25 июля

0 comments

Область допустимых значений – ОДЗ (ЕГЭ – 2021)

ОДЗ – это область допустимых значений, то есть это все значения переменной, при которых выражение имеет смысл.

Например, если перед тобой уравнение \( \displaystyle \sqrt{x}=y\), то ни \( \displaystyle x\), ни \( \displaystyle y\) не могут быть отрицательными:

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x\ge 0;\\y\ge 0.\end{array} \right.\)

Часто в задачах бывает очень важно учесть ОДЗ и «вычеркнуть» те решения, которые на самом деле решениями не являются.

Иначе ты сделаешь глупую, очень глупую ошибку и не получишь то, что заслужил на ЕГЭ!

Читай эту статью и ты будешь знать об ОДЗ все!

Что такое ОДЗ?

Давай разберем пример, наглядно показывающий, что такое ОДЗ:

Решим уравнение \( \displaystyle \sqrt{2x+3}=x\).

Все очень просто, если ты уже освоил тему «Иррациональные уравнения».

Возводим левую и правую части уравнения в квадрат:

\( \displaystyle 2x+3={{x}^{2}}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }{{x}^{2}}-2{x}-3=0\).

Теперь решаем квадратное уравнение. Я воспользуюсь теоремой Виета (если забыл, что это такое, – посмотри тему «Квадратные уравнения»).

Получаем корни:

\( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}x=3\\x=-1\end{array} \right.\)

Вроде все? А давай-ка теперь сделаем проверку – подставим полученные значения в начальное уравнение:

\( \displaystyle x=3:\text{ }\sqrt{2\cdot 3+3}=3\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\sqrt{9}=3\) – все верно.

\( \displaystyle x=-1:\text{ }\sqrt{2\cdot \left( -1 \right)+3}=-1\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\sqrt{1}=-1\) – неверно! А все почему?

Да потому, что мы не учли ОДЗ!

По определению квадратный корень из любого числа не может быть отрицательным.

Значит, глядя на уравнение \( \displaystyle \sqrt{2x+3}=x\) мы должны сразу же написать:

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x\ge 0;\\2x+3\ge 0.\end{array} \right.\)

Если помнишь тему «Иррациональные уравнения», ты сразу скажешь, что второе условие в этой системе писать необязательно. И правда, мы ведь потом возведем все в квадрат, и получится, что \( \displaystyle 2x+3={{x}^{2}}\), а значит – автоматически неотрицательно.

Итак, с помощью этих рассуждений приходим к такой области допустимых значений:

\( \displaystyle x\ge 0\).

Тогда сразу становится ясно, что корень \( \displaystyle x=-1\) не подходит. И остается единственный ответ \( \displaystyle x=3\).

Всего мы изучаем несколько разных функций, для которых важна ОДЗ. Вот они:

Тип функции

ОДЗ

Обратная зависимость

\( \displaystyle y=\frac{a}{x}:\text{ }x\ne 0\).

Степенная функция (корень)

\( \displaystyle \sqrt{x}=y:\text{ }\left\{ \begin{array}{l}x\ge 0;\\y\ge 0.\end{array} \right.\)

Показательная функция

\( \displaystyle {{y}^{x}}=z:\text{ }\left\{ \begin{array}{l}y>0;\\z>0.\end{array} \right.\)

Логарифмическая функция

\( \displaystyle {{\log }_{x}}y=a:\text{ }\left\{ \begin{array}{l}x>0;\\x\ne 1;\\y>0.\end{array} \right.\)

Тригонометрическая функция

\( \displaystyle -1\le \sin x\le 1;\)\( \displaystyle -1\le \cos x\le 1;\)

\[y = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x:{\rm{ }}x \ne \frac{\pi }{2} + \pi n,{\rm{ }}n \in \mathbb{Z};\]

\[y = {\mathop{\rm ctg}\nolimits} x:{\rm{ }}x \ne \pi n,{\rm{ }}n \in \mathbb{Z}{\rm{.}}\]

Рассмотрим примеры с каждой из этих функций:

ОДЗ обратной зависимости

\( \displaystyle \frac{{{x}^{2}}}{{{\left( {x}-1 \right)}^{2}}}=\frac{x}{{{x}^{2}}-2x+1}\).

Замечаем, что в знаменателе правой части формула сокращенного умножения:

\( \displaystyle \frac{{{x}^{2}}}{{{\left( {x}-1 \right)}^{2}}}=\frac{x}{{{\left( {x}-1 \right)}^{2}}}\).

ОДЗ: \( \displaystyle {x}-1\ne 0\text{ }\Rightarrow \text{ }x\ne 1.\)

Теперь можно спокойно избавляться от одинаковых знаменателей:

\( \displaystyle {{x}^{2}}=x\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x\left( {x}-1 \right)=0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}x=0\\x=1\end{array} \right.\)

Согласно ОДЗ второй корень не подходит.

Ответ: \( \displaystyle 0\).

ОДЗ степенной функции

\( \displaystyle \sqrt{2-x}=x\).

Такой пример мы уже рассматривали, поэтому реши его самостоятельно.

Ответ: \( \displaystyle 1\).

ОДЗ показательной функции

\( \displaystyle {{x}^{{{x}^{2}}-2x}}={{x}^{3}}\)

Не пугайся, тут все просто:

ОДЗ: \( \displaystyle x>0\)

Обе части уравнения строго положительны, поэтому делим все на правую часть:

\( \displaystyle \frac{{{x}^{{{x}^{2}}-2x}}}{{{x}^{3}}}=1\text{ }\Leftrightarrow \text{ }{{x}^{{{x}^{2}}-2{x}-3}}=1\)

Теперь возможны два варианта: либо основание степени равно \( \displaystyle 1\), либо показатель равен \( \displaystyle 0\):

\( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}x=1\\{{x}^{2}}-2{x}-3=0\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}x=1\\x=3\\x=-1\end{array} \right.\)

(квадратное уравнение реши сам)

Теперь вспомним ОДЗ: корень \( \displaystyle x=-1\) – «сторонний».

Ответ: \( \displaystyle 1;\text{ }3\).

ОДЗ логарифмической функции

\( \displaystyle {{\log }_{x}}\left( x+2 \right)=2\).

ОДЗ: \( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x+2>0\\x>0\\x\ne 1\end{array} \right.\text{ }\Rightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}x>0\\x\ne 1.\end{array} \right.\)

\( \displaystyle {{\log }_{x}}\left( x+2 \right)=2\text{ }\Leftrightarrow \text{ }{{x}^{2}}=x+2\text{ }\Leftrightarrow \text{ }{{x}^{2}}-{x}-2=0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}x=-1\\x=2\end{array} \right.\)

С учетом ОДЗ нужно отбросить отрицательный корень:

Ответ: \( \displaystyle 2\).

ОДЗ тригонометрической функции

\( \displaystyle \frac{{{{\sin }^2}x}}{{\cos x}} = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x\)

ОДЗ: \( \displaystyle x\ne \frac{\pi }{2}+\pi n,\text{ }n\in \mathbb{Z}\).

Для наглядности изображу область допустимых значений на единичной окружности в виде выколотых точек:

\(\displaystyle \frac{{{{\sin }^2}x}}{{\cos x}} = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x \Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} \cdot \sin x = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x \Leftrightarrow {\mathop{\rm tg}\nolimits} x \cdot \sin x = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x \Leftrightarrow {\mathop{\rm tg}\nolimits} x\left( {\sin x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \)

\(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}{\mathop{\rm tg}\nolimits} x = 0\\\sin x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pi n,{\rm{ }}n \in \mathbb{Z}\\x = \frac{\pi }{2} + 2 \pi k,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

Очевидно, что вторая группа корней не подходит по ОДЗ.

Ответ: \( \displaystyle x=\pi n,\text{ }n\in \mathbb{Z}\).

КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Определение

ОДЗ – это область допустимых значений, то есть это все значения переменной, при которых выражение имеет смысл.

Функции, для которых важна ОДЗ

Тип функции

ОДЗ

Обратная зависимость

\( \displaystyle y=\frac{a}{x}:\text{ }x\ne 0\).

Корень

\( \displaystyle \sqrt{x}=y:\text{ }\left\{ \begin{array}{l}x\ge 0;\\y\ge 0.\end{array} \right.\)

Показательная функция

\( \displaystyle {{y}^{x}}=z:\text{ }\left\{ \begin{array}{l}y>0;\\z>0.\end{array} \right.\)

Логарифмическая функция

\( \displaystyle {{\log }_{x}}y=a:\text{ }\left\{ \begin{array}{l}x>0;\\x\ne 1;\\y>0.\end{array} \right.\)

Тригонометрические функции

\( \displaystyle -1\le \sin x\le 1;\)\( \displaystyle -1\le \cos x\le 1;\)

\[y = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x:{\rm{ }}x \ne \frac{\pi }{2} + \pi n,{\rm{ }}n \in \mathbb{Z};\]

\[y = {\mathop{\rm ctg}\nolimits} x:{\rm{ }}x \ne \pi n,{\rm{ }}n \in \mathbb{Z}{\rm{.}}\]

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Действуй!

Твоя очередь говорить! 🙂 

Ты ведь теперь знаешь многое про ОДЗ! Дальше ты изучишь разные виды уравнений и неравенств, где эти знания тебе непременно пригодятся.

Напиши ниже в комментариях, что думаешь об этой статье. Помогла ли она тебе?

Если у тебя есть предложения о том, что можно добавить в статью, пиши их там же!

А еще ты можешь задать нам любой вопрос. И мы непременно ответим.

Удачи!

{"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
>