Вписанная и вневписанная окружность

Содержание

Коротко о главном

Вписанная в треугольник окружность — окружность, которая касается всех (трёх) сторон треугольника.

Теорема: В любой треугольник можно вписать окружность, причём единственным образом.

2
  • Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.
3
  • Радиусы вписанной окружности, проведенные в точки касания, перпендикулярны сторонам треугольника:

\(\displaystyle OL\bot AB\), \(\displaystyle OM\bot BC\), \(\displaystyle OK\bot AC\).

6
  • Отрезки от вершин треугольника до точек касания выражаются по формулам:

\(\displaystyle x=\frac{b+c-a}{2}\)

\(\displaystyle y=\frac{a+c-b}{2}\)

\(\displaystyle z=\frac{a+b-c}{2}\).

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности: \(\displaystyle S=p\cdot r\), где \(\displaystyle p=\frac{a+b+c}{2}\) — полупериметр треугольника, а \(\displaystyle r\) — радиус вписанной окружности.

Вневписанная окружность — окружность, которая касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон.

Вневписанная окружность
  • Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрисы внутреннего угла треугольника (\(\displaystyle \angle A\)) и биссектрис двух внешних углов (\(\displaystyle \angle B\) и \(\displaystyle \angle C\)).

Площадь треугольника через радиус вневписанной окружности: \(\displaystyle {{S}_{\Delta ABC}}=(p-a)\cdot r\), где \(\displaystyle p=\frac{a+b+c}{2}=AK=AM\) — полупериметр треугольника, а \(\displaystyle r\) — радиус вневписанной окружности.

Проверь себя — реши задачи на вписанную и вневписанную окружность.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *