Логарифмические уравнения. Начальный уровень.

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Пройди программу подготовки к ОГЭ Пройди программу подготовки к ЕГЭ

Сегодня в этой статье мы обсудим с тобой как решать простые логарифмические уравнения. Для этого тебе понадобятся некоторые минимальные знания:

  1. Свойства логарифмов
  2. Свойства степени
  3. Формулы сокращенного умножения
  4. Решение линейных и квадратных уравнений.

Ну что, в принципе, это все, что нам понадобится. Что же такое логарифмические уравнения?

Чуть позже о них... Пока напомню, что у нас ты можешь сдать Пробный ЕГЭ по математике в онлайне и получить результ немедленно. Если тебе это не нужно, читай дальше.

Логарифмические уравнения. Понятие.

Это уравнения, в которых неизвестные переменные (ну мы такие жуткие случаи, когда переменных несколько, рассматривать не будем, для нас переменная всегда будет одна и называть мы ее будем «икс») находятся внутри логарифмов. Например:

 

 

 

 

А вот уравнение   нельзя называть логарифмическим. Я думаю, тебе вполне ясно, почему? Верно, все потому, что   не находится внутри никакого логарифма. Такие уравнения называются смешанными и требуют индивидуального подхода. Как же решать логарифмические уравнения?

Логарифмические уравнения. Методы решения.

На самом деле существует целая масса подходов: это и разложение на множители, и потенцирование, и замена, и работа с основаниями… Но все методы решения логарифмических уравнения роднит одно: их цель свести логарифмические уравнения к простейшему виду:

 ,

а затем уже решать уравнение без логарифмов:

 

То есть правило такое:

Если уравнение сведено к такому, что слева и справа от знака «равно» стоят логарифмы с одним основанием, то логарифмы мы «зачеркиваем» и решаем оставшееся уравнение.

Однако, тут есть один подводный камень: поскольку логарифм   определен только тогда, когда

 

то после нахождения корней логарифмического уравнения, мы обязаны сделать проверку!!! Я не поленюсь и повторю еще раз:

В ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ МЫ ВСЕГДА ДЕЛАЕМ ПРОВЕРКУ ПОЛУЧЕННЫХ КОРНЕЙ!!

Те учащиеся, которые игнорируют это требование, как правило допускают глупейшие и непростительные ошибки (согласись, обидно решить правильно уравнение, а потом не сделать самую малость: проверку, и записать лишние корни, и записать из-за этого неправильный ответ!).

Теперь давай потренируемся на решении простейших примеров (все примеры взяты из банка задач ЕГЭ, B7).

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  

Давай разбираться с каждым примером по-отдельности.

Правило умножения на единицу:

1.  

Слева у нас стоит выражение с логарифмом, а справа – нет. Что делать? Нужно сделать так, чтобы справа тоже было выражение с логарифмом по основанию  , а затем просто откинуть логарифмы.

Как этого добиться? Я люблю применять волшебное правило:

Правило умножения на единицу!

Вот в чем его соль: я умножу   на  

 

Однако, мне же нужен логарифм! Что я знаю:

 

Мне же нужно основание  , поэтому я возьму  , тогда

 

 

Пол дела сделано! Теперь мне нужно засунуть   внутрь логарифма. Это я сделаю, воспользовавшись следующим правилом:

 

Применительно к моей ситуации это даст:

 

Тогда мое исходное логарифмическое уравнение станет вот таким:

 

Ура! Избавляемся от логарифмов! Получим простейшее уравнение

 

 

Но это еще не конец! Обещанная проверка:

 

 

так как  , то последнее выражение истинное, и   – на самом деле является корнем.

Запишем ответ:

 

2.  

Задача полностью аналогичная предыдущей: воспользуюсь правилом умножения на единицу для числа  :

 

Тогда исходное уравнение станет вот таким:

 

Зачеркиваем логарифмы:

 

 

Делаем проверку:

 

 

Верно!

3.  

А здесь о нас с тобой уже заранее позаботились! Зачеркиваем логарифмы и получим:

 

 

Делаем проверку:

 

 

Все верно!

4.  

Опять воспользуемся волшебным правилом!

 

Если последняя выкладка была не особо понятной, то еще раз повтори свойства степеней, особенно отрицательных!

Теперь все стало ясно? Отлично, тогда убираем логарифмы:

 

 

Не забываем о проверке!

 

 

Так как

 

то снова все верно!

Правило "превращения единицы":

Разберем это правило на пятом примере логарифмического уравнения:

5.  

Воспользуемся правилом «превращения единицы», которым мы уже пользовались в правиле «умножения на единицу»! Смотри как оно работает:

 

Тогда исходное уравнение станет вот таким:

 

Что дальше? Если ты видишь с одной стороны уравнения сумму (или разность, но лучше сумму!) логарифмов с одним основанием, то пользуйся вот такой формулой (тебе уже известной!)

 

Применительно к моей ситуации это даст:

 

Ну все, слева и справа у нас – логарифмы и ничего более. Убираем их.

 

 

 

 

Проверка:

 

 

 

 

Верно!

Кстати, а ты понял, откуда у нас взялся ноль справа? Ты асболютно прав:

 

Использование свойств логарифма:

6.  

Здесь у нас есть два возможных пути:

первый – это как всегда правило умножения на единицу (ты можешь попытаться его проделать самостоятельно, ты ведь знаешь, как решать показательные уравнения?),

второй – воспользоваться одним из свойств логарифма:

 

но читать я ее буду справа налево:

 

Теперь разберемся с числом

 

Здесь нам понадобится еще одно хорошо известное тебе свойство:

 

Что она даст в нашем случае? Так как  , то

 

Тогда левая часть уравнения примет вид:

 

 

 

 

Проверка!

 

 

 

 

 

 

Все верно!

Ну что же, во всех предыдущих примерах, так уж выходило (абсолютно случайно, кстати), что логарифмические уравнения имели корни, притом единственные, и все они нам подходили. Так бывает далеко не всегда, увы! Но прежде чем я приведу тебе соответствующие примеры, я еще раз хочу напомнить тебе, какие формулы очень нужны для решения логарифмических уравнений:

 

 

 

 

 

 

Логарифмические уравнения. Примеры.

Ну а теперь обещанные примеры, где все не очень хорошо с корнями! Не так уж и много, правда? Но тем не менее, эти формулы нам ЖИЗНЕННО НЕОБХОДИМЫ! Без них мы не сможем решить даже простейший пример.

  1.  
  2.  
  3.  

1. Решение стандартно – воспользуемся правилом умножения на -1:

 

Теперь удаляем логарифмы:

 

Перемножим крест-накрест:

 

 

 

 

Проверка  

 

Подходит!

Проверка  

 

И здесь подходит! Может, я ошибся, и корни вообще всегда подходят? Давай посмотрим на следующий пример!

2.  

Тройку нашим любимым методом представим в виде

 

Слева и справа воспользуемся формулой для суммы логарифмов:

 

 

 

 

 

Делаем проверку:

 

 

 

 

Верно!

Неужели, и второй подойдет? Давай проверим:

 

Видно, что в каждом из двух логарифмов слева стоят отрицательные числа, такого быть не должно и не может! Тогда   не является корнем!

Ответ:  

 

Решение аналогично уже рассмотренному ранее примеру: Единицу справа давай превратим в   (я напомню, что   – десятичный логарифм, или логарифм по основанию  ), и произведем действия между логарифмами слева и справа:

 

теперь уберем логарифмы слева и справа:

 

 

 

 

Проверка:  

 

Опять оба логарифма слева не определены, так как они берутся от отрицательных чисел. Тогда   не является корнем.

 

 

 

так как  , то

 

Верно!

Ответ:  

Я надеюсь, что только что приведенные примеры навсегда отучат тебя пропускать проверку при решении логарифмических уравнений. Она необходима!

Теперь я бы хотел рассмотреть с тобой еще один (чуть более сложный) вид логарифмических уравнений. Это будут уравнения с переменным основанием. До этого же мы рассматривали только случаи, когда основания были постоянными:   и т. д. Но ничто не мешает им быть некоторыми функциями от  , например   и т. д. Но не стоит пугаться! Если при решении логарифмических неравенств переменное основание доставляет довольно много неудобств, то на сложности решения уравнения это практически никак не сказывается. Суди сам:

 

Действуем как и раньше: применяем метод «умножь на единицу» к числу  :

 

Тогда исходное уравнение преобразуется к виду:

 

 

Применю формулу разности квадратов:

 

 

 

 

Проверка:  

 

 

 

Верно!

 

 

 

Какой делаем вывод? Неверно! Число   не является корнем уравнения, поскольку основание логарифма не может быть отрицательным числом или равняться единице!

Ответ:  .

Как видишь, в случае уравнений нет никакой принципиальной разницы, переменные у нас основания или нет. В этом плане можно сказать, что решить логарифмическое уравнение как правило намного проще, чем решить логарифмическое неравенство!

Давай теперь попробуем решить еще вот такой «странный» пример:

 

Будем действовать как всегда – превратим правую часть в логарифм, вот такой хитрый:

 

Тогда исходное логарифмическое уравнение будет равносильно вот такому уравнению (правда снова логарифмическому)

 

Данное уравнение я буду решать снова по разности квадратов:

 )

  или  

 

или

 

Давай решим вначале первое, второе будет решаться примерно так же:

Снова воспользуюсь «умножением на 1»:

 

 

Аналогично для второго уравнения:

 

Теперь самое интересное: проверка. Начнем с первого корня
 

 

 

Основание «большого» логарифма равно

 

Поэтому   не является корнем.

Проверим второе число:

 

 

Так как

 

то:

 .

так как

 

 

то число   является корнем исходного уравнения.

Ответ:  

Я намеренно привел достаточно сложный пример, чтобы показать тебе, что не стоит пугаться больших и страшных логарифмов: достаточно знать несколько формул (которые я уже привел тебе выше) и из любой (практически) ситуации можно найти выход.

Ну вот, я привел тебе основные методы решения логарифмических уравнений (методы «без изысков»), которые позволят тебе справиться с большинством примеров ( в первую очередь на ЕГЭ). Теперь пришло твое время показать, чему ты научился. Попробуй самостоятельно решить следующие логарифмические уравнения, а затем мы с тобой сверим результат.

А теперь попробуй порешать логарифмические уравнения самостоятельно:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  

1. Достаточно простая задачка: воспользуемся свойством:

 

в вычитаемом:

 

Тогда мы получим:

 

 

 

 

 

Делаем проверку:

 

  (этот переход я уже объяснял тебе выше)

 

 

Ответ: 9

2. Тоже ничего сверхъестественного: неохота мне делить, поэтому я перенесу слагаемое с «минусом» вправо: теперь слева и справа у меня стоят десятичные логарифмы, и я от них избавляюсь:

 

 

 

Делаю проверку:  

 

 

выражение под знаком логарифма не может быть отрицательным, поэтому число   не является корнем уравнения.

Проверка  

 

 

 

Верно!

Ответ:  

3.  

Здесь нужно немного поработать: ясно, что  , снова воспользуюсь (не правда ли очень полезной?) формулой:

 

 

 

Что мне нужно сделать, прежде чем применить формулу сложения логарифмов? Да, мне нужно избавиться от множителя  . Есть два пути: первый – в лоб занести его в логарифм по формуле:

 

В принципе, этот метод имеет право на существование, но что в нем плохо? Плохо иметь дело с выражением вида   (всегда неприятна «нецелая степень». Так что можно сделать еще? Как можно избавиться от такой «нецелости»? Давай домножим на   наше уравнение:

 

 

Ну вот, а теперь давай занесем оба множителя в логарифмы:

 

 

Как поступить дальше? Для продолжения давай вспомним другую формулу:

 

тогда я заменю ноль на

 

И окончательно получу:

 

 

Помнишь, как называется эта «нелюбимая» школьная формула? Это разность кубов! Может, так более понятно?

 

Напомню тебе, что разность кубов вот так раскладывается на множители:

 

и вот еще на всякий случай:

 

Применительно к нашей ситуации это даст:

 

  или  

Первое уравнение имеет корень  , а второе корней не имеет (убедись сам!).

Предоставляю тебе самостоятельно сделать проверку и убедиться, что число   на самом деле является корнем нашего уравнения.

4.  

Как и в предыдущем примере перепишем

  в виде:

 

Я опять не хочу никаких вычитаний ( и последующих делений) и поэтому перенесу полученное выражение вправо:

 

Теперь убираю логарифмы слева и справа:

 

 

 

 

Мы получили иррациональное уравнение, которое, как я надеюсь, ты уже умеешь решать. Я лишь напомню, что мы возводим обе стороны в квадрат:

 

 

 

Твоя задача теперь – убедиться, что   не является корнем, а   – является.

Ответ:  

5.  

Все прозрачно: применяем формулу суммы логарифмов слева:

 

тогда убираем логарифмы с двух сторон:

 

 

Проверка:

 

Верно!

Ответ:  ;

6.  

Все проще некуда: уравнение уже приведено к простейшему виду. Нам осталось только приравнять

 

 -32=0

 

опять воспользуемся формулой разности квадратов. Она позволяет при решении уравнений вида   не терять корни!

 

 

Делаем проверку: 

 

 

Верно!

А вот при   основание у логарифмов равно:

 

И   не является корнем.

Ответ:  

7.  

Этот пример я оставил нам на десерт. Хотя в нем тоже нет ничего очень уж сложного.

Ноль представим как

 

Тогда мы с тобой получим вот такое логарифмическое уравнение:

 

И мы снимаем первую «шкурку» - внешние логарифмы.

 

Единицу представим как

 

Тогда наше уравнение примет вид:

 

Теперь мы снимаем «вторую шкурку» и добираемся до сердцевины:

 

 

Делаем проверку:

 :

 

 

 

 .

Верно!

 

 

Неверно!

Ответ:  .

Рассмотренные в этой работы приемы, конечно, не исчерпывают всевозможные способы решения логарифмических уравнений. В некоторых случаях нам нужно очень «извернуться», чтобы придумать способ найти корни у каверзного уравнения. Однако, каким бы сложным не было начальное уравнение, в результате оно сведется к уравнению того вида, которые мы с тобой только что научились решать!

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2017 Пройти пробный ОГЭ 2017

Комментарии

Зия
10 января 2018

благодарю

ответить

Александр (Админ)
11 января 2018

Пожалуйста, Зия.

ответить

Ольга
04 апреля 2018

Спасибо, очень понравилось объяснение. Опечатка только в первом примере, вместо корня результат проверки в ответе указан.

ответить

Александр (админ)
04 апреля 2018

Спасибо за наблюдательность, Ольга! Да, действительно, опечатка. Поправили.

ответить

Александр (админ)
04 апреля 2018

И за теплые слова тоже спасибо! )

ответить

Антон
11 апреля 2018

Спасибо огромное, вы меня прям спасли!

ответить

Александр (админ)
11 апреля 2018

Скорая помощь на марше! :) Пожалуйста, Антон. Мы рады, что тебе понравилось. Оказывается математика может быть простой, правда? )

ответить

;))))
17 апреля 2018

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Хотите открыть все скрытые тексты в учебнике? Приобретите подписку и тексты будут открыты до даты экзамена. Стоимость подписки 499 руб

Купить подписку