	5

Сравним два рисунка. Видно, что это как будто одна и та же парабола, просто расположенная в разных местах. Во второй параболе вершина переместилась в точку  , а ветви переехали вместе с ней. Да, так оно и есть: все параболы с одинаковым старшим коэффициентом, a выглядят одинаково – даже при разных остальных коэффициентах.

Коэффициенты квадратичной функции

Давай разберем, на что влияют коэффициенты квадратичной функции.
Начнем со старшего коэффициента.
Будем рассматривать функции вида   ( ,   – пусть не мешают).

Построим на одном рисунке графики нескольких функций: при  

Что ты видишь? Чем они отличаются? Какую закономерность можно заметить?

Во-первых, это невозможно не заметить, если  , ветви парабол направлены вниз, а если "\displaystyle. А у нижней параболы? Верно,  .

Так, хорошо. Значит, если парабола пересекает ось   в двух точках, то у нас два корня квадратного уравнения. Если не пересекает – корней нет. Но бывает ведь, что дискриминант уравнения равен нулю, и тогда только один корень. В этом случае парабола касается оси   вершиной:

А что такое вершина параболы?

Вершина параболы

Корень уравнения в этом случае указывает на вершину параболы. Если вспомнить формулу корня квадратного уравнения при  , получим формулу вершины:

 .

Это тоже бывает очень полезно.

Итак, всего возможны шесть разных вариантов расположения параболы. Вот они все на одном рисунке:

А теперь порешаем задачки.

Квадратичная функция. Примеры решения задач

1. График какой из функций избражен на рисунке?

a)  

b)  

c)  

d)  

2. Найдите сумму корней квадратного уравнения  , если на рисунке приведен график функции  :

3. Найдите произведение корней квадратного уравнения  , если на рисунке приведен график функции  :

4. По графику функции   определите коэффициенты   и  :

Решения:

1. Первое: куда «смотрят» ветви параболы? Вниз. А что это значит? Правильно,  . То есть вариант b) сразу не подходит.

Дальше посмотрим на точку пересечения с осью  . Что нам дает эта точка? Вспоминай. Это – свободный член c. Значит,   – отбросим вариант a).

Ну что же,   осталось определить b. Тут нам поможет вершина. Напоминаю, что ее координата вычисляется по формуле:  . В нашем случае  . Тогда:

 .

Итак, наша парабола задается формулой:  . Это вариант ответа d)

2. Проще простого: корни – это точки пересечения параболы с осью  . Смотрим:  ,  . Значит, их сумма  .

3. То же самое:  ,  . Произведение  .

4. Хм… Ну, коэффициент с мы бы нашли, да только по оси   нет обозначений. Зато показаны точки пересечения с осью  . А это ведь корни уравнения  . Как это нам поможет?

Кстати, чему равен старший коэффициент?

Он равен  . Как называется такое квадратное уравнение? Вспоминай: оно называется приведенным. Теперь догадался? Можно ведь применить теорему Виета. Точно! Ведь она говорит нам, что сумма корней равна второму коэффициенту с обратным знаком:

 ,

а произведение – свободному члену:

 .

Ну вот и решили:  ,  .

Ответ:  

Ну вот ты и усвоил, что такое квадратичная функция, какой у нее график, и как пользоваться графиком при решении задач.

А в теме «Построение графика квадратичной функции» ты научишься сам быстро строить любые параболы без таблицы (не по точкам, а как это делают взрослые, серьезные люди).

Удачи!