Трапеция. Свойства трапеции. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Трапеция. Основные понятия и определения

Трапеция – четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет.

643zh-1

Параллельные стороны называются основаниями, а непараллельные – боковыми сторонами.

643zh-2 Если боковые стороны трапеции равны, то она называется равнобедренной или равнобокой.

Свойства трапеции

Свойства трапеции… Какие они и что же ты должен о них знать? Рассмотрим основные свойства трапеции.

Первое свойство трапеции

Свойства трапеции: первое свойство Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна $latex \displaystyle 180{}^\circ $.

Почему? $latex \displaystyle AD$ и $latex \displaystyle BC$ – параллельны, а $latex \displaystyle AB$ и $latex \displaystyle CD$ – секущие, поэтому:

  • $latex \angle 1+\angle 2=180{}^\circ $
  • $latex \angle 3+\angle 4=180{}^\circ $

Проверь себя — реши задачи на трапецию.

Второе свойство трапеции

Свойства трапеции: второе свойство Треугольники $latex \displaystyle BOC$ и $latex \displaystyle AOD$ подобны по двум углам.
($latex \displaystyle \angle 1=\angle 2$ и $latex \displaystyle \angle 3=\angle 4$ – как накрест лежащие)

Коэффициент подобия треугольников $latex \displaystyle BOC$ и $latex \displaystyle AOD$ равен отношению оснований:

$latex K=\frac{a}{b}$

Третье свойство трапеции

Сначала сформулируем основное определение, которое тебе нужно знать для понимания этого свойства трапеции:

Свойства трапеции: третье свойство Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

А теперь формула:

$latex m=\frac{a+b}{2}$

А вот и само третье свойство трапеции:

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им.

А это почему? Ту чуть – чуть сложнее – потребуется провести аж одну лишнюю линию!

643zh-6

Итак, проведём $latex \displaystyle CE\parallel AB$. Тогда четырехугольник $latex \displaystyle ABCE$ – параллелограмм. Возьмём середину $latex \displaystyle M$ стороны $latex \displaystyle AB$ и середину $latex \displaystyle K$ стороны $latex \displaystyle CE$. Оба: $latex \displaystyle MBCK$ и $latex \displaystyle AMKE$ – снова параллелограммы ($latex \displaystyle MB\parallel CK$ и $latex \displaystyle MB=CK$; $latex \displaystyle AM\parallel KE$ и $latex \displaystyle AM=KE$). Ну вот, значит $latex \displaystyle MK\parallel AD$, да ещё $latex \displaystyle MK=BC=a$.

Поедем дальше.

643zh-7 Проведём $latex \displaystyle KN$ — среднюю линию в $latex \displaystyle \Delta ECD$.
Знаем, что $latex \displaystyle KN\parallel ED$ и $latex KN=\frac{1}{2}ED$

Что же из всего этого следует?

643zh-8
  1. $latex \displaystyle MN\parallel AD$ (так как через точку $latex \displaystyle K$ можно провести лишь одну прямую параллельную $latex \displaystyle AD$, поэтому $latex \displaystyle MK$ и $latex \displaystyle KN$ – одна прямая $latex \displaystyle MN$)
  2. $latex \displaystyle MN=MK+KN=a+\frac{b-a}{2}$
    $latex \displaystyle MN=\frac{a+b}{2}$

Вот и доказали!

Больше регистрации — после регистрации.

Четвертое свойство трапеции

Свойства трапеции: четвертое свойство Если трапеция вписана в окружность, то она равнобокая.

Почему? Подробнее смотри в теме «Вписанный четырехугольник», а тут – двумя строчками:
$latex \angle 1+\angle 2=180{}^\circ $ (трапеция же!)
$latex \angle 3+\angle 2=180{}^\circ $ (вписанный четырехугольник)
$latex \Rightarrow \angle 1=\angle 3$. Ну, и так же $latex \angle 2=\angle 4$.

Пятое свойство трапеции

Свойства трапеции: пятое свойство В ЛЮБОЙ трапеции следующие четыре точки лежат на одной прямой:
1) $latex \displaystyle E$ – точка пересечения продолжений боковых сторон;
2) $latex \displaystyle F$ и $latex \displaystyle H$ – середины оснований;
3) $latex \displaystyle G$ – точка пересечения диагоналей.

Эту теорему доказывать не будем – не пугайся.

Заметим только, что ВЕРНО и ОБРАТНОЕ:

Если в каком – нибудь четырехугольнике какие – нибудь три из перечисленных четырёх точек окажутся на одной прямой – то четырёхугольник этот – ТРАПЕЦИЯ.

Шестое свойство трапеции

Свойства трапеции: шестое свойство Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции перпендикулярны. 

$latex \left\{ \begin{array}{l}\angle 1+\angle 2+\angle 3+\angle 4=180{}^\circ \ -так\, как\, трапеция\\\angle 1=\angle 2\\\angle 3=\angle 4\ -так\, как\, биссектриса\end{array} \right.\Rightarrow 2\cdot \angle 2+2\cdot \angle 3=180{}^\circ \Rightarrow $

$latex \angle 2+\angle 3=90{}^\circ \Rightarrow \angle AEB\ =90{}^\circ $

Больше регистрации — после регистрации.

Седьмое свойство трапеции

Здесь мы ещё раз увидим, как полезно в трапеции бывает провести линию, параллельную или боковой стороне, или диагонали – сразу появляется новый взгляд. Один раз мы уже так делали – в пункте про среднюю линию. А теперь ты узнал новый факт, который относительно часто встречается в задачах.

Свойства трапеции: седьмое свойство В трапеции с перпендикулярными диагоналями $latex FH=\frac{AD+BC}{2}$

Давай докажем! Это уже целая задача, которая вполне может попасться прямо на экзамене.

643zh-13

Проведём $latex \displaystyle BK\parallel AC$ и $latex \displaystyle BL\parallel FH$.

Обозначим $latex \displaystyle BC=\text{ }a$; $latex \displaystyle AD=b$.

Тогда:

  1.  $latex \displaystyle \Delta KBD$ – прямоугольный
  2. $latex \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}LD=\frac{b}{2}+\frac{a}{2}=\frac{a+b}{2}\\LK=a+\frac{b}{2}-\frac{a}{2}=\frac{a+b}{2}\end{array} \right.\Rightarrow BL-медиана~в~\ \Delta KBD.\\\end{array}$

Значит, $latex BL=\frac{KD}{2}$ (медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине).
То есть $latex BL=\frac{a+b}{2}$.
Но ведь $latex \displaystyle FH=BL$ (так как $latex \displaystyle BFHL$ — параллелограмм)$latex \Rightarrow $ $latex FH=\frac{a+b}{2}$.

Ну вот, и ты теперь старайся с помощью новых знаний и методов решать задачки про трапецию – они обычно не слишком сложные. Главное, твёрдо помнить все свойства трапеции и не забывать о параллельности оснований и иногда (в задачах посложнее) бывает полезно провести что-то параллельное или соединить боковые стороны.

Проверь себя — реши задачи на трапецию.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий