Квадратные неравенства. Средний уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2017 Пройти пробный ОГЭ 2017

Квадратичная функция

Прежде чем говорить о теме «квадратные неравенства», вспомним что такое квадратичная функция и что из себя представляет ее график.

Квадратичная функция – это функция вида   

Другими словами, это многочлен второй степени.

График квадратичной функции – парабола (помнишь, что это такое?). Ее ветви направлены вверх, если  :

квадратные неравенства рис. 1

Точки пересечения параболы с осью   называются нулями функции, они же являются корнями соответсвующего квадратного уравнения:

  (1)

Если уравнение не имеет корней (например, дискриминант отрицательный), значит, парабола не пересекает ось  , и следовательно полностью лежит либо выше этой оси, либо ниже нее. В первом случае (при  , а во втором ( ) – только отрицательные:

квадратные неравенства рис. 2

В случае, когда у уравнения ( ) ровно один корень (например, если дискриминант равен нулю), это значит, что график касается оси  :

квадратные неравенства рис. 3

Тогда, аналогично предыдущему случаю, при  ) при всех  , а при   – неположительна ( ).

Ну и, самый распространенный случай – когда уравнение имеет два корня. В этом случае функция где-то положительна, а где-то отрицательна. Причем, по разные стороны любого корня знаки функции всегда будут разными:

квадратные неравенства рис. 4

Поэтому, для того чтобы определить знак выражения, первым делом надо найти корни уравнения (1).

Квадратные неравенства

Квадратные неравенства – это неравенства, состоящие из одной квадратичной функции, то есть, неравенства вида:

  

где знак   означает любой из знаков  .

  • Если требуется найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен меньше нуля, то это числовой промежуток, где парабола лежит ниже оси  .
  • Если квадратное неравенство нестрогое, то корни входят в числовой промежуток, если строгое - не входят.

    Если корень только один, – ничего страшного, будет везде один и тот же знак. Если корней нет, все зависит только от коэффициента  : если  , и наоборот.

    Итак, общий алгоритм.

    Алгоритм Пример:  
    1) Запишем соответствующее неравенству квадратное уравнение (просто меняем знак неравенства на знак равенства « »).  
    2) Найдем корни этого уравнения.  
    3) Отметим корни на оси   и схематично покажем ориентацию ветвей параболы («вверх» или «вниз») квадратные неравенства рис. 5
    4) Расставим на оси знаки, соответствующие знаку квадратичной функции: там где парабола выше оси, ставим « », а там где ниже – « ». квадратные неравенства рис. 6
    5) Выписываем интервал(ы), соответствующий « » или « », в зависимости от знака неравенства. Если неравенство нестрогое, корни входят в интервал, если строгое - не входят.  

    Примеры (реши сам):

    1.  
    2.  
    3.  

    Ответы:

    1)  

     

     

    квадратные неравенства рис. 7

     

    2)  

     

    квадратные неравенства рис. 8

     

    3)  

     

    Корней нет, поэтому все выражение в левой части принимает знак коэффициента перед  :  . А значит, решений нет.

    4)  

    Если квадратичная функция в левой части «неполная» – тем проще находить корни:

     .

    квадратные неравенства рис. 9

     

    Комментарии

    Андрей
    07 июня 2018

    все перепутали.

    ответить

    Александр (админ)
    07 июня 2018

    Что именно?

    ответить

    Спасибо за сообщение!

    Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

    Ok

    Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

    Отправить Закрыть

    Привет! 

    Нравится наш учебник? Помоги сделать так, чтобы его не закрыли... 

    ... а мы откроем для тебя ВСЕ скрытые примеры учебника.

    Всего 199 руб...

    Но твоя помощь бесценна! :)  

    Спасибо!

    Я хочу помочь YouClever!

    Закрыть