Свойства логарифмов и примеры их решений. Исчерпывающий гид (2020)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Зачем в жизни нужны логарифмы?

 

Я уже говорил, что математики СУПЕРленивые люди? Это правда. 

Вот представь себе, им лень умножать и они придумали логарифмы, которые позволяют заменить умножение сложением! 

Им еще больше лень возводить в степень и они используют логарифмы, чтобы заменить возведение в степень умножением или делением!

То есть они используют логарифмы, чтобы быстро проделывать громоздкие вычисления. 

Круто, да?

 


Как научиться решать логарифмы?

 

Логарифмы – ОЧЕНЬ ПРОСТАЯ ТЕМА!

Чтобы понять как их решать – нужно: разобраться со свойствами логарифма и понимать что как называется, понимать разницу между видами логарифмов (десятичными и натуральными).

Ну и уметь возводить число в степень, знать таблицу умножения (а это ты точно умеешь).

 

Все. Больше ничего не нужно.

Прочитай эту статью, обязательно реши примеры и решение логарифмов навсегда станет для тебя задачкой easy-peasy lemon squeezy - очень легкой :)

 

 

СОДЕРЖАНИЕ СТАТЬИ


Что такое логарифм?

Для начинающих объясним все человеческим языком. Логарифмы – очень простая тема. Чтобы понять как их решать – нужно всего лишь разобраться что как называется, знать таблицу умножения и уметь возводить в число в степень. Все. Больше ничего не нужно.

Начнем с простого. Как решить уравнение  ?

Очень легко – просто ответь на вопрос в какую степень нужно возвести число   чтобы получить  ? Решаем методом подбора: два в первой степени – нет, два во второй степени – нет, два в третей степени – ДА! Двойку нужно возвести в ТРЕТЬЮ степень, чтобы получить восемь ( ) и значит решением уравнения будет число три ( ).

Следующий вопрос. Как решить уравнение  ?

Опять просто ответь на вопрос в какую степень нужно возвести число  , чтобы получить число  ? Попытаемся подобрать: два во второй степени равно четыре – мало, два в третьей степени равно восемь – много. Метод подбора сразу ответ не дает… Да и вообще, в этом случае подобрать решение не получится – ведь это не только нецелое число, это число даже не рациональное. Для нахождения таких решений было придумано понятие логарифм:  . В общем виде он записывается так:

свойства логарифмов. рисунок 1

То есть логарифм – это степень, в которую нужно возвести основание , чтобы получить аргумент .

Вернёмся к  . Если ты посчитаешь на калькуляторе, то получишь   и т.д. Это число иррациональное. Оно мало того, что не подбирается, оно еще и не кончается…

Ну и как с такими числами работать? Как их запоминать? Как их записывать?

В нашем случае решение уравнения можно записать как   или как  .

Согласись второе выражение гораздо удобнее, чем первое. И оно, кстати, абсолютно точное.
Словами это произносится как: «Решением уравнения два в степени икс равно пяти является логарифм пяти по основанию два, или логарифм по основанию два от пяти».

Кстати, а ты заметил что и у степени числа и у логарифма основание всегда находится «ВНИЗУ». Легко запомнить правда? А вот «вверху», у степени находится ее показатель, а у логарифма – аргумент.

Выражение   можно также записать в виде  . Читается так: «Логарифм восьми по основанию два равен трем» или «Логарифм по основанию два от восьми равен трем».

Теперь более общая запись:

свойства логарифмов. рисунок 2

Читается так: «Логарифм по основанию   от   равен  », и означает: «Чтобы получить число  , нужно число   возвести в степень  »:

свойства логарифмов. рисунок 3

Иными словами,   – это степень, в которую нужно возвести  , чтобы получить  .

Примеры вычисления логарифмов

  1.  , так как число   нужно возвести во вторую степень, чтобы получить  .
  2. Чему равен  ? Заметим, что  , тогда  , то есть   нужно возвести в степень  , чтобы получить  .
  3. А чему равен  ? Обращать внимание нужно, в первую очередь, на основание. Возможно ли представить   как   в какой-то степени? Да, возможно: запишем это число в виде обычной дроби:  . Значит,  .
  4. Еще пример. Чему равен  ? В какую степень надо возвести  , чтобы получить  ? Вспоминаем, что любое число в нулевой степени равно   (подробнее читай в разделе «Степень и ее свойства»). Значит,  . Более того, логарифм с любым основанием от единицы равен  .
  5.  . В этом случае аргумент   равен корню основания:  . Но мы помним, что корень тоже можно представить в виде степени (с дробным показателем):  .

Попробуй найти следующие логарифмы самостоятельно:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Ответы:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Десятичные логарифмы

Логарифм по основанию   называется десятичным логарифмом и записывается упрощенно:   вместо  , например:

  •  ;
  •  ;
  •  ;
  •  ;
  •  .

Когда нужная степень не подбирается

Как я уже говорил, далеко не всегда удается подобрать такую степень. Но это не значит, что такого числа не существует, просто его можно вычислить только на калькуляторе.

Например,  . Видим, что это число расположено между   и  , и это понятно: ведь это значит, чтобы получить  , нужно   возводить в степень больше  , но меньше  .

На ЕГЭ пользоваться калькулятором нельзя, но даже если бы было можно, нельзя записывать приближенные вычисления. Поэтому, если перед нами задача первой части, ответ обязательно должен получиться «хороший», и его можно посчитать в уме. В письменной части могут попасться и «плохие» числа; в этом случае пугаться не нужно, в ответе можно просто написать логарифм. Например, ответ вполне может выглядеть так:  , или даже так:  .

Получается, что теперь мы можем мнгновенно записать решение любого элементарного показательного уравнения:

 ? Легко:  .

  

  . И так далее.

Но увлекаться и халтурить тоже не стоит – если в ответе оставить  , высший балл за задачу не поставят. То есть, если ответ возможно упростить и представить в виде рационального числа, это обязательно нужно будет сделать. Потренируйся на следующих простых примерах:

Примеры для самостоятельной работы

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  

Ответы на примеры для самостоятельной работы:

  1.  ;
  2.  , но   никак не представить в виде степени четверки. Поэтому все просто:  ;
  3.  ;
  4.  . Как и в примере 2, здесь придумать степень не получится, поэтому  ;
  5.  ;
  6.  . Очевидно, и здесь степень придумать не удастся:  .

Кстати, ответы типа   или   можно упростить – сделать числа поменьше. Как это сделать, и зачем – об этом чуть позже, в разделе «Свойства логарифмов».

 

 

Область допустимых значений (ОДЗ) логарифма

Теперь поговорим об ограничениях (ОДЗ – область допустимых значений переменных).

Мы помним, что, например, квадратный корень нельзя извлекать из отрицательных чисел; или если у нас дробь, то знаменатель не может быть равен нулю. Подобные ограничения есть и у логарифмов:

То есть и аргумент, и основание должны быть больше нуля, а основание еще и не может равняться  .

Почему так?

Начнем с простого: допустим, что  . Тогда, например, число не существует, так как в какую бы степень мы не возводили  , всегда получается  . Более того,   не существует ни для какого  . Но при этом   может равняться чему угодно (по той же причине –   в любой степени равно  ). Поэтому объект не представляет никакого интереса, и его просто выбросили из математики.

Похожая проблема у нас и в случае  :   в любой положительной степени – это  , а в отрицательную его вообще нельзя возводить, так как получится деление на ноль (напомню, что  ).

При   мы столкнемся с проблемой возведения в дробную степень (которая представляется в виде корня:  . Например,   (то есть  ), а вот   не существует.

Поэтому и отрицательные основания проще выбросить, чем возиться с ними.

Ну а поскольку основание a у нас бывает только положительное, то в какую бы степень мы его ни возводили, всегда получим число строго положительное. Значит, аргумент должен быть положительным. Например,   не существует, так как   ни в какой степени не будет отрицательным числом (и даже нулем, поэтому   тоже не существует).

В задачах с логарифмами первым делом нужно записать ОДЗ. Приведу пример:

Решим уравнение  .

Вспомним определение: логарифм   – это степень, в которую надо возвести основание  , чтобы получить аргумент  . И по условию, эта степень равна  :  .

Получаем обычное квадратное уравнение:  . Решим его с помощью теоремы Виета: сумма корней равна  , а произведение  . Легко подобрать, это числа   и  .

Но если сразу взять и записать оба этих числа в ответе, можно получить 0 баллов за задачу. Почему? Давайте подумаем, что будет, если подставить эти корни в начальное уравнение?

  - верно.

  – это явно неверно, так как основание не может быть отрицательным, то есть корень   – «сторонний».

Чтобы избежать таких неприятных подвохов, нужно записать ОДЗ еще до начала решения уравнения:

 

Тогда, получив корни   и  , сразу отбросим корень  , и напишем правильный ответ.

Пример 1 (попробуй решить самостоятельно):

Найдите корень уравнения  . Если корней несколько, в ответе укажите меньший из них.

Решение:

 .

В первую очередь напишем ОДЗ:

 

Теперь вспоминаем, что такое логарифм: в какую степень нужно возвести основание  , чтобы получить аргумент  ? Во вторую. То есть:

 

Казалось бы, меньший корень равен  . Но это не так: согласно ОДЗ корень   – сторонний, то есть это вообще не корень данного уравнения. Таким образом, уравнение имеет только один корень:  .

Ответ:  .

Основное логарифмическое тождество

Вспомним определение логарифма в общем виде:

 

Подставим во второе равенство вместо   логарифм:

 

Это равенство называется основным логарифмическим тождеством. Хотя по сути это равенство – просто по-другому записанное определение логарифма:

  – это степень, в которую нужно возвести  , чтобы получить  .

Например:  

Реши еще следующие примеры:

Пример 2.

Найдите значение выражения  .

Решение:

Вспомним правило из раздела «Степень и ее свойства»:  , то есть, при возведении степени в степень показатели перемножаются. Применим его:

 .

Пример 3.

Докажите, что  .

Решение:

 

 , ч.т.д.

Свойства логарифмов

К сожалению, задачи не всегда такие простые – зачастую сперва нужно упростить выражение, привести его к привычному виду, и только потом будет возможно посчитать значение. Это проще всего сделать, зная свойства логарифмов. Так что давай выучим основные свойства логарифмов. Каждое из них я буду доказывать, ведь любое правило проще запомнить, если знать, откуда оно берется.

Все эти свойства нужно обязательно запомнить, без них большинство задач с логарифмами решить не получится.

 

А теперь обо всех свойствах логарифмов подробнее.

Свойство 1:

 

Доказательство:

Пусть  , тогда  .

Имеем: , ч.т.д.

Свойство 2: Сумма логарифмов

Сумма логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму произведения:  .

Доказательство:

Пусть  , тогда  . Пусть  , тогда  .

Имеем:

 , ч.т.д.

Пример: Найдите значение выражения:  .

Решение:  .

Только что выученная формула помогает упростить сумму логарифмов, а не разность, так что сразу эти логарифмы не объединить. Но можно сделать наоборот – «разбить» первый логарифм на два:А вот обещанное упрощение:
 .
Зачем это нужно? Ну например: чему равно  ?

 .

Теперь очевидно, что  .

Теперь упрости сам:

Задачи:

  1.  .
  2.  .
  3.  .
  4.  .

Ответы:

 

1.  

 

2.  

3.  

 

4.  

 

Свойство 3: Разность логарифмов:

Разность логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму частного: .

 

Доказательство:

Все точно так же, как и в пункте 2:

Пусть  , тогда  .

Пусть  , тогда  . Имеем:

 , ч.т.д.

 , ч.т.д.

Пример из прошлого пункта теперь становится еще проще:

 

Пример посложнее:  . Догадаешься сам, как решить?

Здесь нужно заметить, что у нас нету ни одной формулы про логарифмы в квадрате. Это что-то сродни выражению   – такое сразу не упростить.

Поэтому отвлечемся от формул про логарифмы, и подумаем, какие вообще формулы мы используем в математике чаще всего? Еще начиная с 7 класса!

Это – формулы сокращенного умножения. Нужно привыкнуть к тому, что они везде! И в показательных, и в тригонометрических, и в иррациональных задачах они встречаются. Поэтому их нужно обязательно помнить.

Нажми на ссылку «Формулы сокращенного умножения», и внимательно на них посмотри. Какую из них можно применить здесь?

Если присмотреться к первым двум слагаемым, становится ясно, что это разность квадратов:

 .

Дальше все просто – применяем только что выученные правила 2 и 3. Что получилось?

Ответ для проверки:

 

 

 

 

 

 

Упрости сам.

Примеры

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  

Ответы.

 

1.  

2.  

3.  

4.  

5.  

 

 

 

 

 

 

Свойство 4: Вынесение показателя степени из аргумента логарифма:

Если в аргументе логарифма стоит степень, показатель этой степени можно вынести за знак логарифма:  .

 

Доказательство: И здесь тоже используем определение логарифма:пусть  , тогда  . Имеем: , ч.т.д.

Можно понять это правило так:

 

То есть степень аргумента выносится вперед логарифма, как коэффициент.

Пример: Найдите значение выражения  .

Решение:  .

Реши сам:

Примеры:

  1.  
  2.  
  3.  

Ответы:

 

1.  .

2.  .

3.  

 

 

 

Свойство 5: Вынесение показателя степени из основания логарифма:

Если в основании логарифма стоит степень, показатель этой степени можно вынести за знак логарифма:  .

Доказательство: Пусть  , тогда  

Имеем: , ч.т.д.
Запоминаем: из основания степень выносится как обратное число, в отличии от предыдущего случая!

Свойство 6: Вынесение показателя степени из основания и аргумента логарифма:

Если в основании и аргументе логарифма стоят степени, показатели этих степеней можно вынести за знак логарифма:  .

Или если степени одинаковые:  .

Свойство 7: Переход к новому основанию:

Если основания логарифмов разные, то для того чтобы дальше работать с логарифмами нужно перейти к логарифмам с одним основанием:  .

Доказательство: Пусть  , тогда  .

Имеем: , ч.т.д.

Свойство 8: Замена местами основания и аргумента логарифма:

Можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе:  .

Доказательство: Это частный случай формулы 7: если подставить  , получим: , ч.т.д.

Рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 4.

Найдите значение выражения  .

Решение:

 

Используем свойство логарифмов № 2 – сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения:

 .

 

Пример 5.

Найдите значение выражения  .

Решение:

 

Используем свойство логарифмов № 3 и № 4:

 .

 

Пример 6.

Найдите значение выражения  .

Решение:

 

Используем свойство № 7 – перейдем к основанию 2:

 

 

Пример 7.

Найдите значение выражения  .

Решение:

 

 

 

 

 

Как тебе статья?

Если ты читаешь эти строки, значит ты прочитал всю статью.

И это круто!

А теперь расскажи нам как тебе статья?

Научился ты решать логарифмы?  Если нет, то в чем проблема?

Пиши нам в комментах ниже. 

Мы будем рады прочитать.

И, да, удачи на экзаменах.

На ЕГЭ и ОГЭ и вообще в жизни

 

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER

Получить доступ к учебнику YouClever без ограничений можно кликнув по этой ссылке:

 ПОЛУЧИТЬ ДОСТУП К УЧЕБНИКУ YOUCLEVER!

 

 

 

Комментарии

Катерина
10 января 2018

Я получила очень хорошую для меня информацию.

ответить

Александр (Админ)
11 января 2018

Спасибо, Катерина. Нам очень приятно слышать, что наш учебник полезен.

ответить

Сергей
13 января 2018

В 3ем свойстве в примере после доказательства сначала стоит логарифм от корня из 3ех по основанию 2, а потом корень исчезает, поясните, пожалуйста, почему?

ответить

Владимир
17 января 2018

Прекрасное объяснение! Просто великолепное! В примере после третьего свойства действительно есть опечатка. знак корня у третьего члена лишний. Есть также потерянный член в конце предпоследней строчки решения пятой задачи третьего свойства. В финальной строчке он нашелся :)

ответить

Александр
21 января 2018

Спасибо за предоставленную информацию ,но у меня всё же остался один вопрос - -как решить как решить логарифм который находится в степени и при всём этом складывается с натуральным числом (например 2). Просто не могу понять , что делать с числом ?

ответить

Алексей Шевчук
06 февраля 2018

Александр, примени свойство степени "произведение степеней с одинаковым основанием": https://youclever.org/book/stepen-i-ee-svojstva

ответить

Галина
26 ноября 2018

Логарифм - это показатель степени. Это надо выучить наизусть. Подробнее: Логарифм - это показатель степени, в которую нужно возвести основание логарифма, чтобы получить число под знаком логарифма.

ответить

Дарья
10 декабря 2018

А как решать функцию логарифмическую, если логарифм под знаком модуля? Например y=[lgx]-lgx?

ответить

Шура
24 января 2019

Как сложить логарифмы если у обоих аргумент x, но у первого основание 2, а у второго 3?

ответить

Алексей Шевчук
04 февраля 2019

Шура, нужно воспользоваться формулой перехода к другому основанию Например, log_3 (x) = log_2 (x) / log_2 (3).

ответить

Олег
14 апреля 2019

Большое спасибо за очередную великолепную статью, все понятно.

ответить

Александр (админ)
14 апреля 2019

Олег, очень рады слышать! Удачи!

ответить

Олег
17 апреля 2019

Спасибо за статью, но СЛОЖНА

ответить

Александр (админ)
17 апреля 2019

Пожалуйста, Олег. Ну что поделать? Тяжело в ученье, легко на ЕГЭ )

ответить

MillerAckerman
17 июня 2019

Саня
06 сентября 2019

А что делать, если логарифмы с разными приколами? 0-0 Как их решать?

ответить

Алексей Шевчук
06 сентября 2019

Саня, посмотри статью про логарифмические уравнения, там некоторые приколы разобраны. https://youclever.org/book/logarifmicheskie-uravneniya-1

ответить

Анна
17 октября 2019

"Следующий вопрос. Как решить уравнение 2^x=5? ... В нашем случае решение уравнения можно записать как 0,430676558…" Здесь ошибка. Попробуйте возвести 2 в эту степень. Число 5 никак не получится. ​​ 5.

ответить

Алексей Шевчук
24 октября 2019

Анна, спасибо! Сам не знаю, как это произошло:)

ответить

Виталий
07 ноября 2019

Уравнение (-2)^х= -8 откуда х=3. Основание (-2) возводим в степень 3, получаем число -8. Почему в логарифмах основание и число под логарифмом должны быть только положительными?

ответить

Алексей Шевчук
08 ноября 2019

Виталий, дело в том, что такие уравнения будут иметь действительные решения очень редко. Представим себе, что это уравнение (-2)^6x=-8. Тогда с одной стороны, x=0.5 является решением, но с другой стороны, когда мы решаем уравнение, у нас должна быть возможность воспользоваться свойствами степени: (-2)^6x = ((-2)^x)^6 - а теперь посмотрим, можем ли мы так делать? Подставим вместо x число 0.5: ((-2)^0.5)^6=-8. Вспомним, что такое степень 0.5? Это квадратный корень из числа. Но ведь мы не можем извлекать корень из отрицательного числа! Чтобы не возникало таких неприятностей, математики договорились не использовать отрицательные основания у показательной функции, а как следствие, и у логарифма. Но это касается только вычислений в действительных числах. Если мы рассматриваем также комплексные числа (это в которых можно извлекать корень из отрицательных чисел), то отрицательные основания возможны - но это уже не школьная математика.

ответить

Александр (админ)
08 ноября 2019

Отличное объяснение, Алексей! Снова вышли за пределы школьной математики. Это здорово! )

ответить

Виталий
12 ноября 2019

Спасибо за ответ. Понял,что это для облегчения начальной стадия обучения, с последующим переходом к более сложным вычислениям.

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Привет!

2/3 статьи, а также разбор задач доступны только ученикам YouClever.

Если вы хотите им стать, пройдите по ссылке и ознакомьтесь с условиями.

Или оставьте Email и получите доступ к 5-ти статьям учебника бесплатно.

Удачи,
Александр Кель

Оставить Email

Имя

E-mail

Кто Вы?

Класс

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем тебе доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб,

... или ко всем скрытым задачам во всех 99 статьях учебника - 899 руб.

Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

Хочу помочь YouClever - 299 руб
Хочу помочь YouClever - 899 руб.

Я уже зарегистрирован / оплатил

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть