Решение логарифмических уравнений на ЕГЭ

Опишем непосредственно сам мини-максный метод

Я думаю, что ты понимаешь, от каких слов произошло такое название? Верно, от слов минимум и максимум. Кратко метод можно представить в виде:

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right)=g\left( x \right)\\f\left( x \right)\ge A\\g\left( x \right)\le A\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right)=A\\g\left( x \right)=A\end{array} \right.\)

Наша самая главная цель – это найти вот эту самую константу \( \displaystyle A\), чтобы далее свести уравнение к двум более простым. Для этого могут быть полезны свойства монотонности логарифмической функции, сформулированные выше.

Теперь давай рассмотрим конкретные примеры:

• \( \displaystyle {{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( 1+{{\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)}^{2}} \right)=\sqrt{{{x}^{2}}-6x+8}\)
• \( \displaystyle {{\left( 4{{x}^{2}}-7{x} -2 \right)}^{2}}+\log _{5}^{5}\left( 2{{x}^{2}}-11x+15 \right)=0\)
• \( \displaystyle {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+6x+18 \right)=2{{\sin }^{2}}\frac{\pi x}{6}\)

1. Вначале рассмотрим левую часть. Там стоит логарифм с основанием меньше \( \displaystyle 0<a<1\). 

По теореме, сформулированной выше, какой оказывается функция \( \displaystyle y={{\log }_{a}}t\)? Она убывает. При этом, \( \displaystyle t=1+{{\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)}^{2}}\ge 1\), а значит, \( \displaystyle {{\log }_{a}}t\le 0\). 

С другой стороны, по определению корня:

\( \displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}-6x+8}\ge 0\). 

Таким образом, константа \( \displaystyle A\) найдена и равна \( \displaystyle 0\). Тогда исходное уравнение равносильно системе:

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\sqrt{{{x}^{2}}-6x+8}=0\\{{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( 1+{{\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)}^{2}} \right)=0\end{array} \right.\)


Первое уравнение имеет корни \( \displaystyle {{x}_{1}}=4,{{x}_{2}}=2\), а второе: \( \displaystyle {{x}_{1}}=1,{{x}_{2}}=2\). 

Таким образом, общий корень равен \( \displaystyle 2\), и данный корень будет корнем исходного уравнения. На всякий случай сделай проверку, чтобы убедиться в этом.

Ответ: \( \displaystyle 2\)

2. \( \displaystyle {{\left( 4{{x}^{2}}-7{x} -2 \right)}^{2}}+\log _{5}^{2}\left( 2{{x}^{2}}-11x+15 \right)=0\)

Давай сразу задумаемся, что здесь написано? Я имею в виду общую структуру. Здесь сказано, что сумма двух квадратов равна нулю. Когда это возможно? Только тогда, когда оба этих числа по отдельности равны нулю. Тогда перейдем к следующей системе:

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{\left( 4{{x}^{2}}-7{x} -2 \right)}^{2}}=0\\\log _{5}^{2}\left( 2{{x}^{2}}-11x+15 \right)=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=2;\\{{x}_{2}}=-0,25\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=3;\\{{x}_{2}}=2,5\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Общих корней у первого и второго уравнений нет, тогда и исходное уравнение корней не имеет.

Ответ: нет решений.

3. \( \displaystyle {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+6x+18 \right)=2{{\sin }^{2}}\frac{\pi x}{6}\)

Давай вначале рассмотрим правую часть – она попроще. По определению синуса:

\( \displaystyle -1\le sint\le 1\), откуда \( \displaystyle 0\le {{\sin }^{2}}t\le 1\), и тогда \( \displaystyle 0\le 2{{\sin }^{2}}t\le 2.\) Поэтому \( \displaystyle 0\le 2{{\sin }^{2}}\frac{\pi x}{6}\le 2.\)

Теперь вернемся к левой части: рассмотрим выражение, стоящее под знаком логарифма:

\( \displaystyle {{x}^{2}}+6x+18\)

Попытка найти корни у уравнения \( \displaystyle {{x}^{2}}+6x+18=0\) не приведет к положительному результату. Но тем не менее, мне надо как-то это выражение оценить. Ты, конечно, знаешь такой метод, как выделение полного квадрата. Его я здесь и применю.

\( \displaystyle {{x}^{2}}+6x+18={{x}^{2}}+2\cdot 3\cdot x+9+9={{\left( x+3 \right)}^{2}}+9\ge 9\)

Тогда \( \displaystyle {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+6x+18 \right)={{\log }_{3}}\left( {{\left( x+3 \right)}^{2}}+9 \right)\)

Так как \( \displaystyle y={{\log }_{3}}t\) – функция возрастающая, то из \( \displaystyle {{\left( x+3 \right)}^{2}}+9\ge 9\) cледует, что \( \displaystyle {{\log }_{3}}\left( {{\left( x+3 \right)}^{2}}+9 \right)\ge {{\log }_{3}}9=2\).

Таким образом, \( \displaystyle {{\log }_{3}}\left( {{\left( x+3 \right)}^{2}}+9 \right)\ge 2\)

Тогда наше исходное уравнение равносильно следующей системе:

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+6x+18 \right)=2\\2{{\sin }^{2}}\frac{\pi x}{6}=2\end{array} \right.\)

Я не знаю, знаком ты или нет с решением тригонометрических уравнений, поэтому я сделаю так: решу первое уравнение (оно имеет максимум два корня), а потом результат подставлю во второе:

\( \displaystyle {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+6x+18 \right)=2\)

\( \displaystyle {{x}_{1}}=-3\) (можешь сделать проверку и убедиться, что это число является корнем первого уравнения системы)

Теперь я подставлю его во второе уравнение:

\( \displaystyle 2{{\sin }^{2}}\frac{\pi x}{6}=2\)

\( \displaystyle 2{{\sin }^{2}}\frac{\pi \left( -3 \right)}{6}=2\)

\( \displaystyle {{\sin }^{2}}\frac{-\pi }{2}=1\)

\( \displaystyle 1=1.\)

Ответ: \( \displaystyle x=-3\)

Ну как, теперь тебе стала ясна техника применения мини-максного метода? Тогда постарайся решить следующий пример самостоятельно.

\( \displaystyle 1+\left| {{\log }_{4}}\left( 9{{x}^{2}}-39x+43 \right) \right|=\left| \cos \cos \left( {x} -2 \right)\cos \left( x \right) \right|\)

Готов? Давай проверим:

Левая часть – сумма двух неотрицательных величин (единицы и модуля) а потому, левая часть не меньше единицы, причем она равна единице только тогда, когда

\( \displaystyle \left| {{\log }_{4}}\left( 9{{x}^{2}}-39x+43 \right) \right|=0\)

В то же время правая часть – это модуль (значит, больше нуля) произведения двух косинусов (значит не более единицы), тогда:

\( \displaystyle \left| {{\log }_{4}}\left( 9{{x}^{2}}-39x+43 \right) \right|=0\)

Тогда исходное уравнение равносильно системе:

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}1+|{{\log }_{4}}\left( 9{{x}^{2}}-39x+43 \right)|=1\\\left| \cos \cos \left( {x} -2 \right)\cos \left( x \right) \right|=1\end{array} \right.\)

Я опять предлагаю решить первое уравнение и результат подставить во второе:

\( \displaystyle 1+|{{\log }_{4}}\left( 9{{x}^{2}}-39x+43 \right)|=1\)

\( \displaystyle |{{\log }_{4}}\left( 9{{x}^{2}}-39x+43 \right)|=0\)

\( \displaystyle {{\log }_{4}}\left( 9{{x}^{2}}-39x+43 \right)=0\).

Данное уравнение корней не имеет.

Тогда исходное уравнение также не имеет корней.

Ответ: решений нет.