Иррациональные уравнения. Средний уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2018Пройти пробный ОГЭ 2018
Иррациональным называется уравнение, содержащее переменную под знаком радикала (корня).

Чтобы хорошо понять, о чем здесь пойдет речь, повтори темы:

Простейшие иррациональные уравнения

Начнем с самого простого: уравнения вида  .

Например:  . Как его решить? Как избавиться от корня? Правильно, квадратный корень убирается возведением в квадрат:

 .

А как решить такое:  ?

И снова вспомним определение корня степени  :   – это такое число, которое нужно возвести в степень  , чтобы получить  . В данном случае эта степень равна  :

 

Итак, общее правило:

 

Хорошо, а что с этим:  ? Все просто: квадрат и корень уничтожаются, и получаем  , верно?

Нет! Когда мы проходили корни, на это обращали особое внимание: здесь два корня –   и  , ведь  . Не забываем правило:

 

Реши сам:

  1.  
  2.  
  3.  

Ответы:

  1.  
  2.  
  3.  

Учет ОДЗ

Помнишь, что такое ОДЗ? ОДЗ (область допустимых значений) уравнения или неравенства – это множество значений переменной, при которых обе части данного уравнения (или неравенства) имеют смысл.

Например, в уравнении   присутствует квадратный корень. А квадратный корень не имеет смысла, если подкоренное выражение отрицательно. То есть, в данном случае ОДЗ – это решения неравенства  .

Нет необходимости искать ОДЗ в каждой задаче, содержащей корень.

Взять, например, задачу из предыдущей главы:  . При возведении в квадрат получаем  , то есть подкоренное выражение автоматически неотрицательно! Так зачем лишняя писанина?

Но в некоторых случаях это может быть очень полезно. Более того, иногда можно решить пример просто найдя ОДЗ.

Пример:

 

ОДЗ:  .

Но при таких   правая часть уравнения неположительна, а левая, как и любой приличный квадратный корень, неотрицательна. Тогда равенство возможно только если обе части уравнения равны нулю, то есть при  :  .

Ответ:  .

Еще пример:

 

Решение:

Найдем ОДЗ:

 

Итак, уравнение имеет смысл только при одном значении переменной. Проверим его – подставим   в уравнение. Что получилось? Если получилось  , все верно: корень   подходит.

Ответ:  .

Большинство стандартных иррациональных уравнений не требуют нахождения ОДЗ – как и в приведенном в начале примере, ОДЗ оказывается автоматически учтенной после равносильного преобразования.

Иррациональные уравнения вида  .

Здесь и далее большими буквами  ,  ,  , и т.д. я буду обозначать не переменные или параметры, а целые выражения, содержащие переменную. Так, общая запись   соответствует, например, уравнению  :   здесь и  .

Как решить такое уравнение?

Во-первых, корни равны только когда подкоренные выражения равны:  . Но недаром мы недавно вспоминали про ОДЗ. Есть ли какие-нибудь ограничения в этом уравнении?

Действительно, чтобы уравнение имело смысл, необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны:

 

Но поскольку эти выражения равны друг другу, достаточно потребовать неотрицательности только одного из них:

  или  

Примеры (реши сам):

  1.  
  2.  
  3.  

Ответы:

1. Какое из выражений будем проверять на неотрицательность? Конечно же то, которое проще, то есть  :

 

 

2.  

 

3.  

 

Все понятно в этих решениях? Если нет, значит ты скорее всего не повторил тему «Квадратные неравенства».

Иррациональные уравнения вида  .

Что написано в левой части? Правильно, произведение выражений. А при каких условиях произведение равно нулю? Конечно, если один из множителей равен нулю, то есть верна совокупность 

 

Но, как ты догадался, это еще не все. Что нужно добавить? ОДЗ. Причем в той части, где  , все хорошо. Но если мы выбираем  , придется кое-что сказать и про  :

 

Примеры (реши сам):

  1.  
  2.  
  3.  

Ответы:

1.  

2.  

3.  

 

Иррациональные уравнения вида  .

Наиболее распространённый тип иррациональных уравнений.

Рассмотрим пример:

 

Возводим обе части в квадрат:

 

Все верно? Это ответ?

Проверим корни:

  – все и правда верно,   – подходящий корень.

  – а вот здесь ошибка. Значит, корень   – сторонний.

И правда, мы ведь помним, что результат извлечения квадратного корня всегда неотрицателен! Значит, прежде чем возводить в квадрат, нужно убедиться, что правая часть неотрицательна. Тоже своего рода ОДЗ.

 

Проверять же ОДЗ корня ( ) здесь снова не нужно (почему?).

Примеры:

  1.  
  2.  
  3.  

Ответы:

1.  

  

 

2.  

 

Первое уравнение решим через дискриминант:

 

 

Что проще: узнать, какой из этих корней больше  , или подставить их в начальное уравнение для проверки? Конечно, первое!

Теперь становится очевидной выгода равносильного преобразования вместо проверки корней подстановкой в исходное уравнение.

Не знаешь, как такое сравнивать? Смотри тему «Сравнение чисел»!

 : этот корень явно больше  , поэтому он автоматически больше  .

 

 

 

    

Выходит, что оба корня являются решениями.

Ответ:  

3)  .

Прежде чем возводить в квадрат, обрати внимание: в левой части уравнения разность корней, причём мы не знаем, какой из них больше. Но ведь возводить в квадрат можно только когда обе части уравнения (или неравенства) неотрицательны, иначе у нас вылезут сторонние корни. Здесь проблема решилась легко: мы просто перенесли корень с «минусом» вправо, и он стал с «плюсом».

Теперь обе части неравенства неотрицательны, значит, можно возвести их в квадрат:

 

 

Теперь решаем по шаблону:

 

Теперь необходимо сравнить числа  ,   и  . Снова вспоминаем тему «Сравнение чисел»:

    

   

Значит, ответом будет  .

Корни степени больше 2

Ты спросишь: а что всё про квадратные корни? Как же быть с остальными степенями?

Спрошу в ответ: а чем они отличаются?

Отличие, на самом деле, есть. Но важна не конкретная степень корня, а четность этой степени.

I. Корни четной степени.

Корни  ,  ,  , и т.д. степеней очень похожи друг на друга, и принцип решения уравнений с ними абсолютно одинаковый. Дело в том, что корень четной степени можно всегда привести к квадратному (вспоминаем тему «Корень и его свойства»!):

 

Например:

 

II. Корни нечетной степени.

С нечетными степенями ( ,  , …) все намного проще!

Дело в том, что корень нечетной степени можно извлекать из любого числа! (И снова, если ты этого не знал, вспомни тему «Корень и его свойства»!)

Что это значит?

Теперь никаких дополнительных условий, никаких ограничений – просто возводим все в нужную степень и решаем:

 

Примеры:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Ответы:

1.  

2.  

 

3.  

4.  

 

Комментарии

Тима
06 ноября 2017

Спасибо большое. Расписано все по делу и простым языком. Респект

ответить

Александр (Админ)
06 ноября 2017

Тима, тебе спасибо за теплые слова. Рады слышать!

ответить

Максич
16 ноября 2017

Спасибо, всё очень понятно)

ответить

Александр (админ)
16 ноября 2017

И тебе спасибо, Максич. Удачи на экзаменах! Держим за тебя пальцы! )

ответить

Зумрад
22 ноября 2017

Класс

ответить

Александр (админ)
22 ноября 2017

Спасибо, Зумрад.

ответить

Анатолий
23 ноября 2017

Спасибо, все просто и понятно))

ответить

Александр (админ)
23 ноября 2017

Очень приятно слышать, Анатолий! Спасибо и тебе. Пользуйся на здоровье.

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok