Тригонометрическая окружность. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Привет! Сегодня я научу тебя делать универсальную шпаргалку по тригонометрии. Она называется тригонометрическая окружность. Ты только оцени преимущества. Все, что тебе надо знать:

  1. Что такое синус, косинус, тангенс, котангенс (острого угла в прямоугольном треугольнике)
  2. Теорема Пифагора
  3. Система координат

А что же ты получаешь взамен?

  1. Обобщение всех тригонометрических функций на произвольные (абсолютно произвольные!) положительные углы (отрицательные – во второй части статьи)
  2. Градусная и радианная меры углов, связь между ними
  3. Знаки тригонометрических функций для всех углов по четвертям
  4. Способ вычисления значений тригонометрических функций (не нужно помнить никаких таблиц, вообще никаких!)

Тебе не кажется, что, приложив совсем немного своих знаний, ты приобретешь огромное количество новых умений? Самое главное: если ты поймешь, что же такое эта самая тригонометрическая окружность и с чем ее едят, то вся дальнейшая тригонометрия тебе покажется не более чем легкой прогулкой. Открою секрет: с помощью окружности даже можно решать уравнения и неравенства!

Итак, давай приступим. Как я уже говорил, все, что тебе нужно знать – это что такое синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике. Да, и теорему Пифагора тоже (куда уж нам без нее). Вот картинка, которая кратко напомнит тебе, что такое эти синусы, косинусы и т. д.

1

Также давай вспомним основные соотношения между синусами, косинусами, тангенсами одного и второго острых углов прямоугольного треугольника:

\(\displaystyle \alpha +\beta =90{}^\circ \)

\(\displaystyle cos\ \alpha =sin\ \beta \)

\(\displaystyle sin\ \alpha =cos\ \beta \)

\(\displaystyle tg\ \alpha =ctg\ \beta \)

То есть: синус одного острого угла равен косинусу другого (и наоборот), тангенс одного острого угла равен котангенсу другого (и наоборот). Данные утверждения были доказаны в других статьях. Мы же здесь с тобой уже будем почивать на лаврах, пожиная эти плоды.

Проверь себя — реши задачи на тригонометрическую окружность.

Тригонометрическая окружность и ее построение

А теперь сделай вот что: возьми-ка в руки циркуль и нарисуй любую (самую любую, но лучше достаточно немаленькую) окружность. Получилось?

2

Ну да ладно, задачка не самая сложная. Теперь ты не потерял ту точку, в которой у тебя был центр (куда ты прикладывал острую ножку циркуля)? Я вот у себя потерял, растяпа! Ну ладно, найду! А что пока делать тебе? А вот что: Проведи через эту точку две линии, которые пересекаются «прямым крестиком», то есть под прямым углом. И пусть их точка пересечения – это центр (который ты не потерял!) окружности. Нарисовал? У меня получилось что-то вроде вот этого.

3

Правда я чуть-чуть поторопился и сразу «обозвал» эти прямые \(\displaystyle x\) и \(\displaystyle y\) и точку пересечения через \(\displaystyle O\), а что такое в таком случае \(\displaystyle R\)? Это радиус нашей окружности. Как называлась наша тема? Единичная окружность. Тогда будем считать ( но не будем так рисовать!), что \(\displaystyle R=1\ \). А рисовать мы так не будем, потому что на такой крошечной картинке ты ничего не разберешь! Ты же понимаешь, что когда инженеры проектируют самолеты, скажем, они не рисуют его в натуральную величину? Так и мы не будем рисовать единичную окружность в самом деле единичной. Это нам нужно исключительно для удобства. Теперь отмечаем: \(\displaystyle OR=1\). Что же мы с тобой на самом деле сделали? А вот что:

мы поместили нашу окружность в систему координат \(\displaystyle \mathbf{X0Y}\), сделав центр окружности началом координат!

Это позволит изучать свойства такой окружности уже не с геометрической, а с математической точки зрения. Этот подход был придуман хитрым математиком и философом Рене Декартом еще в 17 веке! Перегнать фигуру в цифры, каково, а? Но допустим, мы поместили нашу окружность в координаты. В скольких точках она пересекается с осями системы координат? В \(\displaystyle 4\). Вот они:

4

Эти точки \(\displaystyle \left( A;\ B;\ C;\ D \right)\) имеют координаты:

\(\displaystyle A\left( 1,0 \right)\); \(\displaystyle B\left( 0,1 \right)\); \(\displaystyle C\left( -1;0 \right)\); \(\displaystyle D\left( 0;-1 \right)\).

Теперь вспомни, как называются области, на которые этот «координатный крестик» делит всю плоскость? Они называются координатные четверти. Тогда посмотри на рисунок. Наша окружность тоже оказалась разрезанной на 4 равные дольки. Давай пронумеруем каждую из этих долек против часовой стрелки:

5

Ты уже можешь догадаться, как называются эти самые дольки:

1 четверть, 2 четверть, 3 четверть, 4 четверть

(Прямо как четверти в школе!).

Проверь себя — реши задачи на тригонометрическую окружность.

Углы на тригонометрической окружности

Теперь давай сделаем еще вот что. Снова посмотрим на предыдущую картинку. Чему на ней равен \(\displaystyle \angle AOB\)? Он равен \(\displaystyle 90{}^\circ \). Также, как и \(\displaystyle \angle BOC\), как и угол \(\displaystyle \angle COD\), и угол \(\displaystyle \angle DOA\).

\(\displaystyle \angle \text{AOB}=\angle \text{BOC}=\angle \text{COD}=\angle \text{DOA}=90{}^\circ \)

Тогда чему равна их сумма? Она равна \(\displaystyle 360{}^\circ \). Вместе же эти 4 угла составляют всю окружность целиком!

Градусная мера окружности равна \(\displaystyle 360{}^\circ \)!

Что еще можно вытянуть? А вот что:

\(\displaystyle \angle A\text{OC}=\angle \text{AOB}+\angle \text{BOC}=180{}^\circ \)

\(\displaystyle \angle A\text{OD}=\angle \text{AOB}+\angle \text{BOC}+\angle \text{COD}=270{}^\circ \)

Отметим эти значения также на нашей окружности:

6

Однако, ты нередко можешь увидеть и вот такую картинку:

7

Где вместо привычных нам градусов появляются некие буковки «пи» \(\displaystyle \pi \) с цифрами. В чем же тут дело, кто прав и кто виноват? Ну так вот, кто прав, кто виноват, решать, увы, не нам. Но чтобы «воз не был поныне там», нам нужно уделить этому моменту пару минут времени. В самом деле, есть два способа измерять углы.

  1. Через градусы
  2. Через радианы

Как измерять углы через градусы мы все знаем. Это нам привычно. Однако, в некоторых случаях их измеряют по-другому (как в градуснике есть несколько шкал: цельсий, кельвин, фаренгейт и т. д.) а именно, через радианы. Для того, чтобы перейти от одной формы записи к другой, используется вот такое основное соотношение:

\(\displaystyle 180{}^\circ =\pi ~рад.\)

И все, больше знать ничего не надо! По пропорции ты легко получишь, что для того, чтобы пересчитать угол из градусов в радианы, нужно применить вот такую незамысловатую формулу:

\(\displaystyle P~рад.=\frac{\alpha {}^\circ \cdot \pi }{180}\)

И наоборот: от радиан к градусам:

\(\displaystyle \alpha {}^\circ =\frac{P~рад.\cdot 180}{\pi }\)

Ты должен уметь ориентироваться и в той, и в другой форме записи. Потренируйся на следующих примерах:

  1. Перевести угол в \(\displaystyle 30\) градусов в радианы
  2. Перевести угол \(\displaystyle \frac{\pi }{4}\) радиан в градусы
  3. Перевести угол в \(\displaystyle 60\) градусов в радианы
  4. Перевести угол в \(\displaystyle \frac{\pi }{2}\) радиан в градусы
  5. Перевести угол в \(\displaystyle 120\) градусов в радианы
  6. Перевести угол в \(\displaystyle \frac{3\pi }{4}\) радиан в градусы
  7. Перевести угол в \(\displaystyle 150\) градусов в радианы

Я сделаю только первые два:

  1. \(P~рад.=\frac{30\cdot \pi }{180}=\frac{\pi }{6}\), тогда угол в \(\displaystyle 30\) градусов равен углу в \(\displaystyle \frac{\pi }{6}\) радиан
  2. \(\alpha {}^\circ =\frac{\frac{\pi }{4}\cdot 180}{\pi }=\frac{45\pi }{\pi }=45{}^\circ \), тогда угол в \(\displaystyle \frac{\pi }{4}\) радиан равен углу в \(\displaystyle 45\) градусов…

Все очень просто, не так ли? Остальные значения ты можешь найти в следующей таблице:

\(\displaystyle 0{}^\circ \) \(\displaystyle 30{}^\circ \) \(\displaystyle 45{}^\circ \) \(\displaystyle 60{}^\circ \) \(\displaystyle 90{}^\circ \) \(\displaystyle 120{}^\circ \) \(\displaystyle 135{}^\circ \) \(\displaystyle 150{}^\circ \) \(\displaystyle 180{}^\circ \)
\(\displaystyle 0\) \(\displaystyle \frac{\pi }{6}\) \(\displaystyle \frac{\pi }{4}\) \(\displaystyle \frac{\pi }{3}\) \(\displaystyle \frac{\pi }{2}\) \(\displaystyle \frac{2\pi }{3}\) \(\displaystyle \frac{3\pi }{4}\) \(\displaystyle \frac{5\pi }{6}\) \(\displaystyle \pi \)
\(\displaystyle 210{}^\circ \) \(\displaystyle 225{}^\circ \) \(\displaystyle 240{}^\circ \) \(\displaystyle 270{}^\circ \) \(\displaystyle 300{}^\circ \) \(\displaystyle 315{}^\circ \) \(\displaystyle 330{}^\circ \) \(\displaystyle 360{}^\circ \)
\(\displaystyle \frac{7\pi }{6}\) \(\displaystyle \frac{5\pi }{4}\) \(\displaystyle \frac{4\pi }{3}\) \(\displaystyle \frac{3\pi }{2}\) \(\displaystyle \frac{5\pi }{3}\) \(\displaystyle \frac{7\pi }{4}\) \(\displaystyle \frac{11\pi }{6}\) \(\displaystyle 2\pi \)

Так что впредь не удивляйся, когда ты увидишь вместо привычных градусов углы в радианах. Теперь ты знаешь, что это такое, и с чем его едят!

Подведем предварительные, но очень важные итоги:

  1. В первой четверти лежат углы от \(\displaystyle 0\) до \(\displaystyle 90\) градусов (от \(\displaystyle 0\) до \(\displaystyle \frac{\pi }{2}\) радиан)
  2. Во второй четверти лежат углы от \(\displaystyle 90\) до \(\displaystyle 180\) градусов (от \(\displaystyle \frac{\pi }{2}\) до \(\displaystyle \pi \) радиан)
  3. В третьей четверти лежат углы от \(\displaystyle 180\) до \(\displaystyle 270\) градусов (от \(\displaystyle \pi \) до \(\displaystyle \frac{3\pi }{2}\) радиан)
  4. В четвертой четверти лежат углы от \(\displaystyle 270\) до \(\displaystyle 360\) градусов (от \(\displaystyle \frac{3\pi }{2}\) до \(\displaystyle 2\pi \) радиан)

Проверь себя — реши задачи на тригонометрическую окружность.

Синус, косинус, тангенс и котангенс на тригонометрической окружности

Но мы с тобой итак слишком увлеклись. Ты давно уже, наверное, заждался обещанных синусов и косинусов на тригонометрической окружности. Не смею более отвлекаться! Давай сделаем вот что: совместим два знакомых нам объекта: тригонометрическую окружность (пока в том виде, в котором она у нас есть) и прямоугольный треугольник. Что нам нужно, чтобы наш треугольник «целиком влез» в окружность? Его гипотенуза должна быть не более единицы. Пусть же она у нас в точности будет равна единице. Совместим мы их вот так:

Я нарисовал прямоугольный треугольник с центром в начале координат и гипотенузой равной \(1\). Это так потому, что окружность-то у меня единичная! Тогда по определению синуса и косинуса:

\(sin\ \alpha =\frac{AB}{OB}=\frac{AB}{1}=AB\)

\(cos\ \alpha =\frac{OA}{OB}=\frac{OA}{1}=OA\)

А что же такое отрезки \(OA\) и \(OB\)? Чему равны их длины? Смотри, сейчас будет самое главное: мы взяли угол \(\alpha \) и провели луч, соединяющий этот угол с точкой на окружности. Обозначим эту точку через \(B\). Пусть \(B\) имеет координаты \(B\left( x,y \right)\). Тогда длина отрезка \(OA\) равна \(x\), а длина отрезка \(AB\)–равна \(y\). Но мы с тобой помним, что \(sin\ \alpha =AB\), \(cos\ \alpha =OA\), тогда:

\(y=sin\ \alpha \)

\(x=cos\ \alpha \)

Ух ты! Это надо еще раз обдумать, что же мы такое получили. Давай проговорим еще раз: мы выбрали некоторый угол \(\alpha \) и хотим найти его синус и косинус. Что мы делаем?

  1. Проводим единичную окружность с центром, совпадающим с вершиной угла
  2. Ищем точку пересечения нашего угла с окружностью
  3. Её «иксовая» координата – это косинус нашего угла
  4. Её «игрековая» координата – это синус нашего угла

Вот и все! Теперь синус и косинус искать стало намного проще! Допустим, мы хотим найти синус, косинус \(30\) градусов.

1. Отмечаем \(30\) градусов на окружности и «достраиваем» этот угол до треугольника (как показано на рисунке выше). Как найти \(x\) и \(y\)?

2. Да очень просто: В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в \(30\) градусов равен половине гипотенузы (это известный факт из геометрии 7 класса). Так как гипотенуза равна \(1\), то противолежащий ей катет равен \(0,5\), откуда:

\(sin\ 30{}^\circ =0,5\)

Что касается косинуса: для этого нам потребуется заметить, что выполняется тривиальное утверждение (основное тригонометрическое тождество):

\(si{{n}^{2}}\alpha +co{{s}^{2}}\alpha =1\)

Как ты думаешь, откуда оно берется? Да это же пресловутая теорема Пифагора! Наши катеты в треугольничке равны \(x\) и \(y\), которые в свою очередь совпадают с \(cos\ \alpha \) и \(sin\ \alpha \). Гипотенуза в треугольнике равна \(1\). Тогда:

\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1\)  или, что то же самое,

\(si{{n}^{2}}\alpha +co{{s}^{2}}\alpha =1\)

Эта формула позволит по известному синусу вычислить неизвестный косинус и наоборот. В частности, если:

\(si{{n}^{2}}30{}^\circ +co{{s}^{2}}30{}^\circ =1\) и \(sin\ 30{}^\circ =0,5\), то

\(\frac{1}{4}+co{{s}^{2}}30{}^\circ =1\)

\(\displaystyle co{{s}^{2}}30{}^\circ =\frac{3}{4}\)

\(\displaystyle cos\ 30{}^\circ =\pm \sqrt{\frac{3}{4}}=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Теперь нужно выбрать знак. Вообще, этот вопрос заслуживает особого внимания, но здесь все просто: у угла \(\displaystyle 30\) градусов и синус и косинус положительны (смотри рисунок), тогда берем знак «плюс».

\(\displaystyle cos\ 30{}^\circ =\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Теперь попробуй на основе вышеизложенного найти синус и косинус углов: \(\displaystyle 60{}^\circ \) и \(\displaystyle 45{}^\circ \)

Можно схитрить: в частности для угла в \(\displaystyle 60{}^\circ \) градусов. Так как если один угол прямоугольного треугольника равен \(\displaystyle 60{}^\circ \) градусам, то второй – \(\displaystyle 30{}^\circ \) градусам. Теперь вступают в силу знакомые тебе формулы:

\(\displaystyle sin\ 30{}^\circ =cos\ 60{}^\circ \)

\(\displaystyle sin\ 60{}^\circ =cos\ 30{}^\circ \)

Тогда так как \(\displaystyle sin\ 30{}^\circ =0,5\), то и \(\displaystyle cos\ 60{}^\circ =0,5\). Так как \(\displaystyle cos\ 30{}^\circ =\frac{\sqrt{3}}{2}\), то и \(\displaystyle sin\ 60{}^\circ =\frac{\sqrt{3}}{2}\). C \(\displaystyle 45\) градусами все еще проще: так если один из углов прямоугольного треугольника равен \(\displaystyle 45\) градусам, то и другой тоже равен \(\displaystyle 45\) градусам, а значит такой треугольник равнобедренный. Значит, его катеты равны. А значит равны его синус и косинус. Тогда:

\(\displaystyle si{{n}^{2}}45{}^\circ +co{{s}^{2}}45{}^\circ =2si{{n}^{2}}45{}^\circ =1\)

\(\displaystyle si{{n}^{2}}45{}^\circ =co{{s}^{2}}45{}^\circ =1/2\)

Откуда: \(\displaystyle sin 45{}^\circ =cos 45{}^\circ =\sqrt{1/2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Теперь найди сам по новому определению (через икс и игрек!) синус и косинус углов в \(\displaystyle 0\) градусов и \(\displaystyle 90\) градусов. Здесь уже никакие треугольники нарисовать не получится! Уж слишком они будут плоские!

У тебя должно было получиться:

\(\displaystyle sin\ 0{}^\circ =0\), \(\displaystyle cos\ 0{}^\circ =1\), \(\displaystyle sin\ 90{}^\circ =1\), \(\displaystyle cos\ 90{}^\circ =0\).

Тангенс и котангенс ты можешь отыскать самостоятельно по формулам:

\(\displaystyle \text{t}g\ \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\), \(\displaystyle ctg\ \alpha =\frac{cos\ \alpha }{sin\ \alpha }\)

Обрати внимание, что на ноль делить нельзя!!

Теперь все полученные числа можно свести в таблицу:

значения тригонометрических функций

Здесь приведены значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов I четверти. Для удобства углы приведены как в градусах, так и в радианах (но ты-то теперь знаешь связь между ними!). Обрати внимание на 2 прочерка в таблице: а именно у котангенса нуля и тангенса \(\displaystyle 90\) градусов. Это неспроста! В частности:

\(\displaystyle \text{t}g0=\frac{cos0}{\sin 0}=\frac{1}{0}=?????\)

Поэтому мы с тобой будем считать, что тангенс \(\displaystyle 90\) градусов и котангенс нуля просто-напросто не определены!

Теперь давай обобщим понятие синус и косинус на совсем произвольный угол. Я рассмотрю здесь два случая:

  1. Угол лежит в пределах от \(\displaystyle 0\) до \(\displaystyle 360\) градусов
  2. Угол больше \(\displaystyle 360\) градусов

Вообще говоря, я скривил немного душой, говоря про «совсем все» углы. Они бывают также и отрицательными! Но этот случай мы с тобой рассмотрим в другой статье. Вначале остановимся на первом случае.

Если угол лежит в 1 четверти – то тут все понятно, мы этот случай уже рассмотрели и даже таблицы нарисовали. Теперь же пусть наш угол больше \(\displaystyle 90\) градусов и не больше чем \(\displaystyle 360\). Это значит, что он расположен либо во 2, либо в 3 или же в 4 четверти. Как мы поступаем? Да точно так же! Давай рассмотрим вместо вот такого случая

Вот такой:

То есть рассмотрим угол \(\displaystyle \alpha \), лежащий во второй четверти. Что мы можем сказать про него? У точки \(\displaystyle {{M}_{1}}\), которая является точкой пересечения луча и окружности по-прежнему имеет 2 координаты (ничего сверхъестественного, правда?). Это координаты \(\displaystyle {{x}_{1}}\) и \(\displaystyle {{y}_{1}}\). Причем первая координата отрицательная, а вторая – положительная! Это значит, что у углов второй четверти косинус отрицателен, а синус – положителен! Удивительно, правда? До этого мы еще ни разу не сталкивались с отрицательным косинусом.Да и в принципе этого не могло быть, когда мы рассматривали тригонометрические функции как отношения сторон треугольника. Кстати, подумай, у каких углов косинус равен \(\displaystyle -1\)? А у каких \(\displaystyle -1\) равен синус?

Аналогично можно рассмотреть углы во всех остальных четвертях. Я лишь напомню, что угол отсчитывается против часовой стрелки! (так, как это показано на последнем рисунке!). Конечно, можно и отсчитывать в другую сторону, но вот подход к таким углам будет уже несколько другой. Исходя из приведенных выше рассуждений, можно расставить знаки у синуса, косинуса, тангенса (как синус деленный на косинус) и котангенса (как косинус деленный на синус) для всех четырех четвертей.

12

Но еще раз повторюсь, нет смысла запоминать этот рисунок. Все, что тебе нужно знать:

  1. Синус – это игрек
  2. Косинус – это икс
  3. Тангенс – это синус деленный на косинус
  4. Котангенс – это косинус деленный на синус

Давай мы с тобой немного потренируемся. Совсем простые задачки:

Выяснить, какой знак имеют следующие величины:

  1. \(\displaystyle sin\ 225{}^\circ ,\ tg\ 100{}^\circ ,\ \cos \ 300{}^\circ \)
  2. \(\displaystyle sin\ \frac{2\pi }{3},\ \cos \ \frac{11\pi }{6},\ tg\frac{7\pi }{4}\)

Проверим?

  1. \(\displaystyle 225\) градусов – это угол, больший \(\displaystyle 180\) и меньший \(\displaystyle 270\), а значит лежит в 3 четверти. Нарисуй любой угол в 3 четверти и посмотри, какой у него игрек. Он окажется отрицательным. Тогда \(\displaystyle sin\ 225{}^\circ <0\).
    \(\displaystyle 100\)  градусов – угол 2 четверти. Синус там положительный, а косинус – отрицательный. Плюс делить на минус – будет минус. Значит \(\displaystyle tg\ 100{}^\circ <0\).
    \(\displaystyle 300\) градусов – угол, больший \(\displaystyle 270\) и меньший \(\displaystyle 360\). Значит, он лежит в 4 четверти. У любого угла четвертой четверти «икс» будет положительным, значит \(\displaystyle cos\ 300{}^\circ >0\)
  2. C радианами работаем аналогично: \(\displaystyle \frac{2\pi }{3}\) это угол второй четверти (так как \(\displaystyle sin\ \frac{2\pi }{3}>\frac{\pi }{2}\) и \(\displaystyle sin\ \frac{2\pi }{3}<\pi \). Синус второй четверти положительный.
    \(\displaystyle sin\ \frac{2\pi }{3}>0\).
    \(\displaystyle \frac{11\pi }{6}=\frac{3\pi }{2}+\frac{\pi }{3}\), это угол четвертой четверти. Там косинус положительный \(\displaystyle cos\frac{11\pi }{6}>0\).
    \(\displaystyle \frac{7\pi }{4}=\frac{3\pi }{2}+\frac{\pi }{4}\) – угол снова четвертой четверти. Там косинус положительный, а синус – отрицательный. Тогда тангенс будет меньше нуля: \(\displaystyle tg\frac{7\pi }{4}<0\)

Быть может, тебе сложно определять четверти по радианам. В таком случае, ты всегда можешь перейти к градусам. Ответ, разумеется, будет точно таким же. Теперь я хотел бы очень кратко остановиться вот еще на каком моменте. Давай снова вспомним основное тригонометрическое тождество.

\(\displaystyle si{{n}^{2}}\alpha +co{{s}^{2}}\alpha =1\)

Как я уже говорил, из него мы можем выразить синус через косинус или наоборот:

\(\displaystyle sin\ \alpha =\pm \sqrt{1-co{{s}^{2}}\alpha }\)

\(\displaystyle cos\ \alpha =\pm \sqrt{1-si{{n}^{2}}\alpha }\)

На выбор знака же будет влиять только та четверть, в которой находится наш угол альфа. На последние две формулы существует масса задач в ЕГЭ, например, вот таких:

Задача

Най­ди­те \(\displaystyle 3cos\alpha \), если \(\displaystyle sin\alpha =-\frac{2\sqrt{2}}{3}\) и \(\displaystyle \alpha \in \left( \frac{3\pi }{2};2\pi  \right)\).

На самом деле, это задача на четверть! Смотри, как она решается:

Решение:

Так как \(\displaystyle cos\alpha =\pm \sqrt{1-si{{n}^{2}}\alpha }\), то подставим сюда значение \(\displaystyle sin\alpha =-\frac{2\sqrt{2}}{3}\), тогда \(\displaystyle cos\ \alpha =\pm \sqrt{1-{{\left( -\frac{2\sqrt{2}}{3} \right)}^{2}}}=\pm \sqrt{1-\frac{4\cdot2}{9}}=\pm \sqrt{1-\frac{8}{9}}=\pm \sqrt{\frac{1}{9}}=\pm \frac{1}{3}\). Теперь дело за малым: разобраться со знаком. Что нам для этого нужно? Знать, в какой четверти находится наш угол. По условию задачи: \(\displaystyle \alpha \in \left( \frac{3\pi }{2};2\pi  \right)\). Какая это четверть? Четвертая. Каков знак косинуса в четвертой четверти? Косинус в четвертой четверти положительный. Тогда и нам остается выбрать знак «плюс» перед \(\displaystyle \frac{1}{3}\). \(\displaystyle cos\ \alpha =\frac{1}{3}\), тогда \(\displaystyle 3cos\ \alpha =3\cdot \frac{1}{3}=1\).

Я не буду сейчас подробно останавливаться на таких задачах, их подробный разбор ты можешь найти в статье «формулы тригонометрии». Я лишь хотел указать тебе на важность того, какой знак принимает та или иная тригонометрическая функция в зависимости от четверти.

Больше задач — после регистрации.

Углы больше \(\displaystyle 360\) градусов

Последнее, что я бы хотел отметить в этой статье – это как быть с углами, большими чем \(\displaystyle 360\) градусов? Что это такое и с чем это можно есть, чтобы не подавиться? Возьму, я скажем, угол в \(\displaystyle 30\) градусов (\(\displaystyle \frac{\pi }{6}\) радиан) и пойду от него против часовой стрелки…

На рисунке я нарисовал спираль, но ты-то понимаешь, что на самом деле у нас нет никакой спирали: у нас есть только окружность. Так куда же мы попадем, если стартуем от определенного угла и пройдем полностью весь круг (\(\displaystyle 360\) градусов или \(\displaystyle 2\pi \) радиан)? Куда мы придем? А придем мы в тот же самый угол!

Это же, конечно, справедливо и для любого другого угла:

Взяв произвольный угол \(\displaystyle \alpha \) и пройдя полностью всю окружность, мы вернемся в тот же самый угол \(\displaystyle \alpha \).

Что же нам это даст? А вот что: если \(\displaystyle sin\ \alpha =y,~cos\ \alpha =x\), то

\(\displaystyle \sin \left( \alpha +2\pi k \right)=y\), \(\displaystyle \cos \left( \alpha +2\pi k \right)=x\), откуда окончательно получим:

\(\displaystyle \sin \left( \alpha +2\pi k \right)=sin\alpha \)

\(\displaystyle \cos \left( \alpha +2\pi k \right)=cos\alpha \)

Для любого целого \(\displaystyle k\). Это значит, что синус и косинус являются периодическими функциями с периодом \(\displaystyle 2\pi \). Таким образом, нет никакой проблемы в том, чтобы найти знак теперь уже произвольного угла: нам достаточно отбросить все «целые круги», которые умещаются в нашем угле и выяснить, в какой четверти лежит оставшийся угол. Например:

Найти знак:

\(\displaystyle \text{sin}1000{}^\circ \), \(\displaystyle \text{cos}\ 605{}^\circ \), \(\displaystyle \text{cos}\frac{16\pi }{7}\), \(\displaystyle \text{sin}\frac{19\pi }{4}\)

Проверяем:

  1. В \(\displaystyle 1000\) градусов умещается \(\displaystyle 2\) раза по \(\displaystyle 360\) градусов (\(\displaystyle 720\)градусов):
    осталось \(\displaystyle 1000-720=280>270\) градусов. Это угол 4 четверти. Там синус отрицательный, значит \(\displaystyle \sin 1000<0\)
  2. \(\displaystyle \text{cos}\ 605{}^\circ \). \(\displaystyle 605-360=245\) градусов. Это угол 3 четверти. Там косинус отрицательный. Тогда \(\displaystyle \text{cos}\ 605{}^\circ <0\)
  3. \(\displaystyle \text{cos}\frac{16\pi }{7}\). \(\displaystyle \frac{16\pi }{7}=2\pi +\frac{2\pi }{7}\). Так как \(\displaystyle \frac{2\pi }{7}<\frac{3.5\pi }{7}=\frac{\pi }{2}\), то \(\displaystyle \frac{2\pi }{7}\) — угол первой четверти. Там косинус положителен. Тогда cos\(\displaystyle \frac{16\pi }{7}>0\)
  4. \(\displaystyle \text{sin}\frac{19\pi }{4}\). \(\displaystyle \frac{19\pi }{4}=4\pi +\frac{3\pi }{4}\). Так как \(\displaystyle \ \frac{\pi }{2}<\frac{3\pi }{4}<\pi \), то наш угол лежит во второй четверти, где синус положительный. \(\displaystyle \text{sin}\frac{19\pi }{4}>0\)

Аналогичным образом мы можем поступать для тангенса и котангенса. Однако на самом деле с ними еще проще: они также являются периодическими функциями, только вот период у них в 2 раза меньше:

\(\displaystyle tg\left( \alpha +2\pi k \right)=tg\ \alpha \)

\(\displaystyle \text{ctg}\left( \alpha +2\pi k \right)=ctg\ \alpha \)

Итак, ты понял что такое тригонометрическая окружность и для чего она нужна.

Но у нас за бортом осталось еще очень много вопросов:

  1. А что такое отрицательные углы?
  2. Как вычислять значения тригонометрических функций в этих углах
  3. Как по известным значениям тригонометрических функций 1 четверти искать значения функций в других четвертях (неужто надо зубрить таблицу?!)
  4. Как с помощью круга упрощать решения тригонометрических уравнений?

На всем этом я не остановился здесь с вполне корыстной целью. Я хочу, чтобы ты прочитал и другие статьи, посвященные тригонометрическому кругу. Так что мы с тобой не прощаемся! Увидимся в следующей статье!

Проверь себя — реши задачи на тригонометрическую окружность.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *