Трапеция. Свойства трапеции. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Трапеция. Основные понятия и определения

Трапеция – четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет.

643zh-1

Параллельные стороны называются основаниями, а непараллельные – боковыми сторонами.

643zh-2 Если боковые стороны трапеции равны, то она называется равнобедренной или равнобокой.

Свойства трапеции

Свойства трапеции… Какие они и что же ты должен о них знать? Рассмотрим основные свойства трапеции.

Первое свойство трапеции

Свойства трапеции: первое свойство Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна \(\displaystyle 180{}^\circ \).

Почему? \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BC\) – параллельны, а \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD\) – секущие, поэтому:

  • \(\angle 1+\angle 2=180{}^\circ \)
  • \(\angle 3+\angle 4=180{}^\circ \)

Проверь себя — реши задачи на трапецию.

Второе свойство трапеции

Свойства трапеции: второе свойство Треугольники \(\displaystyle BOC\) и \(\displaystyle AOD\) подобны по двум углам.
(\(\displaystyle \angle 1=\angle 2\) и \(\displaystyle \angle 3=\angle 4\) – как накрест лежащие)

Коэффициент подобия треугольников \(\displaystyle BOC\) и \(\displaystyle AOD\) равен отношению оснований:

\(K=\frac{a}{b}\)

Третье свойство трапеции

Сначала сформулируем основное определение, которое тебе нужно знать для понимания этого свойства трапеции:

Свойства трапеции: третье свойство Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

А теперь формула:

\(m=\frac{a+b}{2}\)

А вот и само третье свойство трапеции:

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им.

А это почему? Ту чуть – чуть сложнее – потребуется провести аж одну лишнюю линию!

643zh-6

Итак, проведём \(\displaystyle CE\parallel AB\). Тогда четырехугольник \(\displaystyle ABCE\) – параллелограмм. Возьмём середину \(\displaystyle M\) стороны \(\displaystyle AB\) и середину \(\displaystyle K\) стороны \(\displaystyle CE\). Оба: \(\displaystyle MBCK\) и \(\displaystyle AMKE\) – снова параллелограммы (\(\displaystyle MB\parallel CK\) и \(\displaystyle MB=CK\); \(\displaystyle AM\parallel KE\) и \(\displaystyle AM=KE\)). Ну вот, значит \(\displaystyle MK\parallel AD\), да ещё \(\displaystyle MK=BC=a\).

Поедем дальше.

643zh-7 Проведём \(\displaystyle KN\) — среднюю линию в \(\displaystyle \Delta ECD\).
Знаем, что \(\displaystyle KN\parallel ED\) и \(KN=\frac{1}{2}ED\)

Что же из всего этого следует?

643zh-8
  1. \(\displaystyle MN\parallel AD\) (так как через точку \(\displaystyle K\) можно провести лишь одну прямую параллельную \(\displaystyle AD\), поэтому \(\displaystyle MK\) и \(\displaystyle KN\) – одна прямая \(\displaystyle MN\))
  2. \(\displaystyle MN=MK+KN=a+\frac{b-a}{2}\)
    \(\displaystyle MN=\frac{a+b}{2}\)

Вот и доказали!

Больше регистрации — после регистрации.

Четвертое свойство трапеции

Свойства трапеции: четвертое свойство Если трапеция вписана в окружность, то она равнобокая.

Почему? Подробнее смотри в теме «Вписанный четырехугольник», а тут – двумя строчками:
\(\angle 1+\angle 2=180{}^\circ \) (трапеция же!)
\(\angle 3+\angle 2=180{}^\circ \) (вписанный четырехугольник)
\(\Rightarrow \angle 1=\angle 3\). Ну, и так же \(\angle 2=\angle 4\).

Пятое свойство трапеции

Свойства трапеции: пятое свойство В ЛЮБОЙ трапеции следующие четыре точки лежат на одной прямой:
1) \(\displaystyle E\) – точка пересечения продолжений боковых сторон;
2) \(\displaystyle F\) и \(\displaystyle H\) – середины оснований;
3) \(\displaystyle G\) – точка пересечения диагоналей.

Эту теорему доказывать не будем – не пугайся.

Заметим только, что ВЕРНО и ОБРАТНОЕ:

Если в каком – нибудь четырехугольнике какие – нибудь три из перечисленных четырёх точек окажутся на одной прямой – то четырёхугольник этот – ТРАПЕЦИЯ.

Шестое свойство трапеции

Свойства трапеции: шестое свойство Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции перпендикулярны. 

\(\left\{ \begin{array}{l}\angle 1+\angle 2+\angle 3+\angle 4=180{}^\circ \ -так\, как\, трапеция\\\angle 1=\angle 2\\\angle 3=\angle 4\ -так\, как\, биссектриса\end{array} \right.\Rightarrow 2\cdot \angle 2+2\cdot \angle 3=180{}^\circ \Rightarrow \)

\(\angle 2+\angle 3=90{}^\circ \Rightarrow \angle AEB\ =90{}^\circ \)

Больше регистрации — после регистрации.

Седьмое свойство трапеции

Здесь мы ещё раз увидим, как полезно в трапеции бывает провести линию, параллельную или боковой стороне, или диагонали – сразу появляется новый взгляд. Один раз мы уже так делали – в пункте про среднюю линию. А теперь ты узнал новый факт, который относительно часто встречается в задачах.

Свойства трапеции: седьмое свойство В трапеции с перпендикулярными диагоналями \(FH=\frac{AD+BC}{2}\)

Давай докажем! Это уже целая задача, которая вполне может попасться прямо на экзамене.

643zh-13

Проведём \(\displaystyle BK\parallel AC\) и \(\displaystyle BL\parallel FH\).

Обозначим \(\displaystyle BC=\text{ }a\); \(\displaystyle AD=b\).

Тогда:

  1.  \(\displaystyle \Delta KBD\) – прямоугольный
  2. \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}LD=\frac{b}{2}+\frac{a}{2}=\frac{a+b}{2}\\LK=a+\frac{b}{2}-\frac{a}{2}=\frac{a+b}{2}\end{array} \right.\Rightarrow BL-медиана~в~\ \Delta KBD.\\\end{array}\)

Значит, \(BL=\frac{KD}{2}\) (медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине).
То есть \(BL=\frac{a+b}{2}\).
Но ведь \(\displaystyle FH=BL\) (так как \(\displaystyle BFHL\) — параллелограмм)\(\Rightarrow \) \(FH=\frac{a+b}{2}\).

Ну вот, и ты теперь старайся с помощью новых знаний и методов решать задачки про трапецию – они обычно не слишком сложные. Главное, твёрдо помнить все свойства трапеции и не забывать о параллельности оснований и иногда (в задачах посложнее) бывает полезно провести что-то параллельное или соединить боковые стороны.

Проверь себя — реши задачи на трапецию.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий