Рассмотренный здесь метод называется мини-максным. 

Я думаю, что ты понимаешь, от каких слов произошло такое название? Верно, от слов минимум и максимум. Кратко метод можно представить в виде:

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right)\le g\left( x \right)\\f\left( x \right)\ge A\\g\left( x \right)\le A\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right)=g\left( x \right)\\f\left( x \right)\ge A\\g\left( x \right)\le A\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right)=A\\g\left( x \right)=A\end{array} \right.\)

Иногда данный метод позволяет решать на первый взгляд «безнадежные» неравенства вроде

\( \displaystyle lo{{g}_{2}}\left( 6x-{{x}^{2}}-7 \right)\ge {{7}^{\left| x-3 \right|}}\)

Давай введем в рассмотрение две функции

\( \displaystyle f\left( x \right)=~lo{{g}_{2}}\left( 6x-{{x}^{2}}-7 \right)\), \( \displaystyle g\left( x \right)=~{{7}^{\left| x-3 \right|}}\)

Найдем для каждой из них область значений \( \displaystyle E\left( f \right),E\left( g \right)\):

Пусть \( \displaystyle t=6x-{{x}^{2}}-7\)

\( \displaystyle 6x-{{x}^{2}}-7=-{{\left( x-3 \right)}^{2}}+2,~\) то есть \( \displaystyle t\le 2\), с другой стороны, по определению логарифма \( \displaystyle t>0\).

Так как \( \displaystyle y=f\left( t \right)\) возрастает на \( \displaystyle \left( 0;2 \right]\).

Причем, при \( \displaystyle t\) стремящемся к нулю, \( \displaystyle f\left( t \right)\) стремится к минус бесконечности (смотри рисунок выше), а при \( \displaystyle t=2,~f\left( t \right)=f\left( 2 \right)=1\).

Таким образом, область значений \( \displaystyle f(x)\) есть множество:

\( \displaystyle E\left( f \right)=\left( -\infty ;1 \right].\)

Теперь найдем область значений \( \displaystyle g(x)\): вновь введем замену \( \displaystyle z=\left| x-3 \right|,\) \( \displaystyle z\ge 0\) (по определению модуля), так как \( \displaystyle g\left( z \right)={{7}^{z}}\) возрастает на всей числовой прямой, то наименьшее значение \( \displaystyle g\left( z \right)\) при \( \displaystyle z\ge 0\) достигается при \( \displaystyle z=0\), \( \displaystyle g\left( 0 \right)=1\), \( \displaystyle g\left( z \right)>1\) при \( \displaystyle z>0\). Таким образом:

\( \displaystyle E\left( g \right)=\left[ 1;+\infty \right).\)

Воспользуемся мини-максным методом: он говорит нам о том, что решение неравенства может иметь место только при

\( \displaystyle f\left( x \right)=g\left( x \right)=A\). В нашем случае \( \displaystyle A=1.\)

Тогда \( \displaystyle f\left( x \right)=1\) эквивалентно: \( \displaystyle lo{{g}_{2}}\left( 6x-{{x}^{2}}-7 \right)=1\) а из \( \displaystyle g\left( x \right)=1\) получится \( \displaystyle {{7}^{\left| x-3 \right|}}=1.\) Первое уравнение имеет корень: \( \displaystyle x=3\), это же число является и корнем второго уравнения. Тогда наше исходное неравенство имеет место только при \( \displaystyle x=3\).

Вот такой пример (позаковырестее) я предлагаю решить тебе самому:

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}lo{{g}_{\frac{1}{3}}}\left( 3+\left| sinx \right| \right)\ge {{2}^{\left| x \right|}}-2\\lo{{g}_{\left( x+2.5 \right)}}{{\left( \frac{x-5}{2x-3} \right)}^{2}}>0\end{array} \right.\)

Давай посмотрим, что у нас получилось:

Я начну с анализа первого неравенства: Слева у меня стоит монотонно убывающая функция, а справа – монотонно возрастающая. Вначале мы разберемся с \( \displaystyle f\left( x \right)=lo{{g}_{\frac{1}{3}}}\left( 3+\left| sinx \right| \right)\), пусть \( \displaystyle t=3+\left| sinx \right|\), тогда из того, что \( \displaystyle 0\le \left| sinx \right|\le 1\), следует, что \( \displaystyle 3\le t\le 4\).

Функция \( \displaystyle f\left( t \right)\) является монотонно убывающей при \( \displaystyle 3\le t\le 4\), тогда своего наибольшего значения она достигает при \( \displaystyle t=3\), а наименьшего – при \( \displaystyle t=4\).

Тогда:

\( \displaystyle -lo{{g}_{3}}4\le f\left( t \right)\le -1\)

Теперь рассмотрим \( \displaystyle g\left( x \right)={{2}^{\left| x \right|}}-2\), сделаем замену \( \displaystyle t=\left| x \right|,~t\ge 0\). Тогда \( \displaystyle g\left( t \right)={{2}^{t}}-2\) монотонно возрастает и наименьшего значения достигает при \( \displaystyle t=0.\) Это значение будет равно \( \displaystyle g\left( 0 \right)=-1.\) При \( \displaystyle t>0~g\left( t \right)>-1.\)

Вновь воспользуемся мини-максным методом. В данном случае первое неравенство может иметь место только при \( \displaystyle f\left( x \right)=g\left( x \right)=-1\). Ясно, что первое уравнение имеет бесконечное количество корней, задаваемых формулой

\( \displaystyle x=\pi n,~n\in Z.\)

Тогда как второе имеет только один корень \( \displaystyle x=0\). Ясно, что при подстановке \( \displaystyle n=0\) в формулу корней первого уравнения, я получу, что \( \displaystyle x=0\). Тогда первое неравенство выполняется только при \( \displaystyle x=0\).

Что же теперь? Нужно ли нам решать второе неравенство? А смысл? Ведь если оно и имеет решение, то нам нужно будет его пересекать с тривиальным решением первого неравенства. Так не проще ли нам подставить во второе неравенство \( \displaystyle 0\) и проверить, имеет ли оно при этом место? Я думаю, что это не представляет никакого труда.

\( \displaystyle lo{{g}_{\left( 0+2.5 \right)}}{{\left( \frac{0-5}{2*0-3} \right)}^{2}}=lo{{g}_{2.5}}\left( \frac{25}{9} \right)>lo{{g}_{2.5}}1>0\)

Тогда с чистой совестью записываю ответ: \( \displaystyle x=0\).

Конечно, мини-максный метод является не единственным методом решения сложных логарифмических неравенств, однако он в полной мере демонстрирует мощь «функционального» подхода к решению неравенств (кстати, и уравнений тоже).