ОДЗ. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Что такое ОДЗ?

Это область допустимых значений, то есть это все значения переменной, при которых выражение имеет смысл.

Например, если перед тобой уравнение $latex \displaystyle \sqrt{x}=y$, то ни $latex \displaystyle x$, ни $latex \displaystyle y$ не могут быть отрицательными:

$latex \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x\ge 0;\\y\ge 0.\end{array} \right.$

Часто в задачах бывает очень важно учесть ОДЗ. То есть некоторые из решений на самом деле решениями не являются.

Давай разберем пример, наглядно показывающий что такое ОДЗ:

Решим уравнение $latex \displaystyle \sqrt{2x+3}=x$.

Все очень просто, если ты уже освоил тему «Иррациональные уравнения». Возводим левую и правую части уравнения в квадрат:

$latex \displaystyle 2x+3={{x}^{2}}\text{  }\Leftrightarrow \text{  }{{x}^{2}}-2{x}-3=0$.

Теперь решаем квадратное уравнение. Я воспользуюсь теоремой Виета (если забыл что это такое — посмотри тему «Квадратные уравнения»). Получаем корни:

$latex \displaystyle \left[ \begin{array}{l}x=3\\x=-1\end{array} \right.$

Вроде все? А давай-ка теперь сделаем проверку – подставим полученные значения в начальное уравнение:

$latex \displaystyle x=3:\text{  }\sqrt{2\cdot 3+3}=3\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\sqrt{9}=3$ – все верно.

$latex \displaystyle x=-1:\text{  }\sqrt{2\cdot \left( -1 \right)+3}=-1\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\sqrt{1}=-1$ – неверно! А все почему?

Да потому, что мы не учли ОДЗ: ведь по определению квадратный корень из любого числа не может быть отрицательным. Значит, глядя на уравнение $latex \displaystyle \sqrt{2x+3}=x$ мы должны сразу же написать:

$latex \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x\ge 0;\\2x+3\ge 0.\end{array} \right.$

Если помнишь тему «Иррациональные уравнения», ты сразу скажешь, что второе условие в этой системе писать необязательно. И правда, мы ведь потом возведем все в квадрат, и получится, что $latex \displaystyle 2x+3={{x}^{2}}$, а значит – автоматически неотрицательно. Итак, с помощью этих рассуждений приходим к такой области допустимых значений:

$latex \displaystyle x\ge 0$.

Тогда сразу становится ясно, что корень $latex \displaystyle x=-1$ не подходит. И остается единственный ответ $latex \displaystyle x=3$.

Функции, для которых важна ОДЗ

Всего мы изучаем несколько разных функций, для которых важна ОДЗ. Вот они:

Тип функции ОДЗ
Обратная зависимость $latex \displaystyle y=\frac{a}{x}:\text{  }x\ne 0$.
Степенная функция (корень) $latex \displaystyle \sqrt{x}=y:\text{  }\left\{ \begin{array}{l}x\ge 0;\\y\ge 0.\end{array} \right.$
Показательная функция $latex \displaystyle {{y}^{x}}=z:\text{ }\left\{ \begin{array}{l}y>0;\\z>0.\end{array} \right.$
Логарифмическая функция $latex \displaystyle {{\log }_{x}}y=a:\text{  }\left\{ \begin{array}{l}x>0;\\x\ne 1;\\y>0.\end{array} \right.$
Тригонометрическая функция $latex \displaystyle -1\le \sin x\le 1;$

$latex \displaystyle -1\le \cos x\le 1;$

\[y = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x:{\rm{ }}x \ne \frac{\pi }{2} + \pi n,{\rm{ }}n \in \mathbb{Z};\]

\[y = {\mathop{\rm ctg}\nolimits} x:{\rm{ }}x \ne \pi n,{\rm{ }}n \in \mathbb{Z}{\rm{.}}\]

Больше задач — после регистрации.

Рассмотрим примеры с каждой из этих функций:

1. ОДЗ обратной зависимости

$latex \displaystyle \frac{{{x}^{2}}}{{{\left( {x}-1 \right)}^{2}}}=\frac{x}{{{x}^{2}}-2x+1}$.

Замечаем, что в знаменателе правой части формула сокращенного умножения:

$latex \displaystyle \frac{{{x}^{2}}}{{{\left( {x}-1 \right)}^{2}}}=\frac{x}{{{\left( {x}-1 \right)}^{2}}}$.

ОДЗ: $latex \displaystyle {x}-1\ne 0\text{  }\Rightarrow \text{  }x\ne 1.$

Теперь можно спокойно избавляться от одинаковых знаменателей:

$latex \displaystyle {{x}^{2}}=x\text{  }\Leftrightarrow \text{  }x\left( {x}-1 \right)=0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}x=0\\x=1\end{array} \right.$

Согласно ОДЗ второй корень не подходит.

Ответ: $latex \displaystyle 0$.

2. ОДЗ степенной функции

$latex \displaystyle \sqrt{2-x}=x$.

Такой пример мы уже рассматривали, поэтому реши его самостоятельно.

Ответ: $latex \displaystyle 1$.

3. ОДЗ показательной функции

$latex \displaystyle {{x}^{{{x}^{2}}-2x}}={{x}^{3}}$

Не пугайся, тут все просто:

ОДЗ: $latex \displaystyle x>0$

Обе части уравнения строго положительны, поэтому делим все на правую часть:

$latex \displaystyle \frac{{{x}^{{{x}^{2}}-2x}}}{{{x}^{3}}}=1\text{  }\Leftrightarrow \text{  }{{x}^{{{x}^{2}}-2{x}-3}}=1$

Теперь возможны два варианта: либо основание степени равно $latex \displaystyle 1$, либо показатель равен $latex \displaystyle 0$:

$latex \displaystyle \left[ \begin{array}{l}x=1\\{{x}^{2}}-2{x}-3=0\end{array} \right.\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}x=1\\x=3\\x=-1\end{array} \right.$

(квадратное уравнение реши сам)

Теперь вспомним ОДЗ: корень $latex \displaystyle x=-1$ – «сторонний».

Ответ: $latex \displaystyle 1;\text{ }3$.

Больше задач — после регистрации.

4. ОДЗ логарифмической функции

$latex \displaystyle {{\log }_{x}}\left( x+2 \right)=2$.

ОДЗ: $latex \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x+2>0\\x>0\\x\ne 1\end{array} \right.\text{  }\Rightarrow \text{  }\left\{ \begin{array}{l}x>0\\x\ne 1.\end{array} \right.$

$latex \displaystyle {{\log }_{x}}\left( x+2 \right)=2\text{  }\Leftrightarrow \text{  }{{x}^{2}}=x+2\text{  }\Leftrightarrow \text{  }{{x}^{2}}-{x}-2=0\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left[ \begin{array}{l}x=-1\\x=2\end{array} \right.$

С учетом ОДЗ нужно отбросить отрицательный корень:

Ответ: $latex \displaystyle 2$.

5. ОДЗ тригонометрической функции

\[\frac{{{{\sin }^2}x}}{{\cos x}} = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x\]

ОДЗ: $latex \displaystyle x\ne \frac{\pi }{2}+\pi n,\text{ }n\in \mathbb{Z}$.

Для наглядности изображу область допустимых значений на единичной окружности в виде выколотых точек:

Что такое ОДЗ тригонометрической функции

\[\frac{{{{\sin }^2}x}}{{\cos x}} = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x \Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} \cdot \sin x = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x \Leftrightarrow {\mathop{\rm tg}\nolimits} x \cdot \sin x = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x \Leftrightarrow {\mathop{\rm tg}\nolimits} x\left( {\sin x — 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \]

\[\left[ \begin{array}{l}{\mathop{\rm tg}\nolimits} x = 0\\\sin x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pi n,{\rm{ }}n \in \mathbb{Z}\\x = \frac{\pi }{2} + \pi k,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\]

Очевидно, что вторая группа корней не подходит по ОДЗ.

Ответ: $latex \displaystyle x=\pi n,\text{ }n\in \mathbb{Z}$.

Проверь себя — реши задачи на ОДЗ.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий