6 июля

5 comments

5 способов разложения многочлена на множители (ЕГЭ – 2021)

Для чего нужно раскладывать многочлен на множители?

Чтобы облегчить себе жизнь! После того как ты сделаешь это, выражение станет намного проще и ты сможешь с ним "разобраться"! 

Ты как бы делишь одну большую и сложную проблему, на несколько маленьких и простых и потом разбираешься с каждой маленькой проблемой по отдельности. 

Как это сделать?

Прочитай эту статью и у тебя не останется вопросов по этой теме. 

Сначала мы разберем что означают все "сложные" слова.

Потом объясним все пять ВОЛШЕБНЫХ способов разложения многочлена на множители.

И затем разберем на примерах как это делать.

Let's dive right in... (Поехали!)  🙂

Содержание

Одночлены

Одночленами могут быть числа, переменные, произведения чисел и переменных, а так же переменные в степени (если забыл, что такое степень, посмотри тему «Степень и ее свойства»)

Например:

  • [latex] 4[/latex]
  • [latex] x[/latex]
  • [latex] 4x[/latex]
  • [latex] 4{{x}^{2}}[/latex]
  • [latex] 4{{x}^{2}}y[/latex]

Все это – одночлены. Видишь у них нет знаков "+" или "-", как бы нет других членов... 

Многочлены

Многочлен – это выражение, состоящее из суммы (или разности) нескольких одночленов различного вида:

  • [latex] 4{{x}^{2}}+9x[/latex]
  • [latex] 2{{x}^{3}}-16{{x}^{2}}+4x[/latex]
  • [latex] 8x\cdot 4{{y}^{2}}-12+4{{x}^{2}}y-3{{y}^{2}}\cdot {{x}^{4}}+6-5{{y}^{2}}{{x}^{4}}[/latex]

Что такое множители?

Так, ну давай по порядку. Как нетрудно догадаться, слово «множитель» происходит от слова «умножать».

Возьмем, например, число [latex] 12[/latex], разложить его на множители означает расписать его в виде «умножения» или, как принято говорить в математике «произведения» множителей. 

Так [latex] 12[/latex] мы можем получить, умножив [latex] 2[/latex] на [latex] 6[/latex].

А [latex] 6[/latex], в свою очередь, можно представить как произведение [latex] 2[/latex] и [latex] 3[/latex].

Чтоб было более наглядно, обратимся к картинке:

Разложение числа на множители

На картинке мы видим пошаговое разложение на множители, те которые подчеркнуты – это множители, которые дальше разложить уже нельзя. 

То есть их нельзя уже представить в виде произведения (можно конечно представить каждое из них как единица, умноженная на само число, но это нам ничего не дает).

Я обещал, что картинка все разъяснит, ну разве из нее не понятно, что, [latex] 12=2\cdot 6[/latex], а [latex] 6=2\cdot 3[/latex]? 

Вот и я говорю, что элементарно!

Иными словами, [latex] 2\cdot 2\cdot 3=12[/latex]. 

Тут [latex] 2[/latex], еще раз [latex] 2[/latex] и [latex] 3[/latex] – это и есть множители, на которые мы раскладываем.

Зачем нужно раскладывать многочлен на множители?

Это самый главный вопрос. Я уже говорил – чтобы облегчить тебе жизнь. 

Раскладывая многочлен на множители, ты упрощаешь выражение! Ты как бы делишь одну большую и сложную проблему, на несколько маленьких и простых и потом разбираешься с каждой маленькой проблемой по отдельности.

А теперь "официальное" определение.

Разложение многочлена на множители – тождественное преобразование, превращающее сумму в произведение нескольких множителей. При этом каждый множитель может быть как многочленом, так и одночленом.

Для чего нужно знать все пять способов?

Потому что нет универсального способа, подходящего для всех многочленов.

Давай посмотрим на каждый из них...

Пять способов разложения многочлена на множители

Вынесение общего множителя за скобки

[latex] \displaystyle ac+bc=c(a+b)[/latex]

Использование формул сокращенного умножения

[latex] \begin{array}{l}\left[ 1 \right]\ \ \ \ {{\left( a+b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}\\\left[ 2 \right]\ \ \ \ {{\left( a-b \right)}^{2}}={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}\\\left[ 3 \right]\ \ \ \ {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left( a-b \right)\left( a+b \right)\\\left[ 4 \right]\ \ \ \ {{\left( a+b \right)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}\\\left[ 5 \right]\ \ \ \ {{\left( a-b \right)}^{3}}={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}-{{b}^{3}}\\\left[ 6 \right]\ \ \ \ {{a}^{3}}+{{b}^{3}}=\left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)\\\left[ 7 \right]\ \ \ \ {{a}^{3}}-{{b}^{3}}=\left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)\end{array}[/latex]

Метод группировки

Применяется если преобразование не очевидно.

Здесь, например, можно переставить второй член на другое место:

Метод группировки

[latex] {{x}^{3}}-5{{x}^{2}}y-3xy+15{{y}^{2}}[/latex]

Группируем члены парами, получаем:

[latex] ({{x}^{3}}-5{{x}^{2}}y)-(3xy-15{{y}^{2}})[/latex]

[latex] {{x}^{2}}(x-5y)-3y(x-5y)[/latex]

[latex] ({{x}^{2}}-3y)(x-5y)[/latex]

Метод выделения полного квадрата

Можно преобразовать многочлен и привести к виду разности квадратов, например и применить формулу сокращенного умножения

[latex] {{x}^{4}}-4{{x}^{2}}-1=\underbrace{{{x}^{4}}-2\cdot 2\cdot {{x}^{2}}+4}_{\text{ }{{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{2}}}-4-1={{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{2}}-5=\left( {{x}^{2}}-2+\sqrt{5} \right)\left( {{x}^{2}}-2-\sqrt{5} \right)[/latex]

Разложение квадратного трехчлена на множители

Квадратный трехчлен – многочлен вида

[latex] a{{x}^{2}}+bx+c=0[/latex]

Теорема. Если квадратное уравнение [latex] a{{x}^{2}}+bx+c=0[/latex] имеет корни [latex] {{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}[/latex], то его можно записать в виде:

[latex] a{{x}^{2}}+bx+c=a\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)[/latex].

А теперь подробнее о каждом из 5-ти способов разложения на множители

Вынесение общего множителя за скобки

Это один из самых элементарных способов упростить выражение. Для применения этого метода давай вспомним распределительный закон умножения относительно сложения (не пугайся этих слов, ты обязательно знаешь этот закон, просто мог забыть его название).

Закон гласит:

Чтобы сумму двух чисел умножить на третье число, нужно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить.

Иначе говоря, [latex] a\left( b\text{ }+\text{ }c \right)\text{ }=\text{ }ab\text{ }+\text{ }ac[/latex].

Так же можно проделать и обратную операцию, [latex] ab\text{ }+\text{ }ac\text{ }=\text{ }a\left( b\text{ }+\text{ }c \right)[/latex].

Вот именно эта обратная операция нас и интересует. Как видно из образца, общий множитель а, можно вынести за скобку.

Подобную операцию можно проделывать как с переменными, такими как [latex] x[/latex] и [latex] y[/latex], например, так и с числами: [latex] 6\text{ }+\text{ }8\text{ }=\text{ }2\left( 3\text{ }+\text{ }4 \right)[/latex].

Да, это слишком элементарный пример, так же, как и приведенный ранее пример, с разложением числа [latex] 12[/latex], ведь все знают, что числа [latex] 6[/latex], [latex] 8[/latex] и [latex] 12[/latex] делятся на [latex] 2[/latex].

А как быть, если вам досталось выражение посложнее:

[latex] 3xy+123y[/latex]?

Как узнать на что, например, делится число [latex] 123[/latex].

Нееет! С калькулятором-то любой сможет, а без него слабо? 

А для этого существуют признаки делимости, эти признаки действительно стоит знать, они помогут быстро понять, можно ли вынести за скобку общий множитель.

Признаки делимости

Запомнить их не так сложно, скорее всего, большинство из них и так тебе были знакомы, а что-то будет новым полезным открытием, подробнее в таблице:

Делится на:

Признак делимости числа на данный делитель

2

Оканчивается на: 0, 2, 4, 6, 8

3

Сумма цифр делится на 3

4

Две последние цифры делятся на 4

5

Последняя цифра 5 или 0

7

Разность между числом десятков и удвоенной цифрой единиц делится на семь

9

Сумма цифр делится на 9

10

Последняя цифра – ноль

11

Разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, делится на 11

Что ж, вернемся к выражению [latex] 3xy+123y[/latex], может вынести за скобку [latex] y[/latex] да и хватит с него? 

Нет, у математиков принято упрощать, так по полной, выносить ВСЕ, что выносится!

И так, с игреком все понятно, а что с числовой частью выражения? Оба числа нечетные, так что на [latex] 2[/latex] разделить не удастся.

Можно воспользоваться признаком делимости на [latex] 3[/latex], сумма цифр [latex] 1[/latex], [latex] 2[/latex] и [latex] 3[/latex], из которых состоит число [latex] 123[/latex], равна [latex] 6[/latex], а [latex] 6[/latex] делится на [latex] 3[/latex], значит и [latex] 123[/latex] делится на [latex] 3[/latex].

Зная это, можно смело делить в столбик, в результате деления [latex] 123[/latex] на [latex] 3[/latex] получаем [latex] 41[/latex] (признаки делимости пригодились!). 

Таким образом, число [latex] 3[/latex] мы можем вынести за скобку, так же, как y и в результате имеем:

[latex] 3xy\text{ }+\text{ }123y\text{ }=\text{ }3y\cdot \left( x\text{ }+\text{ }41 \right)[/latex].

Чтобs удостовериться, что разложили все верно, можно проверить разложение, умножением! 

Также общий множитель можно выносить и в степенных выражениях. 

Вот тут, например, [latex] 2{{x}^{3}}-16{{x}^{2}}+4x[/latex], видишь общий множитель?

У всех членов этого выражения есть иксы – выносим, все делятся на [latex] 2[/latex] – снова выносим, смотрим что получилось: [latex] 2{{x}^{3}}-16{{x}^{2}}+4x=2x({{x}^{2}}-8x+2)[/latex].

Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения уже упоминались в теории, если ты с трудом помнишь что это, то тебе стоит освежить их в памяти «Формулы сокращенного умножения».

Ну а если ты считаешь себя очень умным и тебе лень читать такую тучу информации, то просто читай дальше, глянь на формулы и сразу берись за примеры.

Суть этого разложения в том, что бы заметить в имеющемся перед тобой выражении какую-то определенную формулу, применить ее и получить, таким образом, произведение чего-то и чего-то, вот и все разложение. Дальше приведены формулы:

[latex] \displaystyle  \begin{array}{l}\left[ 1 \right]\ \ \ \ {{\left( a+b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}\\\left[ 2 \right]\ \ \ \ {{\left( a-b \right)}^{2}}={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}\\\left[ 3 \right]\ \ \ \ {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left( a-b \right)\left( a+b \right)\\\left[ 4 \right]\ \ \ \ {{\left( a+b \right)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}\\\left[ 5 \right]\ \ \ \ {{\left( a-b \right)}^{3}}={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}-{{b}^{3}}\\\left[ 6 \right]\ \ \ \ {{a}^{3}}+{{b}^{3}}=\left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)\\\left[ 7 \right]\ \ \ \ {{a}^{3}}-{{b}^{3}}=\left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)\end{array}[/latex]

А теперь попробуй, разложи на множители следующие выражения, используя приведенные выше формулы:

  1. 1
    [latex] \displaystyle  16{{b}^{2}}-8b+1[/latex]
  2. 2
    [latex] \displaystyle  -42c+9{{c}^{2}}+49[/latex]
  3. 3
    [latex] \displaystyle  {{\left( 5\text{a} \right)}^{2}}-3[/latex]
  4. 4
    [latex] \displaystyle  \frac{\left( 4\text{a}+2\text{b} \right)\cdot \left( 4\text{a}-2\text{b} \right)}{16{{\text{a}}^{2}}+4{{\text{b}}^{2}}-16\text{ab}}[/latex]
  5. 5
    [latex] \displaystyle  {{\left( 3\text{a} \right)}^{3}}-1[/latex]
  6. 6
    [latex] \displaystyle  {{a}^{4}}-12{{a}^{3}}+48{{a}^{2}}-64a;[/latex]

А вот что должно было получиться:

  1. 1
    [latex] \displaystyle  {{\left( 4\text{b}-1 \right)}^{2}}[/latex]
  2. 2
    [latex] \displaystyle  {{\left( 3\text{c}-7 \right)}^{2}}[/latex]
  3. 3
    [latex] \displaystyle  \left( 5\text{a}-\sqrt{3} \right)\cdot \left( 5\text{a}+\sqrt{3} \right)[/latex]
  4. 4
    [latex] \displaystyle  \frac{\left( 2\text{a}+\text{b} \right)}{\left( 2\text{a}-\text{b} \right)}[/latex]
  5. 5
    [latex] \displaystyle  \left( 3\text{a}-1 \right)\left( 9{{\text{a}}^{2}}+3\text{a}+1 \right)[/latex]
  6. 6
    [latex] \displaystyle  {{a}^{4}}-12{{a}^{3}}+48{{a}^{2}}-64a=a\cdot {{(a-4)}^{3}}[/latex]

Как ты успел заметить, эти формулы – весьма действенный способ разложения на множители, он подходит не всегда, но может очень пригодиться!

Группировка или метод группировки

А вот тебе еще примерчик:

[latex] \displaystyle  {{x}^{3}}-3xy-5{{x}^{2}}y+15{{y}^{2}}[/latex]­­

Ну и что с ним делать будешь? Вроде бы и на [latex] \displaystyle  3[/latex] что-то делится и на [latex] \displaystyle  5[/latex], а что-то на [latex] \displaystyle  x[/latex] и на [latex] \displaystyle  y[/latex]

Но все вместе на что-то одно не разделишь, ну нет тут общего множителя, как не ищи, что, так и оставить, не раскладывая на множители?

Тут надо смекалку проявить, а имя этой смекалке – группировка!

Применяется она как раз, когда общие делители есть не у всех членов. Для группировки необходимо найти группки слагаемых, имеющих общие делители и переставить их так, чтобы из каждой группы можно было получить один и тот же множитель.

Переставлять местами конечно не обязательно, но это дает наглядность, для наглядности же можно взять отдельные части выражения в скобки, их ставить не запрещается сколько угодно, главное со знаками не напутать.

Не очень понятно все это? Объясню на примере:

В многочлене [latex] \displaystyle  {{x}^{3}}-3xy-5{{x}^{2}}y+15{{y}^{2}}[/latex]­­ ставим член – [latex] \displaystyle  3xy[/latex] после члена – [latex] \displaystyle  5x2y[/latex] получаем [latex] \displaystyle  {{x}^{3}}-5{{x}^{2}}y-3xy+15{{y}^{2}}[/latex].

[latex] \displaystyle  {{x}^{3}}-5{{x}^{2}}y-3xy+15{{y}^{2}}[/latex]

Группируем первые два члена вместе в отдельной скобке и так же группируем третий и четвертый члены, вынеся за скобку знак «минус», получаем: [latex] \displaystyle  ({{x}^{3}}-5{{x}^{2}}y)-(3xy-15{{y}^{2}})[/latex]

А теперь смотрим по отдельности на каждую из двух "кучек", на которые мы разбили выражение скобками.

Хитрость в том, чтоб разбить на такие кучки, из которых можно будет вынести максимально большой множитель, либо, как в этом примере, постараться сгруппировать члены так, чтобы после вынесения из кучек множителей за скобку у нас внутри скобок оставались одинаковые выражения.

Из обеих скобок выносим за скобки общие множители членов, из первой скобки [latex] \displaystyle  {{x}^{2}}[/latex], а из второй [latex] \displaystyle  3y[/latex], получаем:

[latex] \displaystyle  {{x}^{2}}(x-5y)-3y(x-5y)[/latex]

Но это же не разложение!

После разложения должно остаться только умножение, а пока у нас многочлен просто поделен на две части...

НО! Этот многочлен имеет общий множитель. Это [latex] \displaystyle  (x-5y)[/latex]

[latex] \displaystyle  (x-5y)[/latex]за скобку и получаем финальное произведение [latex] \displaystyle  ({{x}^{2}}-3y)(x-5y)[/latex]

Бинго! Как видишь, тут уже произведение и вне скобок нет ни сложения, ни вычитания, разложение завершено, т.к. вынести за скобки нам больше нечего.

Может показаться чудом, что после вынесения множителей за скобки у нас в скобках остались одинаковые выражения [latex] \displaystyle  (x-5y)[/latex], которые опять же мы и вынесли за скобку.

И вовсе это не чудо, дело в том, что примеры в учебниках и в ЕГЭ специально сделаны так, что большинство выражений в заданиях на упрощение или разложение на множители при правильном к ним подходе легко упрощаются и резко схлопываются как зонтик при нажатии на кнопку, вот и ищи в каждом выражении ту самую кнопку.

Что-то я отвлекся, что у нас там с упрощением? Замысловатый многочлен принял более простой вид: [latex] \displaystyle  {{x}^{3}}-3xy-5{{x}^{2}}y+15{{y}^{2}}=({{x}^{2}}-3y)(x-5y)[/latex].

Согласись, уже не такой громоздкий, как был?

Выделение полного квадрата

Иногда для применения формул сокращенного умножения (повтори тему «Формулы сокращенного умножения») необходимо преобразовать имеющийся многочлен, представив одно из его слагаемых в виде суммы или разности двух членов.

В каком случае приходится это делать, узнаешь из примера:

Многочлен [latex] \displaystyle  {{x}^{2}}-4x+2[/latex] в таком виде не может быть разложен при помощи формул сокращенного умножения, поэтому его необходимо преобразовать.

Возможно, поначалу тебе будет не очевидно какой член на какие разбивать, но со временем ты научишься сразу видеть формулы сокращенного умножения, даже если они не присутствуют не целиком, и будешь довольно быстро определять, чего здесь не хватает до полной формулы, а пока – учись, студент, точнее школьник.

Для полной формулы квадрата разности здесь нужно [latex] \displaystyle  4[/latex] вместо [latex] \displaystyle  2[/latex].

Представим третий член [latex] \displaystyle  2[/latex] как разность [latex] \displaystyle  4-2[/latex], получим: [latex] \displaystyle  {{x}^{2}}-4x+4-2=({{x}^{2}}-4x+4)-2[/latex] 

К выражению в скобках можно применить формулу квадрата разности (не путать с разностью квадратов!!!), имеем: [latex] \displaystyle  {{\left( x-2 \right)}^{2}}-2[/latex], к данному выражению можно применить формулу разности квадратов (не путать с квадратом разности!!!), представив [latex] \displaystyle  2[/latex], как [latex] \displaystyle  \sqrt{2}[/latex], получим: [latex] \displaystyle  (x-2-\sqrt{2})(x-2+\sqrt{2})[/latex].

Не всегда разложенное на множители выражение выглядит проще и меньше, чем было до разложения, но в таком виде оно становится более подвижным, в том плане, что можно не париться про смену знаков и прочую математическую ерунду.

Ну а вот тебе для самостоятельного решения, следующие выражения нужно разложить на множители.

Примеры:

  1. 1
    [latex] \displaystyle  25{{m}^{2}}-49{{n}^{2}};[/latex]
  2. 2
    [latex] \displaystyle  {{b}^{2}}-{{(a+1)}^{2}};[/latex]
  3. 3
    [latex] \displaystyle  {{(x-y)}^{2}}-{{(x+y+1)}^{2}};[/latex]
  4. 4
    [latex] \displaystyle  {{x}^{2}}+2{x}-3[/latex]
  5. 5
    [latex] \displaystyle  {{x}^{2}}+6x+5;[/latex]

1. [latex] \displaystyle  25{{m}^{2}}-49{{n}^{2}}=(5m-7n)\cdot (5m+7n)[/latex]

2. [latex] \displaystyle  {{b}^{2}}-{{(a+1)}^{2}}=(b-a-1)\cdot (b+a+1)[/latex]

3. [latex] \displaystyle  \begin{array}{l}{{(x-y)}^{2}}-{{(x+y+1)}^{2}}=\ (x-y-x-y-1)\cdot (x-y+x+y+1)\\=-(2y+1)\cdot (2x+1)\end{array}[/latex]

4. [latex] \displaystyle  {{x}^{2}}+2{x}-3=(x+3)\cdot (x-1)[/latex]

5. [latex] \displaystyle {{x}^{2}}+6x+5={{x}^{2}}+6x+9-4={{(x+3)}^{2}}-{{2}^{2}}=[/latex];

[latex] \displaystyle =(x+3-2)\cdot (x+3+2)=(x+1)\cdot (x+5)[/latex]

Разложение квадратного трехчлена на множители

О разложении квадратного трехчлена на множители смотри далее в примерах разложения.

Вынесение общего множителя за скобки. Примеры

Помнишь, что такое распределительный закон? Это такое правило: [latex] \displaystyle  ac+bc=c\left( a+b \right)[/latex]

Пример:

Разложить многочлен на множители [latex] \displaystyle  10{{x}^{4}}-15{{x}^{3}}[/latex].

Решение:

[latex] \displaystyle  10{{x}^{4}}-15{{x}^{3}}=2\cdot \underline{5\cdot {{x}^{3}}}\cdot {x}-3\cdot \underline{5\cdot {{x}^{3}}}=5{{x}^{3}}\left( 2{x}-3 \right)[/latex].

Еще пример:

Разложи на множители [latex] \displaystyle  12{{y}^{3}}-2y[/latex].

Решение:

[latex] \displaystyle  12{{y}^{3}}-2y=6\cdot \underline{2\cdot y}\cdot {{y}^{2}}-\underline{2\cdot y}[/latex].

Если слагаемое целиком выносится за скобки, в скобках вместо него остается единица!

[latex] \displaystyle  12{{y}^{3}}-2y=6\cdot \underline{2\cdot y}\cdot {{y}^{2}}-\underline{2\cdot y}=2y\left( 6{{y}^{2}}-1 \right)[/latex].

Формулы сокращенного умножения. Примеры

Чаще всего используем формулы разность квадратов, разность кубов и сумма кубов. Помнишь эти формулы? Если нет, срочно повтори тему «Формулы сокращенного умножения»!

Пример:

Разложите на множители выражение [latex] \displaystyle  {{x}^{3}}-8{{y}^{6}}[/latex].

Решение:

В этом выражении несложно узнать разность кубов:

[latex] \displaystyle \begin{array}{l}{{x}^{3}}-8{{y}^{6}}={{x}^{3}}-{{\left( 2{{y}^{2}} \right)}^{3}}=\left( x-2{{y}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+x\cdot 2{{y}^{2}}+{{\left( 2{{y}^{2}} \right)}^{2}} \right)=\\=\left( x-2{{y}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+2x{{y}^{2}}+4{{y}^{4}} \right)\end{array}[/latex]

Пример:

Разложите на множители многочлен [latex] \displaystyle  {{x}^{4}}-1[/latex].

Решение:

[latex] \displaystyle \begin{array}{l}{{x}^{4}}-1={{\left( {{x}^{2}} \right)}^{2}}-{{1}^{2}}=\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( {{x}^{2}}+1 \right)=\\=\left( {{x}^{2}}-{{1}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+1 \right)=\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+1 \right).\end{array}[/latex]

Метод группировки. Примеры

Иногда можно поменять слагаемые местами таким образом, чтобы из каждой пары соседних слагаемых можно было выделить один и тот же множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку и исходный многочлен превратится в произведение.

Пример:

Разложите на множители многочлен [latex] \displaystyle  2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}y-6xy-3{{y}^{2}}[/latex].

Решение:

Сгруппируем слагаемые следующим образом:

[latex] \displaystyle  2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}y-6xy-3{{y}^{2}}=(2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}y)-(6xy+3{{y}^{2}})[/latex].

В первой группе вынесем за скобку общий множитель [latex] \displaystyle  {{x}^{2}}[/latex], а во второй − [latex] \displaystyle  3y[/latex]:

[latex] \displaystyle  (2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}y)-(6xy+3{{y}^{2}})={{x}^{2}}(2x+y)-3y(2x+y)[/latex].

Теперь общий множитель [latex] \displaystyle  \left( 2x+y \right)[/latex] также можно вынести за скобки:

[latex] \displaystyle  {{x}^{2}}(2x+y)-3y(2x+y)=(2x+y)({{x}^{2}}-3y)[/latex].

Метод выделения полного квадрата. Примеры

Если многочлен удастся представить в виде разности квадратов двух выражений, останется только применить формулу сокращенного умножения (разность квадратов).

Пример:

Разложите на множители многочлен [latex] \displaystyle  {{x}^{2}}+6{x}-7[/latex].

Решение:

[latex] \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}^{2}}+6{x}-7=\underbrace{{{x}^{2}}+2\cdot 3\cdot x+9}_{квадрат\ суммы\ {{\left( x+3 \right)}^{2}}}-9-7={{\left( x+3 \right)}^{2}}-16= \\
=\left( x+3+4 \right)\left( x+3-4 \right)=\left( x+7 \right)\left( x-1 \right) \\
\end{array} [/latex]

Пример:

Разложите на множители многочлен [latex] \displaystyle  {{x}^{4}}-4{{x}^{2}}-1[/latex].

Решение:

[latex] \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}-1=\underbrace{{{x}^{4}}-2\cdot 2\cdot {{x}^{2}}+4}_{квадрат\ разности{{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{2}}}-4-1={{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{2}}-5= \\
=\left( {{x}^{2}}-2+\sqrt{5} \right)\left( {{x}^{2}}-2-\sqrt{5} \right) \\
\end{array} [/latex]

Разложение квадратного трехчлена на множители. Пример

Квадратный трехчлен – многочлен вида [latex] \displaystyle  a{{x}^{2}}+bx+c=0[/latex], где [latex] \displaystyle  x[/latex] – неизвестное, [latex] \displaystyle  a[/latex], [latex] \displaystyle  b[/latex], [latex] \displaystyle  c[/latex] – некоторые числа, причем [latex] \displaystyle  a\ne 0[/latex].

Значения переменной [latex] \displaystyle  x[/latex], которые обращают квадратный трехчлен в ноль, называются корнями трехчлена. Следовательно, корни трехчлена – это корни квадратного уравнения [latex] \displaystyle  a{{x}^{2}}+bx+c=0[/latex].

Если не помнишь, как находить эти корни, читай тему «Квадратные уравнения».

Теорема.

Если квадратное уравнение [latex] \displaystyle  a{{x}^{2}}+bx+c=0[/latex] имеет корни [latex] \displaystyle  {{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}[/latex], то его можно записать в виде: [latex] \displaystyle  a{{x}^{2}}+bx+c=a\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)[/latex].

Пример:

Разложим на множители квадратный трехчлен: [latex] \displaystyle  2{{x}^{2}}+5x-3[/latex].

Сначала решим квадратное уравнение:Теперь можно записать разложение данного квадратного трехчлена на множители:

[latex] \displaystyle  \begin{array}{l}2{{x}^{2}}+5x-3=0.\\{{x}_{1,2}}=\frac{-5\pm \sqrt{{{5}^{2}}-4\cdot 2\cdot \left( -3 \right)}}{2\cdot 2}=\frac{-5\pm \sqrt{25+24}}{4}=\frac{-5\pm 7}{4};\\{{x}_{1}}=\frac{1}{2};\text{ }{{x}_{2}}=-3.\end{array}[/latex]

[latex] \displaystyle  2{{x}^{2}}+5x-3=2\left( x-\frac{1}{2} \right)\left( x+3 \right)[/latex].

КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Существует 5 основных способов разложения многочлена на множители:

  • вынесение общего множителя за скобки;
  • использование формул сокращенного умножения;
  • метод группировки;
  • метод выделения полного квадрата;
  • разложение квадратного трехчлена на множители.

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

А теперь мы хотим услышать тебя...

Мы расписали подробно, как и для чего раскладывать многочлен на множители.

Мы привели массу примеров, как это делать на практике, указали на подводные камни, дали решения...

А что скажешь ты?

Как тебе эта статья? Ты пользуешься этими приемами? Понимаешь их суть?

Пиши в комментариях и... готовься к экзамену!

Пока что он самый важный в твоей жизни.

Удачи!

  • Спасибо за материал, а то везде дальше перечня и формул и примитивных примеров ничего нет. Подскажите, если можно, что делать с числителем.
    5х^2-х-4/х^3-1 ???

    • Александр Кель:

      Ирина, спасибо за отзыв. Я перешлю Алексею Шевчуку ваш вопрос, но он может не ответить. Сейчас очень загружены ((

    • Александра Купцова:

      Здравствуй, Ирина!
      Давай начнем со знаменателя: внизу у тебя разность кубов, распиши ее по формуле (x^3-1^3=(x-1)(x^2+1*x*1^2))
      Теперь посмотрим на числитель. Главная хитрость в том, что любой квадратный многочлен ax^2+bx+c (у тебя это 5x^2-x-4) можно представить в виде a(x-x1)(x-x2), где x1, x2 – решения квадратного уравнения.
      То есть ты решаешь 5x^2-x-4=0, находишь его корни. Это -0.8 и 1, значит, ты можешь написать, что 5x^2-x-4=5(x-1)(x+0.8)

      • Александр Кель:

        Как круто! Куб в знаменателе я тоже увидел конечно, а вот что делать с числителем не догадался ) Спасибо, Саша!

  • Александр Кель:

    Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

    Гостинец
    25 февраля 2018
    Вау, я всю тему поняла! Поздравьте меня, подарите подарочки!!!!!!!!!!!!!!!

    Александр (админ)
    25 февраля 2018
    Ну ты, крута! :)) От нас лучики счастья тебе! Хочешь понять еще лучше? Объясни кому-нибудь, кто не понимает.

    Александр (Адин)
    25 февраля 2018
    Кстати, Гостинец, понять мало! Нужно обязательно набить руку. Нужно порешать примеры на эту тему. Причем чем быстрее ты это сделаешь, тем лучше закрепиться навык и на экзамене рука не дрогнет )) Возьми учебник и решай. Обязательно! Или можешь у нас на 100gia.ru Там все есть для подготовки к экзамену.

    Геннадий
    13 декабря 2018
    Какой же Вы умница (без иронии!). Просто восхищаюсь. Самое ценное — с разъяснениями зачем нужно, что дает соответствующее знание.

    (Админ)
    28 января 2019
    Спасибо, Геннадий. Поздно отвечаю, потому что поздно заметил. Но… доброе слово и кошке приятно! ) Еще раз спасибо!

    Евгений
    05 апреля 2019
    а если сложные штуки попадутся и ни один метод не поможет.. (сложно просто догадаться будет). к примеру, y*y-x*y+4*x-7*y+12=0.. как бы не очевидно, вообще не очевидно. Сложный подход.

    Александр (админ)
    14 апреля 2019
    Евгений, так, конечно, может быть. Но чем лучше ты подготовлен, чем больше задач решил, чем сложнее были задачи, которые ты сам решил, тем выше вероятность, что ты сможешь решить самые сложные задачи.
    Когда ты находишь решение задач, ты приобретаешь навык не просто решать знакомые задачи, а находить решение сложных задач, которые ты никогда раньше не видел. И вполне возможно на экзамене именно так и случится: ты быстро решишь стандартные задачи и найдешь способ решить нестандартные в оставшееся время.

    Любава
    01 марта 2018
    (x 2 −1 2 )(x 2 +1)мне непонятно это во 2 методе в последнем решении

    Алексей Шевчук
    03 марта 2018
    Любава, это формула сокращённого умножения разность квадратов. Подробнее здесь: https://youclever.org/book/formuly-sokrashhennogo-umnozheniya-1#raznost-kvadratov

    Рина
    09 сентября 2018
    4а^4+5а^2+1 Помогите пожалуйста

    Александр (админ)
    01 февраля 2019
    Рина, это почти квадратное уравнение. Если бы уравнение было на самом деле квадратным, вот таким: 4а^2+5а+1 ты бы знала что с ним делать? А как его сделать таким? Подсказка: назови а^2 другой буквой, например b запиши новое уравнение и найди чему равно b…. Не забудь потом посчитать чему равно a.

    Рина
    09 сентября 2018
    И спасибо!

    Александр (админ)
    11 февраля 2019
    !!!

    двоечник
    11 февраля 2019
    Что-то легко..

    Александр (админ)
    11 февраля 2019
    Легко? В этом и цель. Спасибо.

    Михаил
    11 февраля 2019
    Учась в школе, прорешал все задачи из задачника Сканави… Сейчас, спустя 17 лет, пытаюсь вспомнить основы 🙁

    Александр (админ)
    11 февраля 2019
    Получается? )

    Михаил
    11 февраля 2019
    Зачем все это нужно?

    Александр (админ)
    11 февраля 2019
    Что «все это»? Математика?

    Артем
    11 февраля 2019
    Завтра пробный экзамен по матану, пытаюсь вспомнить разложение на множители и формулы сокращенного умножения)

    Александр (админ)
    11 февраля 2019
    Я так понимаю первый или второй курс университета? Да, Артем? Удачи!

    Максим
    11 февраля 2019
    Почему в «Разложение на множители. Примеры методов разложения: 3. Метод группировки. Примеры.» после оборачивания в скобки у 3y^2 поменялся знак?

    Алексей Шевчук
    11 февраля 2019
    Максим, за скобками знак «минус» — это значит, что мы вынесли множитель (-1). Легко проверить, правильный ли там знак: если раскроешь скобки обратно, должно получиться то, что было в начале.

    Генадий
    11 февраля 2019
    Какой же Вы умница (без иронии!). Просто восхищаюсь. Самое ценное — с разъяснениями зачем нужно, что дает соответствующее знание.

    Александр (админ)
    11 февраля 2019
    Спасибо, Генадий. Поздно отвечаю, потому что поздно заметил. Но… доброе слово и кошке приятно! ) Еще раз спасибо!

    Ариадна
    24 февраля 2019
    Спасибо за материал. Действительно, ваш сайт очень помогает. Дальнейшего развития вам.

    Александр (админ)
    24 февраля 2019
    Спасибо, Ариадна! И вам удачи во всех начинаниях!

    Никита
    27 февраля 2019
    Здравствуйте, подскажите пожалуйста порядок решения 4 примера из примеров к подтеме «Формулы сокращенного умножения», никак не могу одолеть аналогичные уравнения.

    Алексей Шевчук
    27 февраля 2019
    Никита, спасибо, в ответе были перепутаны знаки. На всякий случай, поясню как решать. Числитель у нас и так уже разложен на множители, осталось разложить знаменатель. Название подтемы — главная подсказка здесь: необходимо распознать и применить формулу сокращённого умножения, в данном случае это квадрат разности (4a-2b)^2. Дальше одну скобку сокращаем, затем выносим 2 за скобки в оставшихся числителе и знаменателе и сокращаем эту двойку.

    Никита
    28 февраля 2019
    Благодарю

    Алексей
    09 мая 2019
    a4 −12a3 +48a2 −64a это пример не на выделение полного квадрата, а на применение формулы куба разности. Поэтому этот пример лучше поместить в другой подраздел. Кроме того, хорошо бы добавить ещё одну полезную формулу сокращённого умножения: (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.

    Алексей Шевчук
    23 мая 2019
    Алексей, спасибо за замечание, теперь пример в нужном разделе. Формула (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab полезна, согласен, но это уже следующий уровень:) Пока что лучше эту формулу не запоминать, а использовать теорему Виета и формулу разложения квадратного трёхчлена на множители.

    Сергей
    09 июля 2019
    Проверьте пожалуйста формулировку: Разложение многочлена на множители – тождественное преобразование, превращающее сумму в произведение нескольких множителей. Превращающее сумму… Чего? А если многочлен — разность? Может я чего-то не понял?

    Алексей Шевчук
    13 июля 2019
    Сергей, разность всегда можно представить как сумму с отрицательным слагаемым, например: 5-3 = 5+(-3). Поэтому выражения со знаками + или — называют общим словом «сумма».

    Ксения
    01 октября 2019
    Великолепная статья! Спасибо огромное. Все стало на свои места. Все стало понятно!

    Алексей Шевчук
    15 октября 2019
    Спасибо за отзыв, Ксения, очень рад, что учебник вам помогает

    Ксенья
    06 октября 2019
    как можно разложить на множители 4^179+1. Помогите пожалуйста!!!

    Алексей Шевчук
    07 октября 2019
    Сумма степеней порядка 2n + 1 (нечётных): x^(2n+1) + y^(2n+1) = (x + y) (x^(2n) – x^(2n–1)*y + x^(2n–2)*y^2 – …– x*y^(2n–1) + y^(2n)) = (4+1)(4^178-4^177+4^176-…-4+1) . К сожалению, короче не получится

    Лисенок
    09 октября 2019
    Спасибо огромное за статью. Все понятно, и ровно столько сколько нужно, без лишней воды. Благодаря Вам я поняла наконец-то эту тему 🙂

    Александр (админ)
    09 октября 2019
    Лисенок, как приятно слышать! И тебе спасибо! Удачи на всех экзаменах!

    Алексей Шевчук
    15 октября 2019
    Очень рад, что статья помогла. Спасибо за отзыв!

    ниважна
    01 декабря 2019
    ВАУ! Спасибо огромное ))просто в моем учебнике почему то не очень понятно)))а мама занята все время))))

    Александр (админ)
    01 декабря 2019
    Мама может оставаться занятой. YouClever решает! (с) 🙂 Если серьезно, то очень приятно читать такие комментарии, Ниважна. Для того этот учебник и писали, чтобы было понятно. Удачи тебе!

    Аня
    03 февраля 2020
    Есть у вас что нибудь на тему ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ (неравенств,функций)?))) Кстати спасибо за прошлую тему.)))

    Александр (админ)
    04 февраля 2020
    Аня, конечно есть. Вот здесь оглавление, всего, что есть. Там и линейные уравнения и неравенства и функции. https://youclever.org/book/ А что за прошлая тема? )))

    brff
    20 мая 2020
    а как быть с примером 25a-ab^2? По статье ничего не понял..

    Фаридун
    11 июня 2020
    Общий множитель у нас а . Значит выносим из-за скобки , тогда получим a(25-b^2)

    Александр (админ)
    11 июня 2020
    Спасибо, Фаридун

    Фаридун
    11 июня 2020
    Разложите на множители : a^3+b^3+c^3-3abc

    Алексей Шевчук
    11 июня 2020
    Фаридун, классная задача! Рассмотрите (a+b+c)^3. Если раскрыть скобки, мы там увидим a^3+b^3+c^3+…+6abc (вместо троеточия ещё куча слагаемых). Вычтем и прибавим 3abc, тогда получим: (a+b+c)^3 = a^3+b^3+c^3+…+9abc — 3abc. Это значит, что можно выразить искомое выражение (обозначим его за X): X = (a+b+c)^3 — … — 9abc. В получившемся выражении можно 9abc разбить на 3 слагаемых 3abc, и тогда получится разлжить на множители группировкой. Напишите, что получилось?

    Ангелина
    23 июня 2020
    Здравствуйте! Пожалуйста, помогите с разложением выражения на множители. 4+0,25х^2-2х. Я решила как (2-0,5х)^2, но гдз говорит (0,5х-2)^2. Не понимаю, это одно и тоже, или я что-то не понимаю… Спасибо большое заранее

    Алексей Шевчук
    23 июня 2020
    Ангелина, это одно и то же, всё правильно.

  • {"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
    >