Свойства логарифмов и примеры их решений
Зачем в жизни нужны логарифмы?
Я уже говорил, что математики СУПЕРленивые люди? Это правда.
Вот представь себе, им лень умножать и они придумали логарифмы, которые позволяют заменить умножение сложением!
Им еще больше лень возводить в степень и они используют логарифмы, чтобы заменить возведение в степень умножением или делением!
То есть они используют логарифмы, чтобы быстро проделывать громоздкие вычисления.
Круто, да?
Логарифм и его свойства. Вебинар (1 час 48 минут)
В этом видео я разобрал свойства логарифмов на примере решения 35 задач.
Начиная от самых простых логарифмов и заканчивая сложными.
Если вам понравилось видео, подписывайтесь на канал, ставьте лайки — мне будет приятно и я буду делать больше таких видео.
Что такое логарифм?
Для начинающих объясним все человеческим языком. Логарифмы – очень простая тема.
Чтобы понять, как их решать, нужно всего лишь разобраться, что как называется, знать таблицу умножения и уметь возводить в число в степень.
Все. Больше ничего не нужно.
Начнем с простого. Как решить уравнение \(\displaystyle {{2}^{x}}=8\)?
Очень легко – просто ответь на вопрос в какую степень нужно возвести число \(2\) чтобы получить \(8\)?
Решаем методом подбора: два в первой степени – нет, два во второй степени – нет, два в третей степени – ДА!
Двойку нужно возвести в ТРЕТЬЮ степень, чтобы получить восемь (\(\displaystyle {{2}^{3}}=8\)) и значит решением уравнения будет число три (\(x=3\)).
Следующий вопрос. Как решить уравнение \(\displaystyle {{2}^{x}}=5\)?
Опять просто ответь на вопрос в какую степень нужно возвести число \(2\), чтобы получить число \(5\)?
Попытаемся подобрать: два во второй степени равно четыре – мало, два в третьей степени равно восемь – много.
Метод подбора сразу ответ не дает… Да и вообще, в этом случае подобрать решение не получится – ведь это не только нецелое число, это число даже не рациональное.
Для нахождения таких решений было придумано понятие логарифм:
\(\displaystyle x={{\log }_{2}}5\).
В общем виде он записывается так:
То есть логарифм – это степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент.
Если ты посчитаешь на калькуляторе, то получишь \(2,321928\ldots \) и т.д. Это число иррациональное. Оно мало того, что не подбирается, оно еще и не кончается…
Ну и как с такими числами работать? Как их запоминать? Как их записывать?
В нашем случае решение уравнения можно записать как \(2,321928\ldots \) или как \(\displaystyle {{\log }_{2}}5\).
Согласись второе выражение гораздо удобнее, чем первое. И оно, кстати, абсолютно точное. Словами это произносится как:
Решением уравнения два в степени икс равно пяти является логарифм пяти по основанию два, или логарифм по основанию два от пяти.
Кстати, а ты заметил что и у степени числа и у логарифма основание всегда находится «ВНИЗУ». Легко запомнить правда? А вот «вверху», у степени находится ее показатель, а у логарифма – аргумент.
Выражение \(\displaystyle {{2}^{3}}=8\) можно также записать в виде \(\displaystyle {{\log }_{2}}8=3\). Читается так:
«Логарифм восьми по основанию два равен трем»
или
«Логарифм по основанию два от восьми равен трем»
Теперь более общая запись:
Читается так:
«Логарифм по основанию \(a\) от \(b\) равен \(c\)»,
и означает:
«Чтобы получить число \(b\), нужно число \(a\) возвести в степень \(c\)»:
Иными словами, \(\displaystyle {{\log }_{a}}b\) – это степень, в которую нужно возвести \(a\), чтобы получить \(b\).
8 примеров вычисления логарифмов
Пример 1
Чему равен \(\displaystyle {{\log }_{2}}4\)?
\(\displaystyle {{\log }_{2}}4=2\), так как число \(2\) нужно возвести во вторую степень, чтобы получить \(4\).
Пример 2
Чему равен \(\displaystyle {{\log }_{2}}\frac{1}{8}\)?
Заметим, что \(\displaystyle 8={{2}^{3}}\), тогда \(\displaystyle \frac{1}{8}=\frac{1}{{{2}^{3}}}={{2}^{-3}}\), то есть \(2\) нужно возвести в степень \(-3\), чтобы получить \(\displaystyle \frac{1}{8}\).
Значит \(\displaystyle {{\log }_{2}}\frac{1}{8}=-3\)
Пример 3
А чему равен \(\displaystyle {{\log }_{2}}0,25\)?
Обращать внимание нужно, в первую очередь, на основание. Возможно ли представить \(0,25\) как \(2\) в какой-то степени? Да, возможно: запишем это число в виде обычной дроби: \(\displaystyle 0,25=\frac{1}{4}=\frac{1}{{{2}^{2}}}={{2}^{-2}}\).
Значит, \(\displaystyle {{\log }_{2}}0,25=-2\).
Пример 4
Чему равен \(\displaystyle {{\log }_{7}}1\)?
В какую степень надо возвести \(7\), чтобы получить \(1\)? Вспоминаем, что любое число в нулевой степени равно \(1\) (подробнее читай в разделе «Степень и ее свойства»).
Значит, \(\displaystyle {{\log }_{7}}1=0\). Более того, логарифм с любым основанием от единицы равен \(0\).
Пример 5
\(\displaystyle {{\log }_{4}}2\). В этом случае аргумент \(2\) равен корню основания: \(\displaystyle 2=\sqrt{4}\).
Но мы помним, что корень тоже можно представить в виде степени (с дробным показателем): \(\displaystyle 2=\sqrt{4}={{4}^{\frac{1}{2}}}\text{ }\Rightarrow \text{ }{{\log }_{4}}2=\frac{1}{2}\).
Попробуй найти следующие 4 логарифма самостоятельно
- \(\displaystyle {{\log }_{5}}5;\text{ }\)
- \(\displaystyle {{\log }_{9}}3;\)
- \(\displaystyle {{\log }_{\frac{1}{4}}}16;\)
- \(\displaystyle {{\log }_{6}}1.\)
Ответы:
- \(\displaystyle {{\log }_{5}}5=1;\)
- \(\displaystyle lo{{g}_{9}}3=\frac{1}{2};\)
- \(\displaystyle {{\log }_{\frac{1}{4}}}16=-2;\)
- \(\displaystyle {{\log }_{6}}1=0\)
Десятичные логарифмы
Логарифм по основанию \(\displaystyle 10\) называется десятичным логарифмом и записывается упрощенно: \(\displaystyle \lg \) вместо \(\displaystyle {{\log }_{10}}\)
Например:
- \(\displaystyle \lg 100=2\);
- \(\displaystyle \lg 1000=3\);
- \(\displaystyle \lg {{10}^{15}}=15\);
- \(\displaystyle \lg 0,1=-1\);
- \(\displaystyle \lg 0,01=-2\).
Когда нужная степень не подбирается
Как я уже говорил, далеко не всегда удается подобрать такую степень. Но это не значит, что такого числа не существует, просто его можно вычислить только на калькуляторе.
Например, \(\displaystyle {{\log }_{2}}5=2,321928…\).
Видим, что это число расположено между \(\displaystyle 2\) и \(\displaystyle 3\), и это понятно: ведь это значит, чтобы получить \(5\), нужно \(2\) возводить в степень больше \(2\), но меньше \(3\).
На ЕГЭ пользоваться калькулятором нельзя, но даже если бы было можно, нельзя записывать приближенные вычисления.
Поэтому, если перед нами задача первой части, ответ обязательно должен получиться «хороший», и его можно посчитать в уме.
В письменной части могут попасться и «плохие» числа; в этом случае пугаться не нужно, в ответе можно просто написать логарифм.
Например, ответ вполне может выглядеть так:
\(\displaystyle {{\log }_{3}}10\), или даже так: \(\displaystyle \frac{2+{{\log }_{3}}7}{5}\).
Получается, что теперь мы можем мгновенно записать решение любого элементарного показательного уравнения:
\(\displaystyle {{3}^{x}}=8\)? Легко: \(\displaystyle x={{\log }_{3}}8\).
\(\displaystyle {{17}^{x}}=0,387\)? \(\displaystyle x={{\log }_{17}}0,387\)
\(\displaystyle {{0,56}^{x}}=23,7\)? \(\displaystyle x={{\log }_{0,56}}23,7\).
И так далее.
Но увлекаться и халтурить тоже не стоит – если в ответе оставить \(\displaystyle x={{\log }_{3}}81\), высший балл за задачу не поставят.
То есть, если ответ возможно упростить и представить в виде рационального числа, это обязательно нужно будет сделать.
Потренируйся на следующих простых примерах:
6 примеров для самостоятельной работы
- \({{3}^{x}}=81\)
- \({{4}^{x}}=20\)
- \({{5}^{x}}=0,2\)
- \({{2}^{x}}=80\)
- \({{\left( \frac{2}{3} \right)}^{x}}=\frac{27}{8}\)
- \({{4,5}^{x}}=18\)
Ответы:
- \(\displaystyle 81={{9}^{2}}={{\left( {{3}^{2}} \right)}^{2}}={{3}^{4}}\text{ }\Rightarrow \text{ }x=4\);
- \(\displaystyle 20=4\cdot 5\), но \(\displaystyle \text{5}\) никак не представить в виде степени четверки. Поэтому все просто: \(\displaystyle x={{\log }_{4}}20\);
- \(\displaystyle 0,2=\frac{1}{5}\text{=}{{\text{5}}^{-1}}\text{ }\Rightarrow \text{ }x=-1\);
- \(\displaystyle 80=16\cdot 5={{2}^{4}}\cdot 5\). Как и в примере 2, здесь придумать степень не получится, поэтому \(\displaystyle x={{\log }_{2}}80\);
- \(\displaystyle \frac{27}{8}=\frac{{{3}^{3}}}{{{2}^{3}}}={{\left( \frac{3}{2} \right)}^{3}}=\frac{1}{{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{3}}}={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{-3}}\text{ }\Rightarrow \text{ }x=-3\);
- \(\displaystyle 4,5=\frac{9}{2},\text{ а }18=9\cdot 2\). Очевидно, и здесь степень придумать не удастся: \(\displaystyle x={{\log }_{4,5}}18\).
Область допустимых значений (ОДЗ)логарифма
Теперь поговорим об ограничениях, об ОДЗ — области допустимых значений переменных.
Мы помним, что, например, квадратный корень нельзя извлекать из отрицательных чисел; или если у нас дробь, то знаменатель не может быть равен нулю. Подобные ограничения есть и у логарифмов:
То есть и аргумент, и основание должны быть больше нуля, а основание еще и не может равняться \( 1\).
Почему так?
Начнем с простого: допустим, что \( a=1\). Тогда, например, число не существует, так как в какую бы степень мы не возводили \( 1\), всегда получается \( 1\).
Более того, \( \displaystyle {{\log }_{1}}b\) не существует ни для какого \( \displaystyle b\ne 1\).
Но при этом \( \displaystyle {{\log }_{1}}1\) может равняться чему угодно (по той же причине – \( 1\) в любой степени равно \( 1\)).
Поэтому объект не представляет никакого интереса, и его просто выбросили из математики.
Похожая проблема у нас и в случае \( a=0\): \( 0\) в любой положительной степени – это \( 0\), а в отрицательную его вообще нельзя возводить, так как получится деление на ноль (напомню, что \( \displaystyle {{a}^{-c}}=\frac{1}{{{a}^{c}}}\)).
При \( a<0\) мы столкнемся с проблемой возведения в дробную степень (которая представляется в виде корня: \( \displaystyle {{a}^{\frac{m}{n}}}=\sqrt[n]{{{a}^{m}}}\).
Например, \( \displaystyle {{\log }_{4}}2=\frac{1}{2}\) (то есть \( \displaystyle {{4}^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{4}=2\)), а вот \( \displaystyle {{\log }_{-4}}2\) не существует.
Поэтому и отрицательные основания проще выбросить, чем возиться с ними.
Ну а поскольку основание a у нас бывает только положительное, то в какую бы степень мы его ни возводили, всегда получим число строго положительное.
Значит, аргумент должен быть положительным.
Например, \( \displaystyle {{\log }_{2}}\left( -4 \right)\) не существует, так как \( 2\) ни в какой степени не будет отрицательным числом (и даже нулем, поэтому \( \displaystyle {{\log }_{2}}0\) тоже не существует).
В задачах с логарифмами первым делом нужно записать ОДЗ.
Приведу пример:
Решим уравнение \( \displaystyle {{\log }_{x}}\left( x+2 \right)=2\).
Вспомним определение: логарифм \( \displaystyle {{\log }_{x}}\left( x+2 \right)\) – это степень, в которую надо возвести основание \( x\), чтобы получить аргумент \( \displaystyle \left( x+2 \right)\).
И по условию, эта степень равна \( 2\): \( \displaystyle {{x}^{2}}=x+2\).
Получаем обычное квадратное уравнение: \( \displaystyle {{x}^{2}}-x-2=0\).
Решим его с помощью теоремы Виета: сумма корней равна \( 1\), а произведение \( -2\). Легко подобрать, это числа \( 2\) и \( -1\).
Но если сразу взять и записать оба этих числа в ответе, можно получить 0 баллов за задачу на ЕГЭ.
Почему?
Давайте подумаем, что будет, если подставить эти корни в начальное уравнение?
\( \displaystyle x=2\text{: }{{\log }_{2}}\left( 2+2 \right)={{\log }_{2}}4=2\) – верно.
\( \displaystyle x=-1\text{: }{{\log }_{-1}}\left( -1+2 \right)=2\) – это явно неверно, так как основание не может быть отрицательным, то есть корень \( x=-1\) – «сторонний».
Чтобы избежать таких неприятных подвохов, нужно записать ОДЗ еще до начала решения уравнения:
\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x>0\\x\ne 1\\x+2>0\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}x>0\\x\ne 1.\end{array} \right.\)
Тогда, получив корни \( x=2\) и \( x=-1\), сразу отбросим корень \( -1\), и напишем правильный ответ.
Пример 1 (попробуй решить самостоятельно)
Найдите корень уравнения \( \displaystyle {{\log }_{x+1}}\left( 2x+5 \right)=2\). Если корней несколько, в ответе укажите меньший из них.
Решение:
\( \displaystyle {{\log }_{x+1}}\left( 2x+5 \right)=2\).
Основное логарифмическое тождество
Вспомним определение логарифма в общем виде:
\( \displaystyle {{\log }_{a}}b=c\text{ }\Leftrightarrow \text{ }{{a}^{c}}=b\)
Подставим во второе равенство вместо \( \displaystyle c\) логарифм:
\( \displaystyle {{a}^{{{\log }_{a}}b}}=b\)
Это равенство называется основным логарифмическим тождеством. Хотя по сути это равенство – просто по-другому записанное определение логарифма:
\( \displaystyle {{\log }_{a}}b\) – это степень, в которую нужно возвести \( \displaystyle a\), чтобы получить \( \displaystyle b\).
Например:
\( \displaystyle {{2}^{{{\log }_{2}}5}}=5;\text{ }{{3}^{{{\log }_{3}}2}}=2;\text{ }{{10}^{\lg 12}}=12.\)
Реши еще следующие примеры:
Пример 2
Найдите значение выражения \( \displaystyle {{25}^{{{\log }_{5}}3}}\).
Пример 3
Докажите, что \( \displaystyle {{5}^{{{\log }_{3}}7}}={{7}^{{{\log }_{3}}5}}\).
Решения примеров 2 и 3:
Свойства логарифмов
К сожалению, задачи не всегда такие простые – зачастую сперва нужно упростить выражение, привести его к привычному виду, и только потом будет возможно посчитать значение.
Это проще всего сделать, зная свойства логарифмов.
Так что давай выучим основные свойства логарифмов. Каждое из них я буду доказывать, ведь любое правило проще запомнить, если знать, откуда оно берется.
\( \displaystyle \begin{array}{l}\text{ }1.\text{ }{{\log }_{a}}{{a}^{x}}=x\\\text{ }2.\text{ }{{\log }_{a}}b+{{\log }_{a}}c={{\log }_{a}}\left( b\cdot c \right)\\\text{ }3.\text{ }{{\log }_{a}}b-{{\log }_{a}}c={{\log }_{a}}\frac{b}{c}\\\left. \begin{array}{l}4.\text{ }{{\log }_{a}}{{b}^{n}}=n\cdot {{\log }_{a}}b\ \\5.\text{ }{{\log }_{{{a}^{n}}}}b=\frac{1}{n}\cdot {{\log }_{a}}b\end{array} \right|\Rightarrow \text{ }6.{{\log }_{{{a}^{n}}}}{{b}^{m}}=\frac{m}{n}\cdot {{\log }_{a}}b\\\text{ }7.\text{ }{{\log }_{a}}b=\frac{{{\log }_{c}}b}{{{\log }_{c}}a}\text{, }\left( c>0,\text{ }\ne \text{1} \right)\text{ }\Rightarrow \text{ }8.\text{ }{{\log }_{a}}b=\frac{1}{{{\log }_{b}}a},\text{ }\left( b\ne 1 \right).\end{array}\)
Все эти свойства нужно обязательно запомнить, без них большинство задач с логарифмами решить не получится.
А теперь обо всех свойствах логарифмов подробнее.
Свойство 1 – степень аргумента
\( \displaystyle {{\log }_{a}}{{a}^{x}}=x\)
Доказательство:
Пусть \( \displaystyle {{\log }_{a}}b=x\), тогда \( \displaystyle {{a}^{x}}=b\).
Имеем:
\( \displaystyle \frac{{{\log }_{c}}b}{{{\log }_{c}}a}=\frac{{{\log }_{c}}{{a}^{x}}}{{{\log }_{c}}a}=\frac{x{{\log }_{c}}a}{{{\log }_{c}}a}=x={{\log }_{a}}b\), ч.т.д.
Свойство 2 – сумма логарифмов
Сумма логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму произведения: \( \displaystyle {{\log }_{a}}b+{{\log }_{a}}c={{\log }_{a}}\left( b\cdot c \right)\).
Доказательство:
Пусть \( \displaystyle {{\log }_{a}}b=x\), тогда \( \displaystyle {{a}^{x}}=b\). Пусть \( \displaystyle {{\log }_{a}}c=y\), тогда \( \displaystyle {{a}^{y}}=c\).
Имеем:
\( \displaystyle {{\log }_{a}}\left( b\cdot c \right)={{\log }_{a}}\left( {{a}^{x}}\cdot {{a}^{y}} \right)={{\log }_{a}}{{a}^{x+y}}\underset{\text{по правилу 1}}{\mathop{=}}\,x+y={{\log }_{a}}b+lo{{g}_{a}}c\), ч.т.д.
Пример
Найдите значение выражения: \( \displaystyle {{\log }_{3}}5+{{\log }_{3}}0,6\).
Решение:
А вот обещанное упрощение:
\( \displaystyle {{\log }_{2}}80={{\log }_{2}}\left( 16\cdot 5 \right)={{\log }_{2}}\left( {{2}^{4}}\cdot 5 \right)={{\log }_{2}}{{2}^{4}}+{{\log }_{2}}5=4+{{\log }_{2}}5\).
Зачем это нужно? Ну например: чему равно \( \displaystyle lo{{g}_{5}}250-{{\log }_{5}}2\)?
\( \displaystyle {{\log }_{5}}250={{\log }_{5}}\left( 125\cdot 2 \right)={{\log }_{5}}\left( {{5}^{3}}\cdot 2 \right)={{\log }_{5}}{{5}^{3}}+{{\log }_{5}}2=3+{{\log }_{5}}2\).
Теперь очевидно, что \( \displaystyle {{\log }_{5}}250-{{\log }_{5}}2=3+{{\log }_{5}}2-{{\log }_{5}}2=3\).
Теперь упрости сам:
- \( \displaystyle {{\log }_{3}}324-{{\log }_{3}}4\)
- \( \displaystyle {{\log }_{4}}0,0625\)
- \( \displaystyle {{\log }_{4}}0,125+{{\log }_{4}}0,5\)
- \( \displaystyle {{\log }_{0,2}}50-{{\log }_{0,2}}2\)
Ответы:
Свойство 3 – разность логарифмов
| Разность логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму частного:\( \displaystyle lo{{g}_{a}}b-{{\log }_{a}}c={{\log }_{a}}\frac{b}{c}\). |
Доказательство:
Все точно так же, как и в пункте 2:
Пусть \( \displaystyle {{\log }_{a}}b=x\), тогда \( \displaystyle {{a}^{x}}=b\).
Пусть \( \displaystyle {{\log }_{a}}c=y\), тогда \( \displaystyle {{a}^{y}}=c\).
Имеем:
\( \displaystyle {{\log }_{a}}\left( \frac{b}{c} \right)={{\log }_{a}}\left( \frac{{{a}^{x}}}{{{a}^{y}}} \right)={{\log }_{a}}{{a}^{x-y}}=x-y={{\log }_{a}}b-{{\log }_{a}}c\), ч.т.д.
\( \displaystyle {{\log }_{a}}b-{{\log }_{a}}c={{\log }_{a}}\left( \frac{b}{c}\cdot c \right)-{{\log }_{a}}c={{\log }_{a}}\frac{b}{c}+{{\log }_{a}}c-{{\log }_{a}}c={{\log }_{a}}\frac{b}{c}\), ч.т.д.
Пример из прошлого пункта теперь становится еще проще:
\( \displaystyle {{\log }_{5}}250-{{\log }_{5}}2={{\log }_{5}}\frac{250}{2}={{\log }_{5}}125={{\log }_{5}}{{5}^{3}}=3\).
Пример посложнее: \( \displaystyle \log _{2}^{2}2\sqrt{3}-\log _{2}^{2}\sqrt{3}-{{\log }_{2}}3\).
Догадаешься сам, как решить?
Здесь нужно заметить, что у нас нету ни одной формулы про логарифмы в квадрате. Это что-то сродни выражению \( \displaystyle {{2}^{{{x}^{2}}}}\) – такое сразу не упростить.
Поэтому отвлечемся от формул про логарифмы, и подумаем, какие вообще формулы мы используем в математике чаще всего? Еще начиная с 7 класса!
Это – формулы сокращенного умножения. Нужно привыкнуть к тому, что они везде! И в показательных, и в тригонометрических, и в иррациональных задачах они встречаются. Поэтому их нужно обязательно помнить.
Нажми на ссылку «Формулы сокращенного умножения», и внимательно на них посмотри. Какую из них можно применить здесь?
Если присмотреться к первым двум слагаемым, становится ясно, что это разность квадратов:
\( \displaystyle \log _{2}^{2}2\sqrt{3}-\log _{2}^{2}\sqrt{3}=\left( {{\log }_{2}}2\sqrt{3}-{{\log }_{2}}\sqrt{3} \right)\left( {{\log }_{2}}2\sqrt{3}+{{\log }_{2}}\sqrt{3} \right)\).
Дальше все просто – применяем только что выученные правила 2 и 3. Что получилось?
Ответ для проверки:
\( \displaystyle \log _{2}^{2}2\sqrt{3}-\log _{2}^{2}\sqrt{3}-{{\log }_{2}}3=\).
\( \displaystyle=\left( {{\log }_{2}}2\sqrt{3}-{{\log }_{2}}\sqrt{3} \right)\left( {{\log }_{2}}2\sqrt{3}+{{\log }_{2}}\sqrt{3} \right)-{{\log }_{2}}3=\).
\( \displaystyle={{\log }_{2}}\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\cdot {{\log }_{2}}\left( 2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3} \right)-{{\log }_{2}}3=\).
\( \displaystyle={{\log }_{2}}2\cdot {{\log }_{2}}\left( 2\cdot 3 \right)-{{\log }_{2}}3=1\cdot \left( 1+{{\log }_{2}}3 \right)-{{\log }_{2}}3=1.\).
Упрости сам:
- \( \displaystyle {{\log }_{3}}4-{{\log }_{3}}12\)
- \( \displaystyle {{\log }_{0,3}}3-{{\log }_{0,3}}10\)
- \( \displaystyle {{\log }_{1,75}}28+{{\log }_{1,75}}2-{{\log }_{1,75}}32\)
- \( \displaystyle \lg \sqrt{0,05}-\lg \sqrt{5}\)
- \( \displaystyle {{\lg }^{2}}2\sqrt{5}-{{\lg }^{2}}5\sqrt{2}-\frac{3}{2}\lg \sqrt{\frac{2}{5}}\)
Ответы:
Свойство 4 – вынесение показателя степени из аргумента логарифма
Если в аргументе логарифма стоит степень, показатель этой степени можно вынести за знак логарифма: \( \displaystyle {{\log }_{a}}{{b}^{n}}=n\cdot {{\log }_{a}}b\)
Доказательство:
И здесь тоже используем определение логарифма:пусть \( \displaystyle {{\log }_{a}}b=x\), тогда \( \displaystyle {{a}^{x}}=b\). Имеем:\( \displaystyle {{\log }_{a}}{{b}^{n}}={{\log }_{a}}{{\left( {{a}^{x}} \right)}^{n}}={{\log }_{a}}{{a}^{nx}}=nx=n\cdot {{\log }_{a}}b\), ч.т.д.
Можно понять это правило так:
\( \displaystyle {{\log }_{a}}{{b}^{n}}={{\log }_{a}}\left( \underbrace{b\cdot b\cdot …\cdot b}_{n\text{ раз}} \right)\text{ }\underset{\text{правило}\ \text{2}}{\mathop{=}}\,\text{ }\underbrace{{{\log }_{a}}b+lo{{g}_{a}}b+…+{{\log }_{a}}b}_{n\text{ раз}}=n\cdot {{\log }_{a}}b\).
То есть степень аргумента выносится вперед логарифма, как коэффициент.
Пример: Найдите значение выражения \( \displaystyle \frac{{{\log }_{2}}25}{{{\log }_{2}}5}\).
Решение: \( \displaystyle \frac{{{\log }_{2}}25}{{{\log }_{2}}5}=\frac{{{\log }_{2}}{{5}^{2}}}{{{\log }_{2}}5}=\frac{2{{\log }_{2}}5}{{{\log }_{2}}5}=2\).
Реши сам:
- \( \displaystyle \frac{{{\log }_{2}}81}{{{\log }_{2}}3}\)
- \( \displaystyle \frac{{{\log }_{3}}125}{{{\log }_{3}}625}\)
- \( \displaystyle \frac{\log _{5}^{2}25\sqrt{10}-\log _{5}^{2}\sqrt{10}}{{{\log }_{5}}250}\)
Ответы:
Свойство 5 – вынесение показателя степени из основания логарифма
- Если в основании логарифма стоит степень, показатель этой степени можно вынести за знак логарифма: \( \displaystyle {{\log }_{{{a}^{n}}}}b=\frac{1}{n}\cdot {{\log }_{a}}b\).
Доказательство:
Пусть \( \displaystyle {{\log }_{a}}b=x\), тогда \( \displaystyle {{a}^{x}}=b\).
Имеем:\( \displaystyle {{\log }_{{{a}^{n}}}}b={{\log }_{{{a}^{n}}}}{{a}^{x}}={{\log }_{{{a}^{n}}}}{{a}^{\frac{x\cdot n}{n}}}={{\log }_{{{a}^{n}}}}{{\left( {{a}^{n}} \right)}^{\frac{x}{n}}}=\frac{x}{n}=\frac{1}{n}\cdot {{\log }_{a}}b\), ч.т.д.
Запоминаем: из основания степень выносится как обратное число, в отличии от предыдущего случая!
Свойство 6 – вынесение показателя степени из основания и аргумента логарифма
Если в основании и аргументе логарифма стоят степени, показатели этих степеней можно вынести за знак логарифма: \( \displaystyle {{\log }_{{{a}^{n}}}}{{b}^{m}}=\frac{m}{n}\cdot {{\log }_{a}}b\).
Или если степени одинаковые: \( \displaystyle {{\log }_{{{a}^{n}}}}{{b}^{n}}={{\log }_{a}}b\).
Свойство 7 – переход к новому основанию
Если основания логарифмов разные, то для того чтобы дальше работать с логарифмами нужно перейти к логарифмам с одним основанием: \( \displaystyle {{\log }_{a}}b=\frac{{{\log }_{c}}b}{{{\log }_{c}}a}\text{ }\left( c>0;\text{ }\ne \text{1} \right)\).
Доказательство:
Пусть \( \displaystyle {{\log }_{a}}b=x\), тогда \( \displaystyle {{a}^{x}}=b\).
Имеем:\( \displaystyle \frac{{{\log }_{c}}b}{{{\log }_{c}}a}=\frac{{{\log }_{c}}{{a}^{x}}}{{{\log }_{c}}a}=\frac{x{{\log }_{c}}a}{{{\log }_{c}}a}=x={{\log }_{a}}b\), ч.т.д.
Свойство 8 – замена местами основания и аргумента логарифма
Можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе: \( \displaystyle {{\log }_{a}}b=\frac{1}{{{\log }_{b}}a},\text{ }\left( b\ne 1 \right)\).
Доказательство:
Это частный случай формулы 7: если подставить \( \displaystyle c=b\), получим:\( \displaystyle {{\log }_{a}}b=\frac{{{\log }_{b}}b}{{{\log }_{b}}a}=\frac{1}{{{\log }_{b}}a}\), ч.т.д.
Рассмотрим еще несколько примеров.
Пример 1. Найдите значение выражения \( \displaystyle {{\log }_{5}}75+{{\log }_{5}}\frac{1}{3}\).
Пример 2. Найдите значение выражения \( \displaystyle {{\log }_{3}}36-2{{\log }_{3}}2\).
Пример 3. Найдите значение выражения \( \displaystyle {{\log }_{8\sqrt[5]{4}}}\left( 32\sqrt[5]{2} \right)\).
Пример 4. Найдите значение выражения \( \displaystyle \frac{\log _{5}^{2}25\sqrt{10}-\log _{5}^{2}\sqrt{10}}{{{\log }_{5}}250}.\).
Подготовка к ЕГЭ на 90+ в мини-группах
Сдай ЕГЭ на 90+ с автором этого учебника
Алексей Шевчук — учитель с 20-летним стажем
математика, информатика, физика
Запишитесь на занятия:
+7 (905) 541-39-06
alexei.shevchuk@youclever.org
Здравствуйте. Учусь на вашем сайте уже несколько недель. Не могу зарегистрироваться ( не приходит письмо на почту ) помоги пожалуйста
Мурат, здравствуйте! Напишите мне на почту alexey.shevchuk@youclever.org
Здравствуйте, Алексей. Изначально хотела поблагодарить Вас за такие подробные и понятные объяснения всех тем и видеоуроки. У меня возник только вопрос в видеоуроке по Логарифмам. Задача, которая разбирается на 42:39. Я так и не поняла, как аргумент 10/3 превратился в 0,3. Мне кажется, это ошибка, и ответ в задаче должен бить: -1.
Марина, здравствуйте! Спасибо за обратную связь!
Действительно, в видео ошибка, ответ там -1, вы всё верно решили
Супер, спасибо
Здравствуйте, в статье нет ответов для проверки к заданию после разъяснения 3 свойства, или так задумано, не понимаю. А так всё прекрасно! Спасибо за материал
Спасибо за комментарий!:)
Ответы для проверки после примера 3 на месте (после пояснений к решению)
Здравствуйте , огромное спасибо за такую прекрасную информацию, у меня возник один вопрос как можно решить lg(x^2*0.062)=-0.852 ; x^2*0.062=10^-в какой степени? Вообще не могу понять как же найти х, заранее спасибо
Отличный материал! Спасибо!
Спасибо, Марина!
Супер
Спасибо, Саид. В каком вы классе?
Вы — это просто чу-до, и этот учебник тоже! Если бы я знала о вас в сентябре, я бы выбрала вашу онлайн школу
Спасибо большое, Бася! Очень приятно слышать. Желаем вам сдать ЕГЭ на 100 баллов! )
Как лайк поставить?
Будем считать этот коммент лайком. Спасибо!
хотела зарегистрироваться на вебинар 14 февраля, но не смогла: «сайт не может обеспечить безопасное соединение» может есть еще вариант?
Надежда, я зарегистрировал вас и отправил на почту доступы. Скажите, пожалуйста, где вы столкнулись с такой надписью? Можете написать или отправить ссылку?
????
Спасибо! )
Большое спасибо, все изложено четко и красиво!
Инна, очень рады, что понравилось! Заходите к нам еще! )
С удовольствием!
Это лучшее объяснение, что я встречала! Хорошая методика: простой язык, примеры и практика! Я благодарна Клеверу!
Спасибо, Ника! И за название тоже. «Клевер» — клёво! ))
Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:
Катерина
10 января 2018
Я получила очень хорошую для меня информацию.
Александр (Админ)
11 января 2018
Спасибо, Катерина. Нам очень приятно слышать, что наш учебник полезен.
Владимир
17 января 2018
Прекрасное объяснение! Просто великолепное! В примере после третьего свойства действительно есть опечатка. знак корня у третьего члена лишний. Есть также потерянный член в конце предпоследней строчки решения пятой задачи третьего свойства. В финальной строчке он нашелся 🙂
Александр
21 января 2018
Спасибо за предоставленную информацию ,но у меня всё же остался один вопрос — -как решить как решить логарифм который находится в степени и при всём этом складывается с натуральным числом (например 2). Просто не могу понять , что делать с числом ?
Алексей Шевчук
06 февраля 2018
Александр, примени свойство степени «произведение степеней с одинаковым основанием»: https://youclever.org/book/stepen-i-ee-svojstva
Дарья
10 декабря 2018
А как решать функцию логарифмическую, если логарифм под знаком модуля? Например y=[lgx]-lgx?
Шура
24 января 2019
Как сложить логарифмы если у обоих аргумент x, но у первого основание 2, а у второго 3?
Алексей Шевчук
04 февраля 2019
Шура, нужно воспользоваться формулой перехода к другому основанию Например, log_3 (x) = log_2 (x) / log_2 (3).
Олег
14 апреля 2019
Большое спасибо за очередную великолепную статью, все понятно.
Александр (админ)
14 апреля 2019
Олег, очень рады слышать! Удачи!
Олег
17 апреля 2019
Спасибо за статью, но СЛОЖНА
Александр (админ)
17 апреля 2019
Пожалуйста, Олег. Ну что поделать? Тяжело в ученье, легко на ЕГЭ )
Саня
06 сентября 2019
А что делать, если логарифмы с разными приколами? 0-0 Как их решать?
Алексей Шевчук
06 сентября 2019
Саня, посмотри статью про логарифмические уравнения, там некоторые приколы разобраны. https://youclever.org/book/logarifmicheskie-uravneniya-1
Виталий
07 ноября 2019
Уравнение (-2)^х= -8 откуда х=3. Основание (-2) возводим в степень 3, получаем число -8. Почему в логарифмах основание и число под логарифмом должны быть только положительными?
Алексей Шевчук
08 ноября 2019
Виталий, дело в том, что такие уравнения будут иметь действительные решения очень редко. Представим себе, что это уравнение (-2)^6x=-8. Тогда с одной стороны, x=0.5 является решением, но с другой стороны, когда мы решаем уравнение, у нас должна быть возможность воспользоваться свойствами степени: (-2)^6x = ((-2)^x)^6 — а теперь посмотрим, можем ли мы так делать? Подставим вместо x число 0.5: ((-2)^0.5)^6=-8. Вспомним, что такое степень 0.5? Это квадратный корень из числа. Но ведь мы не можем извлекать корень из отрицательного числа! Чтобы не возникало таких неприятностей, математики договорились не использовать отрицательные основания у показательной функции, а как следствие, и у логарифма. Но это касается только вычислений в действительных числах. Если мы рассматриваем также комплексные числа (это в которых можно извлекать корень из отрицательных чисел), то отрицательные основания возможны — но это уже не школьная математика.
Александр (админ)
08 ноября 2019
Отличное объяснение, Алексей! Снова вышли за пределы школьной математики. Это здорово! )
Виталий
12 ноября 2019
Спасибо за ответ. Понял, что это для облегчения начальной стадия обучения, с последующим переходом к более сложным вычислениям.
Антон
16 декабря 2019
Классное объяснение, спасибо!
Александр (админ)
16 декабря 2019
Антон, спасибо! Мы рады, что понравилось. Заходи еще! )
Света
07 января 2020
Спасибо очень понравилось , все понятно
Света
07 января 2020
Спасибо очень понравилась то что не было не понятно все поняла
Александр (админ)
07 января 2020
Отлично, Света! Мы очень рады. Удачи тебе на экзаменах!
Анастасия Захарова
13 января 2020
Полина Магаррамова говорит что это полный децибел, а мне понравилось . Спасибо.
Александр (админ)
13 января 2020
То, что не нравится Полине Магаррамовой я переживу как-нибудь. Мне главное, чтобы вам нравилось 🙂
Евгений Вячеславович
06 февраля 2020
Классно… Если бы мне 19 лет назад так объясняли бы математику, я бы к егэ вообще не готовился бы, потому что все бы помнил и понимал. Так доходчиво и понятно я не встречал нигде. Спасибо вам.
Александр (админ)
06 февраля 2020
Спасибо, Евгений Вячеславович. Я вот тоже самое думаю, что, если бы мне объясняли также как здесь в свое время…. ))
Юлия Владимировна
13 мая 2020
Помогите решить: 2*log 1/2 (4x-5) — log1/2 *16x = log1/2(x-3)
Алексей Шевчук
14 мая 2020
Юлия Владимировна, двойку вносим в логарифм как степень аргумента: 2*log 1/2 (4x-5)=log 1/2 (4x-5)^2. Потом соединяем логарифмы по правилу вычитания: log 1/2 [(4x-5)^2 / 16x] = log1/2(x-3). Теперь можно от логарифмов избавиться: (4x-5)^2 /16x = (x-3) — получили обычное уравнение
Жахиян
27 мая 2020
В какую степень нужно возвести число 2 чтобы получить 8? как ответ может быть 3. По идей ответ дожен быть равно на 4 а не к 3.
Александр (админ)
27 мая 2020
Жахиян, вы говорите на какое число нужно УМНОЖИТЬ 2, чтобы получить 8. Это действительно 4. Но вопрос был В КАКУЮ СТЕПЕНЬ нужно возвести 2 чтобы получить 8. А это тройка: «два в третьей степени будет восемь» (2*2*2=8)
ООО,спасибо за последние слова,лучший сайт.
О, Макка! И тебе спасибо! Очень приятно!