28 июля

1 comments

Вписанная и вневписанная окружность. Визуальный гид (ЕГЭ – 2021)

Ну что, юнга, уверен, что знаешь все про окружности?

А про вневписанную слышал?

Ничего страшного, сейчас ты во всём разберешься!

Поехали!

Здесь мы будем говорить об окружностях, связанных с треугольником. Оставим пока в стороне страшное слово «вневписанная» и поговорим об окружности, вписанной в треугольник.

Итак, что же это такое?

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех(трёх) его сторон.

Для всякого ли треугольника можно подобрать такую окружность? И как найти ее центр?

На эти вопросы отвечает следующая теорема (математики называют очень важные утверждения теоремами):

Во всякий треугольник можно вписать окружность, причём единственным образом.

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов  треугольника.

И повторим ещё раз то, что очень нужно запомнить.

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.

Если тебя заинтересовал вопрос о том, почему это все три биссектрисы обязаны пересечься, и какое отношение имеют биссектрисы к тому, что окружность касается сторон треугольника, то добро пожаловать к теме «Биссектриса».

Но для начала хватит просто запомнить то, что центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.

Теперь немножко о радиусе.

Посмотри, пусть у нас в \( \displaystyle \Delta ABC\) вписана окружность с центром \( \displaystyle O\).

Тогда отрезки \( \displaystyle OK\), \( \displaystyle OL\), и \( \displaystyle OM\) – радиусы этой окружности.

Поэтому они, конечно же, равны, но ещё – они все перпендикулярны сторонам. Это происходит оттого, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Итак, запомни и используй:

Радиусы вписанной окружности, проведенные в точки касания, перпендикулярны сторонам треугольника.

Вписанная окружность и отрезки сторон треугольника

Что же ещё? Давай представим, что мы откуда-то узнали все три стороны треугольника.

Можно ли найти как-то отрезочки \( \displaystyle AK\), \( \displaystyle KC\), \( \displaystyle BL\) и.д. -отрезки, на которые точки касания разбивают стороны треугольника?

Представь себе, можно, и даже очень легко. Для этого нужно знать только то, что отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны (если ещё не успел это узнать – загляни в тему «Касательные, касающиеся окружности»).

Итак, начнём поиск!

Посмотри внимательно: из точки \( \displaystyle A\) проведено две касательных, значит их отрезки \( \displaystyle AK\) и \( \displaystyle AM\) равны.

Мы обозначим их «\( \displaystyle x\)».

Далее, точно так же:

\( \displaystyle BM=BL=y\) (обозначили).

\( \displaystyle CK=CL=z\) (обозначили).

Теперь вспомним-ка, что мы знаем длины всех трёх сторон треугольника. Обозначим эти длины «\( \displaystyle a\)», «\( \displaystyle b\)», «\( \displaystyle c\)» - смотри на рисунок. Что же теперь получилось?

А вот, например, отрезок «\( \displaystyle a\)» состоит из двух отрезков «\( \displaystyle y\)» и «\( \displaystyle z\)», да и отрезки «\( \displaystyle b\)» и «\( \displaystyle c\)» тоже из чего-то состоят. Запишем это всё сразу:

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}y+z=a\\x+z=b\\x+y=c\end{array} \right.\)

Ух ты! Выход в алгебру! Три уравнения и три неизвестных! Сейчас решим!

Сложим первые два уравнения и вычтем третье:

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}y+z=a\\x+z=b\\x+y=c\end{array} \right.\Rightarrow x+y+2z-\left( x+y \right)=a+b-c\), то есть:

\( \displaystyle z=\frac{a+b-c}{2}\)

А теперь сложим первое и третье уравнение и вычтем второе:

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}y+z=a\\x+z=b\\x+y=c\end{array} \right.\Rightarrow y+z+x+y-\left( x+z \right)=a+c-b\), то есть:

\( \displaystyle y=\frac{a+c-b}{2}\)

И последний шаг: сложим второе и третье, а потом вычтем первое.

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}y+z=a\\x+z=b\\x+y=c\end{array} \right.\Rightarrow x=\frac{b+c-a}{2}\)

\( \displaystyle x=\frac{b+c-a}{2}\)

Ну вот, всё нашли:

\( \displaystyle x=\frac{b+c-a}{2};y=\frac{a+c-b}{2};~z=\frac{a+b-c}{2}\)

Очень много плюсов и минусов – аж в глазах рябит. Как же это запомнить? А оказывается, очень просто. Смотри-ка на картинку и формулу сразу.

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему 

\( \displaystyle x=\frac{b+c-a}{2}\)

Секрет вот в чём: те стороны, на которых есть «\( \displaystyle x\)» («\( \displaystyle b\)» и «\( \displaystyle c\)») будут с плюсом, а та сторона, где нет «\( \displaystyle x\)» (это «\( \displaystyle a\)»), будет с минусом.

Ну, а пополам поделить всё хозяйство. С другими буквами точно так же

\( \displaystyle y=\frac{a+c-b}{2}\)

На «\( \displaystyle a\)» и «\( \displaystyle c\)» есть «\( \displaystyle y\)» - они с плюсом, на «\( \displaystyle b\)» нет «\( \displaystyle y\)» - она с минусом

\( \displaystyle z=\frac{a+b-c}{2}\)

На «\( \displaystyle a\)» и «\( \displaystyle b\)» есть «\( \displaystyle z\)» - они с плюсом, на «\( \displaystyle c\)» нет «\( \displaystyle z\)» - она с минусом.

Вписанная окружность и площадь

Здесь скажем совсем коротко:

Есть такая формула:

\( \huge\displaystyle S=p\cdot r\),

где \( \displaystyle p\) - это полупериметр треугольника, то есть \( \displaystyle p=\frac{a+b+c}{2}\), а \( \displaystyle r\) - радиус вписанной окружности.

Ну вот, пора приступать к самому непонятному. Что же это за зверь такой: «вневписанная окружность»? Сначала посмотри на картинку:

Видишь, окружность тоже чего-то касается, но «сидит» как-то снаружи, вне треугольника? Вот поэтому и называется вневписанной.

Окружность называется вневписанной для треугольника, если она касается ОДНОЙ стороны треугольника и продолжений двух других сторон.

А как ты думаешь, сколько у одного треугольника может быть вневписанных окружностей? Вот, представь себе, аж три!

Посмотри, вот так:

Захватывает дух? Насладись впечатлением.

А еще подумай над тем...

  • откуда взялся \( \displaystyle \Delta {{O}_{1}}{{O}_{2}}{{O}_{3}}\)
  • что это за точка \( \displaystyle O\)
  • что это вообще за тьма линий на рисунке

А сейчас вернёмся к одной какой-нибудь вневписанной окружности и узнаем всего один, но очень важный факт:

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему 

\( \displaystyle AK=AM=\frac{a+b+c}{2}\),

или что то же самое: \( \displaystyle AK=AM=p\), где \( \displaystyle p\) - полупериметр.

Доказывать не будем, но ещё раз посмотри и запомни:

до «дальней» точки касания вневписанной окружности – ровно полупериметр.

Вписанная в треугольник окружность - окружность, которая касается всех (трёх) сторон треугольника.

Теорема:

В любой треугольник можно вписать окружность, причём единственным образом.
  • Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.
  • Радиусы вписанной окружности, проведенные в точки касания, перпендикулярны сторонам треугольника: \( \displaystyle OL\bot AB\), \( \displaystyle OM\bot BC\), \( \displaystyle OK\bot AC\).

Отезки от вершин треугольника до точек касания выражаются по формулам:

  • \( \displaystyle x=\frac{b+c-a}{2}\)
  • \( \displaystyle y=\frac{a+c-b}{2}\)
  • \( \displaystyle z=\frac{a+b-c}{2}\).

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности: \( \displaystyle S=p\cdot r\), где \( \displaystyle p=\frac{a+b+c}{2}\) - полупериметр треугольника, а \( \displaystyle r\) - радиус вписанной окружности.

Вневписанная окружность – окружность, которая касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон.
  • Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрисы внутреннего угла треугольника (\( \displaystyle \angle A\)) и биссектрис двух внешних углов (\( \displaystyle \angle B\) и \( \displaystyle \angle C\)).

Площадь треугольника через радиус вневписанной окружности: \( \displaystyle {{S}_{\Delta ABC}}=(p-a)\cdot r\), где \( \displaystyle p=\frac{a+b+c}{2}=AK=AM\) - полупериметр треугольника, а \( \displaystyle r\) - радиус вневписанной окружности.

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Слово лучшему ученику! (тебе :))

Навыки работы с окружностями показывают, насколько ты хорош в планиметрии. Это действительно сложная тема.

А сегодня ты с ней разобрался. Ты большой молодец!

Мы будем очень рады узнать твое мнение об этой статье. Для нас оно очень важно.

Напиши внизу в комментариях, что думаешь об этой статье. Помогла ли она тебе?

Нравится ли тебе работать с окружностями? И стало ли это делать легче после прочтения этой статьи? 🙂

Остались вопросы? Задай их! Там же, в комментариях.

Мы обязательно ответим тебе!

Успехов!

  • Александр Кель:

    Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:
    Андрей
    11 июля 2018
    Прекрасное обьяснение, спасибо большое!

    Александр (админ)
    12 июля 2018
    И тебе спасибо, Андрей. За теплые слова.

    Юлия
    09 сентября 2018
    все просто и понятно, спасибо большое!

    Александр (админ)
    09 сентября 2018
    И тебе спасибо, Юлия! Очень приятно слышать!

    Миша
    28 сентября 2018
    не подскажите, почему отрезок о3б перпендикулярен отрезку о1о2?

    Александр
    21 августа 2019
    Это биссектрисы смежных углов.

    Денис
    24 февраля 2019
    Божественные рисунки!) Мне в школе для урока по геометрии надо подготовить несколько рисунков. Подскажите, пожалуйста, какой программой вы пользуетесь для построения рисунков?

    Александр (админ)
    07 марта 2019
    Денис, прошу прощения, пост твой пропустил. Только сейчас отвечаю. Но врядли чем-то помогу. Рисунки делались так: сначала их от руки делала Елена Евгеньевна (наш математик), а потом профессиональный дизайнер Настя их перерисовывала. По-моему в фотошопе.

  • {"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
    >