Обратная зависимость. Начальный уровень.

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Сейчас мы будем говорить об обратной зависимости, или другими словами – обратной пропорциональности, как о функции. Ты помнишь, что функция – это определенного рода зависимость? Если ты еще не читал тему «Функции», настоятельно рекомендую бросить все и прочитать, ведь нельзя изучать какую-либо конкретную функцию, не понимая, что это такое – функция.

Также очень полезно перед началом этой темы освоить две более простые функции: линейную и квадратичную. Там ты закрепишь понятие функции и научишься работать с коэффициентами и графиками.

Итак, ты вспомнил, что такое функция?
Повторим: функция - это правило, по которому каждому элементу одного множества (аргументу) ставится в соответствие некоторый (единственный!) элемент другого множества (множества значений функции). То есть, если у тебя есть функция  , это значит что каждому допустимому значению переменной   (которую называют «аргументом») соответствует одно значение переменной   (называемой «функцией»). Что значит «допустимому»? Если не можешь ответить на этот вопрос, еще раз вернись к теме «Функции»! Все дело в понятии «область определения»: для некоторых функций не все аргументы одинаково полезны можно подставить в зависимость. Например, для функции   отрицательные значения аргумента   – недопустимы.

Функция, описывающая обратную зависимость

Это функция вида  , где  .

По-другому ее называют обратной пропорциональностью: увеличение аргумента вызывает пропорциональное уменьшение функции.
Давай определим область определения. Чему может быть равен  ? Или, по-другому, чему он не может быть равен?

Единственное число, на которое нельзя делить – это  , поэтому  :

 

или, что то же самое,

 

(такая запись означает, что   может быть любым числом, кроме  : знак « » обозначает множество действительных чисел, то есть всех возможных чисел; знаком « » обозначается исключение чего-нибудь из этого множества (аналог знака «минус»), и число   в фигурных скобках означает просто число  ; получается, что из всех возможных чисел мы исключаем  ).

Множество значений функции, оказывается, точно такое же: ведь если  , то на что бы мы его не делили,   не получится:

  или  .

Также возможны некоторые вариации формулы  . Например,   – это тоже функция, описывающая обратную зависимость.
Определи самостоятельно область определения и область значений этой функции. Должно получиться:

  •  
  •  .

Давай посмотрим на такую функцию:  . Является ли она обратной зависимостью?

На первый взгляд сложно сказать: ведь при увеличении   увеличивается и знаменатель дроби, и числитель, так что непонятно, будет ли функция уменьшаться, и если да, то будет ли она уменьшаться пропорционально? Чтобы понять это, нам необходимо преобразовать выражение таким образом, чтобы в числителе не было переменной:

 .

Действительно, мы получили обратную зависимость, но с оговоркой:  .

Вот еще пример:  .

Тут сложнее: ведь числитель и знаменатель теперь уж точно не сокращаются. Но все-же мы можем попробовать:

 

Ты понял, что я сделал? В числителе я добавил и вычел одно и то же число ( ), таким образом я вроде бы ничего не изменил, но теперь в числителе есть часть, равная знаменателю. Теперь я почленно поделю, то есть разобью эту дробь на сумму двух дробей:

 

(и правда, если привести то что у меня получилось к общему знаменателю, получится как-раз наша начальная дробь):

 

Ух ты! Снова получается обратная зависимость, только теперь к ней еще прибавляется число  .
Этот метод нам очень пригодится позже при построении графиков.

А теперь самостоятельно приведи выражения к виду обратной зависимости:

  1.  
  2.  
  3.  

Ответы:

1.  

2. Здесь нужно вспомнить, как квадратный трехчлен раскладывается на множители (это подробно описано в теме «Разложение на множители»). Напомню, что для этого надо найти корни соответствующего квадратного уравнения:  . Я найду их устно с помощью теоремы Виета:  ,  . Как это делается? Ты можешь научиться этому, прочитав тему «Квадратные уравнения».
Итак, получаем:  , следовательно:

 

3. Ты уже попробовал решить сам? В чем загвоздка? Наверняка в том, что в числителе у нас  , а в знаменателе – просто  . Это не беда. Нам нужно будет сократить на  , поэтому в числителе следует вынести   за скобки (чтобы в скобках   получился уже без коэффициента):

  дальше сам.
Ответ:  .

График обратной зависимости

Как всегда, начнем с самого простого случая:  .
Составим таблицу:

                   
                   

Нарисуем точки на координатной плоскости:

Точки на координатной плоскости

Теперь их надо плавно соединить, но как? Видно, что точки в правой и левой частях образуют будто бы несвязанные друг с другом кривые линии. Так оно и есть. График будет выглядеть так:

Соединенные точки

Этот график называется «гипербола» (есть что-то похожее на «параболу» в этом названии, правда?). Как и у параболы, у гиперболы две ветки, только они не связаны друг с другом. Каждая из них стремится своими концами приблизиться к осям   и  , но никогда их не достигает. Если посмотреть на эту же гиперболу издалека, получится такая картина:

Гипербола (обратная зависимость)

Оно и понятно: так как  , график не может пересекать ось  . Но и  , так что график никогда не коснется и оси  .

Ну что же, теперь посмотрим, на что влияют коэффициенты. Рассмотрим такие функции:
 :

Варианты построения графиков обратной зависимости

Ух ты, какая красота!
Все графики построены разными цветами, чтобы легче было их друг от друга отличать.

Итак, на что обратим внимание в первую очередь? Например, на то, что если у функции перед дробью стоит минус, то график переворачивается, то есть симметрично отображается относительно оси  .

Второе: чем больше число в знаменателе, тем дальше график «убегает» от начала координат.

А что, если функция выглядит сложнее, например,  ?

В этом случае гипербола будет точно такой же, как обычная  , только она немного сместится. Давай думать, куда?

Чему теперь не может быть равен  ? Правильно,  . Значит, график никогда не достигнет прямой  . А чему не может быть равен  ? Теперь  . Значит, теперь график будет стремиться к прямой  , но никогда ее не пересечет. Итак, теперь прямые   и   выполняют ту же роль, которую выполняют координатные оси для функции  . Такие прямые называются асимптотами (линии, к которым график стремится, но не достигает их):

Ассимптоты

Более подробно о том, как строятся такие графики, мы выучим в теме «Построение графика обратной зависимости».

А теперь попробуй решить несколько примеров для закрепления:

1. На рисунке изображен график функции  . Определите  .

Пример 1

2. На рисунке изображен график функции  . Определите  

Пример 2

3. На рисунке изображен график функции  . Определите  .

Пример 3

4. На рисунке изображен график функции  . Определите  .

Пример 4

5. На рисунке приведены графики функций   и  .

Выбери верное соотношение:

a.  

b.  

c.  

d.  

Пример 5

Ответы:

1.  

2.  

3.  

4.  

5.  

Обратная зависимость в жизни

Где же нам встречается такая функция на практике? Примеров множество. Самый распространенный – это движение: чем больше скорость, с которой мы движемся, тем меньшее время нам потребуется, чтобы преодолеть одно и то же расстояние. И правда, вспомним формулу скорости:  , где   – скорость,   – время в пути,   – расстояние (путь).

Отсюда можно выразить время:  

Пример:

Человек едет на работу со средней скоростью   км/ч, и доезжает за   час. Сколько минут он потратит на эту же дорогу, если будет ехать со скоростью   км/ч?

Решение:

Вообще, такие задачи ты уже решал в 5 и 6 классе. Ты составлял пропорцию:

  км/ч –   мин.
  км/ч –   мин.

Далее ты определял, что это обратная пропорциональность, так как чем больше скорость, тем меньше время. Значит, чтобы решить эту пропорцию, нужно поделить числа «крест-накрест»:

 (мин).

То есть понятие обратной пропорциональности тебе уже точно знакомо. Вот и вспомнили. А теперь то же самое, только по-взрослому: через функцию.

Функция (то есть зависимость) времени в минутах от скорости:

 .

Известно, что  , тогда:

 .

Нужно найти  :

  (мин).

Теперь придумай сам несколько примеров из жизни, в которых присутствует обратная пропорциональность.
Придумал? Молодец, если да. Удачи!

ОБРАТНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

1. Определение

Функция, описывающая обратную зависимость - это функция вида  , где  .

По-другому эту функцию называют обратной пропорциональностью, так как увеличение аргумента вызывает пропорциональное уменьшение функции.

При этом  

  или, что то же самое,  

График обратной зависимости - гипербола.

2. Коэффициенты    и  .

  – отвечает за «пологость» и направление графика: чем больше этот коэффициент, тем дальше от начала координат располагается гипербола, и, следовательно, она менее круто «поворачивает» (см. рисунок). Знак коэффициента   влияет на то, в каких четвертях расположен график:

  • если  , то ветви гиперболы расположены в   и   четвертях;
  • если  , то во   и  .

453_1

x=a – это вертикальная асимптота, то есть вертикаль, к которой стремится график.

Число   отвечает за смещение графика функции вверх на величину  , если  и смещение вниз, если  .

Следовательно,   – это горизонтальная асимптота.

 

P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ :)

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.  

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.  

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

  1. Открой  доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - Купить статью - 299 руб
  2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 899 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Удачи!

Комментарии

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем тебе доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб,

... или ко всем скрытым задачам во всех 99 статьях учебника - 899 руб.

Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

Хочу помочь YouClever - 299 руб
Хочу помочь YouClever - 899 руб.

Я уже зарегистрирован / оплатил

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть