Квадратные неравенства. Исчерпывающее руководство (2020)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Чтобы разобраться, как решать квадратные уравнения, нам потребуется разобраться, что же такое квадратичная функция, и какими свойствами она обладает.

Наверняка ты задавался вопросом, зачем вообще нужна квадратичная функция? Где применим её график (парабола)? Да стоит только оглядеться, и ты заметишь, что ежедневно в повседневной жизни сталкиваешься с ней. Замечал, как на физкультуре летит брошенный мяч? «По дуге»? Самым верным ответом будет «по параболе»! А по какой траектории движется струя в фонтане? Да, тоже по параболе! А как летит пуля или снаряд? Все верно, тоже по параболе! Таким образом, зная свойства квадратичной функции, можно будет решать многие практические задачи. К примеру, под каким углом необходимо кинуть мяч, чтобы обеспечить наибольшую дальность полёта? Или, где окажется снаряд, если запустить его под определённым углом? и т.д.

Квадратичная функция

Итак, давай разбираться.

Квадратичная функция – это функция, которую можно записать вот такой формулой:  , где   – независимая переменная,    и   – некоторые числа, при этом  .

К примеру,  . Чему здесь равны    и  ? Ну, конечно,    и  !

Как уже упоминалось в теме «Квадратные уравнения», графиком такой функции выступает парабола. В зависимости от значения   ветви графика направлены вверх или вниз:

  • если  , то ветви параболы направлены вверх;
  • если  , то ветви параболы направлены вниз.

Для того, чтобы легко это запомнить, обратимся к хорошо известным тебе смайликам:

  • если  , т.е. a – положительное число, раз положительное, значит все хорошо – улыбаемся! А ветви графика тем временем направлены вверх :-) 
  • если  , т.е. a – отрицательное число, а раз отрицательное, значит, есть повод взгрустнуть, а ветви графика тем временем будут направлены вниз :-( 

При этом точки пересечения параболы с осью  , называются нулями функции и являются корнями соответствующего квадратного уравнения:

 

Ну что, уловил? Тогда давай смотреть примеры!

На рисунке выше изображён график функции  . Как мы уже отмечали,  , а это больше нуля (улыбаемся), поэтому ветви графика направлены вверх. Кроме того, можно заметить, что данный график не пересекает ось  . Помнишь, что в таком случае происходит, если решать уравнение  ? Все верно, корней такое уравнение иметь не будет, так как y принимает только положительные значения (не принимает значения, равные  )! Если забыл, то вперёд повторять «Квадратные уравнения»!

А что, если  , т.е. меньше нуля? Ну конечно, мы «грустим», а, значит, ветви будут направлены вниз! Давай посмотрим на графике.

На этом рисунке изображён график функции  . Так как  , т.е. меньше нуля, ветви параболы направлены вниз. Кроме того, ты, наверное, уже заметил, что ветви этой параболы пересекают ось  , а значит, уравнение   имеет 2 корня, а функция принимает как положительные и отрицательные значения!

В самом начале, когда мы давали определение квадратичной функции, было сказано, что   и   – некоторые числа. А могут ли они быть равны нулю? Ну конечно, могут! Даже открою еще больший секрет (который и не секрет вовсе, но упомянуть о нем стоит): на эти числа (  и  ) вообще никакие ограничения не накладываются!

Ну что, давай посмотрим, что будет с графиками, если   и   равны нулю.

Как видно, графики рассматриваемых функций (  и  ) сместились так, что их вершины находятся теперь в точке с координатами  , то есть на пересечении осей   и  , на направлении ветвей это никак не отразилось. Таким образом, можно сделать вывод, что   и   отвечают за «передвижения» графика параболы по системе координат.

График функции   касается оси   в точке  . Значит, уравнение   имеет один корень. Таким образом, функция принимает значения больше либо равные нулю.

Придерживаемся той же логики с графиком функции  . Он касается оси x в точке  . Значит, уравнение   имеет один корень. Таким образом, функция принимает значения меньше либо равные нулю, то есть  .

Таким образом, чтобы определить знак выражения, первое, что необходимо сделать – это найти корни уравнения. Это нам очень пригодится.

Квадратное неравенство

Квадратное неравенство – это неравенство, состоящее из одной квадратичной функции. Таким образом, все квадратные неравенства сводятся к следующим четырём видам:

 

 

При решении таких неравенств нам пригодятся умения определять, где квадратичная функция больше, меньше, либо равна нулю. То есть:

  • если перед нами неравенство вида  , то фактически задача сводится к тому, чтобы определить числовой промежуток значений  , при котором парабола лежит выше оси  .
  • если перед нами неравенство вида  , то фактически задача сводится к тому, чтобы определить числовой промежуток значений x, при котором парабола лежит ниже оси  .

Если неравенства нестрогие (  и  ), то корни (координаты   пересечений параболы с осью  ) включаются в искомый числовой промежуток, при строгих неравенствах – исключаются.

Это все достаточно формализовано, однако не надо отчаиваться и пугаться! Сейчас разберём примеры, и все станет на свои места.

При решении квадратных неравенств будем придерживаться приведённого алгоритма, и нас ждёт неизбежный успех!

Алгоритм Пример:  
1) Запишем соответствующее неравенству квадратное уравнение (просто меняем знак неравенства   на знак равенства «=»).  
2) Найдём корни этого уравнения.  
3) Отметим корни на оси   и схематично покажем ориентацию ветвей параболы («вверх» или «вниз»)
4) Расставим на оси знаки, соответствующие знаку квадратичной функции: там, где парабола выше оси, ставим « », а там, где ниже – « ».
5) Выписываем интервал(ы), соответствующий « » или « », в зависимости от знака неравенства. Если неравенство нестрогое, корни входят в интервал, если строгое - не входят.  

Разобрался? Тогда вперёд закреплять!

Примеры (реши самостоятельно):

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Ну что, получилось? Если возникли затруднения, то разбирайся в решениях.

Решение:

1)  

Запишем соответствующее квадратное уравнение:

 

Найдём корни данного квадратного уравнения:

 

 

 

Схематично отметим полученные корни на оси и расставим знаки:

Выпишем интервалы, соответствующие знаку « », так как знак неравенства « ». Неравенство нестрогое, поэтому корни включаются в интервалы:

 

2)  

Запишем соответствующее квадратное уравнение:

 

Найдём корни данного квадратного уравнения:

 

 

 

Схематично отметим полученные корни на оси и расставим знаки:

Выпишем интервалы, соответствующие знаку « », так как знак неравенства « ». Неравенство строгое, поэтому корни не включаются в интервалы:

 

3)  

Запишем соответствующее квадратное уравнение:

 

Найдём корни данного квадратного уравнения:

 данное уравнение имеет один корень

 

Схематично отметим полученные корни на оси и расставим знаки:

Выпишем интервалы, соответствующие знаку « », так как знак неравенства « ». При любом   функция   принимает неотрицательные значения. Так как неравенство нестрогое, то ответом будет  .

4)  

Запишем соответствующее квадратное уравнение:

 

Найдём корни данного квадратного уравнения:

 

Схематично нарисуем график параболы и расставим знаки:

Выпишем интервалы, соответствующие знаку « », так как знак неравенства « ». При любом   функция   принимает положительные значения, следовательно, решением неравенства будет интервал:

 

КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Квадратичная функция.

Прежде чем говорить о теме «квадратные неравенства», вспомним что такое квадратичная функция и что из себя представляет её график.

Квадратичная функция – это функция вида   

Другими словами, это многочлен второй степени.

График квадратичной функции – парабола (помнишь, что это такое?). Её ветви направлены вверх, если "a) функция принимает только положительные значения при всех  , а во втором ( ) – только отрицательные:

квадратные неравенства рис. 2

В случае, когда у уравнения ( ) ровно один корень (например, если дискриминант равен нулю), это значит, что график касается оси  :

квадратные неравенства рис. 3

Тогда, аналогично предыдущему случаю, при   функция неотрицательна   при всех  , а при   – неположительна  .

Так вот, мы ведь недавно уже научились определять, где квадратичная функция больше нуля, а где – меньше:

Если квадратное неравенство нестрогое, то корни входят в числовой промежуток, если строгое - не входят.

Если корень только один, – ничего страшного, будет везде один и тот же знак. Если корней нет, всё зависит только от коэффициента  : если  , то всё выражение больше 0, и наоборот.

Примеры (реши самостоятельно):

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Ответы:

1)  

 

 

квадратные неравенства рис. 7

 

2)  

 

 

квадратные неравенства рис. 8

 

3)  

 

Корней нет, поэтому всё выражение в левой части принимает знак старшего коэффициента:   при всех  . А значит, решений неравенства нет.

4)  

Если квадратичная функция в левой части «неполная» – тем проще находить корни:

 .

квадратные неравенства рис. 9

 

КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Квадратичная функция - это функция вида:   

График квадратичной функции – парабола. Её ветви направлены вверх, если  , и вниз, если  :

  • Если требуется найти числовой промежуток, на котором квадратный трёхчлен больше нуля, то это числовой промежуток, где парабола лежит выше оси  .
  • Если требуется найти числовой промежуток, на котором квадратный трёхчлен меньше нуля, то это числовой промежуток, где парабола лежит ниже оси  .

Виды квадратных неравенств:

Все квадратные неравенства сводятся к следующим четырём видам:

 

Алгоритм решения:

Алгоритм Пример:  
1) Запишем соответствующее неравенству квадратное уравнение (просто меняем знак неравенства   на знак равенства « »).  
2) Найдём корни этого уравнения.  
3) Отметим корни на оси   и схематично покажем ориентацию ветвей параболы («вверх» или «вниз»)
4) Расставим на оси знаки, соответствующие знаку квадратичной функции: там где парабола выше оси, ставим « », а там где ниже – « ».
5) Выписываем интервал(ы), соответствующий(ие) « » или « », в зависимости от знака неравенства. Если неравенство нестрогое, корни входят в интервал, если строгое - не входят.  

P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ :)

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.  

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.  

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

  1. Открой  доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - Купить статью - 299 руб
  2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 899 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Удачи!

Комментарии

Андрей
07 июня 2018

все перепутали.

ответить

Александр (админ)
07 июня 2018

Что именно?

ответить

Николя)
14 июля 2018

Для практики вы дали 3 примера решить:1)−3x​2​​+2x+5≤0 2)25x2−30x+9></katex></li><li><katexcode= (в этому уравнение в html проблема, кто-то не закрыл тэг я точно не знаю ошибку это предположение,из-за нее не видно полностью неравенство лишь бред что выведен из html) 3)x2≥9 (c этим уравнением все проще изначально стоят знаки больше либо равно 9-ти, а в решении уже меньше либо равно " x2≤9",это существенная ошибка ведь ответы у людей не сойдутся). Так же там где вы показываете решение появляется откуда-то 4-е неравенство "2x​2​​+4x+3<0",хотя дано было лишь 3 попробовать решить,и самое главное там оно под номерам "3",а под 4-ым номером истинное 4-е неравенство. Надеюсь исправите и дадите куратору сайта по "шапке" за косяк с html. Но все мы люди и все ошибаемся,на счет дать по "шапке",я шучу.)

ответить

Тимофей
12 сентября 2018

Что такое $a?

ответить

Александр (админ)
12 сентября 2018

Тимофей, это ваш браузер некорректно отображает математический код (формулы). Почисти, пожалуйста, кэш: Ctrl + F5 (для PC) или alt+cmd+E (для Мас)

ответить

.
13 марта 2019

а как решать неравенства типа x^2+x больше или равно x-3 по модулю? рассмотреть два случая и...?

ответить

Алексей Шевчук
17 августа 2019

Всё верно, рассмотреть два случая и решить два квадратных уравнения.

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Добрый день!

Закрытые части учебника - только для учеников YouClever.

Оставьте Email и я расскажу вам как им стать и пришлю в качестве бесплатного бонуса доступ к разделу учебника «Базовые темы» (стоимость раздела - 497 руб).

Значимость этого раздела для ЕГЭ - 14 из 100! Он состоит из 15 тем:

  1. НОК и НОД, признаки делимости и методы группировки;
  2. Степень и ее свойства;
  3. 7 волшебных формул сокращенного умножения;
  4. 5 способов разложения многочлена на множители;
  5. Дроби. Рациональные числа. Операции с дробями;
  6. Все о десятичных дробях;
  7. Задачи на проценты. Как найти процент от числа;
  8. Преобразование выражений. Подробная теория;
  9. Сравнение чисел;
  10. Квадратный корень;
  11. Корень и его свойства. Подробная теория с примерами;
  12. Свойства логарифмов и примеры их решений;
  13. Замена переменных;
  14. Модуль числа;
  15. ОДЗ - область допустимых значений.

Оставить Email

Имя

E-mail

Кто Вы?

Класс

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем тебе доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб,

... или ко всем скрытым задачам во всех 99 статьях учебника - 899 руб.

Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

Хочу помочь YouClever - 299 руб
Хочу помочь YouClever - 899 руб.

Я уже зарегистрирован / оплатил

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть