Разложение на множители

Содержание

Коротко о главном

Многочлен — это выражение, состоящее из суммы (или разности) нескольких одночленов различного вида:

\(\displaystyle 4{{x}^{2}}+9x\) или \(\displaystyle 2{{x}^{3}}-16{{x}^{2}}+4x\) или

\(\displaystyle 8x\cdot 4{{y}^{2}}-12+4{{x}^{2}}y-3{{y}^{2}}\cdot {{x}^{4}}+6-5{{y}^{2}}{{x}^{4}}\).

Раскладывая многочлен на множители, мы упрощаем выражение.

1. Вынесение общего множителя за скобки

\(\displaystyle ac+bc=c(a+b)\)

2. Использование формул сокращенного умножения.

\(\begin{array}{l}\left[ 1 \right]\ \ \ \ {{\left( a+b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}\\\left[ 2 \right]\ \ \ \ {{\left( a-b \right)}^{2}}={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}\\\left[ 3 \right]\ \ \ \ {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left( a-b \right)\left( a+b \right)\\\left[ 4 \right]\ \ \ \ {{\left( a+b \right)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}\\\left[ 5 \right]\ \ \ \ {{\left( a-b \right)}^{3}}={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}-{{b}^{3}}\\\left[ 6 \right]\ \ \ \ {{a}^{3}}+{{b}^{3}}=\left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)\\\left[ 7 \right]\ \ \ \ {{a}^{3}}-{{b}^{3}}=\left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)\end{array}\)

3. Метод группировки.

Применяется если преобразование не очевидно.

Здесь, например, можно переставить второй член на другое место:

\({{x}^{3}}-5{{x}^{2}}y-3xy+15{{y}^{2}}\)

группируем члены парами, получаем:

\(({{x}^{3}}-5{{x}^{2}}y)-(3xy-15{{y}^{2}})\)

\({{x}^{2}}(x-5y)-3y(x-5y)\)

\(({{x}^{2}}-3y)(x-5y)\)

4. Метод выделения полного квадрата.

Можно преобразовать многочлен и привести к виду разности квадратов, например и применить формулу сокращенного умножения

\({{x}^{4}}-4{{x}^{2}}-1=\underbrace{{{x}^{4}}-2\cdot 2\cdot {{x}^{2}}+4}_{\text{ }{{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{2}}}-4-1={{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{2}}-5=\left( {{x}^{2}}-2+\sqrt{5} \right)\left( {{x}^{2}}-2-\sqrt{5} \right)\)

5. Разложение квадратного трехчлена на множители.

Квадратный трехчлен – многочлен вида

\(a{{x}^{2}}+by+c=0\)

Теорема. Если квадратное уравнение \(a{{x}^{2}}+by+c=0\) имеет корни \({{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}\), то его можно записать в виде:

\(a{{x}^{2}}+by+c=a\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)\).

Добавить комментарий