Квадратные неравенства. Средний уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2018Пройти пробный ОГЭ 2018

Квадратичная функция

Прежде чем говорить о теме «квадратные неравенства», вспомним что такое квадратичная функция и что из себя представляет ее график.

Квадратичная функция – это функция вида   

Другими словами, это многочлен второй степени.

График квадратичной функции – парабола (помнишь, что это такое?). Ее ветви направлены вверх, если  :

квадратные неравенства рис. 1

Точки пересечения параболы с осью   называются нулями функции, они же являются корнями соответсвующего квадратного уравнения:

  (1)

Если уравнение не имеет корней (например, дискриминант отрицательный), значит, парабола не пересекает ось  , и следовательно полностью лежит либо выше этой оси, либо ниже нее. В первом случае (при  , а во втором ( ) – только отрицательные:

квадратные неравенства рис. 2

В случае, когда у уравнения ( ) ровно один корень (например, если дискриминант равен нулю), это значит, что график касается оси  :

квадратные неравенства рис. 3

Тогда, аналогично предыдущему случаю, при  ) при всех  , а при   – неположительна ( ).

Ну и, самый распространенный случай – когда уравнение имеет два корня. В этом случае функция где-то положительна, а где-то отрицательна. Причем, по разные стороны любого корня знаки функции всегда будут разными:

квадратные неравенства рис. 4

Поэтому, для того чтобы определить знак выражения, первым делом надо найти корни уравнения (1).

Квадратные неравенства

Квадратные неравенства – это неравенства, состоящие из одной квадратичной функции, то есть, неравенства вида:

  

где знак   означает любой из знаков  .

  • Если требуется найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен меньше нуля, то это числовой промежуток, где парабола лежит ниже оси  .
  • Если квадратное неравенство нестрогое, то корни входят в числовой промежуток, если строгое - не входят.

    Если корень только один, – ничего страшного, будет везде один и тот же знак. Если корней нет, все зависит только от коэффициента  : если  , и наоборот.

    Итак, общий алгоритм.

    Алгоритм Пример:  
    1) Запишем соответствующее неравенству квадратное уравнение (просто меняем знак неравенства на знак равенства « »).  
    2) Найдем корни этого уравнения.  
    3) Отметим корни на оси   и схематично покажем ориентацию ветвей параболы («вверх» или «вниз») квадратные неравенства рис. 5
    4) Расставим на оси знаки, соответствующие знаку квадратичной функции: там где парабола выше оси, ставим « », а там где ниже – « ». квадратные неравенства рис. 6
    5) Выписываем интервал(ы), соответствующий « » или « », в зависимости от знака неравенства. Если неравенство нестрогое, корни входят в интервал, если строгое - не входят.  

    Примеры (реши сам):

    1.  
    2.  
    3.  

    Ответы:

    1)  

     

     

    квадратные неравенства рис. 7

     

    2)  

     

    квадратные неравенства рис. 8

     

    3)  

     

    Корней нет, поэтому все выражение в левой части принимает знак коэффициента перед  :  . А значит, решений нет.

    4)  

    Если квадратичная функция в левой части «неполная» – тем проще находить корни:

     .

    квадратные неравенства рис. 9

     

    Комментарии

    Спасибо за сообщение!

    Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

    Ok

    Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

    Отправить Закрыть