Вписанная и вневписанная окружность

Содержание

Коротко о главном

Вписанная в треугольник окружность — окружность, которая касается всех (трёх) сторон треугольника.

Теорема: В любой треугольник можно вписать окружность, причём единственным образом.

2
  • Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.
3
  • Радиусы вписанной окружности, проведенные в точки касания, перпендикулярны сторонам треугольника:

$latex \displaystyle OL\bot AB$, $latex \displaystyle OM\bot BC$, $latex \displaystyle OK\bot AC$.

6
  • Отрезки от вершин треугольника до точек касания выражаются по формулам:

$latex \displaystyle x=\frac{b+c-a}{2}$

$latex \displaystyle y=\frac{a+c-b}{2}$

$latex \displaystyle z=\frac{a+b-c}{2}$.

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности: $latex \displaystyle S=p\cdot r$, где $latex \displaystyle p=\frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр треугольника, а $latex \displaystyle r$ — радиус вписанной окружности.

Вневписанная окружность — окружность, которая касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон.

Вневписанная окружность
  • Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрисы внутреннего угла треугольника ($latex \displaystyle \angle A$) и биссектрис двух внешних углов ($latex \displaystyle \angle B$ и $latex \displaystyle \angle C$).

Площадь треугольника через радиус вневписанной окружности: $latex \displaystyle {{S}_{\Delta ABC}}=(p-a)\cdot r$, где $latex \displaystyle p=\frac{a+b+c}{2}=AK=AM$ — полупериметр треугольника, а $latex \displaystyle r$ — радиус вневписанной окружности.

Проверь себя — реши задачи на вписанную и вневписанную окружность.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий