Логарифмические неравенства. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

ЕГЭ уже не за горами, а ты до сих пор не научился решать все задачки? Даже из B части? Да ладно?! Это надо срочно исправлять, очень срочно! Так что бери в руки ручку и давай заполнять пробелы новыми знаниями. Сегодня я хочу поговорить с тобой о логарифмических неравенствах. Оба слова тебе знакомы по отдельности? Я очень надеюсь, что да. Иначе я настоятельно рекомендую (очень-очень прошу!) прочитать и освоить следующие разделы:

  1. Логарифмы
  2. Свойства степени
  3. Решение логарифмических уравнений
  4. Решение линейных неравенств
  5. Метод интервалов

Ну что, весь материал улегся в голове? Теперь ты легко сможешь ответить на вопрос, скажем, чему равен \(lo{{g}_{3}}81\), ведь ясно, что это \(4\), правда? А почему? Да потому, что \({{3}^{4}}=81\), а логарифм – это и есть та степень, в которую нужно возвести маленькое число снизу (в данном случае \(3\)), чтобы получить большое число сверху (то есть \(81\)). А вот ты знаешь, чему в точности равно \(lo{{g}_{2}}3\)? Нет? И я нет, и никто не знает. (для меня с такого постулата началась математика, что никто и ничего не знает) А все почему? Да потому что нет целой степени двойки такой, чтобы двойка в ней равнялась трем. Факт есть факт. То есть логарифм, можно сказать, обобщает понятие степени. Ну что я все про логарифмы да про логарифмы… Ты ведь мне пообещал, что прочитаешь все материалы по ним самостоятельно, и я тебе в этом вопросе полностью доверяю.

Как доверяю и в том, что с неравенствами (хотя бы простейшими), ты тоже на «ты». Ну если не совсем на «ты», то хотя бы не пугаешься одного их вида. Они же не кусаются. Тебе ведь совершенно очевидно, что неравенство, скажем

\(4{x} -2<0\)

имеет решение \(x<\frac{1}{2}\), или как мы это обычно записываем \(x\in \left( -\infty ;0.5 \right).\)

Ты ведь грамотный читатель и тебе не надо лишний раз напоминать, что при делении (или умножении) на положительное число знак неравенства не меняется, а при умножении на отрицательное – меняется на противоположный? Еще раз очень прошу тебя, если мои слова для тебя «Филькина грамота», то срочно, прямо сейчас перечитай методы решения простейших неравенств. Азов нам пока что хватит.

Ну все, теперь, я думаю, самое время переходить к внешнему виду логарифма. Давай посмотрим на него повнимательнее. Как правило, он имеет вид:

\(lo{{g}_{a}}b\),

где \(a\) – основание, а \(b\) – подлогарифменное выражение. А сам логарифм равен степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить подлогарифменное выражение. Хотя ты и так все это помнишь. Ты также прекрасно помнишь, что из определения логарифма следует:

\(a>0,~a\ne 1,~b>0~\)

Хорошенько запомни эти три соотношения, они помогут тебе избежать глупейших ошибок при решении примеров.

Ну все, теперь наша с тобой цель это скрестить бульдога с носорогом, где бульдогом будет логарифмы, а носорогом – неравенства. Так что же мы получим? Как ты уже догадался, результатом этого эксперимента будут логарифмические неравенства.

Что такое логарифмические неравенства?

Определение: Простейшим логарифмическим неравенством является соотношение вида:

\(lo{{g}_{a}}~f\left( x \right)~>~lo{{g}_{a}}g\left( x \right)\),

где \(f\left( x \right)\) и \(g\left( x \right)\) – некоторое выражение, зависящее от \(x\) (например, \(f\left( x \right)=1+2x+{{x}^{2}},~g\left( x \right)=3{x} -1).\)

Конечно же, ты можешь сформулировать еще три определения простейшего логарифмического неравенства, просто заменив знак \(>\) на один из трех знаков: \(~\ge ,~\le ,~<\).

«И что?» — скажешь ты. – «Зачем мне нужно непонятное определение, если в нем не говорится, как с его помощью решать эти самые логарифмические неравенства».

Дай мне минутку и все встанет на свои места. Но прежде давай рассмотрим крошечный пример.

Пример:

\(log{{~}_{2}}\left( 2x+4 \right)~>~log{{~}_{2}}3\)

Прежде всего, когда мы решаем логарифмическое неравенство, мы должны позаботиться о такой противной штуке, как область допустимых значений (ОДЗ).

ОДЗ логарифмического неравенства

Для логарифма (из его определения) следует, что \(2x+4~>~0\) (сейчас \(2x+4~\) выступает в роли \(b\) в определении логарифма). А как мы помним, это число обязано быть положительным (еще раз посмотри на определение логарифмического неравенства), я предупреждал, что это очень важно.

Это неравенство ты без труда решишь и скажешь, что \(x\) обязан быть больше \(-2.\) Ну вот, с ОДЗ мы разобрались, время переходить непосредственно к решению неравенства \(log{{~}_{2}}\left( 2x+4 \right)~>~log{{~}_{2}}3\).

Давайте просто отбросим \(lo{{g}_{2}}\) из левой и правой частей нашего неравенства. Тогда у нас останется \(2x+4~>~3\), откуда \(2x~>~-1\) и \(x~>~-\frac{1}{2}\). Теперь наша с тобой цель – это «совместить» полученное решение с ОДЗ.

\(\left\{ \begin{array}{l}x>~-2\\x>~-\frac{1}{2}\end{array} \right.\)

Отметим эти точки (ты догадался, что под точками я имею в виду \(-2\) и \(-\frac{1}{2}\)).

Логариф нерав зел - 1

Теперь тебе ясно, что является решением нашего исходного неравенства? Да, ты абсолютно прав, это та область, где проходят две дужки. Тогда запишем ответ:

\(\displaystyle x\in \left( -0.5;+\infty  \right).\)

А вот тебе тот же самый пример, но я изменю в нем лишь самую малость:

\(\displaystyle lo{{g}_{0.2}}~\left( 2x+4 \right)~>~lo{{g}_{0.2}}~3\)

Ты без труда заметил, что изменилось совсем немного – я лишь поменял основание с \(\displaystyle 2\) на \(\displaystyle 0.2.\) Однако решение примера изменится от этого кардинально.

О нет, ОДЗ не изменится, куда уж ему деться. Тут все по-прежнему. ОДЗ: \(\displaystyle \text{x}>~-2\).

А вот само неравенство, которое равносильно исходному, преобразится: из \(\displaystyle lo{{g}_{0.2}}~\left( 2x+4 \right)>~lo{{g}_{0.2}}~3\) у нас теперь будет следовать, что \(\displaystyle 2x+4<3\). Отчего же это произошло? Кто виноват? А виновато основание и только оно. Ничего, как только мы решим до конца этот пример, я сформулирую соответствующее простое правило. А пока что решим простейшее неравенство: \(\displaystyle 2x+4\left\langle 3~= \right\rangle ~x<-\frac{1}{2}\). Тогда исходное неравенство равносильно вот такой системе:

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x>~-2\\x<~-\frac{1}{2}\end{array} \right.\)

И ее решением будет промежуток: \(\displaystyle x\in \left( -2;-\frac{1}{2} \right).\)

Все еще под впечатлением? Изменилось ведь всего ничего (основание такое маленькое, что иногда и незаметно вовсе), а решение стало совсем другим.

Больше задач — после регистрации.

Решение логарифмических неравенств

Теперь давай, наконец, запишем долгожданное правило.

\(\displaystyle lo{{g}_{a}}~f\left( x \right)~>lo{{g}_{a}}~g\left( x \right)~=>~f\left( x \right)>g\left( x \right)\) при \(\displaystyle a>1\)

\(\displaystyle lo{{g}_{a}}f\left( x \right)~>lo{{g}_{a}}~g\left( x \right)~=>~f\left( x \right)<g\left( x \right)\) при \(\displaystyle 0<a<1\)

Если сказать все простыми словами, то: если основание логарифма в неравенстве больше единицы, то знак неравенства сохраняется и для \(\displaystyle f\left( x \right)\) и \(\displaystyle g\left( x \right)\), если же основание логарифма больше нуля и меньше единицы, то знак между \(\displaystyle f\left( x \right)\) и \(\displaystyle g\left( x \right)\) заменяется на противоположный.

Теперь ты понял, почему так сильно отличались решения очень похожих неравенств? Вся собака зарыта в основаниях!

Теперь ты во всеоружии можешь решать самые разнообразные примеры, щелкая их как орешки (хотя не все орешки имеют мягкую скорлупу).

Вот тебе еще один пример:

\(\displaystyle lo{{g}_{0.2}}\left( {{x}^{2}}+6x+8 \right)>lo{{g}_{0.2}}\left( 5x+10 \right)\).

Ну что же, ты знаешь, что делать: вначале найдем ОДЗ (но здесь у нас будет аж два выражения в нем).

Во-первых \(\displaystyle {{x}^{2}}+6x+8>0\). Как называется метод, который позволяет решать такие неравенства? Да! Метод интервалов. Я просил или нет, повторить его? Кажется, просил. И не зря. Тебя предупреждали, что он может пригодиться в самом неожиданном месте.

Ну ладно, я еще раз напомню, но в первый и последний раз делаю тебе маленькую поблажку. Первое, что тебе нужно сделать, это найти корни уравнения \(\displaystyle {{x}^{2}}+6x+8=0\), как понимаешь, они равны \(\displaystyle x1=-4,\text{ }x2=-2.\) Нанесем их на координатную прямую и разобьем ее на три интервала. Найдем знак нашего выражения на каждом из интервалов. Для этого, как помнишь, я должен выбрать число из какого-нибудь промежутка и подставить его в исходное выражение. Мне нравится подставлять ноль (не правда ли, удобно?), то есть я найду таким образом знак на крайне правом промежутке. Выражение в нуле равно восьми, значит знак положительный. Ставлю плюсик. Далее чередую. Получу картинку.

Логариф нерав зел - 2

Плюсики меня и интересуют, тогда ОДЗ первого выражения будет множество \(\displaystyle x\in \left( -\infty ;-4 \right)\mathop{\cup }^{}\left( -2;+\infty  \right).\)

Второе ОДЗ проще: \(\displaystyle 5x+10>0\). Тут ты и сам справишься и запишешь, что \(\displaystyle x>-2\). Тогда я пересекаю первое ОДЗ со вторым, получу:

Логариф нерав зел - 3

Тогда мое окончательное ОДЗ – есть та область, над которой проходят две дужки – это промежуток \(\displaystyle \left( -2;+\infty  \right).\)

Теперь приступим непосредственно к решению неравенства, оно заждалось и неприлично заставлять ждать его еще больше.

\(\displaystyle lo{{g}_{0.2}}\left( {{x}^{2}}+6x+8 \right)>lo{{g}_{0.2}}\left( 5x+10 \right)\)

Поскольку основание у нас \(\displaystyle 0.2<1,\), то ЗНАК НЕРАВЕНСТВА МЫ МЕНЯЕМ!!

Получим:

\(\displaystyle {{x}^{2}}+6x+8<5x+10\)

Упростим: \(\displaystyle {{x}^{2}}+{x} -2<0\)

И опять применяем метод интервалов. Я пропущу эти выкладки, а ты проведи их и сравни с моим ответом:

\(\displaystyle x\in \left( -2;1 \right).\)

Окончательное решение неравенства – пересечение ОДЗ с только что полученным множеством. Получим:

Логариф нерав зел - 4

Ответом будет голубой холмик, который ты видишь на картинке.

Ответ: \(x\in \left( -2;1 \right).\)

Теперь давай сформулируем основной алгоритм решения простейших логарифмических неравенств вида \(lo{{g}_{a}}~f\left( x \right)~>~lo{{g}_{a}}~g\left( x \right).~\).

1. Находим ОДЗ: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right)>0\\g\left( x \right)>0\end{array} \right.\) (я напомню, что знак системы (фигурная скобка) означает, что должны выполняться одновременно оба неравенства.

2. Смотрим на основание: если \(a>1\), то решаем неравенство \(f\left( x \right)>g\left( x \right).\) Если же \(0<a<1\), то решаем \(f\left( x \right)<g\left( x \right)\).

3. Совмещаем полученное решение неравенства из пункта 2 с нашим ОДЗ из пункта 1.

Те же самые правила применимы и к трем другим видам логарифмических неравенств. Но ты заметил, что я немного «кривил душой»? Во-первых, кто сказал, что всегда ясно однозначно, какое значение принимает основание. Никто этого не говорил. Основание также может быть переменным, например \(a=2x+1\). И тогда нам нужно уже рассматривать отдельно 2 случая: когда оно больше единицы и когда лежит между нулем и единицей. Однако этому «сложному» случаю будет посвящена следующая статья, где он рассматривается отдельно.

В общем случае, внешний вид логарифмических неравенств может существенно отличаться от простейших. В таком случае что мы с тобой должны сделать вначале? Верно, привести неравенство к виду простейшего. И мы обязательно будем это делать, но самую малость попозже.

А пока давай немного потренируемся в решении самых базовых неравенств.

  1. \(lo{{g}_{0.3}}\left( x+4 \right)>lo{{g}_{0.3}}\left( {{x}^{2}}+2{x} -2 \right)\)
  2. \(lo{{g}_{0.3}}\left( -x+2 \right)\le lo{{g}_{0.3}}\left( 2{x} -2 \right)\)
  3. \(lo{{g}_{2}}\left( 4x+12 \right)\le lo{{g}_{2}}\left( 10 \right)\)

Справился? Пришло время свериться.

1. Вначале найдем ОДЗ:

\(\left\{ \begin{array}{l}x+4>0\\{{x}^{2}}+2{x} -2>0\end{array} \right.\)

Из первого неравенства следует, что \(x>-4\).

Второе решим методом интервалов, который я уже успел неоднократно применить выше (и буду применять впредь!).

Я сразу выпишу, что у меня получилось. А ты, будь добр, проделай все выкладки самостоятельно с сравни с моим ответом.

Корни у меня получились «корявые»:

\({{x}_{1}}=\sqrt{3}-1,~{{x}_{2}}=-1-\sqrt{3}\)

Тогда множество решений неравенства \({{x}^{2}}+2{x} -2>0\)

Имеет вид:

\(x\in \left( -\infty ;-1-\sqrt{3} \right)\mathop{\cup }^{}\left( \sqrt{3}-1;+\infty  \right);\)

Ясно, что \(-4<-1-\sqrt{3}\), тогда «общее» ОДЗ будет таким:

\(x\in \left( -4;-1-\sqrt{3} \right)\mathop{\cup }^{}\left( \sqrt{3}-1;+\infty  \right);\)

Теперь решим непосредственно неравенство

\(x+4<{{x}^{2}}+2{x} -2\)

(тебе ведь ясно, почему я поставил между левой и правой частью именно такой знак?)

Это неравенство равносильно такому:

\(0<{{x}^{2}}+{x} -6\)

Мой ( и я надеюсь, и твой тоже) любимый метод интервалов даст такое решение:

\(x\in \left( -\infty ;-3 \right)\mathop{\cup }^{}\left( 2;+\infty  \right)\)

Ищу пересечение полученного решения с ОДЗ:

Так как \(\displaystyle -3<-1-\sqrt{3},~2>\sqrt{3}-1\), то окончательно получу:

\(\displaystyle x\in \left( -4;-3 \right)\mathop{\cup }^{}\left( 2;+\infty  \right);\)

2. Второй пример полегче: здесь нам с тобой не требуется решать никаких квадратичных неравенств. Так что приступим:

ОДЗ:

\(\left\{ \begin{array}{l}-x+2>0\\2{x} -2>0\end{array} \right.\)

Откуда

\(\left\{ \begin{array}{l}x<2\\x>1\end{array} \right.\);

Тогда мы получаем очень простое ОДЗ:

\(x\in \left( 1;2 \right)\)

Теперь решение самого неравенства:

\(lo{{g}_{0.3}}\left( -x+2 \right)\le lo{{g}_{0.3}}\left( 2{x} -2 \right)\)

Как и в предыдущем примере я сменяю знак, так как \(0.3<1\), получу:

\(-{x} -2\ge 2{x} -2\)

\(-3x\ge 0\)

\(x\le 0\)

Но из нашего ОДЗ следует, что никакое отрицательное число не может быть решением неравенства! Тогда я делаю вывод, что решений у нашего неравенства нет!

3. Третье неравенство еще проще предыдущего:

\(lo{{g}_{2}}\left( 4x+12 \right)\le lo{{g}_{2}}\left( 10 \right)\)

ОДЗ здесь еще проще: оно состоит всего из одного неравенства: \(4x+12>0,\) решением которого будет промежуток \(x\in \left( -3;+\infty  \right).\)

Так как \(2>1\), то исходное неравенство равносильно следующему:

\(4x+12\le 10\) (то есть знак неравенства не изменился)

\(4x\le -2\)

\(x\le -0.5\)

Пересекаю полученное решение с ОДЗ и записываю ответ:

\(x\in \left( -3;-\frac{1}{2} \right];\)

Кстати, обрати пристальное внимание на первый пример (хотя и на второй тоже). Посмотри, тебя ничего не смущает? Видишь, что решение неравенства \({{x}^{2}}+2{x} -2>0\) никак не вошло в наш окончательный ответ? И это неслучайно. Поскольку исходное неравенство равносильно тому, что \(x+4<{{x}^{2}}+2{x} -2,~\) но при этом \(x+4>0\), то второе выражение и подавно автоматически будет больше нуля, так как по условию оно строго больше. Таким образом, я думаю, что ты готов к осознанию некоторого более сложного правила решения логарифмических неравенств:

Решение логарифмического неравенства вида \(lo{{g}_{a}}~f\left( x \right)<lo{{g}_{a}}~g\left( x \right).\) равносильно решению следующих систем:а) \(0<a<1:\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right)>g\left( x \right)\\g\left( x \right)>0\end{array} \right.\)      б) \(a>1:\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right)<g\left( x \right)\\f\left( x \right)>0\end{array} \right.\)Неравенство \(lo{{g}_{a}}~f\left( x \right)>lo{{g}_{a}}~g\left( x \right).\) в каждом из двух случаев сводится к одной из систем:а) \(0<a<1:\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right)<g\left( x \right)\\f\left( x \right)>0\end{array} \right.\)      б) \(a>1:\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right)>g\left( x \right)\\g\left( x \right)>0\end{array} \right.\)

Использование данного правила позволит тебе экономить время и силы при нахождении ОДЗ, так как оно уменьшает количество неравенств, которые нам с тобой нужно решить. Но для использования данного правила тебе нужно быть еще более внимательным. Ничего страшного, если ты сразу не научишься применять его на практике. Аппетит, как говорится, приходит во время еды. Ты всегда можешь следовать уже «отлаженной» схемой, которую я разбирал выше, а потом, когда почувствуешь себя увереннее, уже можешь начинать использовать данное правило.

Больше задач — после регистрации.

Теперь давай перейдем к более общему случаю логарифмических неравенств: когда его левая или правая часть (или может так выйти, что и обе разом) не приведены сразу к виду простейшего логарифмического неравенства. Например:

\(lo{{g}_{2}}\left( {{x}^{2}}+4x+3 \right)>3\)

Мы с тобой видим, что с левой частью все в порядке – она представляет собой логарифмическое выражение. Не в порядке у нас правая часть – она есть просто число три. Что же нам теперь делать? Ну, во-первых, не отчаиваться. А, во-вторых, ты не представляешь, насколько может быть продуктивным такое на первый взгляд бесполезное действие, как умножение на единицу.

\(3=3\cdot 1\).

Зачем я это сделал, как ты думаешь? А вот зачем: я (и ты тоже) помню, что для любого положительного числа \(a\) имеет место равенство:

\(lo{{g}_{a}}a=1\)

Тебе, я надеюсь, очевидно, почему это так? Да все потому, что а нужно возвести в первую степень, чтобы само а и получить в итоге. Тогда я запишу, что

\(3=3\cdot lo{{g}_{2}}2.\)

Сам подумай, почему я выбрал два в качестве основания логарифма. Теперь я воспользуюсь простым свойством:

\(r\cdot lo{{g}_{a}}b=lo{{g}_{a}}{{b}^{r}}\)

И получу, что: \(3=3\cdot lo{{g}_{2}}2=lo{{g}_{2}}{{2}^{3}}=lo{{g}_{2}}8.\)

И наше неравенство превратилось в стандартное

\(lo{{g}_{2}}\left( {{x}^{2}}+4x+3 \right)>lo{{g}_{2}}8\)

Которое ты и без моей помощи сам прекрасно решишь. Давай сверим ответы. У меня получилось, что \(x\in \left( -\infty ;-5 \right)\mathop{\cup }^{}\left( 1;+\infty  \right)\), а у тебя?

Вот видишь, каким волшебным может быть обычное умножение на единицу!!

Давай решим еще примеры:

\(2+lo{{g}_{2}}\sqrt{x+1}>1-lo{{g}_{\frac{1}{2}}}\sqrt{4-{{x}^{2}}}\).

Я опять представлю число \(2\) как \(2\cdot lo{{g}_{2}}2=lo{{g}_{2}}4\), единицу как \(lo{{g}_{2}}2\), а в выражении \(lo{{g}_{1/2}}\sqrt{4-{{x}^{2}}}\) воспользуюсь тем, что

\(1/r\cdot lo{{g}_{a}}b=lo{{g}_{{{a}^{r}}}}b\) (все те же пресловутые свойства логарифмов!!)

Так как \(\frac{1}{2}={{2}^{-1}}\) (свойства степени!!), то исходное неравенство преобразуется вот к такому:

\(lo{{g}_{2}}4+lo{{g}_{2}}\sqrt{x+1}>lo{{g}_{2}}2-\left( \frac{1}{-1} \right)lo{{g}_{2}}\sqrt{4-{{x}^{2}}}\) или

\(lo{{g}_{2}}4+lo{{g}_{2}}\sqrt{x+1}>lo{{g}_{2}}2+lo{{g}_{2}}\sqrt{4-{{x}^{2}}}\)

Теперь я воспользуюсь тем, что

\(lo{{g}_{a}}b+lo{{g}_{a}}c=lo{{g}_{a}}\left( bc \right)\), тогда я получу

\(lo{{g}_{2}}4\sqrt{x+1}>lo{{g}_{2}}2\sqrt{4-{{x}^{2}}}\)

Вы позволите мне воспользоваться нашим новым правилом решения логарифмических неравенств?

Ясно, что так как \(2>1\), то наше неравенство будет равносильно такому:

\(4\sqrt{x+1}>2\sqrt{4-{{x}^{2}}}\)

Из того, что \(2\sqrt{4-{{x}^{2}}}>0\) и из того, что это выражение меньше, чем \(4\sqrt{x+1}\), будет автоматически следовать, что и подавно \(4\sqrt{x+1}>0\) и нам не надо учитывать это в ОДЗ. (еще раз!! Если тебе не очень пока понятно это утверждение, ты всегда можешь воспользоваться построением «полного» ОДЗ, результат будет тоже правильным!)

Тогда мое исходное неравенство будет равносильно следующей системе:

\(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt{4-{{x}^{2}}}>0\\4\sqrt{x+1}>2\sqrt{4-{{x}^{2}}}\end{array} \right.\)

Первое имеет решение: \(x\in \left( -2;2 \right)\)

А второе: \(x\in \left( -\infty ;-4 \right)\mathop{\cup }^{}\left( 0;+\infty  \right)\)

Пересекая первое решение со вторым пишу ответ: \(x\in \left( 0;2 \right)\)

Ну что, давай еще один разок для закрепления? Теперь я усложню тебе задачу: каждый раз я буду сводить неравенство к простейшему виду, а уже решать будешь ты сам. Готов? Начнем!

\(lg{{\left( x+1 \right)}^{2}}>0\)

Во-первых, что за зверь такой \(lg\)? Слышал о нем раньше? \(lg\left( x \right)\) – это десятичный логарифм, то есть логарифм с основанием \(10\). Иначе его можно написать в следующем виде: \(lg\left( x \right)=lo{{g}_{10}}x\).

Во-вторых, что нам делать с нулем справа? А нужно всего лишь вспомнить, что

\(lo{{g}_{a}}1=0\) для любого \(a>0\)!!!!

Попробуй сам объяснить, почему это так.

Теперь я перехожу от исходного неравенства к простейшему:

\(g{{\left( x+1 \right)}^{2}}>lg1\)

которое предоставляю решить тебе самостоятельно. Готов сверить ответы? Я насчитал, что \(x\in \left( -\infty ;-2 \right)\mathop{\cup }^{}\left( 0;1 \right)\mathop{\cup }^{}\left( 1;+\infty  \right)\), а ты?

Теперь ты подкован знаниями и можешь решать некоторые (пока что не очень сложные) логарифмические неравенства. В данной статье я не касался таких моментов, как замена переменной при решении логарифмических неравенств, неравенства с переменным основанием, решение дробных логарифмических неравенств, показательно-логарифмических, других смешанных и т. д. Но что я хочу тебе сказать: даже те знания, которыми ты сейчас овладел, являются мощным и крепким фундаментом для решения достаточно сложных задач. Не зря решение логарифмических неравенств традиционно считаются достаточно сложной темой и соответствующие задачи как правило включены в часть C ЕГЭ.

В заключение, вот тебе несколько примеров для самостоятельной работы:

  1. \(lo{{g}_{5}}\left( 1+x \right)>lo{{g}_{5}}\left( -x \right)\)
  2. \(lo{{g}_{0.5}}\left( 2x+5 \right)\ge -2\)
  3. \(3\ge lo{{g}_{5}}{{x}^{3}}\)
  4. \(lo{{g}_{2}}\left( {{x}^{2}}-7x+18 \right)\le 3\)
  5. \(lg\sqrt{{x} -1}<-1\)

Я как и раньше продолжу лениться: буду лишь приводить каждое из неравенств к простейшему виду и давать ответ, с которым ты будешь сравнивать свои результаты:

1. Здесь все уже и так приведено к простейшему виду, я лишь запишу ответ: \(x\in \left( -\frac{1}{2};0 \right)\)

2. Заметив, что \(0.5={{2}^{-1}}\) и вынеся\(-1\) перед логарифмом, я получу:

\(-lo{{g}_{2}}\left( 2x+5 \right)\ge -2\)

Делением на \(\left( -1 \right)\) я привожу неравенство к виду:

\(lo{{g}_{2}}\left( 2x+5 \right)\le 2\), из чего мне легко получить, что

\(lo{{g}_{2}}\left( 2x+5 \right)\le lo{{g}_{2}}4\)

Ответ: \(x\in \left( -\frac{5}{2};-\frac{1}{2} \right)\)

3. Представив \(3\) как \(lo{{g}_{5}}{{5}^{3}}\) я получу простейшее неравенство:

\(lo{{g}_{5}}{{5}^{3}}\ge lo{{g}_{5}}{{x}^{3}}~\), которое имеет вид:

\({{5}^{3}}-{{x}^{3}}\ge 0\)

Разложим данное выражение на множители (формула разности кубов)

\(\left( 5-x \right)\left( 25+5x+{{x}^{2}} \right)\ge 0\)

Из ОДЗ следует, что \({{x}^{3}}>0\), откуда просто\(x>0\), выражение \(25+5x+{{x}^{2}}\) при \(x>0\) само всегда больше нуля. Тогда и \(5-x\ge 0\). Ответ:

\(x\in \left( 0;5 \right].\)

4. \(lo{{g}_{2}}\left( {{x}^{2}}-7x+18 \right)\le 3~\) преобразуется к виду:

\({{x}^{2}}-7x+18\le 8\)

и решение будет:

\(x\in \left[ 2;5 \right].\)

5. Так как \(-1=lg0.1\), то исходное неравенство равносильно следующему: \(lg\sqrt{{x} -1}<lg0.1\), которое имеет решение:

\(x\in \left( 1;1.01 \right)\)

Проверь себя — реши логарифмические неравенства.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий