Квадратные неравенства. Исчерпывающее руководство (2020)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Чтобы разобраться, как решать квадратные неравенства, нам потребуется разобраться, что же такое квадратичная функция, и какими свойствами она обладает.

Зачем вообще нужна квадратичная функция? Какой у нее график? Где он применим?

Замечал, как на физкультуре летит брошенный мяч? 

По дуге? Самым верным ответом будет «по параболе»!

Парабола и есть график квадратичной функции. 

А по какой траектории движется струя в фонтане? Да, тоже по параболе!

А как летит пуля или снаряд? Все верно, тоже по параболе.

Да стоит только оглядеться, и ты заметишь, что с параболой ты сталкиваешься ежедневно!  

Таким образом, зная свойства квадратичной функции, можно будет решать многие практические задачи.

К примеру, под каким углом необходимо кинуть мяч, чтобы обеспечить наибольшую дальность полёта?

Или, где окажется снаряд, если запустить его под определённым углом?

Итак, давай разбираться.

СОДЕРЖАНИЕ СТАТЬИ


КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА. НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Квадратичная функция

Квадратичная функция – это функция, которую можно записать вот такой формулой:  , где   – независимая переменная,    и   – некоторые числа, при этом  .

К примеру,  .

Чему здесь равны    и  ? Ну, конечно,    и  !

Как уже упоминалось в теме «Квадратные уравнения», графиком такой функции выступает парабола.

В зависимости от значения   ветви графика направлены вверх или вниз:

  • если  , то ветви параболы направлены вверх;
  • если  , то ветви параболы направлены вниз.

Для того, чтобы легко это запомнить, обратимся к хорошо известным тебе смайликам:

  • если  , т.е. a – положительное число, раз положительное, значит все хорошо – улыбаемся! А ветви графика тем временем направлены вверх :-) 
  • если  , т.е. a – отрицательное число, а раз отрицательное, значит, есть повод взгрустнуть, а ветви графика тем временем будут направлены вниз :-( 

При этом точки пересечения параболы с осью  , называются нулями функции и являются корнями соответствующего квадратного уравнения:

 

Ну что, уловил? Тогда давай смотреть примеры!

На рисунке выше изображён график функции  .

Как мы уже отмечали,  , а это больше нуля (улыбаемся), поэтому ветви графика направлены вверх.

Кроме того, можно заметить, что данный график не пересекает ось  .

Помнишь, что в таком случае происходит, если решать уравнение  ?

Все верно, корней такое уравнение иметь не будет, так как y принимает только положительные значения (не принимает значения, равные  )!

Если забыл, то вперёд повторять «Квадратные уравнения»!

А что, если  , т.е. меньше нуля? Ну конечно, мы «грустим», а, значит, ветви будут направлены вниз!

Давай посмотрим на графике.

На этом рисунке изображён график функции  .

Так как  , т.е. меньше нуля, ветви параболы направлены вниз.

Кроме того, ты, наверное, уже заметил, что ветви этой параболы пересекают ось  , а значит, уравнение   имеет 2 корня, а функция принимает как положительные и отрицательные значения!

В самом начале, когда мы давали определение квадратичной функции, было сказано, что   и   – некоторые числа.

А могут ли они быть равны нулю?

Ну конечно, могут! Даже открою еще больший секрет (который и не секрет вовсе, но упомянуть о нем стоит): на эти числа (  и  ) вообще никакие ограничения не накладываются!

Ну что, давай посмотрим, что будет с графиками, если   и   равны нулю.

Как видно, графики рассматриваемых функций (  и  ) сместились так, что их вершины находятся теперь в точке с координатами  

То есть на пересечении осей   и  , на направлении ветвей это никак не отразилось. Таким образом, можно сделать вывод, что   и   отвечают за «передвижения» графика параболы по системе координат.

График функции   касается оси   в точке  .

Значит, уравнение   имеет один корень. Таким образом, функция принимает значения больше либо равные нулю.

Придерживаемся той же логики с графиком функции  . Он касается оси x в точке  .

Значит, уравнение   имеет один корень.

Таким образом, функция принимает значения меньше либо равные нулю, то есть  .

Таким образом, чтобы определить знак выражения, первое, что необходимо сделать – это найти корни уравнения.

Это нам очень пригодится.

Квадратное неравенство

Квадратное неравенство – это неравенство, состоящее из одной квадратичной функции.

Таким образом, все квадратные неравенства сводятся к следующим четырём видам:

 

 

При решении таких неравенств нам пригодятся умения определять, где квадратичная функция больше, меньше, либо равна нулю.

То есть:

  • если перед нами неравенство вида  , то фактически задача сводится к тому, чтобы определить числовой промежуток значений  , при котором парабола лежит выше оси  .
  • если перед нами неравенство вида  , то фактически задача сводится к тому, чтобы определить числовой промежуток значений x, при котором парабола лежит ниже оси  .

Если неравенства нестрогие (  и  ), то корни (координаты   пересечений параболы с осью  ) включаются в искомый числовой промежуток, при строгих неравенствах – исключаются.

Это все достаточно формализовано, однако не надо отчаиваться и пугаться!

Сейчас разберём примеры, и все станет на свои места.

При решении квадратных неравенств будем придерживаться приведённого алгоритма, и нас ждёт неизбежный успех!

Алгоритм Пример:  
1) Запишем соответствующее неравенству квадратное уравнение (просто меняем знак неравенства   на знак равенства «=»).  
2) Найдём корни этого уравнения.  
3) Отметим корни на оси   и схематично покажем ориентацию ветвей параболы («вверх» или «вниз»)
4) Расставим на оси знаки, соответствующие знаку квадратичной функции: там, где парабола выше оси, ставим « », а там, где ниже – « ».
5) Выписываем интервал(ы), соответствующий « » или « », в зависимости от знака неравенства. Если неравенство нестрогое, корни входят в интервал, если строгое - не входят.  

Разобрался? Тогда вперёд закреплять!

Примеры (реши самостоятельно):

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Ну что, получилось? Если возникли затруднения, то разбирайся в решениях.

Пример 1

1)  

Запишем соответствующее квадратное уравнение:

 

Найдём корни данного квадратного уравнения:

 

 

 

Схематично отметим полученные корни на оси и расставим знаки:

Выпишем интервалы, соответствующие знаку « », так как знак неравенства « ».

Неравенство нестрогое, поэтому корни включаются в интервалы:

 

Пример 2

2)  

Запишем соответствующее квадратное уравнение:

 

Найдём корни данного квадратного уравнения:

 

 

 

Схематично отметим полученные корни на оси и расставим знаки:

Выпишем интервалы, соответствующие знаку « », так как знак неравенства « ». Неравенство строгое, поэтому корни не включаются в интервалы:

 

Пример 3

3)  

Запишем соответствующее квадратное уравнение:

 

Найдём корни данного квадратного уравнения:

 данное уравнение имеет один корень

 

Схематично отметим полученные корни на оси и расставим знаки:

Выпишем интервалы, соответствующие знаку « », так как знак неравенства « ».

При любом   функция   принимает неотрицательные значения.

Так как неравенство нестрогое, то ответом будет  .

Пример 4

4)  

Запишем соответствующее квадратное уравнение:

 

Найдём корни данного квадратного уравнения:

 

Схематично нарисуем график параболы и расставим знаки:

Выпишем интервалы, соответствующие знаку « », так как знак неравенства « ».

При любом   функция   принимает положительные значения, следовательно, решением неравенства будет интервал:

 

 

 

 

КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Квадратичная функция

Прежде чем говорить о теме «квадратные неравенства», вспомним что такое квадратичная функция и что из себя представляет её график.

Квадратичная функция – это функция вида   

Другими словами, это многочлен второй степени.

График квадратичной функции – парабола (помнишь, что это такое?).

Её ветви направлены вверх, если "a) функция принимает только положительные значения при всех  , а во втором ( ) – только отрицательные:

квадратные неравенства рис. 2

В случае, когда у уравнения ( ) ровно один корень (например, если дискриминант равен нулю), это значит, что график касается оси  :

квадратные неравенства рис. 3

Тогда, аналогично предыдущему случаю, при   функция неотрицательна   при всех  , а при   – неположительна  .

Так вот, мы ведь недавно уже научились определять, где квадратичная функция больше нуля, а где – меньше:

Если квадратное неравенство нестрогое, то корни входят в числовой промежуток, если строгое - не входят.

Если корень только один, – ничего страшного, будет везде один и тот же знак. Если корней нет, всё зависит только от коэффициента  : если  , то всё выражение больше 0, и наоборот.

Примеры (реши самостоятельно):

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Пример 5

1)  

 

 

квадратные неравенства рис. 7

 

Пример 6

2)  

 

 

квадратные неравенства рис. 8

 

Пример 7

3)  

 

Корней нет, поэтому всё выражение в левой части принимает знак старшего коэффициента:   при всех  .

А значит, решений неравенства нет.

Пример 8

4)  

Если квадратичная функция в левой части «неполная» – тем проще находить корни:

 .

квадратные неравенства рис. 9

 

КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Квадратичная функция - это функция вида:   

График квадратичной функции – парабола. Её ветви направлены вверх, если  , и вниз, если  :

  • Если требуется найти числовой промежуток, на котором квадратный трёхчлен больше нуля, то это числовой промежуток, где парабола лежит выше оси  .
  • Если требуется найти числовой промежуток, на котором квадратный трёхчлен меньше нуля, то это числовой промежуток, где парабола лежит ниже оси  .

Виды квадратных неравенств:

Все квадратные неравенства сводятся к следующим четырём видам:

 

Алгоритм решения:

Алгоритм Пример:  
1) Запишем соответствующее неравенству квадратное уравнение (просто меняем знак неравенства   на знак равенства « »).  
2) Найдём корни этого уравнения.  
3) Отметим корни на оси   и схематично покажем ориентацию ветвей параболы («вверх» или «вниз»)
4) Расставим на оси знаки, соответствующие знаку квадратичной функции: там где парабола выше оси, ставим « », а там где ниже – « ».
5) Выписываем интервал(ы), соответствующий(ие) « » или « », в зависимости от знака неравенства. Если неравенство нестрогое, корни входят в интервал, если строгое - не входят.  

 

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене "чашка кофе в месяц", 

А также получить бессрочный доступ к учебнику "YouClever", Программе подготовки (решебнику) "100gia", неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

можно кликнув по этой ссылке.

 

 

 

 

 

Комментарии

Тимофей
12 сентября 2018

Что такое $a?

ответить

Александр (админ)
12 сентября 2018

Тимофей, это ваш браузер некорректно отображает математический код (формулы). Почисти, пожалуйста, кэш: Ctrl + F5 (для PC) или alt+cmd+E (для Мас)

ответить

.
13 марта 2019

а как решать неравенства типа x^2+x больше или равно x-3 по модулю? рассмотреть два случая и...?

ответить

Алексей Шевчук
17 августа 2019

Всё верно, рассмотреть два случая и решить два квадратных уравнения.

ответить

Александр
16 декабря 2019

Спасибо дружище, очень благодарен

ответить

Дарья
07 января 2020

Спасибо огромное за замечательный сайт!

ответить

Александр (админ)
07 января 2020

Дарья, и тебе спасибо. Очень приятно!

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Привет!

2/3 статьи, а также разбор задач доступны только ученикам YouClever.

Если вы хотите им стать, пройдите по ссылке и ознакомьтесь с условиями.

Или оставьте Email и получите доступ к 5-ти статьям учебника бесплатно.

Удачи,
Александр Кель

Оставить Email

Имя

E-mail

Кто Вы?

Класс

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем тебе доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб,

... или ко всем скрытым задачам во всех 99 статьях учебника - 899 руб.

Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

Хочу помочь YouClever - 299 руб
Хочу помочь YouClever - 899 руб.

Я уже зарегистрирован / оплатил

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть