Свойства логарифмов и примеры их решений. Исчерпывающий гид (2019)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Как научиться решать логарифмы?

Объясним все человеческим языком.  Логарифмы – ОЧЕНЬ простая тема. 

Чтобы понять как их решать – нужно: разобраться со свойствами логарифма и понимать что как называется, понимать разницу между видами логарифмов (десятичными и натуральными).

Ну и уметь возводить число в степень, знать таблицу умножения (а это ты точно умеешь).

Все. Больше ничего не нужно.

Прочитай эту статью, обязательно реши примеры и решение логарифмов навсегда станет для тебя задачкой easy-peasy lemon squeezy - очень легкой :)

Что такое логарифм?

Для начинающих объясним все человеческим языком. Логарифмы – очень простая тема. Чтобы понять как их решать – нужно всего лишь разобраться что как называется, знать таблицу умножения и уметь возводить в число в степень. Все. Больше ничего не нужно.

Начнем с простого. Как решить уравнение  ?

Очень легко – просто ответь на вопрос в какую степень нужно возвести число   чтобы получить  ? Решаем методом подбора: два в первой степени – нет, два во второй степени – нет, два в третей степени – ДА! Двойку нужно возвести в ТРЕТЬЮ степень, чтобы получить восемь ( ) и значит решением уравнения будет число три ( ).

Следующий вопрос. Как решить уравнение  ?

Опять просто ответь на вопрос в какую степень нужно возвести число  , чтобы получить число  ? Попытаемся подобрать: два во второй степени равно четыре – мало, два в третьей степени равно восемь – много. Метод подбора сразу ответ не дает… Да и вообще, в этом случае подобрать решение не получится… Почему не получится?

Если ты посчитаешь на калькуляторе, то получишь   и т.д. Это число иррациональное. Оно мало того, что не подбирается, оно еще и не кончается…

Ну и как с такими числами работать? Как их запоминать? Как их записывать? Вот для того, чтобы с такими числами было удобно работать и ввели понятие логарифма.

В нашем случае решение уравнения можно записать как   или как  .

Согласись второе выражение гораздо удобнее, чем первое. И оно, кстати, абсолютно точное.
Словами это произносится как: «Решением уравнения два в степени икс равно пяти является логарифм пяти по основанию два, или логарифм по основанию два от пяти».

Кстати, а ты заметил что и у степени числа и у логарифма основание всегда находится «ВНИЗУ». Легко запомнить правда? А вот «вверху», у степени находится ее показатель, а у логарифма – аргумент.

свойства логарифмов. рисунок 1

Выражение   можно также записать в виде  . Читается так: «Логарифм восьми по основанию два равен трем» или «Логарифм по основанию два от восьми равен трем».

Теперь более общая запись:

свойства логарифмов. рисунок 2

Читается так: «Логарифм по основанию   от   равен  », и означает: «Чтобы получить число  , нужно число   возвести в степень  »:

свойства логарифмов. рисунок 3

Иными словами,   – это степень, в которую нужно возвести  , чтобы получить  .

Примеры вычисления логарифмов

  1.  , так как число   нужно возвести во вторую степень, чтобы получить  .
  2. Чему равен  ? Заметим, что  , тогда  , то есть   нужно возвести в степень  , чтобы получить  .
  3. А чему равен  ? Обращать внимание нужно, в первую очередь, на основание. Возможно ли представить   как   в какой-то степени? Да, возможно: запишем это число в виде обычной дроби:  . Значит,  .
  4. Еще пример. Чему равен  ? В какую степень надо возвести  , чтобы получить  ? Вспоминаем, что любое число в нулевой степени равно   (подробнее читай в разделе «Степень и ее свойства»). Значит,  . Более того, логарифм с любым основанием от единицы равен  .
  5.  . В этом случае аргумент   равен корню основания:  . Но мы помним, что корень тоже можно представить в виде степени (с дробным показателем):  .

Попробуй найти следующие логарифмы самостоятельно:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Ответы:

 

Десятичные логарифмы

Логарифм по основанию   называется десятичным логарифмом и записывается упрощенно –   вместо  , например:

  •  ;
  •  ;
  •  ;
  •  ;
  •  .

Как я уже говорил, далеко не всегда удается подобрать такую степень. Но это не значит, что такого числа не существует, просто его можно вычислить только на калькуляторе.

Например,  . Видим, что это число расположено между   и  , и это понятно: ведь это значит, чтобы получить  , нужно   возводить в степень больше  , но меньше  .

На ЕГЭ пользоваться калькулятором нельзя, но даже если бы было можно, нельзя записывать приближенные вычисления. Поэтому, если перед нами задача части B, ответ обязательно должен получиться «хороший», и его можно посчитать в уме. В части C могут попасться и «плохие» числа; в этом случае пугаться не нужно, в ответе можно просто написать логарифм. Например, ответ вполне может выглядеть так:  , или даже так:  .

Получается, что теперь мы можем мнгновенно записать решение любого элементарного показательного уравнения:

 ? Легко:  .

  

  . И так далее.

Но увлекаться и халтурить тоже не стоит – если в ответе оставить  , высший балл за задачу не поставят. То есть, если ответ возможно упростить и представить в виде рационального числа, это обязательно нужно будет сделать. Потренируйся на следующих простых примерах:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  

Ответы:

ОДЗ логарифма

Теперь поговорим об ограничениях (ОДЗ – область допустимых значений переменных).

Мы помним, что, например, квадратный корень нельзя извлекать из отрицательных чисел; или если у нас дробь, то знаменатель не может быть равен нулю. Подобные ограничения есть и у логарифмов:

То есть и аргумент, и основание должны быть больше нуля, а основание еще и не может равняться  . Почему так?

Начнем с простого: допустим, что  . Тогда, например, число не существует, так как в какую бы степень мы не возводили  , всегда получается  . Более того,   не существует ни для какого  . Но при этом   может равняться чему угодно (по той же причине –   в любой степени равно  ). Поэтому объект не представляет никакого интереса, и его просто выбросили из математики.

Похожая проблема у нас и в случае  :   в любой положительной степени – это  , а в отрицательную его вообще нельзя возводить, так как получится деление на ноль (напомню, что  ).

При   мы столкнемся с проблемой возведения в дробную степень (которая представляется в виде корня:  . Например,   (то есть  ), а вот   не существует.

Поэтому и отрицательные основания проще выбросить, чем возиться с ними.

Ну а поскольку основание a у нас бывает только положительное, то в какую бы степень мы его ни возводили, всегда получим число строго положительное. Значит, аргумент должен быть положительным. Например,   не существует, так как   ни в какой степени не будет отрицательным числом (и даже нулем, поэтому   тоже не существует).

В задачах с логарифмами первым делом нужно записать ОДЗ. Приведу пример:

Решим уравнение  .

Вспомним определение: логарифм   – это степень, в которую надо возвести основание  , чтобы получить аргумент  . И по условию, эта степень равна  :  .

Получаем обычное квадратное уравнение:  . Решим его с помощью теоремы Виета: сумма корней равна  , а произведение  . Легко подобрать, это числа   и  .

Но если сразу взять и записать оба этих числа в ответе, можно получить 0 баллов за задачу. Почему? Давайте подумаем, что будет, если подставить эти корни в начальное уравнение?

  - верно.

  – это явно неверно, так как основание не может быть отрицательным, то есть корень   – «сторонний».

Чтобы избежать таких неприятных подвохов, нужно записать ОДЗ еще до начала решения уравнения:

 

Тогда, получив корни   и  , сразу отбросим корень  , и напишем правильный ответ.

Пример 1 (попробуй решить самостоятельно):

Найдите корень уравнения  . Если корней несколько, в ответе укажите меньший из них.

Решение:

 

Основное логарифмическое тождество

Вспомним определение логарифма в общем виде:

 

Подставим во второе равенство вместо   логарифм:

 

Это равенство называется основным логарифмическим тождеством. Хотя по сути это равенство – просто по-другому записанное определение логарифма:

  – это степень, в которую нужно возвести  , чтобы получить  .

Например:  

Реши еще следующие примеры:

Пример 2.

Найдите значение выражения  .

Решение:

Пример 3.

Докажите, что  .

Решение:

Свойства логарифмов

К сожалению, задачи не всегда такие простые – зачастую сперва нужно упростить выражение, привести его к привычному виду, и только потом будет возможно посчитать значение. Это проще всего сделать, зная свойства логарифмов. Так что давай выучим основные свойства логарифмов. Каждое из них я буду доказывать, ведь любое правило проще запомнить, если знать, откуда оно берется.

Все эти свойства нужно обязательно запомнить, без них большинство задач с логарифмами решить не получится.

 

А теперь обо всех свойствах логарифмов подробнее.

Свойство 1:

 

Доказательство: Пусть  , тогда  .

Имеем: , ч.т.д.

Свойство 2: Сумма логарифмов

Сумма логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму произведения:  .

Доказательство:

Пусть  , тогда  . Пусть  , тогда  .

Имеем:

 , ч.т.д.

Пример: Найдите значение выражения:  .

Решение:  .

Только что выученная формула помогает упростить сумму логарифмов, а не разность, так что сразу эти логарифмы не объединить. Но можно сделать наоборот – «разбить» первый логарифм на два:А вот обещанное упрощение:
 .
Зачем это нужно? Ну например: чему равно  ?

 .

Теперь очевидно, что  .

Теперь упрости сам:

Задачи:

  1.  .
  2.  .
  3.  .
  4.  .

Ответы:

 

Свойство 3: Разность логарифмов:

Разность логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму частного: .

 

Доказательство:

Все точно так же, как и в пункте 2:

Пусть  , тогда  .

Пусть  , тогда  . Имеем:

 , ч.т.д.

 , ч.т.д.

Пример из прошлого пункта теперь становится еще проще:

 

Пример посложнее:  . Догадаешься сам, как решить?

Здесь нужно заметить, что у нас нету ни одной формулы про логарифмы в квадрате. Это что-то сродни выражению   – такое сразу не упростить.

Поэтому отвлечемся от формул про логарифмы, и подумаем, какие вообще формулы мы используем в математике чаще всего? Еще начиная с 7 класса!

Это – формулы сокращенного умножения. Нужно привыкнуть к тому, что они везде! И в показательных, и в тригонометрических, и в иррациональных задачах они встречаются. Поэтому их нужно обязательно помнить.

Нажми на ссылку «Формулы сокращенного умножения», и внимательно на них посмотри. Какую из них можно применить здесь?

Если присмотреться к первым двум слагаемым, становится ясно, что это разность квадратов:

 .

Дальше все просто – применяем только что выученные правила 2 и 3. Что получилось?

Ответ для проверки:

Упрости сам.

Примеры

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  

Ответы.

 

Свойство 4: Вынесение показателя степени из аргумента логарифма:

Если в аргументе логарифма стоит степень, показатель этой степени можно вынести за знак логарифма:  .

 

Доказательство: И здесь тоже используем определение логарифма:пусть  , тогда  . Имеем: , ч.т.д.

Можно понять это правило так:

 

То есть степень аргумента выносится вперед логарифма, как коэффициент.

Пример: Найдите значение выражения  .

Решение:  .

Реши сам:

Примеры:

  1.  
  2.  
  3.  

Ответы:

 

Свойство 5: Вынесение показателя степени из основания логарифма:

Если в основании логарифма стоит степень, показатель этой степени можно вынести за знак логарифма:  .

Доказательство: Пусть  , тогда  

Имеем: , ч.т.д.
Запоминаем: из основания степень выносится как обратное число, в отличии от предыдущего случая!

Свойство 6: Вынесение показателя степени из основания и аргумента логарифма:

Если в основании и аргументе логарифма стоят степени, показатели этих степеней можно вынести за знак логарифма:  .

Или если степени одинаковые:  .

Свойство 7: Переход к новому основанию:

Если основания логарифмов разные, то для того чтобы дальше работать с логарифмами нужно перейти к логарифмам с одним основанием:  .

Доказательство: Пусть  , тогда  .

Имеем: , ч.т.д.

Свойство 8: Замена местами основания и аргумента логарифма:

Можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе:  .

Доказательство: Это частный случай формулы 7: если подставить  , получим: , ч.т.д.

Рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 4.

Найдите значение выражения  .

Решение:

 

Пример 5.

Найдите значение выражения  .

Решение:

 

Пример 6.

Найдите значение выражения  .

Решение:

 

Как тебе статья?

Если ты читаешь эти строки, значит ты прочитал всю статью.

И это круто!

А теперь расскажи нам как тебе статья?

Научился ты решать логарифмы?  Если нет, то в чем проблема?

Пиши нам в комментах ниже. 

Мы будем рады прочитать.

И, да, удачи на экзаменах.

На ЕГЭ и ОГЭ и вообще в жизни

P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ :)

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.  

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.  

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

  1. Открой  доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - Купить статью - 299 руб
  2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 499 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Удачи!

Комментарии

Анастасия
01 декабря 2017

Примеры вычисления логарифмов. 4 пример. Совсем ничего не понятно. Какое отношение имеет выражение log2 0,25 к числу 7 и 1?

ответить

Алексей Шевчук
08 декабря 2017

Анастасия, спасибо, исправил опечатку.

ответить

Катерина
10 января 2018

Я получила очень хорошую для меня информацию.

ответить

Александр (Админ)
11 января 2018

Спасибо, Катерина. Нам очень приятно слышать, что наш учебник полезен.

ответить

Сергей
13 января 2018

В 3ем свойстве в примере после доказательства сначала стоит логарифм от корня из 3ех по основанию 2, а потом корень исчезает, поясните, пожалуйста, почему?

ответить

Владимир
17 января 2018

Прекрасное объяснение! Просто великолепное! В примере после третьего свойства действительно есть опечатка. знак корня у третьего члена лишний. Есть также потерянный член в конце предпоследней строчки решения пятой задачи третьего свойства. В финальной строчке он нашелся :)

ответить

Александр
21 января 2018

Спасибо за предоставленную информацию ,но у меня всё же остался один вопрос - -как решить как решить логарифм который находится в степени и при всём этом складывается с натуральным числом (например 2). Просто не могу понять , что делать с числом ?

ответить

Алексей Шевчук
06 февраля 2018

Александр, примени свойство степени "произведение степеней с одинаковым основанием": https://youclever.org/book/stepen-i-ee-svojstva

ответить

Андрей
04 февраля 2018

В самом начале ошибка, когда вы пишете про log(2,5): "Если ты посчитаешь на калькуляторе, то получишь 0,430676558" Это неверно, log(2,5) = 2,3219....

ответить

Алексей Шевчук
06 февраля 2018

Всем спасибо за отзывы и внимательный разбор задач, ошибки исправил

ответить

Галина
26 ноября 2018

Логарифм - это показатель степени. Это надо выучить наизусть. Подробнее: Логарифм - это показатель степени, в которую нужно возвести основание логарифма, чтобы получить число под знаком логарифма.

ответить

Дарья
10 декабря 2018

А как решать функцию логарифмическую, если логарифм под знаком модуля? Например y=[lgx]-lgx?

ответить

Шура
24 января 2019

Как сложить логарифмы если у обоих аргумент x, но у первого основание 2, а у второго 3?

ответить

Алексей Шевчук
04 февраля 2019

Шура, нужно воспользоваться формулой перехода к другому основанию Например, log_3 (x) = log_2 (x) / log_2 (3).

ответить

Дмитрий
23 марта 2019

Примеры вычисления логарифмов в четвёртом примере вначале опечатка

ответить

Олег
14 апреля 2019

Большое спасибо за очередную великолепную статью, все понятно.

ответить

Александр (админ)
14 апреля 2019

Олег, очень рады слышать! Удачи!

ответить

Олег
17 апреля 2019

Спасибо за статью, но СЛОЖНА

ответить

Александр (админ)
17 апреля 2019

Пожалуйста, Олег. Ну что поделать? Тяжело в ученье, легко на ЕГЭ )

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем тебе доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб,

... или ко всем скрытым задачам во всех 99 статьях учебника - 499 руб.

Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

Хочу помочь YouClever - 299 руб
Хочу помочь YouClever - 499 руб.

Я уже зарегистрирован / оплатил

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть