Иррациональные уравнения. Средний уровень.

Иррациональными уравнениями называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или знаком возведения в дробную степень.

Для того, чтобы решить иррациональное уравнение, необходимо:

  1. Уединить одно из выражений с корнем в одной части и избавиться от знака корня (возвести в соответствующую степень обе части уравнения и упростить его) – повторять эту процедуру пока все корни не уйдут или пока решение не станет очевидным;
  2. Решить получившееся рациональное уравнение;
  3. Для проверки подставить получившиеся корни уравнения в исходное уравнение.

Что такое иррациональные уравнения

Иррациональными уравнениями называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или знаком возведения в дробную степень. А вот как это выглядит:  ;  .

Сначала разберемся что такое рациональные уравнения, а потом поймем что же из себя представляет решение иррациональных уравнений.

Итак, что такое рациональныеуравнения, а что – иррациональные:

  как думаешь, какое это? Тут сложение, умножение, нет корней, и степеней никаких – рациональное!

  – вот тебе и корень из переменной, значит уравнение НЕ рациональное (или иррациональное);

  а это – рациональное;

  тут вот степень, но она с целым показателем степени ( – целое число) – значит это тоже рациональное уравнение;

  даже уравнение с отрицательным показателем степени тоже является рациональным, ведь по сути   – это  ;

  – тоже рациональное, т.к.  ;

  – а с ним поосторожнее, степень-то дробная, а по свойству корней  , как ты помнишь корня в рациональных уравнениях не бывает. Надеюсь, теперь ты сможешь различать, к какому виду относится уравнение.

Но только отличать рациональное от иррационального недостаточно, тебе же решать их надо! Вся сложность в корнях, так? Так избавься от них, вот и все дела! Если еще не догадался как, то я подскажу – просто возведи в нужную степень обе части уравнения, а потом решай его как простое рациональное уравнение, но проверяй все корни, позже поймешь почему.

Как рациональные уравнения решать помнишь? Если забыл, то советую почитать («Рациональные уравнения»).

Если читать лень, напомню вкратце. Для верного решения рациональных уравнений, ты должен придерживаться следующего руководства:

  1. Понять, точно ли перед тобой рациональное уравнение (убедись, что в нем нет корней);
  2. Определить ОДЗ;
  3. Найти общий знаменатель дробей и умножить на него обе части уравнения;
  4. Решить получившееся целое уравнение;
  5. Исключить из его корней те, которые обращают в ноль знаменатель дробей.

Вроде все объяснил, давай решать, математика слов не любит.

Решение иррациональных уравнений

Вот такое вот уравнение  , корень из икса видишь? Значит, какое уравнение? Верно, оно иррациональное! Что дальше? Избавляемся от корней, поскольку корень второй степени, то обе части уравнения возводим в квадрат и упрощаем:

 

 

 

Вот и все, почти все, что осталось сделать? Правильно, решая иррациональное уравнение, обязательно надо проводить проверку полученных корней! Подставим   в исходное уравнение, именно в исходное уравнение, потому, что нам нужно найти его корни, а возведя в квадрат, мы могли получить посторонние корни (об этом позже).   тут все верно.

Давай еще одно  .

О том, что это иррациональное уравнение, думаю, ты и сам знаешь. Как и раньше возводим в квадрат обе части:

 , упрощаем,  .

Проверка, подставим   в исходное уравнение:

 

– вот это да, ничего тебя тут не смущает? Под квадратным корнем у нас отрицательное число! Как же так вышло? А это говорит о том, что это посторонний корень для исходного уравнения, да, это корень уравнения  , но оно-то не исходное, его мы получили после преобразований! В ответе пишем «нет решения».

Чтобы разобраться в ситуации мы сделаем что? Будем еще решать, вот уравнение  . После возведения обеих частей в квадрат имеем:

 , упрощаем и решаем квадратное уравнение по теореме Виета

 

 

У нас два корня, пробуем их подставить в исходное для проверки: подставляем  ,  ,

  – подходит;

подставим  , получим  ,

но ведь  ! Что же получается,   – посторонний корень.

Думаю, интрига затянулась, настало время объяснить, почему получаются какие-то посторонние корни. Опять объяснять буду на примере:

 , но если мы возведем в квадрат обе части,  ,  . Ну как тебе? То же самое получается и в нашем примере с иррациональным уравнением, в результате преобразования мы можем найти все корни, но могут примешаться и посторонние, которые и надо отфильтровать проверкой, проверив, будет ли соблюдаться равенство исходного уравнения при их подстановке. А если взять не квадрат, а третью степень:  ,  , какой же отсюда вывод? Ну, вообще это в свойствах корней почитаешь («Корень степени n > 1 и его свойства»), а так я напомню только основные принципы.

Если показатель степени четный, т.е. мы берем корень квадратный или корень   степени и т.д., то если подкоренное выражение отрицательно, то корень не имеет смысла (не существует); если подкоренное выражение равно нулю, то корень тоже равен нулю; если подкоренное выражение положительно, то значение корня существует и положительно.

Примеры:  - не существует,  ,  .

Если показатель степени нечетный ( ), то корни определены при любом значении подкоренного выражения. При этом корень отрицателен, если подкоренное выражение отрицательно; равен нулю, если подкоренное выражение равно нулю; положителен, если покоренное выражение положительно. Примеры:  ,  ,  .

Но не все так просто как хотелось бы, и опять пример  .

В этом примере есть два подкоренных выражения и число  . Чтобы избавиться от корня нужно обе части возвести в квадрат, но прежде чем это сделать перенесем   в правую часть.   «Зачем?» - спросишь ты. Дело в том, что если возводить в квадрат в таком виде то упрощать придется дольше, не веришь – попробуй сам, я, пожалуй, избавлю себя от расписывания этого. Теперь возводим в квадрат обе части и упрощаем.

 

 

 

Понял в чем сложность? Да, этот метод решения (математики называют его «метод уединения радикала»; радикал, а попросту выражение с корнем надо уединить в одной стороне уравнения) предусматривает возможность того, что уединять и возводить в степень придется не один раз. Такие замысловатые махинации по уединению одного из выражений с корнем в одной стороне и возведении всего выражения в степень нужно делать пока от корней не избавимся вовсе, чтоб получилось нормальное такое, рациональное уравнение (без корней в смысле).

Но с другой стороны, можно заметить, что на определенной стадии решения становится без дальнейших упрощений понятно, что в уравнении, например, нет решений. На этапе, когда мы получили   вместо того, чтобы тупо возводить все очередной раз в квадрат можно прикинуть, что квадратный корень берется только из неотрицательных чисел, значит, икс в данном случае будет больше либо равен нолю.

А что из этого следует? А то, что икс не может быть равен  , т.к. и икс и корень из икс неотрицательны. В то время, как равенство говорит, будто неотрицательное умноженное на отрицательное равно неотрицательному, но все ведь знают, что минус на плюс дает минус. Значит что? Значит это равенство возможно лишь в случае, когда икс равен нолю. Я бы назвал решение методом уединения радикала решением «в лоб», а изложенный сейчас способ более рациональным с точки зрения лишней писанины и подсчетов. Если ты понял то, что я сейчас объяснял, то тебе, возможно, стоит ознакомиться с этой темой в изложении для «среднего уровня» .

Вернемся к нашему несчастному примеру, продолжим его решать «в лоб» если этот способ тебе понравился больше, чем тот, что я излагал выше. Опять возводим в квадрат обе части.

 

 

 

 

Дальше, как ты уже запомнил нужно подставить корни   и   в исходное уравнение для проверки, скажу лишь, что   тут будет побочным корнем, а ты давай, давай, подставляй, проверь на всякий случай. А ответ, соответственно будет  . Решать тебе, применять до последнего метод уединения радикала или на определенной стадии решить, что выражение можно не упрощать больше и решение очевидно и сейчас.

Давай еще сделаем выжимку из сказанного выше, решение иррациональных уравнений включает в себя три шага:

  1. Уединить одно из выражений с корнем в одной части и избавиться от знака корня (возвести в соответствующую степень обе части уравнения и упростить его) – повторять эту процедуру пока все корни не уйдут или пока решение не станет очевидным;
  2. Решить получившееся рациональное уравнение;
  3. Для проверки подставить получившиеся корни уравнения в исходное уравнение.

Вот, собственно, и все, а чтоб слова которые ты тут прочел не остались просто словами и ты на собственном опыте понял, что здесь к чему, вот порешай

Примеры:

  1.  ;
  2.  
  3.  

Решения:

1.  

 

  но   не проходит проверку

Ответ 

2.     

Ответ 

3.  
 
 
 , но   не проходит проверку.
Так же можно на второй строке решения понять, что равенство не имеет смысла, т.к.  , только в случае, когда  , но   в данном случае не подходит.

Ответ 

Иррациональным называется уравнение, содержащее переменную под знаком радикала (корня).

Чтобы хорошо понять, о чем здесь пойдет речь, повтори темы:

И не забудь еще об одном... У нас ты можешь пройти Пробный ЕГЭ по математике и получить результ немедленно. Но если тебе это не нужно, читай дальше.

Простейшие иррациональные уравнения

Начнем с самого простого: уравнения вида  .

Например:  . Как его решить? Как избавиться от корня? Правильно, квадратный корень убирается возведением в квадрат:

 .

А как решить такое:  ?

И снова вспомним определение корня степени  :   – это такое число, которое нужно возвести в степень  , чтобы получить  . В данном случае эта степень равна  :

 

Итак, общее правило:

 

Хорошо, а что с этим:  ? Все просто: квадрат и корень уничтожаются, и получаем  , верно?

Нет! Когда мы проходили корни, на это обращали особое внимание: здесь два корня –   и  , ведь  . Не забываем правило:

 

Реши сам:

  1.  
  2.  
  3.  

Ответы:

 

  1.  
  2.  
  3.  

 

 

 

Учет ОДЗ

Помнишь, что такое ОДЗ? ОДЗ (область допустимых значений) уравнения или неравенства – это множество значений переменной, при которых обе части данного уравнения (или неравенства) имеют смысл.

Например, в уравнении   присутствует квадратный корень. А квадратный корень не имеет смысла, если подкоренное выражение отрицательно. То есть, в данном случае ОДЗ – это решения неравенства  .

Нет необходимости искать ОДЗ в каждой задаче, содержащей корень.

Взять, например, задачу из предыдущей главы:  . При возведении в квадрат получаем  , то есть подкоренное выражение автоматически неотрицательно! Так зачем лишняя писанина?

Но в некоторых случаях это может быть очень полезно. Более того, иногда можно решить пример просто найдя ОДЗ.

Пример:

 

ОДЗ:  .

Но при таких   правая часть уравнения неположительна, а левая, как и любой приличный квадратный корень, неотрицательна. Тогда равенство возможно только если обе части уравнения равны нулю, то есть при  :  .

Ответ:  .

Еще пример:

 

Решение:

Найдем ОДЗ:

 

Итак, уравнение имеет смысл только при одном значении переменной. Проверим его – подставим   в уравнение. Что получилось? Если получилось  , все верно: корень   подходит.

Ответ:  .

Большинство стандартных иррациональных уравнений не требуют нахождения ОДЗ – как и в приведенном в начале примере, ОДЗ оказывается автоматически учтенной после равносильного преобразования.

Иррациональные уравнения вида  .

Здесь и далее большими буквами  ,  ,  , и т.д. я буду обозначать не переменные или параметры, а целые выражения, содержащие переменную. Так, общая запись   соответствует, например, уравнению  :   здесь и  .

Как решить такое уравнение?

Во-первых, корни равны только когда подкоренные выражения равны:  . Но недаром мы недавно вспоминали про ОДЗ. Есть ли какие-нибудь ограничения в этом уравнении?

Действительно, чтобы уравнение имело смысл, необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны:

 

Но поскольку эти выражения равны друг другу, достаточно потребовать неотрицательности только одного из них:

  или  

Примеры (реши сам):

  1.  
  2.  
  3.  

Ответы:

 

1. Какое из выражений будем проверять на неотрицательность? Конечно же то, которое проще, то есть  :

 

 

2.  

 

3.  

 

Все понятно в этих решениях? Если нет, значит ты скорее всего не повторил тему «Квадратные неравенства».

 

Иррациональные уравнения вида  .

Что написано в левой части? Правильно, произведение выражений. А при каких условиях произведение равно нулю? Конечно, если один из множителей равен нулю, то есть верна совокупность 

 

Но, как ты догадался, это еще не все. Что нужно добавить? ОДЗ. Причем в той части, где  , все хорошо. Но если мы выбираем  , придется кое-что сказать и про  :

 

Примеры (реши сам):

  1.  
  2.  
  3.  

Ответы:

 

1.  

2.  

3.  

 

 

 

 

Иррациональные уравнения вида  .

Наиболее распространённый тип иррациональных уравнений.

Рассмотрим пример:

 

Возводим обе части в квадрат:

 

Все верно? Это ответ?

Проверим корни:

  – все и правда верно,   – подходящий корень.

  – а вот здесь ошибка. Значит, корень   – сторонний.

И правда, мы ведь помним, что результат извлечения квадратного корня всегда неотрицателен! Значит, прежде чем возводить в квадрат, нужно убедиться, что правая часть неотрицательна. Тоже своего рода ОДЗ.

 

Проверять же ОДЗ корня ( ) здесь снова не нужно (почему?).

Примеры:

  1.  
  2.  
  3.  

Ответы:

Корни степени больше 2

Ты спросишь: а что всё про квадратные корни? Как же быть с остальными степенями?

Спрошу в ответ: а чем они отличаются?

Отличие, на самом деле, есть. Но важна не конкретная степень корня, а четность этой степени.

I. Корни четной степени.

Корни  ,  ,  , и т.д. степеней очень похожи друг на друга, и принцип решения уравнений с ними абсолютно одинаковый. Дело в том, что корень четной степени можно всегда привести к квадратному (вспоминаем тему «Корень и его свойства»!):

 

Например:

 

II. Корни нечетной степени.

С нечетными степенями ( ,  , …) все намного проще!

Дело в том, что корень нечетной степени можно извлекать из любого числа! (И снова, если ты этого не знал, вспомни тему «Корень и его свойства»!)

Что это значит?

Теперь никаких дополнительных условий, никаких ограничений – просто возводим все в нужную степень и решаем:

 

Примеры:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Ответы:

 

1.  

2.  

 

3.  

4.  

 

 

 

 

Комментарии

Тима
06 ноября 2017

Спасибо большое. Расписано все по делу и простым языком. Респект

ответить

Александр (Админ)
06 ноября 2017

Тима, тебе спасибо за теплые слова. Рады слышать!

ответить

Максич
16 ноября 2017

Спасибо, всё очень понятно)

ответить

Александр (админ)
16 ноября 2017

И тебе спасибо, Максич. Удачи на экзаменах! Держим за тебя пальцы! )

ответить

Зумрад
22 ноября 2017

Класс

ответить

Александр (админ)
22 ноября 2017

Спасибо, Зумрад.

ответить

Анатолий
23 ноября 2017

Спасибо, все просто и понятно))

ответить

Александр (админ)
23 ноября 2017

Очень приятно слышать, Анатолий! Спасибо и тебе. Пользуйся на здоровье.

ответить

Евгений
28 ноября 2017

Доброго времени суток! Добра и процветания на ниве математики. Доступно, понятно, легко. Но! Я не нашел примера иррационального уравнения смешанных степеней, когда встречается и корень четной, и корень нечетной степеней в одном уравнении.

ответить

Александр (админ)
28 ноября 2017

Евгений, спасибо за добрые слова. Передам Ваше пожелание нашим математикам. Посмотрим, что они ответят.

ответить

Евгений
28 ноября 2017

Редко встретишь такой скорый ответ! Спасибо вам за ваш труд! А в качестве примера, возьмите несложное уравнение: sqrt (x-3) + (11-x)^(1/3) = 2. Еще раз большое спасибо!

ответить

Александр (админ)
28 ноября 2017

Евгений, один из наших авторов Алексей Шевчук сказал, что эта тема действительно еще не описана. Мы сделаем это для продвинутых учеников в продвинутом уровне, но чуть позже. Сейчас есть просто более срочные задачи. Мы элементарно не успеваем. Но в любом случае спасибо за внимательность и рекомендации.

ответить

Арсений
29 ноября 2017

У вас допущена ошибка в уравнении "корень из x^2-x-2=корень из x+1" Точнее, я так понимаю, там опечатка, тк если заменить с "корень из x^2-x-2 на "корень из x^2-x+2" , ответ сходится. Иначе, у меня получилось, что корней нет. Заранее спасибо.

ответить

Александр (админ)
04 декабря 2017

Спасибо, Арсений, за внимательность! Исправили.

ответить

Юлия
04 декабря 2017

Понятно, логично. Спасибо!

ответить

Александр (админ)
04 декабря 2017

Юлия, спасибо! Очень приятно, что ты это отметила!

ответить

Жасур
20 декабря 2017

Долго искал и нашел ваш сайт. Здесь всё понятно. Спасибо

ответить

Александр (админ)
20 декабря 2017

Жасур, здорово, что ты разобрался! И тебе спасибо. Нам приятно, что наш сайт тебе помог.

ответить

Артём
15 января 2018

Спасибо что разъяснил понятным яывком

ответить

Александр (админ)
16 января 2018

Пожалуйста, Артем. Нашей команде очень приятно )

ответить

Амина
21 января 2018

Спасибо, все понятно!x=−1: √ ​−1+2 ​ ​​ =−1 ⇔ √ ​1 ​ ​​ =−1 – а вот здесь ошибка. Значит, корень x=−1 x=-1x=−1 – сторонний. Я не поняла почему здесь корень -1 посторонний?

ответить

Алексей Шевчук
06 февраля 2018

Квадратный корень - по определению всегда неотрицательное число, поэтому он не может равняться -1.

ответить

Алексей
17 июня 2018

Спасибо

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем для тебя ВСЕ скрытые примеры учебника до конца учебного года.

Всего 299 руб...

Но твоя помощь бесценна! :)  

Спасибо!

Я хочу помочь YouClever!

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть