ОДЗ. Область допустимых значений (ЕГЭ 2022)

ОДЗ – это область допустимых значений, то есть это все значения переменной, при которых выражение имеет смысл.

Например, если перед тобой уравнение \( \displaystyle \sqrt{x}=y\), то ни \( \displaystyle x\), ни \( \displaystyle y\) не могут быть отрицательными:

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x\ge 0;\\y\ge 0.\end{array} \right.\)

Часто в задачах бывает очень важно учесть ОДЗ и «вычеркнуть» те решения, которые на самом деле решениями не являются.

Иначе ты сделаешь глупую, очень глупую ошибку и не получишь то, что заслужил на ЕГЭ!

Читай эту статью и ты будешь знать об ОДЗ все!

ОДЗ – коротко о главном

ОДЗ – это область допустимых значений, то есть это все значения переменной, при которых выражение имеет смысл.

Функции, для которых важна ОДЗ:

Тип функцииОДЗ
Обратная зависимость\( \displaystyle y=\frac{a}{x}:\text{ }x\ne 0\).
Корень\( \displaystyle \sqrt{x}=y:\text{ }\left\{ \begin{array}{l}x\ge 0;\\y\ge 0.\end{array} \right.\)
Показательная функция\( \displaystyle {{y}^{x}}=z:\text{ }\left\{ \begin{array}{l}y>0;\\z>0.\end{array} \right.\)
Логарифмическая функция\( \displaystyle {{\log }_{x}}y=a:\text{ }\left\{ \begin{array}{l}x>0;\\x\ne 1;\\y>0.\end{array} \right.\)
Тригонометрические функции\( \displaystyle -1\le \sin x\le 1;\)\( \displaystyle -1\le \cos x\le 1;\)\[y = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x:{\rm{ }}x \ne \frac{\pi }{2} + \pi n,{\rm{ }}n \in \mathbb{Z};\]\[y = {\mathop{\rm ctg}\nolimits} x:{\rm{ }}x \ne \pi n,{\rm{ }}n \in \mathbb{Z}{\rm{.}}\]

ОДЗ (Область допустимых значений) – подробнее

Давай разберем пример, наглядно показывающий, что такое ОДЗ:

Решим уравнение \( \displaystyle \sqrt{2x+3}=x\).

Все очень просто, если ты уже освоил тему «Иррациональные уравнения».

Возводим левую и правую части уравнения в квадрат:

\( \displaystyle 2x+3={{x}^{2}}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }{{x}^{2}}-2{x}-3=0\).

Теперь решаем квадратное уравнение. Я воспользуюсь теоремой Виета (если забыл, что это такое, – посмотри тему «Квадратные уравнения»).

Получаем корни:

\( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}x=3\\x=-1\end{array} \right.\)

Вроде все? А давай-ка теперь сделаем проверку – подставим полученные значения в начальное уравнение:

\( \displaystyle x=3:\text{ }\sqrt{2\cdot 3+3}=3\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\sqrt{9}=3\) – все верно.

\( \displaystyle x=-1:\text{ }\sqrt{2\cdot \left( -1 \right)+3}=-1\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\sqrt{1}=-1\) – неверно! А все почему?

Да потому, что мы не учли ОДЗ! 

По определению квадратный корень из любого числа не может быть отрицательным. 

Значит, глядя на уравнение \( \displaystyle \sqrt{2x+3}=x\) мы должны сразу же написать:

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x\ge 0;\\2x+3\ge 0.\end{array} \right.\)

Если помнишь тему «Иррациональные уравнения», ты сразу скажешь, что второе условие в этой системе писать необязательно. И правда, мы ведь потом возведем все в квадрат, и получится, что \( \displaystyle 2x+3={{x}^{2}}\), а значит – автоматически неотрицательно.

Итак, с помощью этих рассуждений приходим к такой области допустимых значений:

\( \displaystyle x\ge 0\).

Тогда сразу становится ясно, что корень \( \displaystyle x=-1\) не подходит. И остается единственный ответ \( \displaystyle x=3\).

Всего мы изучаем несколько разных функций, для которых важна ОДЗ. Вот они со своими ОДЗ в удобной табличке.

Функции, для которых важна ОДЗ

Тип функцииОДЗ
Обратная зависимость\( \displaystyle y=\frac{a}{x}:\text{ }x\ne 0\).
Корень\( \displaystyle \sqrt{x}=y:\text{ }\left\{ \begin{array}{l}x\ge 0;\\y\ge 0.\end{array} \right.\)
Показательная функция\( \displaystyle {{y}^{x}}=z:\text{ }\left\{ \begin{array}{l}y>0;\\z>0.\end{array} \right.\)
Логарифмическая функция\( \displaystyle {{\log }_{x}}y=a:\text{ }\left\{ \begin{array}{l}x>0;\\x\ne 1;\\y>0.\end{array} \right.\)
Тригонометрические функции\( \displaystyle -1\le \sin x\le 1;\)\( \displaystyle -1\le \cos x\le 1;\)\[y = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x:{\rm{ }}x \ne \frac{\pi }{2} + \pi n,{\rm{ }}n \in \mathbb{Z};\]\[y = {\mathop{\rm ctg}\nolimits} x:{\rm{ }}x \ne \pi n,{\rm{ }}n \in \mathbb{Z}{\rm{.}}\]

Рассмотрим примеры с каждой из этих функций:

ОДЗ обратной зависимости

\( \displaystyle \frac{{{x}^{2}}}{{{\left( {x}-1 \right)}^{2}}}=\frac{x}{{{x}^{2}}-2x+1}\).

Замечаем, что в знаменателе правой части формула сокращенного умножения:

\( \displaystyle \frac{{{x}^{2}}}{{{\left( {x}-1 \right)}^{2}}}=\frac{x}{{{\left( {x}-1 \right)}^{2}}}\).

ОДЗ: \( \displaystyle {x}-1\ne 0\text{ }\Rightarrow \text{ }x\ne 1.\)

Теперь можно спокойно избавляться от одинаковых знаменателей:

\( \displaystyle {{x}^{2}}=x\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x\left( {x}-1 \right)=0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}x=0\\x=1\end{array} \right.\)

Согласно ОДЗ второй корень не подходит.

Ответ: \( \displaystyle 0\).

ОДЗ степенной функции

\( \displaystyle \sqrt{2-x}=x\).

Такой пример мы уже рассматривали, поэтому реши его самостоятельно.

Ответ: \( \displaystyle 1\).

ОДЗ показательной функции

\( \displaystyle {{x}^{{{x}^{2}}-2x}}={{x}^{3}}\)

Не пугайся, тут все просто:

ОДЗ: \( \displaystyle x>0\)

Обе части уравнения строго положительны, поэтому делим все на правую часть:

\( \displaystyle \frac{{{x}^{{{x}^{2}}-2x}}}{{{x}^{3}}}=1\text{ }\Leftrightarrow \text{ }{{x}^{{{x}^{2}}-2{x}-3}}=1\)

Теперь возможны два варианта: либо основание степени равно \( \displaystyle 1\), либо показатель равен \( \displaystyle 0\):

\( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}x=1\\{{x}^{2}}-2{x}-3=0\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}x=1\\x=3\\x=-1\end{array} \right.\)

(квадратное уравнение реши сам)

Теперь вспомним ОДЗ: корень \( \displaystyle x=-1\) – «сторонний».

Ответ: \( \displaystyle 1;\text{ }3\).

ОДЗ логарифмической функции

\( \displaystyle {{\log }_{x}}\left( x+2 \right)=2\).

ОДЗ: \( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x+2>0\\x>0\\x\ne 1\end{array} \right.\text{ }\Rightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}x>0\\x\ne 1.\end{array} \right.\)

\( \displaystyle {{\log }_{x}}\left( x+2 \right)=2\text{ }\Leftrightarrow \text{ }{{x}^{2}}=x+2\text{ }\Leftrightarrow \text{ }{{x}^{2}}-{x}-2=0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}x=-1\\x=2\end{array} \right.\)

С учетом ОДЗ нужно отбросить отрицательный корень:

Ответ: \( \displaystyle 2\).

ОДЗ тригонометрической функции

\( \displaystyle \frac{{{{\sin }^2}x}}{{\cos x}} = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x\)

ОДЗ: \( \displaystyle x\ne \frac{\pi }{2}+\pi n,\text{ }n\in \mathbb{Z}\).

Для наглядности изображу область допустимых значений на единичной окружности в виде выколотых точек:

\(\displaystyle \frac{{{{\sin }^2}x}}{{\cos x}} = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x \Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} \cdot \sin x = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x \Leftrightarrow {\mathop{\rm tg}\nolimits} x \cdot \sin x = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x \Leftrightarrow {\mathop{\rm tg}\nolimits} x\left( {\sin x – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \) 

\(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}{\mathop{\rm tg}\nolimits} x = 0\\\sin x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pi n,{\rm{ }}n \in \mathbb{Z}\\x = \frac{\pi }{2} + 2 \pi k,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

Очевидно, что вторая группа корней не подходит по ОДЗ.

Ответ: \( \displaystyle x=\pi n,\text{ }n\in \mathbb{Z}\).

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

К ЕГЭ можно подготовиться абсолютно бесплатно. У нас на сайте полно качественных материалов. Но вы должны знать что вы делаете. 

  • У вас должен быть план, чтобы вы шли от простого к сложному и не «захлебнулись». 
  • Вас должен кто-то проверять и указывать короткий путь, чтобы вы не теряли время.
  • Вас должен кто-то мотивировать, чтобы вы не бросили все.

Если у вас с этим сложности, приходите к нам.

И если вам нужен действительно высокий балл, приходите на наши курсы: 

Мы качественно готовим к ЕГЭ даже тех, у кого «нет способностей».

Действуй!

Ты ведь теперь знаешь многое про ОДЗ! Дальше ты изучишь разные виды уравнений и неравенств, где эти знания тебе непременно пригодятся.

Напиши ниже в комментариях, что думаешь об этой статье. Помогла ли она тебе?

Если у тебя есть предложения о том, что можно добавить в статью, пиши их там же!

А еще ты можешь задать нам любой вопрос. И мы непременно ответим.

Удачи!

Поделитесь в социальных сетях:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *