Разложение на множители. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Разложение многочлена на множители – тождественное преобразование, превращающее сумму в произведение нескольких множителей – многочленов или одночленов.

Сейчас я проиллюстрирую тебе примеры методов разложения на множители

Разложение на множители. Примеры методов разложения:

1. Вынесение скобки. Примеры.

Помнишь, что такое распределительный закон? Это такое правило: $latex ac+bc=c\left( a+b \right)$

Пример:

Разложить многочлен на множители $latex 10{{x}^{4}}-15{{x}^{3}}$.

Решение:

$latex 10{{x}^{4}}-15{{x}^{3}}=2\cdot \underline{5\cdot {{x}^{3}}}\cdot {x}-3\cdot \underline{5\cdot {{x}^{3}}}=5{{x}^{3}}\left( 2{x}-3 \right)$.

Еще пример:

Разложи на множители $latex 12{{y}^{3}}-2y$.

Решение:

$latex 12{{y}^{3}}-2y=6\cdot \underline{2\cdot y}\cdot {{y}^{2}}-\underline{2\cdot y}$.

Если слагаемое целиком выносится за скобки, в скобках вместо него остается единица!

$latex 12{{y}^{3}}-2y=6\cdot \underline{2\cdot y}\cdot {{y}^{2}}-\underline{2\cdot y}=2y\left( 6{{y}^{2}}-1 \right)$.

2. Формулы сокращенного умножения. Примеры.

Чаще всего используем формулы разность квадратов, разность кубов и сумма кубов. Помнишь эти формулы? Если нет, срочно повтори тему «Формулы сокращенного умножения»!

Пример:

Разложите на множители выражение $latex {{x}^{3}}-8{{y}^{6}}$.

Решение:

В этом выражении несложно узнать разность кубов:

$latex \displaystyle \begin{array}{l}{{x}^{3}}-8{{y}^{6}}={{x}^{3}}-{{\left( 2{{y}^{2}} \right)}^{3}}=\left( x-2{{y}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+x\cdot 2{{y}^{2}}+{{\left( 2{{y}^{2}} \right)}^{2}} \right)=\\=\left( x-2{{y}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+2x{{y}^{2}}+4{{y}^{4}} \right)\end{array}$

Пример:

Разложите на множители многочлен $latex {{x}^{4}}-1$.

Решение:

$latex \displaystyle \begin{array}{l}{{x}^{4}}-1={{\left( {{x}^{2}} \right)}^{2}}-{{1}^{2}}=\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( {{x}^{2}}+1 \right)=\\=\left( {{x}^{2}}-{{1}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+1 \right)=\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+1 \right).\end{array}$

3. Метод группировки. Примеры.

Иногда можно поменять слагаемые местами таким образом, чтобы из каждой пары соседних слагаемых можно было выделить один и тот же множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку и исходный многочлен превратится в произведение.

Пример:

Разложите на множители многочлен $latex 2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}y-6xy-3{{y}^{2}}$.

Решение:

Сгруппируем слагаемые следующим образом:
$latex 2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}y-6xy-3{{y}^{2}}=(2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}y)-(6xy+3{{y}^{2}})$.

В первой группе вынесем за скобку общий множитель $latex {{x}^{2}}$, а во второй − $latex 3y$:
$latex (2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}y)-(6xy+3{{y}^{2}})={{x}^{2}}(2x+y)-3y(2x+y)$.

Теперь общий множитель $latex \left( 2x+y \right)$ также можно вынести за скобки:
$latex {{x}^{2}}(2x+y)-3y(2x+y)=(2x+y)({{x}^{2}}-3y)$.

4. Метод выделения полного квадрата. Примеры.

Если многочлен удастся представить в виде разности квадратов двух выражений, останется только применить формулу сокращенного умножения (разность квадратов).

Пример:

Разложите на множители многочлен $latex {{x}^{2}}+6{x}-7$.

Решение:

\begin{array}{*{35}{l}}
{{x}^{2}}+6{x}-7=\underbrace{{{x}^{2}}+2\cdot 3\cdot x+9}_{квадрат\ суммы\ {{\left( x+3 \right)}^{2}}}-9-7={{\left( x+3 \right)}^{2}}-16= \\
=\left( x+2+4 \right)\left( x+2-4 \right)=\left( x+6 \right)\left( x-2 \right) \\
\end{array}

Пример:

Разложите на множители многочлен $latex {{x}^{4}}-4{{x}^{2}}-1$.

Решение:

\begin{array}{*{35}{l}}
{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}-1=\underbrace{{{x}^{4}}-2\cdot 2\cdot {{x}^{2}}+4}_{квадрат\ разности{{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{2}}}-4-1={{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{2}}-5= \\
=\left( {{x}^{2}}-2+\sqrt{5} \right)\left( {{x}^{2}}-2-\sqrt{5} \right) \\
\end{array}

5. Разложение квадратного трехчлена на множители. Пример.

Квадратный трехчлен – многочлен вида $latex a{{x}^{2}}+by+c=0$, где $latex x$ – неизвестное, $latex a$, $latex b$, $latex c$ – некоторые числа, причем $latex a\ne 0$.

Значения переменной $latex x$, которые обращают квадратный трехчлен в ноль, называются корнями трехчлена. Следовательно, корни трехчлена – это корни квадратного уравнения $latex a{{x}^{2}}+by+c=0$.

Если не помнишь, как находить эти корни, читай тему «Квадратные уравнения».

Теорема. 

Если квадратное уравнение $latex a{{x}^{2}}+by+c=0$ имеет корни $latex {{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}$, то его можно записать в виде: $latex a{{x}^{2}}+by+c=a\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)$.

Пример:

Разложим на множители квадратный трехчлен: $latex 2{{x}^{2}}+5y-3$.

Сначала решим квадратное уравнение:

$latex \begin{array}{l}2{{x}^{2}}+5y-3=0.\\{{x}_{1,2}}=\frac{-5\pm \sqrt{{{5}^{2}}-4\cdot 2\cdot \left( -3 \right)}}{2\cdot 2}=\frac{-5\pm \sqrt{25+24}}{4}=\frac{-5\pm 7}{4};\\{{x}_{1}}=\frac{1}{2};\text{ }{{x}_{2}}=-3.\end{array}$

Теперь можно записать разложение данного квадратного трехчлена на множители: $latex 2{{x}^{2}}+5y-3=2\left( x-\frac{1}{2} \right)\left( x+3 \right)$.

Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий