Логарифмические уравнения. Начальный уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2017 Пройти пробный ОГЭ 2017

Сегодня в этой статье мы обсудим с тобой как решать простые логарифмические уравнения. Для этого тебе понадобятся некоторые минимальные знания:

  1. Свойства логарифмов
  2. Свойства степени
  3. Формулы сокращенного умножения
  4. Решение линейных и квадратных уравнений.

Ну что, в принципе, это все, что нам понадобится. Что же такое логарифмические уравнения?

Чуть позже о них... Пока напомню, что у нас ты можешь сдать Пробный ЕГЭ по математике в онлайне и получить результ немедленно. Если тебе это не нужно, читай дальше.

Логарифмические уравнения. Понятие.

Это уравнения, в которых неизвестные переменные (ну мы такие жуткие случаи, когда переменных несколько, рассматривать не будем, для нас переменная всегда будет одна и называть мы ее будем «икс») находятся внутри логарифмов. Например:

 

 

 

 

А вот уравнение   нельзя называть логарифмическим. Я думаю, тебе вполне ясно, почему? Верно, все потому, что   не находится внутри никакого логарифма. Такие уравнения называются смешанными и требуют индивидуального подхода. Как же решать логарифмические уравнения?

Логарифмические уравнения. Методы решения.

На самом деле существует целая масса подходов: это и разложение на множители, и потенцирование, и замена, и работа с основаниями… Но все методы решения логарифмических уравнения роднит одно: их цель свести логарифмические уравнения к простейшему виду:

 ,

а затем уже решать уравнение без логарифмов:

 

То есть правило такое:

Если уравнение сведено к такому, что слева и справа от знака «равно» стоят логарифмы с одним основанием, то логарифмы мы «зачеркиваем» и решаем оставшееся уравнение.

Однако, тут есть один подводный камень: поскольку логарифм   определен только тогда, когда

 

то после нахождения корней логарифмического уравнения, мы обязаны сделать проверку!!! Я не поленюсь и повторю еще раз:

В ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ МЫ ВСЕГДА ДЕЛАЕМ ПРОВЕРКУ ПОЛУЧЕННЫХ КОРНЕЙ!!

Те учащиеся, которые игнорируют это требование, как правило допускают глупейшие и непростительные ошибки (согласись, обидно решить правильно уравнение, а потом не сделать самую малость: проверку, и записать лишние корни, и записать из-за этого неправильный ответ!).

Теперь давай потренируемся на решении простейших примеров (все примеры взяты из банка задач ЕГЭ, B7).

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  

Давай разбираться с каждым примером по-отдельности.

Правило умножения на единицу:

1.  

Слева у нас стоит выражение с логарифмом, а справа – нет. Что делать? Нужно сделать так, чтобы справа тоже было выражение с логарифмом по основанию  , а затем просто откинуть логарифмы.

Как этого добиться? Я люблю применять волшебное правило:

Правило умножения на единицу!

Вот в чем его соль: я умножу   на  

 

Однако, мне же нужен логарифм! Что я знаю:

 

Мне же нужно основание  , поэтому я возьму  , тогда

 

 

Пол дела сделано! Теперь мне нужно засунуть   внутрь логарифма. Это я сделаю, воспользовавшись следующим правилом:

 

Применительно к моей ситуации это даст:

 

Тогда мое исходное логарифмическое уравнение станет вот таким:

 

Ура! Избавляемся от логарифмов! Получим простейшее уравнение

 

 

Но это еще не конец! Обещанная проверка:

 

 

так как  , то последнее выражение истинное, и   – на самом деле является корнем.

Запишем ответ:

 

2.  

Задача полностью аналогичная предыдущей: воспользуюсь правилом умножения на единицу для числа  :

 

Тогда исходное уравнение станет вот таким:

 

Зачеркиваем логарифмы:

 

 

Делаем проверку:

 

 

Верно!

3.  

А здесь о нас с тобой уже заранее позаботились! Зачеркиваем логарифмы и получим:

 

 

Делаем проверку:

 

 

Все верно!

4.  

Опять воспользуемся волшебным правилом!

 

Если последняя выкладка была не особо понятной, то еще раз повтори свойства степеней, особенно отрицательных!

Теперь все стало ясно? Отлично, тогда убираем логарифмы:

 

 

Не забываем о проверке!

 

 

Так как

 

то снова все верно!

Правило "превращения единицы":

Разберем это правило на пятом примере логарифмического уравнения:

5.  

Воспользуемся правилом «превращения единицы», которым мы уже пользовались в правиле «умножения на единицу»! Смотри как оно работает:

 

Тогда исходное уравнение станет вот таким:

 

Что дальше? Если ты видишь с одной стороны уравнения сумму (или разность, но лучше сумму!) логарифмов с одним основанием, то пользуйся вот такой формулой (тебе уже известной!)

 

Применительно к моей ситуации это даст:

 

Ну все, слева и справа у нас – логарифмы и ничего более. Убираем их.

 

 

 

 

Проверка:

 

 

 

 

Верно!

Кстати, а ты понял, откуда у нас взялся ноль справа? Ты асболютно прав:

 

Использование свойств логарифма:

6.  

Здесь у нас есть два возможных пути:

первый – это как всегда правило умножения на единицу (ты можешь попытаться его проделать самостоятельно, ты ведь знаешь, как решать показательные уравнения?),

второй – воспользоваться одним из свойств логарифма:

 

но читать я ее буду справа налево:

 

Теперь разберемся с числом

 

Здесь нам понадобится еще одно хорошо известное тебе свойство:

 

Что она даст в нашем случае? Так как  , то

 

Тогда левая часть уравнения примет вид:

 

 

 

 

Проверка!

 

 

 

 

 

 

Все верно!

Ну что же, во всех предыдущих примерах, так уж выходило (абсолютно случайно, кстати), что логарифмические уравнения имели корни, притом единственные, и все они нам подходили. Так бывает далеко не всегда, увы! Но прежде чем я приведу тебе соответствующие примеры, я еще раз хочу напомнить тебе, какие формулы очень нужны для решения логарифмических уравнений:

 

 

 

 

 

 

Логарифмические уравнения. Примеры.

Ну а теперь обещанные примеры, где все не очень хорошо с корнями! Не так уж и много, правда? Но тем не менее, эти формулы нам ЖИЗНЕННО НЕОБХОДИМЫ! Без них мы не сможем решить даже простейший пример.

  1.  
  2.  
  3.  

1. Решение стандартно – воспользуемся правилом умножения на -1:

 

Теперь удаляем логарифмы:

 

Перемножим крест-накрест:

 

 

 

 

Проверка  

 

Подходит!

Проверка  

 

И здесь подходит! Может, я ошибся, и корни вообще всегда подходят? Давай посмотрим на следующий пример!

2.  

Тройку нашим любимым методом представим в виде

 

Слева и справа воспользуемся формулой для суммы логарифмов:

 

 

 

 

 

Делаем проверку:

 

 

 

 

Верно!

Неужели, и второй подойдет? Давай проверим:

 

Видно, что в каждом из двух логарифмов слева стоят отрицательные числа, такого быть не должно и не может! Тогда   не является корнем!

Ответ:  

 

Решение аналогично уже рассмотренному ранее примеру: Единицу справа давай превратим в   (я напомню, что   – десятичный логарифм, или логарифм по основанию  ), и произведем действия между логарифмами слева и справа:

 

теперь уберем логарифмы слева и справа:

 

 

 

 

Проверка:  

 

Опять оба логарифма слева не определены, так как они берутся от отрицательных чисел. Тогда   не является корнем.

 

 

 

так как  , то

 

Верно!

Ответ:  

Я надеюсь, что только что приведенные примеры навсегда отучат тебя пропускать проверку при решении логарифмических уравнений. Она необходима!

Теперь я бы хотел рассмотреть с тобой еще один (чуть более сложный) вид логарифмических уравнений. Это будут уравнения с переменным основанием. До этого же мы рассматривали только случаи, когда основания были постоянными:   и т. д. Но ничто не мешает им быть некоторыми функциями от  , например   и т. д. Но не стоит пугаться! Если при решении логарифмических неравенств переменное основание доставляет довольно много неудобств, то на сложности решения уравнения это практически никак не сказывается. Суди сам:

 

Действуем как и раньше: применяем метод «умножь на единицу» к числу  :

 

Тогда исходное уравнение преобразуется к виду:

 

 

Применю формулу разности квадратов:

 

 

 

 

Проверка:  

 

 

 

Верно!

 

 

 

Какой делаем вывод? Неверно! Число   не является корнем уравнения, поскольку основание логарифма не может быть отрицательным числом или равняться единице!

Ответ:  .

Как видишь, в случае уравнений нет никакой принципиальной разницы, переменные у нас основания или нет. В этом плане можно сказать, что решить логарифмическое уравнение как правило намного проще, чем решить логарифмическое неравенство!

Давай теперь попробуем решить еще вот такой «странный» пример:

 

Будем действовать как всегда – превратим правую часть в логарифм, вот такой хитрый:

 

Тогда исходное логарифмическое уравнение будет равносильно вот такому уравнению (правда снова логарифмическому)

 

Данное уравнение я буду решать снова по разности квадратов:

 )

  или  

 

или

 

Давай решим вначале первое, второе будет решаться примерно так же:

Снова воспользуюсь «умножением на 1»:

 

 

Аналогично для второго уравнения:

 

Теперь самое интересное: проверка. Начнем с первого корня
 

 

 

Основание «большого» логарифма равно

 

Поэтому   не является корнем.

Проверим второе число:

 

 

Так как

 

то:

 .

так как

 

 

то число   является корнем исходного уравнения.

Ответ:  

Я намеренно привел достаточно сложный пример, чтобы показать тебе, что не стоит пугаться больших и страшных логарифмов: достаточно знать несколько формул (которые я уже привел тебе выше) и из любой (практически) ситуации можно найти выход.

Ну вот, я привел тебе основные методы решения логарифмических уравнений (методы «без изысков»), которые позволят тебе справиться с большинством примеров ( в первую очередь на ЕГЭ). Теперь пришло твое время показать, чему ты научился. Попробуй самостоятельно решить следующие логарифмические уравнения, а затем мы с тобой сверим результат.

А теперь попробуй порешать логарифмические уравнения самостоятельно:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  

Рассмотренные в этой работы приемы, конечно, не исчерпывают всевозможные способы решения логарифмических уравнений. В некоторых случаях нам нужно очень «извернуться», чтобы придумать способ найти корни у каверзного уравнения. Однако, каким бы сложным не было начальное уравнение, в результате оно сведется к уравнению того вида, которые мы с тобой только что научились решать!

 

1. Достаточно простая задачка: воспользуемся свойством:

 

в вычитаемом:

 

Тогда мы получим:

 

 

 

 

 

Делаем проверку:

 

  (этот переход я уже объяснял тебе выше)

 

 

Ответ: 9

2. Тоже ничего сверхъестественного: неохота мне делить, поэтому я перенесу слагаемое с «минусом» вправо: теперь слева и справа у меня стоят десятичные логарифмы, и я от них избавляюсь:

 

 

 

Делаю проверку:  

 

 

выражение под знаком логарифма не может быть отрицательным, поэтому число   не является корнем уравнения.

Проверка  

 

 

 

Верно!

Ответ:  

3.  

Здесь нужно немного поработать: ясно, что  , снова воспользуюсь (не правда ли очень полезной?) формулой:

 

 

 

Что мне нужно сделать, прежде чем применить формулу сложения логарифмов? Да, мне нужно избавиться от множителя  . Есть два пути: первый – в лоб занести его в логарифм по формуле:

 

В принципе, этот метод имеет право на существование, но что в нем плохо? Плохо иметь дело с выражением вида   (всегда неприятна «нецелая степень». Так что можно сделать еще? Как можно избавиться от такой «нецелости»? Давай домножим на   наше уравнение:

 

 

Ну вот, а теперь давай занесем оба множителя в логарифмы:

 

 

Как поступить дальше? Для продолжения давай вспомним другую формулу:

 

тогда я заменю ноль на

 

И окончательно получу:

 

 

Помнишь, как называется эта «нелюбимая» школьная формула? Это разность кубов! Может, так более понятно?

 

Напомню тебе, что разность кубов вот так раскладывается на множители:

 

и вот еще на всякий случай:

 

Применительно к нашей ситуации это даст:

 

  или  

Первое уравнение имеет корень  , а второе корней не имеет (убедись сам!).

Предоставляю тебе самостоятельно сделать проверку и убедиться, что число   на самом деле является корнем нашего уравнения.

4.  

Как и в предыдущем примере перепишем

  в виде:

 

Я опять не хочу никаких вычитаний ( и последующих делений) и поэтому перенесу полученное выражение вправо:

 

Теперь убираю логарифмы слева и справа:

 

 

 

 

Мы получили иррациональное уравнение, которое, как я надеюсь, ты уже умеешь решать. Я лишь напомню, что мы возводим обе стороны в квадрат:

 

 

 

Твоя задача теперь – убедиться, что   не является корнем, а   – является.

Ответ:  

5.  

Все прозрачно: применяем формулу суммы логарифмов слева:

 

тогда убираем логарифмы с двух сторон:

 

 

Проверка:

 

Верно!

Ответ:  ;

6.  

Все проще некуда: уравнение уже приведено к простейшему виду. Нам осталось только приравнять

 

 -32=0

 

опять воспользуемся формулой разности квадратов. Она позволяет при решении уравнений вида   не терять корни!

 

 

Делаем проверку: 

 

 

Верно!

А вот при   основание у логарифмов равно:

 

И   не является корнем.

Ответ:  

7.  

Этот пример я оставил нам на десерт. Хотя в нем тоже нет ничего очень уж сложного.

Ноль представим как

 

Тогда мы с тобой получим вот такое логарифмическое уравнение:

 

И мы снимаем первую «шкурку» - внешние логарифмы.

 

Единицу представим как

 

Тогда наше уравнение примет вид:

 

Теперь мы снимаем «вторую шкурку» и добираемся до сердцевины:

 

 

Делаем проверку:

 :

 

 

 

 .

Верно!

 

 

Неверно!

Ответ:  .

 

 

 

Комментарии

Зия
10 января 2018

благодарю

ответить

Александр (Админ)
11 января 2018

Пожалуйста, Зия.

ответить

Ольга
04 апреля 2018

Спасибо, очень понравилось объяснение. Опечатка только в первом примере, вместо корня результат проверки в ответе указан.

ответить

Александр (админ)
04 апреля 2018

Спасибо за наблюдательность, Ольга! Да, действительно, опечатка. Поправили.

ответить

Александр (админ)
04 апреля 2018

И за теплые слова тоже спасибо! )

ответить

Антон
11 апреля 2018

Спасибо огромное, вы меня прям спасли!

ответить

Александр (админ)
11 апреля 2018

Скорая помощь на марше! :) Пожалуйста, Антон. Мы рады, что тебе понравилось. Оказывается математика может быть простой, правда? )

ответить

;))))
17 апреля 2018

Люба
01 мая 2018

Спасибо огромное, за очень простое и понятное объяснение

ответить

Александр (админ)
01 мая 2018

Пожалуйста, Люба. Держи в курсе как пройдет экзамен. Можно прямо здесь написать помог тебе наш сайт или нет к нему подготовиться )

ответить

Сергей
07 мая 2018

Спасибо вашему сайту. Добавил в закладки. По поводу 7-го примера для самостоятельного решения. Мне кажется, вы забыли дописать квадрат над "х"

ответить

Александр (админ)
12 мая 2018

Спасибо, Сергей за внимательность! Проверим обязательно.

ответить

Александр
12 мая 2018

в объяснении 5 примера есть опечатка, там стоит 3 - х, а должно быть 7 - х. А так спасибо вам)

ответить

Александр (админ)
12 мая 2018

И вам спасибо, Александр! Опечатку устраним. Будем рады, если вы найдете еще. ))

ответить

Евгений
01 июня 2018

7 пример для самостоятельной работы точно правильно записан?

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги сделать так, чтобы его не закрыли... 

... а мы откроем для тебя ВСЕ скрытые примеры учебника.

Всего 199 руб...

Но твоя помощь бесценна! :)  

Спасибо!

Я хочу помочь YouClever!

Закрыть