Обратная зависимость. Начальный уровень.

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Сейчас мы будем говорить об обратной зависимости, или другими словами – обратной пропорциональности, как о функции. Ты помнишь, что функция – это определенного рода зависимость? Если ты еще не читал тему «Функции», настоятельно рекомендую бросить все и прочитать, ведь нельзя изучать какую-либо конкретную функцию, не понимая, что это такое – функция.

Также очень полезно перед началом этой темы освоить две более простые функции: линейную и квадратичную. Там ты закрепишь понятие функции и научишься работать с коэффициентами и графиками.

Итак, ты вспомнил, что такое функция?
Повторим: функция - это правило, по которому каждому элементу одного множества (аргументу) ставится в соответствие некоторый (единственный!) элемент другого множества (множества значений функции). То есть, если у тебя есть функция  , это значит что каждому допустимому значению переменной   (которую называют «аргументом») соответствует одно значение переменной   (называемой «функцией»). Что значит «допустимому»? Если не можешь ответить на этот вопрос, еще раз вернись к теме «Функции»! Все дело в понятии «область определения»: для некоторых функций не все аргументы одинаково полезны можно подставить в зависимость. Например, для функции   отрицательные значения аргумента   – недопустимы.

Функция, описывающая обратную зависимость

Это функция вида  , где  .

По-другому ее называют обратной пропорциональностью: увеличение аргумента вызывает пропорциональное уменьшение функции.
Давай определим область определения. Чему может быть равен  ? Или, по-другому, чему он не может быть равен?

Единственное число, на которое нельзя делить – это  , поэтому  :

 

или, что то же самое,

 

(такая запись означает, что   может быть любым числом, кроме  : знак « » обозначает множество действительных чисел, то есть всех возможных чисел; знаком « » обозначается исключение чего-нибудь из этого множества (аналог знака «минус»), и число   в фигурных скобках означает просто число  ; получается, что из всех возможных чисел мы исключаем  ).

Множество значений функции, оказывается, точно такое же: ведь если  , то на что бы мы его не делили,   не получится:

  или  .

Также возможны некоторые вариации формулы  . Например,   – это тоже функция, описывающая обратную зависимость.
Определи самостоятельно область определения и область значений этой функции. Должно получиться:

  •  
  •  .

Давай посмотрим на такую функцию:  . Является ли она обратной зависимостью?

На первый взгляд сложно сказать: ведь при увеличении   увеличивается и знаменатель дроби, и числитель, так что непонятно, будет ли функция уменьшаться, и если да, то будет ли она уменьшаться пропорционально? Чтобы понять это, нам необходимо преобразовать выражение таким образом, чтобы в числителе не было переменной:

 .

Действительно, мы получили обратную зависимость, но с оговоркой:  .

Вот еще пример:  .

Тут сложнее: ведь числитель и знаменатель теперь уж точно не сокращаются. Но все-же мы можем попробовать:

 

Ты понял, что я сделал? В числителе я добавил и вычел одно и то же число ( ), таким образом я вроде бы ничего не изменил, но теперь в числителе есть часть, равная знаменателю. Теперь я почленно поделю, то есть разобью эту дробь на сумму двух дробей:

 

(и правда, если привести то что у меня получилось к общему знаменателю, получится как-раз наша начальная дробь):

 

Ух ты! Снова получается обратная зависимость, только теперь к ней еще прибавляется число  .
Этот метод нам очень пригодится позже при построении графиков.

А теперь самостоятельно приведи выражения к виду обратной зависимости:

  1.  
  2.  
  3.  

Ответы:

1.  

2. Здесь нужно вспомнить, как квадратный трехчлен раскладывается на множители (это подробно описано в теме «Разложение на множители»). Напомню, что для этого надо найти корни соответствующего квадратного уравнения:  . Я найду их устно с помощью теоремы Виета:  ,  . Как это делается? Ты можешь научиться этому, прочитав тему «Квадратные уравнения».
Итак, получаем:  , следовательно:

 

3. Ты уже попробовал решить сам? В чем загвоздка? Наверняка в том, что в числителе у нас  , а в знаменателе – просто  . Это не беда. Нам нужно будет сократить на  , поэтому в числителе следует вынести   за скобки (чтобы в скобках   получился уже без коэффициента):

  дальше сам.
Ответ:  .

График обратной зависимости

Как всегда, начнем с самого простого случая:  .
Составим таблицу:

                   
                   

Нарисуем точки на координатной плоскости:

Точки на координатной плоскости

Теперь их надо плавно соединить, но как? Видно, что точки в правой и левой частях образуют будто бы несвязанные друг с другом кривые линии. Так оно и есть. График будет выглядеть так:

Соединенные точки

Этот график называется «гипербола» (есть что-то похожее на «параболу» в этом названии, правда?). Как и у параболы, у гиперболы две ветки, только они не связаны друг с другом. Каждая из них стремится своими концами приблизиться к осям   и  , но никогда их не достигает. Если посмотреть на эту же гиперболу издалека, получится такая картина:

Гипербола (обратная зависимость)

Оно и понятно: так как  , график не может пересекать ось  . Но и  , так что график никогда не коснется и оси  .

Ну что же, теперь посмотрим, на что влияют коэффициенты. Рассмотрим такие функции:
 :

Варианты построения графиков обратной зависимости

Ух ты, какая красота!
Все графики построены разными цветами, чтобы легче было их друг от друга отличать.

Итак, на что обратим внимание в первую очередь? Например, на то, что если у функции перед дробью стоит минус, то график переворачивается, то есть симметрично отображается относительно оси  .

Второе: чем больше число в знаменателе, тем дальше график «убегает» от начала координат.

А что, если функция выглядит сложнее, например,  ?

В этом случае гипербола будет точно такой же, как обычная  , только она немного сместится. Давай думать, куда?

Чему теперь не может быть равен  ? Правильно,  . Значит, график никогда не достигнет прямой  . А чему не может быть равен  ? Теперь  . Значит, теперь график будет стремиться к прямой  , но никогда ее не пересечет. Итак, теперь прямые   и   выполняют ту же роль, которую выполняют координатные оси для функции  . Такие прямые называются асимптотами (линии, к которым график стремится, но не достигает их):

Ассимптоты

Более подробно о том, как строятся такие графики, мы выучим в теме «Построение графика обратной зависимости».

А теперь попробуй решить несколько примеров для закрепления:

1. На рисунке изображен график функции  . Определите  .

Пример 1

2. На рисунке изображен график функции  . Определите  

Пример 2

3. На рисунке изображен график функции  . Определите  .

Пример 3

4. На рисунке изображен график функции  . Определите  .

Пример 4

5. На рисунке приведены графики функций   и  .

Выбери верное соотношение:

a.  

b.  

c.  

d.  

Пример 5

Ответы:

1.  

2.  

3.  

4.  

5.  

Обратная зависимость в жизни

Где же нам встречается такая функция на практике? Примеров множество. Самый распространенный – это движение: чем больше скорость, с которой мы движемся, тем меньшее время нам потребуется, чтобы преодолеть одно и то же расстояние. И правда, вспомним формулу скорости:  , где   – скорость,   – время в пути,   – расстояние (путь).

Отсюда можно выразить время:  

Пример:

Человек едет на работу со средней скоростью   км/ч, и доезжает за   час. Сколько минут он потратит на эту же дорогу, если будет ехать со скоростью   км/ч?

Решение:

Вообще, такие задачи ты уже решал в 5 и 6 классе. Ты составлял пропорцию:

  км/ч –   мин.
  км/ч –   мин.

Далее ты определял, что это обратная пропорциональность, так как чем больше скорость, тем меньше время. Значит, чтобы решить эту пропорцию, нужно поделить числа «крест-накрест»:

 (мин).

То есть понятие обратной пропорциональности тебе уже точно знакомо. Вот и вспомнили. А теперь то же самое, только по-взрослому: через функцию.

Функция (то есть зависимость) времени в минутах от скорости:

 .

Известно, что  , тогда:

 .

Нужно найти  :

  (мин).

Теперь придумай сам несколько примеров из жизни, в которых присутствует обратная пропорциональность.
Придумал? Молодец, если да. Удачи!

ОБРАТНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

1. Определение

Функция, описывающая обратную зависимость - это функция вида  , где  .

По-другому эту функцию называют обратной пропорциональностью, так как увеличение аргумента вызывает пропорциональное уменьшение функции.

При этом  

  или, что то же самое,  

График обратной зависимости - гипербола.

2. Коэффициенты    и  .

  – отвечает за «пологость» и направление графика: чем больше этот коэффициент, тем дальше от начала координат располагается гипербола, и, следовательно, она менее круто «поворачивает» (см. рисунок). Знак коэффициента   влияет на то, в каких четвертях расположен график:

  • если  , то ветви гиперболы расположены в   и   четвертях;
  • если  , то во   и  .

453_1

x=a – это вертикальная асимптота, то есть вертикаль, к которой стремится график.

Число   отвечает за смещение графика функции вверх на величину  , если  и смещение вниз, если  .

Следовательно,   – это горизонтальная асимптота.

 

P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ :)

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для перехода в 10-й класс или поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.  

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.  

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Я рекомендую использовать для этих целей наш учебник "YouClever" (который ты сейчас читаешь) и решебник и программу подготовки "100gia".

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Удачи!

Комментарии

С.М.
01 ноября 2019

Очень красиво излагаете!

ответить

Александр (админ)
01 ноября 2019

Спасибо, С.М!

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Добрый день!

Закрытые части учебника YouClever предназначены только для учеников YouClever.

Если вы хотите им стать, приобретите один из курсов здесь.

Или оставьте Email и я пришлю в качестве бесплатного бонуса доступ к разделу учебника «Базовые темы алгебры».

В дополнение к этому я создам вам аккаунт ученика на нашем сайте 100gia, где вы сможете бесплатно пройти пробный ОГЭ или ЕГЭ и воспользоваться другими бесплатными сервисами сайта 100gia.

Для справки: Раздел «Базовые темы алгебры» состоит из следующих 15 статьей:

  1. НОК и НОД, признаки делимости и методы группировки;
  2. Степень и ее свойства;
  3. 7 волшебных формул сокращенного умножения;
  4. 5 способов разложения многочлена на множители;
  5. Дроби. Рациональные числа. Операции с дробями;
  6. Все о десятичных дробях;
  7. Задачи на проценты. Как найти процент от числа;
  8. Преобразование выражений. Подробная теория;
  9. Сравнение чисел;
  10. Квадратный корень;
  11. Корень и его свойства. Подробная теория с примерами;
  12. Свойства логарифмов и примеры их решений;
  13. Замена переменных;
  14. Модуль числа;
  15. ОДЗ - область допустимых значений.

Все они станут доступными без ограничений после регистрации.

Оставьте Email и получите ваши бонусы!
Удачи,
Александр Кель

Оставить Email

Имя

E-mail

Кто Вы?

Класс

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем тебе доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб,

... или ко всем скрытым задачам во всех 99 статьях учебника - 899 руб.

Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

Хочу помочь YouClever - 299 руб
Хочу помочь YouClever - 899 руб.

Я уже зарегистрирован / оплатил

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть