21 июля

1 comments

Квадратные неравенства (ЕГЭ – 2021)

Чтобы разобраться, как решать квадратные неравенства, нам потребуется разобраться, что же такое квадратичная функция и какими свойствами она обладает.

Зачем вообще нужна квадратичная функция? Какой у нее график? Где он применим?

Замечал, как на физкультуре летит брошенный мяч?

По дуге? Самым верным ответом будет «по параболе»!

Парабола и есть график квадратичной функции.

А по какой траектории движется струя в фонтане? Да, тоже по параболе!

А как летит пуля или снаряд? Все верно, тоже по параболе.

Да стоит только оглядеться, и ты заметишь, что с параболой ты сталкиваешься ежедневно!

Таким образом, зная свойства квадратичной функции, можно будет решать многие практические задачи.

К примеру, под каким углом необходимо кинуть мяч, чтобы обеспечить наибольшую дальность полёта?

Или, где окажется снаряд, если запустить его под определённым углом?

Итак, давай разбираться.

Итак, давай разбираться.

Квадратичная функция – это функция, которую можно записать вот такой формулой: \( y=a{{x}^{2}}+bx+c\), где \( x\) – независимая переменная, \( a\), \( b\) и \( c\) – некоторые числа, при этом \( a\ne 0\).

К примеру, \( y=2{{x}^{2}}-3x+4\). Чему здесь равны \( a\), \( b\) и \( c\)?

Ну, конечно, \( a=2\), \( b=-3\) и \( c=4\)!

Как уже упоминалось в теме «Квадратные уравнения», графиком такой функции выступает парабола.

В зависимости от значения \( a\) ветви графика направлены вверх или вниз:

  • если \( a>0\), то ветви параболы направлены вверх;
  • если \( a<0\), то ветви параболы направлены вниз.

Для того, чтобы легко это запомнить, обратимся к хорошо известным тебе смайликам:

  • если \( a>0\), т.е. a – положительное число, раз положительное, значит все хорошо – улыбаемся! А ветви графика тем временем направлены вверх 🙂
  • если \( a<0\), т.е. a – отрицательное число, а раз отрицательное, значит, есть повод взгрустнуть, а ветви графика тем временем будут направлены вниз 🙁

При этом точки пересечения параболы с осью \( x\), называются нулями функции и являются корнями соответствующего квадратного уравнения:

\( y=a{{x}^{2}}+bx+c=0\)

Ну что, уловил? Тогда давай смотреть примеры!

На рисунке выше изображён график функции \( y=2{{x}^{2}}-3x+4\).

Как мы уже отмечали, \( a=2\), а это больше нуля (улыбаемся), поэтому ветви графика направлены вверх.

Кроме того, можно заметить, что данный график не пересекает ось \( x\). Помнишь, что в таком случае происходит, если решать уравнение \( 2{{x}^{2}}-3x+4=0\)?

Все верно, корней такое уравнение иметь не будет, так как y принимает только положительные значения (не принимает значения, равные \( 0\))!

Если забыл, то вперёд повторять «Квадратные уравнения»!

А что, если \( a=-2\), т.е. меньше нуля? Ну конечно, мы «грустим», а, значит, ветви будут направлены вниз! Давай посмотрим на графике.

На этом рисунке изображён график функции \( y=-2{{x}^{2}}-3x+4\).

Так как \( a=-2\), т.е. меньше нуля, ветви параболы направлены вниз.

Кроме того, ты, наверное, уже заметил, что ветви этой параболы пересекают ось \( x\), а значит, уравнение \( -2{{x}^{2}}-3x+4=0\) имеет 2 корня, а функция принимает как положительные и отрицательные значения!

В самом начале, когда мы давали определение квадратичной функции, было сказано, что \( b\) и \( c\) – некоторые числа.

А могут ли они быть равны нулю? Ну конечно, могут!

Даже открою еще больший секрет (который и не секрет вовсе, но упомянуть о нем стоит): на эти числа (\( b\) и \( c\)) вообще никакие ограничения не накладываются!

Ну что, давай посмотрим, что будет с графиками, если \( b\) и \( c\) равны нулю.

Как видно, графики рассматриваемых функций (\( y=2{{x}^{2}}\) и \( y=-2{{x}^{2}}\)) сместились так, что их вершины находятся теперь в точке с координатами \( \left( 0;0 \right)\)

То есть на пересечении осей \( x\) и \( y\), на направлении ветвей это никак не отразилось.

Таким образом, можно сделать вывод, что \( b\) и \( c\) отвечают за «передвижения» графика параболы по системе координат.

График функции \( y=2{{x}^{2}}\) касается оси \( x\) в точке \( \left( 0;0 \right)\). Значит, уравнение \( 2{{x}^{2}}=0\) имеет один корень.

Таким образом, функция принимает значения больше либо равные нулю.

Придерживаемся той же логики с графиком функции \( y=-2{{x}^{2}}\).

Он касается оси x в точке \( \left( 0;0 \right)\). Значит, уравнение \( -2{{x}^{2}}=0\) имеет один корень.

Таким образом, функция принимает значения меньше либо равные нулю, то есть \( y\le 0\).

Таким образом, чтобы определить знак выражения, первое, что необходимо сделать – это найти корни уравнения. Это нам очень пригодится.

Квадратное неравенство – это неравенство, состоящее из одной квадратичной функции. Таким образом, все квадратные неравенства сводятся к следующим четырём видам:

\( \left. \begin{array}{l}a{{x}^{2}}+bx+c\ge 0\\a{{x}^{2}}+bx+c>0\\a{{x}^{2}}+bx+c\le 0\\a{{x}^{2}}+bx+c<0\end{array} \right\rangle a\ne 0\)

При решении таких неравенств нам пригодятся умения определять, где квадратичная функция больше, меньше, либо равна нулю. То есть:

  • если перед нами неравенство вида \( a{{x}^{2}}+bx+c>0\), то фактически задача сводится к тому, чтобы определить числовой промежуток значений \( x\), при котором парабола лежит выше оси \( x\).
  • если перед нами неравенство вида \( a{{x}^{2}}+bx+c<0\), то фактически задача сводится к тому, чтобы определить числовой промежуток значений x, при котором парабола лежит ниже оси \( x\).

Если неравенства нестрогие (\( a{{x}^{2}}+bx+c\ \ge 0\) и \( a{{x}^{2}}+bx+c\le 0\)), то корни (координаты \( x\) пересечений параболы с осью \( x\)) включаются в искомый числовой промежуток, при строгих неравенствах – исключаются.

Это все достаточно формализовано, однако не надо отчаиваться и пугаться! Сейчас разберём примеры, и все станет на свои места.

При решении квадратных неравенств будем придерживаться приведённого алгоритма, и нас ждёт неизбежный успех!

Алгоритм

Пример: \( 2{{x}^{2}}+{x}-3\ge 0\)

1) Запишем соответствующее неравенству квадратное уравнение (просто меняем знак неравенства \( >,\text{ }<,\text{ }\ge ,\text{ }\le \) на знак равенства «=»).

\( 2{{x}^{2}}+{x}-3=0\)

2) Найдём корни этого уравнения.

\( {{x}_{1}}=-\frac{3}{2};\text{ }{{x}_{2}}=1\)

3) Отметим корни на оси \( Ox\) и схематично покажем ориентацию ветвей параболы («вверх» или «вниз»)

4) Расставим на оси знаки, соответствующие знаку квадратичной функции: там, где парабола выше оси, ставим «\( +\)», а там, где ниже – «\( -\)».

5) Выписываем интервал(ы), соответствующий «\( +\)» или «\( -\)», в зависимости от знака неравенства. Если неравенство нестрогое, корни входят в интервал, если строгое - не входят.

\( x\in \left( -\infty ;-\frac{3}{2} \right]\cup \left[ 1;+\infty \right)\)

Разобрался? Тогда вперёд закреплять!

  1. 1
    \( 3{{x}^{2}}-4{x}-2\ge 0\)
  2. 2
    \( -3{{x}^{2}}-17x+6<0\)
  3. 3
    \( 4{{x}^{2}}+4x+1\le 0\)
  4. 4
    \( 4{{x}^{2}}+3x+18>0\)

Ну что, получилось? Если возникли затруднения, то разбирайся в решениях.

\( 3{{x}^{2}}-4{x}-2\ge 0\)

Запишем соответствующее квадратное уравнение:

\( 3{{x}^{2}}-4{x}-2=0\)

Найдём корни данного квадратного уравнения:

\( D={{\left( -4 \right)}^{2}}-4\cdot 3\cdot \left( -2 \right)=40\)

\( {{x}_{1}}=\frac{-\left( -4 \right)+\sqrt{40}}{2\cdot 3}=\frac{4+2\sqrt{10}}{6}=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\sqrt{10}=\frac{1}{3}\left( 2+\sqrt{10} \right);\)

\( {{x}_{2}}=\frac{-\left( -4 \right)-\sqrt{40}}{2\cdot 3}=\frac{4-2\sqrt{10}}{6}=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}\sqrt{10}=\frac{1}{3}\left( 2-\sqrt{10} \right)\)

Схематично отметим полученные корни на оси и расставим знаки:

Выпишем интервалы, соответствующие знаку «\( +\)», так как знак неравенства «\( \ge \)». Неравенство нестрогое, поэтому корни включаются в интервалы:

\( x\in \left( -\infty ;\frac{1}{3}\left( 2-\sqrt{10} \right) \right]\cup \left[ \frac{1}{3}\left( 2+\sqrt{10} \right);\infty \right)\)

\( -3{{x}^{2}}-17x+6<0\)

Запишем соответствующее квадратное уравнение:

\( -3{{x}^{2}}-17x+6=0\)

Найдём корни данного квадратного уравнения:

\( D={{\left( -17 \right)}^{2}}-4\cdot 6\cdot \left( -3 \right)=289+72=361\)

\( {{x}_{1}}=\frac{-\left( -17 \right)+\sqrt{361}}{2\cdot \left( -3 \right)}=\frac{17+19}{-6}=-\frac{36}{6}=-6;\)

\( {{x}_{2}}=\frac{-\left( -17 \right)-\sqrt{361}}{2\cdot \left( -3 \right)}=\frac{17-19}{-6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3};\)

Схематично отметим полученные корни на оси и расставим знаки:

Выпишем интервалы, соответствующие знаку «\( -\)», так как знак неравенства «\( <\)». Неравенство строгое, поэтому корни не включаются в интервалы:

\( x\in \left( -\infty ;-6 \right)\cup \left( \frac{1}{3};\infty \right)\)

\( 4{{x}^{2}}+4x+1\le 0\)

Запишем соответствующее квадратное уравнение:

\( 4{{x}^{2}}+4x+1=0\)

Найдём корни данного квадратного уравнения:

\( D={{4}^{2}}-4\cdot 4\cdot 1=0\Rightarrow \)данное уравнение имеет один корень

\( x=\frac{-4\pm \sqrt{0}}{2\cdot 4}=\frac{-4}{8}=-\frac{1}{2}\)

Схематично отметим полученные корни на оси и расставим знаки:

Выпишем интервалы, соответствующие знаку «\( -\)», так как знак неравенства «\( \le \)». При любом \( x\) функция \( y=4{{x}^{2}}+4+1\) принимает неотрицательные значения. Так как неравенство нестрогое, то ответом будет \( x=-\frac{1}{2}\).

\( 4{{x}^{2}}+3x+18>0\)

Запишем соответствующее квадратное уравнение:

\( 4{{x}^{2}}+3x+18=0\)

Найдём корни данного квадратного уравнения:

\( D={{3}^{2}}-4\cdot 4\cdot 18=9-288=-279\Rightarrow \) данное уравнение корней не имеет

Схематично нарисуем график параболы и расставим знаки:

Выпишем интервалы, соответствующие знаку «\( +\)», так как знак неравенства «\( >\)». При любом \( x\) функция \( y=4{{x}^{2}}+3x+18\) принимает положительные значения, следовательно, решением неравенства будет интервал:

\( x\in \left( -\infty ;\infty \right)\)

Прежде чем говорить о теме «квадратные неравенства», вспомним что такое квадратичная функция и что из себя представляет её график.

Квадратичная функция – это функция вида \( f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c=0\), \( a\ne 0\)

Другими словами, это многочлен второй степени.

График квадратичной функции – парабола (помнишь, что это такое?)

  • если \( a>0\), то ветви параболы направлены вверх;
  • если \( a<0\), то ветви параболы направлены вниз.

Если парабола не пересекает ось Х и ее ветви направлены вверх, функция при всех значениях Х принимает лишь положительные значения.

Если парабола не пересекает ось Х и ее ветви направлены вниз – лишь отрицательные.

В случае, когда у уравнения (\( 1\)) ровно один корень (например, если дискриминант равен нулю), это значит, что график касается оси \( Ox\):

Тогда, аналогично предыдущему случаю, при \( a>0\) функция неотрицательна \( \left( f(x) \ge 0 \right)\) при всех \( x\), а при \( a<0\) – неположительна \( \left( f(x) \le 0 \right)\).

Так вот, мы ведь недавно уже научились определять, где квадратичная функция больше нуля, а где – меньше:

Если квадратное неравенство нестрогое, то корни входят в числовой промежуток, если строгое - не входят.

Если корень только один, – ничего страшного, будет везде один и тот же знак. Если корней нет, всё зависит только от коэффициента \( a\): если \( a>0\), то всё выражение больше 0, и наоборот.

Примеры (реши самостоятельно):

  1. 1
    \( -3{{x}^{2}}+2x+5\le 0\)
  2. 2
    \( 25{{x}^{2}}-30x+9>0\)
  3. 3
    \( 2{{x}^{2}}+4x+3<0\)
  4. 4
    \( {{x}^{2}}\le 9\)

\( -3{{x}^{2}}+2x+5\le 0\)

\( D=4-4\cdot \left( -3 \right)\cdot 5=64={{8}^{2}}\)

\( {{x}_{1}}=\frac{-2+8}{-6}=-1;\text{ }{{x}_{2}}=\frac{-2-8}{-6}=\frac{5}{3}\)

\( x\in \left( -\infty ;1 \right]\cup \left[ \frac{5}{3};+\infty \right)\)

\( 25{{x}^{2}}-30x+9>0\)

\( D={{\left(-30 \right)}^2}-4\cdot 25 \cdot 9 = 0\)

\( {{x}_{1,2}}=\frac{30}{50}=\frac{3}{5}=0,6\)

\( x\in \left( -\infty ;0,6 \right)\cup \left( 0,6;+\infty \right)\)

\( 2{{x}^{2}}+4x+3<0\)

\( D={{4}^{2}}-4\cdot 2\cdot 3=-8<0\)

Корней нет, поэтому всё выражение в левой части принимает знак старшего коэффициента: \( 2>0 \Rightarrow 2{{x}^{2}}+4x+3>0\) при всех \( x\). А значит, решений неравенства нет.

\( {{x}^{2}}\le 9\text{ }\Leftrightarrow \text{ }{{x}^{2}}-9\le 0\)

Если квадратичная функция в левой части «неполная» – тем проще находить корни:

\( {{x}_{1}}=-3;\text{ }{{x}_{2}}=3\).

\( x\in \left[ -3;3 \right]\)

КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Определение

Квадратичная функция  это функция вида: \( \displaystyle f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c=0\), \( \displaystyle a\ne 0\)

График квадратичной функции – парабола. Её ветви направлены вверх, если \( \displaystyle a>0\), и вниз, если \( \displaystyle a<0\):

  • Если требуется найти числовой промежуток, на котором квадратный трёхчлен больше нуля, то это числовой промежуток, где парабола лежит выше оси \( Ox\).
  • Если требуется найти числовой промежуток, на котором квадратный трёхчлен меньше нуля, то это числовой промежуток, где парабола лежит ниже оси \( Ox\).

Виды квадратных неравенств

Все квадратные неравенства сводятся к следующим четырём видам:

\( \displaystyle \left. \begin{array}{l}a{{x}^{2}}+bx+c\ \ge 0\\a{{x}^{2}}+bx+c>0\\a{{x}^{2}}+bx+c\le 0\\a{{x}^{2}}+bx+c<0\end{array} \right\rangle a\ne 0\)

Алгоритм решения

Алгоритм

Пример: \( 2{{x}^{2}}+x-3\ge 0\)

1) Запишем соответствующее неравенству квадратное уравнение (просто меняем знак неравенства \( >,\text{ }<,\text{ }\ge ,\text{ }\le \) на знак равенства «\( \displaystyle=\)»).

\( 2{{x}^{2}}+x-3=0\)

2) Найдём корни этого уравнения.

\( {{x}_{1}}=-\frac{3}{2};\text{ }{{x}_{2}}=1\)

3) Отметим корни на оси \( Ox\) и схематично покажем ориентацию ветвей параболы («вверх» или «вниз»)

4) Расставим на оси знаки, соответствующие знаку квадратичной функции: там где парабола выше оси, ставим «\( +\)», а там где ниже – «\( -\)».

5) Выписываем интервал(ы), соответствующий(ие) «\( +\)» или «\( -\)», в зависимости от знака неравенства. Если неравенство нестрогое, корни входят в интервал, если строгое - не входят.

\( x\in \left( -\infty ;-\frac{3}{2} \right]\cup \left[ 1;+\infty \right)\)

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Слово лучшему ученику! (тебе :))

Мы будем очень рады узнать твое мнение об этой статье. Напиши его в комментариях.

Расскажи нам, помогла ли тебе эта статья? Искал ли ты что-то конкретное или просто хотел научиться?

Квадратные неравенства будут ждать тебя в самых разных задачах. И теперь тебе нечего бояться! 

Кстати, если у тебя остались вопросы... Пиши их в комментарии! Мы обязательно ответим.

Удачи!

  • Александр Кель:

    Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

    Александр
    16 декабря 2019
    Спасибо дружище, очень благодарен

    Дарья
    07 января 2020
    Спасибо огромное за замечательный сайт!

    Александр (админ)
    07 января 2020
    Дарья, и тебе спасибо. Очень приятно!

  • {"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
    >